Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-07-30T13:44:39Z No. of bitstreams: 1 RAFAEL BEZERRA CORREIA LIMA - DISSERTAÇÃO PPGEE 2012..pdf: 4664268 bytes, checksum: f5a0acf8cf73f941fd6fc59ff1dcfbb2 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-30T13:44:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 RAFAEL BEZERRA CORREIA LIMA - DISSERTAÇÃO PPGEE 2012..pdf: 4664268 bytes, checksum: f5a0acf8cf73f941fd6fc59ff1dcfbb2 (MD5) Previous issue date: 2012-08-10 / É proposta nessa dissertação a utilização de conceitos de subespaços na identificação de modelos multivariáveis de ordem reduzida com atrasos. A metodologia desenvolvida se baseia na estimativa da resposta ao degrau do sistema a partir de projeções dos seus sinais de entradas e saídas. O problema é dividido em duas etapas, primeiramente a estimação de modelos em malha aberta seguido do estudo de sistemas em malha fechada. Finalmente os conceitos estudados são postos em prática através de simulações numéricas e experimentações práticas em plantas reais. / It is proposed in this dissertation the use of concepts of subspaces in the identification of multivariable models of reduced order with time delays. The developed methodology is based on the estimation of the step response of the system from projections of its input signals and outputs. The problem is divided into two stages, first: estimating models in open loop, then followed by the study of closed loop systems. Finally, the concepts studied are implemented through numerical simulations and practical experiments in real plants.

Comme la puissance de calcul des systèmes de calcul haute performance continue de croître, en utilisant un grand nombre de cœurs CPU ou d’unités de calcul spécialisées, les applications hautes performances destinées à la résolution des problèmes de très grande échelle sont de plus en plus sujettes à des pannes. En conséquence, la communauté de calcul haute performance a proposé de nombreuses contributions pour concevoir des applications tolérantes aux pannes. Cette étude porte sur une nouvelle classe d’algorithmes numériques de tolérance aux pannes au niveau de l’application qui ne nécessite pas de ressources supplémentaires, à savoir, des unités de calcul ou du temps de calcul additionnel, en l’absence de pannes. En supposant qu’un mécanisme distinct assure la détection des pannes, nous proposons des algorithmes numériques pour extraire des informations pertinentes à partir des données disponibles après une pannes. Après l’extraction de données, les données critiques manquantes sont régénérées grâce à des stratégies d’interpolation pour constituer des informations pertinentes pour redémarrer numériquement l’algorithme. Nous avons conçu ces méthodes appelées techniques d’Interpolation-restart pour des problèmes d’algèbre linéaire numérique tels que la résolution de systèmes linéaires ou des problèmes aux valeurs propres qui sont indispensables dans de nombreux noyaux scientifiques et applications d’ingénierie. La résolution de ces problèmes est souvent la partie dominante; en termes de temps de calcul, des applications scientifiques. Dans le cadre solveurs linéaires du sous-espace de Krylov, les entrées perdues de l’itération sont interpolées en utilisant les entrées disponibles sur les nœuds encore disponibles pour définir une nouvelle estimation de la solution initiale avant de redémarrer la méthode de Krylov. En particulier, nous considérons deux politiques d’interpolation qui préservent les propriétés numériques clés de solveurs linéaires bien connus, à savoir la décroissance monotone de la norme-A de l’erreur du gradient conjugué ou la décroissance monotone de la norme résiduelle de GMRES. Nous avons évalué l’impact du taux de pannes et l’impact de la quantité de données perdues sur la robustesse des stratégies de résilience conçues. Les expériences ont montré que nos stratégies numériques sont robustes même en présence de grandes fréquences de pannes, et de perte de grand volume de données. Dans le but de concevoir des solveurs résilients de résolution de problèmes aux valeurs propres, nous avons modifié les stratégies d’interpolation conçues pour les systèmes linéaires. Nous avons revisité les méthodes itératives de l’état de l’art pour la résolution des problèmes de valeurs propres creux à la lumière des stratégies d’Interpolation-restart. Pour chaque méthode considérée, nous avons adapté les stratégies d’Interpolation-restart pour régénérer autant d’informations spectrale que possible. Afin d’évaluer la performance de nos stratégies numériques, nous avons considéré un solveur parallèle hybride (direct/itérative) pleinement fonctionnel nommé MaPHyS pour la résolution des systèmes linéaires creux, et nous proposons des solutions numériques pour concevoir une version tolérante aux pannes du solveur. Le solveur étant hybride, nous nous concentrons dans cette étude sur l’étape de résolution itérative, qui est souvent l’étape dominante dans la pratique. Les solutions