Cette thèse porte sur la restauration des signaux bruités observés sur des plans d'expérience aléatoires. Trois méthodes sont proposées. Dans les deux premières, on se ramène (soit par préconditionnement des données initiales, soit par régression polynomiale locale), à un problème de régression sur grille régulière. Des majorations asymptotiques de l'erreur d'estimation sont données pour les deux méthodes, sur des classes de fonctions holderiennes pour la première et sur des boules d'espaces de Besov pour la deuxième. La vitesse de décroissance de l'erreur est dans les deux cas très proche de la vitesse optimale. Un troisième algorithme concerne les plans d'expérience déterministes et utilise les ondelettes adaptées à la grille. Elles sont construites par des schémas de subdivision non réguliers, dont on étudie la convergence et les propriétés. Des nombreuses simulations et une étude comparative illustrent le comportement des trois algorithmes quand ils sont appliqués à des échantillons de taille finie.

Nous étudions l'approximation cinétique discrète de lois de conservation scalaires quasi-linéaires dans le quart d'espace positif. Cette approximation est obtenue par l'introduction de systèmes de type BGK relaxant la loi scalaire. Nous démontrons la convergence des systèmes semi-linéaires vers la loi scalaire. Nous discrétisons ces modèles pour obtenir une gamme de schémas numériques adaptés au problème avec bord. Dans une troisième partie, nous appliquons ces schémas à un certain nombre de cas test numériques.

Ce mémoire est centré autour de l'analyse numérique de schémas volumes finis pour un modèle simplifié d'écoulement de deux fluides incompressibles en milieu poreux. Ces phénomènes sont souvent qualifiés de phénomènes de convection diffusion à convection dominante (``convection dominated problems'' en anglais). La première partie du mémoire est consacrée à l'approximation numérique d'équations paraboliques hyperboliques faiblement ou fortement dégénérées. Les trois premiers chapitres sont consacrés à l'étude de la convergence de schémas volumes finis. Le dernier chapitre est consacré à l'analyse des résultats numériques obtenus. La seconde partie est consacrée à l'analyse numérique d'un modèle simplifié d'écoulement diphasique en milieu poreux par deux schémas différents. Le premier schéma dit ``des mathématiciens'' est basé sur la réécriture du système étudié sous la forme d'une équation parabolique hyperbolique sur la saturation et d'une équation elliptique sur la pression, ces deux équations étant couplées par le coefficient de diffusion. Le second schéma dit schéma ``des pétroliers'' est une méthode numérique utilisée en pratique dans l'industrie pétrolière. Les deux schémas sont analysés séparément et ils sont ensuite comparés numériquement.

Cette étude porte sur la modélisation et la simulation numérique d'un piano, en domaine temporel, par modèles phy- siques. Nous souhaitons rendre compte du comportement vibratoire et acoustique du piano, en prenant en compte les éléments principaux qui contribuent à la production du son. La table d'harmonie est modélisée par une équation bidimensionnelle de plaque épaisse, le système de Reissner Mindlin, pour un matériau orthotrope et hétérogène, dont l'amortissement dépend de la fréquence. Grâce aux équations de la vibroacoustique, la table rayonne dans l'air, dans lequel on souhaite calculer le champ acoustique complet autour de la ceinture du piano, que l'on suppose rigide. La table d'harmonie est d'autre part sollicitée par les cordes, à travers le chevalet où elles présentent un léger angle par rapport au plan horizontal. Chaque corde est modélisée par un système d'équations monodimensionnelles amorties dans lequel on prend en compte non seulement les ondes transversales excitées par le marteau, mais aussi la raideur à travers les ondes de cisaillement, ainsi que le couplage avec les ondes longi- tudinales provenant de la prise en compte des non linéarités géométriques. Le marteau est lancé avec une vitesse initiale vers un chœur de cordes, contre lequel il s'écrase avant d'être repoussé par les cordes. La force d'interaction dépend de façon non linéaire de l'écrasement du marteau.Le modèle complet de piano, que l'on souhaite résoudre numériquement, consiste donc en un système couplé d'équations aux dérivées partielles, dont chacune revêt des difficultés de nature différente : la corde est régie par un système d'équations non linéaires, la table d'harmonie est soumise à un amortissement dépendant de la fréquence, la propagation acoustique requiert un très grand nombre d'inconnues; auxquelles s'ajoute la difficulté inhérente aux couplages. D'une part, la stabilité numérique du schéma discret peut être compromise par la présence d'équations non linéaires et de nombreux couplages. Une méthode efficace pour garantir cette stabilité a priori est de construire un schéma qui conserve, ou dissipe, un équivalent discret de l'énergie physique d'un pas de temps au suivant. Une contribution majeure de ce travail a été de développer des schémas préservant une énergie discrète pour une classe de systèmes non linéaires dans laquelle s'inscrit le modèle de corde. D'autre part, afin d'augmenter l'efficacité de la méthode et de réduire le coût des calculs numériques, il est souhaitable de mettre à jour de façon découplée les inconnues liées aux différentes parties du problème, sur lesquelles la discrétisation en temps est faite de façon différente, afin de s'adapter aux spécificités de chacune. L'introduction de multiplicateurs de Lagrange nous permet de réaliser ce découplage artificiel grâce à des compléments de Schur adaptés. L'utilisation du code de calcul en situation réaliste montre le potentiel d'une telle modélisation d'un piano complet en domaine temporel. Au delà de très bien reproduire les mesures, il est possible d'étudier l'influence de certains phénomènes physiques (corde raide, non linéaire), de la géométrie ou encore des matériaux utilisés sur le comportement vibratoire général du piano, et sur le son en particulier. L'enrichissement spectral, ainsi que l'apparition des " partiels fantômes " et du précurseur non linéaire sont clairement mis en évidence pour les grandes amplitudes de jeu, soulignant l'intérêt de notre approche dans la compréhension du fonctionnement de l'instrument.

Le modèle multi-fluide permet de décrire par une approche Eulérienne les sprays polydispersés et apparaît donc comme une méthode indiquée pour les applications de combustion diphasique. Sa pertinence pour la simulation à l'échelle d'applications industrielles est évaluée dans ce travail, par sa mise en oeuvre dans des configurations bi-dimensionnelle et tri-dimensionnelle plus représentatives de ce type de simulations. Cette évaluation couple une étude de faisabilité en terme de coût de calcul avec une analyse de la précision obtenue, par des comparaisons avec les résultats de méthodes de références pour la description des sprays. Afin de définir une telle référence, une hiérarchisation des modèles de spray est proposée dans ce travail, soulignant les niveaux de modélisation associée aux diverses méthodes. Une première configuration d'écoulements tourbillonnaires est utilisée pour caractériser la méthode multi-fluide. L'étude de la structure mathématique du système de lois de conservation permet d'analyser la formation de singularités et de fournir les outils permettant d'évaluer leur impact sur la modélisation. Cette étude permet également de dériver un schéma numérique robuste et efficace pour des configurations bi- et tri-dimensionnelle. La description des dynamiques de gouttes conditionnées par la taille est évaluée dans ces configurations tourbillonnaires au moyen de comparaisons quantitatives, sur des champs instantanés, où le multi-fluide est confronté à une méthode Lagrangienne, ainsi qu'à des résultats expérimentaux. Afin d'évaluer le comportement de la méthode multi-fluide dans des configurations plus représentatives des problématiques industrielles, le solveur MUSES3D est développé, permettant, entre autres, une évaluation fine des méthodes de résolution des sprays. Une implémentation originale de la méthode multi-fluide, conciliant généricité et efficacité pour le calcul parallèle, est réalisée. Le couplage de ce solveur avec le code ASPHODELE, développé au CORIA, permet d'effectuer une évaluation opérationnelle des approches Euler/Lagrange et Euler/Euler pour la description des écoulements diphasiques à inclusions dispersées. Finalement, le comportement de la méthode multi-fluide dans des jets bi-dimensionnels et dans une turbulence homogène isotrope tri-dimensionnelle permet de montrer sa précision pour la description de la dynamique de sprays évaporant dans des configurations plus complexes. La résolution de la polydispersion du spray permet de décrire précisément la fraction massique de combustible en phase vapeur, un élément clé pour les applications de combustion. De plus, l'efficacité du calcul parallèle par décomposition de domaine avec la méthode multi-fluide permet d'envisager son utilisation à l'échelle d'applications industrielles.

La résolution numérique de l'équation de Schrödinger en domaine extérieur nécessite l'utilisation de conditions aux limites appropriées sur la frontière du domaine de calcul. Les conditions aux limites à utiliser sont directement reliées à la fonction de potentiel intervenant dans l'équation. Pour l'équation à potentiel nul, la condition aux limites exacte est connue, ainsi que des méthodes efficaces de discrétisation et d'implémentation numérique. L'objectif de cette thèse est d'étendre les méthodes mises en jeu à potentiel nul dans le cas d'un potentiel aussi général que possible, à l'image des situations physiques variées faisant intervenir un potentiel, linéaire ou non linéaire. Nous prenons le parti de renoncer à établir des conditions aux limites exactes, au profit d'une plus grande généralité de la méthode et d'une bonne adaptation à une implémentation numérique. En se basant sur le calcul pseudodifférentiel, on propose alors une recherche détaillée de méthodes permettant de prendre en compte le potentiel dans une condition aux limites artificielle (CLA). Cette thèse traite le cas de l'équation en dimension un ou deux avec potentiel linéaire ou non linéaire, ainsi que de l'équation stationnaire en dimension un. La construction de ces CLA repose sur l'analyse microlocale et le calcul symbolique associé aux opérateurs pseudodifférentiels fractionnaires. La discrétisation en temps est effectuée à l'aide de convolutions discrètes ou d'approximants de Padé, et la discrétisation en espace repose sur des éléments finis linéaires. On utilise la méthode de relaxation de Besse pour résoudre l'équation non linéaire. L'analyse mathématique des conditions construites dans cette thèse permet de démontrer dans certains cas des estimations a priori, sur le plan continu et sur le plan semi-discret. De nombreuses simulations numériques permettent de tester l'efficacité des conditions aux limites proposées et de les comparer entre elles.

L'objectif de cette thèse est d'étudier un système modélisant l'évolution d'écoulements bi-fluides non miscibles dans un domaine borné, avec la perspective de mieux comprendre et de prédire le comportement de bulles dans les c{\oe}urs de réacteurs nucléaires. Ce système, appelé DLMN, est construit à partir des équations de Navier-Stokes sous l'hypothèse d'un nombre de Mach très faible. Dans le cadre d'études préliminaires, on établit des résultats d'existence et d'unicité de solutions pour des données initiales régulières (de type Sobolev) et pour différents systèmes d'équations aux dérivées partielles non-linéaires couplant équations hyperboliques, paraboliques et elliptiques. En particulier, dans le cas du modèle abstrait de vibration de bulles (ABV), on établit un certain nombre de propriétés vérifiées par les solutions, lesquelles sont explicitées en dimension $1$. On s'attache ensuite à simuler ces solutions, en utilisant des schémas adaptés à la régularité des données. Pour le cas des données régulières, on construit un schéma d'ordre $2$ inconditionnellement stable et basé sur la méthode des caractéristiques. En revanche, en présence de discontinuités, on associe un schéma non diffusif à un algorithme de raffinement adaptatif de maillages.

Cette thèse concerne la modélisation par des EDP et la résolution numérique de problèmes d'optimisation pour les flux d'information et pour le trafic routier. Nous proposons un nouveau type de schémas hybrides. En premier, nous nous intéressons à l'optimisation des temps de service nécessaires à un serveur informatique pour traiter un ou plusieurs types de requêtes, afin de satisfaire une qualité de service imposée. La modélisation choisie fait intervenir un système de lois de conservation proposé par De Vuyst. Les particules sont les requêtes et la variable d'espace représente le taux d'avancement dans le traitement de la requête. Nous exhibons alors les équations différentielles ordinaires permettant de calculer les temps de service. Cela nous permet d'optimiser l'allocation des ressources du serveur suivant le type de requêtes. Nous présentons deux exemples de simulation numérique. Ensuite, nous considérons un problème d'optimisation en trafic routier faisant intervenir le modèle "fluide" aux EDP du second ordre de Aw-Rascle. Les particules sont les véhicules. A partir de données observées, en quantité limitée, sur une portion de route [0;L] et sur un intervalle de temps [0;T], nous voulons prévoir les conditions de circulation après le temps T. Il faut connaître précisément les conditions aux temps T pour les utiliser dans le système de Aw-Rascle comme nouvelles conditions initiales. Nous calculons cette condition initiale en retrouvant par un algorithme d'optimisation la solution de Aw-Rascle qui minimise l'erreur entre les valeurs de cette solution et les données observées. Il s'agit d'un problème d'assimilation de données, que nous résolvons par une méthode adjointe. Deux stratégies distinctes sont possibles : nous prenons comme variables d'optimisation les conditions initiales et les conditions aux bords du domaine [0;L]x [0;T] ou alors nous prenons uniquement comme variables d'optimisation les conditions initiales sur une section plus grande [-L';L]. Nous explorons ces deux stratégies. Enfin, nous nous intéressons aux schémas numériques permettant de trouver les solutions des systèmes de lois de conservation tels que les deux systèmes précédents. Nous présentons alors un nouveau type de schémas hybrides à un paramètre qui permet d'obtenir la propriété TVD et d'être du second ordre en espace et en temps. Le paramètre permet d'interpoler les schémas de Lax-Wendroff et de Lax-Friedrichs. Après cette première phase prédictrice, il est possible de corriger ce paramètre dans les cellules où il y a production d'entropie numérique. Nous obtenons ainsi un schéma qui permet de capturer la solution physique.

These thesis review some recent results on the construction of very high order multidimensional upwind schemes for the solution of steady and unsteady conservation laws on unstructured triangular grids. We also consider the extension to the approximation of solutions to conservation laws containing second order dissipative terms. To build this high order schemes we use a sub-triangulation of the triangular Pk elements where we apply the distribution used for a P1 element. This manuscript is divided in two parts. The first part is dedicated to the design of the high order schemes for scalar equations and focus more on the theoretical design of the schemes. The second part deals with the extension to system of equations, in particular we will compare the performances of 2nd, 3rd and 4th order schemes. The first part is subdivided in four chapters: The aim of the second chapter is to present the multidimensional upwind residual distributive schmes and to explain what was the status of their development at the beginning of this work. The third chapter is dedicated to the first contribution: the design of 3rd and 4th order quasi non-oscillatory schemes. The fourth chapter is composed of two parts: We start by understanding the non-uniformity of the accuracy of the 2nd order schemes for advection-diffusion problem. To solve this issue we use a Finite Element hybridisation. This deep study of the 2nd order scheme is used as a basis to design a 3rd order scheme for advection-diffusion. Finally, in the fifth chapter we extend the high order quasi non-oscillatory schemes to unsteady problems. In the second part, we extend the schemes of the first part to systems of equations as follows: The sixth chapter deals with the extension to steady systems of hyperbolic equations. In particular, we discuss how to solve some issues such as boundary conditions and the discretisation of curved geometries. Then, we look at the performance of 2nd and 3rd order schemes on viscous flow. Finally, we test the space-time schemes on several test cases. In particular, we will test the monotonicity of the space-time non-oscillatory schemes and we apply residual distributive schemes to acoustic problems.

Cette thèse est dédiée au développement et à l'analyse de schémas numériques de type volumes finis pour des équations de convection-diffusion, qui apparaissent notamment dans des modèles issus de la physique ou de la biologie. Nous nous intéressons plus particulièrement à la préservation de comportements asymptotiques au niveau discret. Ce travail s'articule en trois parties, composées chacune de deux chapitres. Dans la première partie, nous considérons la discrétisation du système de dérive-diffusion linéaire pour les semi-conducteurs par le schéma de Scharfetter-Gummel implicite en temps. Nous nous intéressons à la préservation par ce schéma de deux types d'asymptotiques : l'asymptotique en temps long et la limite quasi-neutre. Nous démontrons des estimations d'énergie--dissipation d'énergie discrètes qui permettent de prouver d'une part la convergence en temps long de la solution approchée vers une approximation de l'équilibre thermique, d'autre part la stabilité à la limite quasi-neutre du schéma. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à des schémas volumes finis préservant l'asymptotique en temps long dans un cadre plus général. Plus précisément, nous considérons des équations de type convection-diffusion non linéaires qui apparaissent dans plusieurs contextes physiques : équations des milieux poreux, système de dérive-diffusion pour les semi-conducteurs... Nous proposons deux discrétisations en espace permettant de préserver le comportement en temps long des solutions approchées. Dans un premier temps, nous étendons la définition du flux de Scharfetter-Gummel pour une diffusion non linéaire. Ce schéma fournit des résultats numériques satisfaisants si la diffusion ne dégénère pas. Dans un second temps, nous proposons une discrétisation dans laquelle nous prenons en compte ensemble les termes de convection et de diffusion, en réécrivant le flux sous la forme d'un flux d'advection. Le flux numérique est défini de telle sorte que les états d'équilibre soient préservés, et nous utilisons une méthode de limiteurs de pente pour obtenir un schéma précis à l'ordre deux en espace, même dans le cas dégénéré. Enfin, la troisième et dernière partie est consacrée à l'étude d'un schéma numérique pour un modèle de chimiotactisme avec diffusion croisée pour lequel les solutions n'explosent pas en temps fini, quelles que soient les données initiales. L'étude de la convergence du schéma repose sur une estimation d'entropie discrète nécessitant l'utilisation de versions discrètes d'inégalités fonctionnelles telles que les inégalités de Poincaré-Sobolev et de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. La démonstration de ces inégalités fait l'objet d'un chapitre indépendant dans lequel nous proposons leur étude dans un contexte assez général, incluant notamment le cas de conditions aux limites mixtes et une généralisation au cadre des schémas DDFV.