numériques proposées comportent deux volets. A chaque fois que cela est possible, nous exploitons la redondance de données entre les processus du solveur pour effectuer une régénération exacte des données en faisant des copies astucieuses dans les processus. D’autre part, les données perdues qui ne sont plus disponibles sur aucun processus sont régénérées grâce à un mécanisme d’interpolation. / As the computational power of high performance computing (HPC) systems continues to increase by using huge number of cores or specialized processing units, HPC applications are increasingly prone to faults. This study covers a new class of numerical fault tolerance algorithms at application level that does not require extra resources, i.e., computational unit or computing time, when no fault occurs. Assuming that a separate mechanism ensures fault detection, we propose numerical algorithms to extract relevant information from available data after a fault. After data extraction, well chosen part of missing data is regenerated through interpolation strategies to constitute meaningful inputs to numerically restart the algorithm. We have designed these methods called Interpolation-restart techniques for numerical linear algebra problems such as the solution of linear systems or eigen-problems that are the inner most numerical kernels in many scientific and engineering applications and also often ones of the most time consuming parts. In the framework of Krylov subspace linear solvers the lost entries of the iterate are interpolated using the available entries on the still alive nodes to define a new initial guess before restarting the Krylov method. In particular, we consider two interpolation policies that preserve key numerical properties of well-known linear solvers, namely the monotony decrease of the A-norm of the error of the conjugate gradient or the residual norm decrease of GMRES. We assess the impact of the fault rate and the amount of lost data on the robustness of the resulting linear solvers.For eigensolvers, we revisited state-of-the-art methods for solving large sparse eigenvalue problems namely the Arnoldi methods, subspace iteration methods and the Jacobi-Davidson method, in the light of Interpolation-restart strategies. For each considered eigensolver, we adapted the Interpolation-restart strategies to regenerate as much spectral information as possible. Through intensive experiments, we illustrate the qualitative numerical behavior of the resulting schemes when the number of faults and the amount of lost data are varied; and we demonstrate that they exhibit a numerical robustness close to that of fault-free calculations. In order to assess the efficiency of our numerical strategies, we have consideredan actual fully-featured parallel sparse hybrid (direct/iterative) linear solver, MaPHyS, and we proposed numerical remedies to design a resilient version of the solver. The solver being hybrid, we focus in this study on the iterative solution step, which is often the dominant step in practice. The numerical remedies we propose are twofold. Whenever possible, we exploit the natural data redundancy between processes from the solver toperform an exact recovery through clever copies over processes. Otherwise, data that has been lost and is not available anymore on any process is recovered through Interpolationrestart strategies. These numerical remedies have been implemented in the MaPHyS parallel solver so that we can assess their efficiency on a large number of processing units (up to 12; 288 CPU cores) for solving large-scale real-life problems.

Nous nous intéressons dans cette thèse, à l’étude des méthodes itératives pour la résolutiond’équations matricielles de grande taille : Lyapunov, Sylvester, Riccati et Riccatinon symétrique.L’objectif est de chercher des méthodes itératives plus efficaces et plus rapides pour résoudreles équations matricielles de grande taille. Nous proposons des méthodes itérativesde type projection sur des sous espaces de Krylov par blocs Km(A, V ) = Image{V,AV, . . . ,Am−1V }, ou des sous espaces de Krylov étendus par blocs Kem(A, V ) = Image{V,A−1V,AV,A−2V,A2V, · · · ,Am−1V,A−m+1V } . Ces méthodes sont généralement plus efficaces et rapides pour les problèmes de grande dimension. Nous avons traité d'abord la résolution numérique des équations matricielles linéaires : Lyapunov, Sylvester, Stein. Nous avons proposé une nouvelle méthode itérative basée sur la minimisation de résidu MR et la projection sur des sous espaces de Krylov étendus par blocs Kem(A, V ). L'algorithme d'Arnoldi étendu par blocs permet de donner un problème de minimisation projeté de petite taille. Le problème de minimisation de taille réduit est résolu par différentes méthodes directes ou itératives. Nous avons présenté ainsi la méthode de minimisation de résidu basée sur l'approche global à la place de l'approche bloc. Nous projetons sur des sous espaces de Krylov étendus Global Kem(A, V ) = sev{V,A−1V,AV,A−2V,A2V, · · · ,Am−1V,A−m+1V }. Nous nous sommes intéressés en deuxième lieu à des équations matricielles non linéaires, et tout particulièrement l'équation matricielle de Riccati dans le cas continu et dans le cas non symétrique appliquée dans les problèmes de transport. Nous avons utilisé la méthode de Newtown et l'algorithme MINRES pour résoudre le problème de minimisation projeté. Enfin, nous avons proposé deux nouvelles méthodes itératives pour résoudre les équations de Riccati non symétriques de grande taille : la première basée sur l'algorithme d'Arnoldi étendu par bloc et la condition d'orthogonalité de Galerkin, la deuxième est de type Newton-Krylov, basée sur la méthode de Newton et la résolution d'une équation de Sylvester de grande taille par une méthode de type Krylov par blocs. Pour toutes ces méthodes, les approximations sont données sous la forme factorisée, ce qui nous permet d'économiser la place mémoire en programmation. Nous avons donné des exemples numériques qui montrent bien l'efficacité des méthodes proposées dans le cas de grandes tailles. / In this thesis, we focus in the studying of some iterative methods for solving large matrix equations such as Lyapunov, Sylvester, Riccati and nonsymmetric algebraic Riccati equation. We look for the most efficient and faster iterative methods for solving large matrix equations. We propose iterative methods such as projection on block Krylov subspaces Km(A, V ) = Range{V,AV, . . . ,Am−1V }, or block extended Krylov subspaces Kem(A, V ) = Range{V,A−1V,AV,A−2V,A2V, · · · ,Am−1V,A−m+1V }. These methods are generally most efficient and faster for large problems. We first treat the numerical solution of the following linear matrix equations : Lyapunov, Sylvester and Stein matrix equations. We have proposed a new iterative method based on Minimal Residual MR and projection on block extended Krylov subspaces Kem(A, V ). The extended block Arnoldi algorithm gives a projected minimization problem of small size. The reduced size of the minimization problem is solved by direct or iterative methods. We also introduced the Minimal Residual method based on the global approach instead of the block approach. We projected on the global extended Krylov subspace Kem(A, V ) = Span{V,A−1V,AV,A−2V,A2V, · · · ,Am−1V,A−m+1V }. Secondly, we focus on nonlinear matrix equations, especially the matrix Riccati equation in the continuous case and the nonsymmetric case applied in transportation problems. We used the Newton method and MINRES algorithm to solve the projected minimization problem. Finally, we proposed two new iterative methods for solving large nonsymmetric Riccati equation : the first based on the algorithm of extended block Arnoldi and Galerkin condition, the second type is Newton-Krylov, based on Newton’s method and the resolution of the large matrix Sylvester equation by using block Krylov method. For all these methods, approximations are given in low rank form, wich allow us to save memory space. We have given numerical examples that show the effectiveness of the methods proposed in the case of large sizes.

Nous proposons une approche spectrale permettant d'aborder des problèmes d'interpolation à noyaux dont la résolution numérique n'est pas directement envisageable. Un tel cas de figure se produit en particulier lorsque le nombre de données est infini. Nous considérons dans un premier temps le cadre de l'interpolation optimale dans les sous-espaces hilbertiens. Pour un problème donné, un opérateur intégral est défini à partir du noyau sous-jacent et d'une paramétrisation de l'ensemble des données basée sur un espace mesuré. La décomposition spectrale de l'opérateur est utilisée afin d'obtenir une formule de représentation pour l'interpolateur optimal et son approximation est alors rendu possible par troncature du spectre. Le choix de la mesure induit une fonction d'importance sur l'ensemble des données qui se traduit, en cas d'approximation, par une plus ou moins grande précision dans le rendu des données. Nous montrons à titre d'exemple comment cette approche peut être utilisée afin de rendre compte de contraintes de type "conditions aux limites" dans les modèles d'interpolation à noyaux. Le problème du conditionnement des processus gaussiens est également étudié dans ce contexte. Nous abordons enfin dans la dernière partie de notre manuscrit la notion de noyaux conditionnellement positifs. Nous proposons la définition générale de noyaux symétriques conditionnellement positifs relatifs à une espace de référence donné et développons la théorie des sous-espaces semi-hilbertiens leur étant associés. Nous étudions finalement la théorie de l'interpolation optimale dans cette classe d'espaces. / We propose a spectral approach for the resolution of kernel-based interpolation problems of which numerical solution can not be directly computed. Such a situation occurs in particular when the number of data is infinite. We first consider optimal interpolation in Hilbert subspaces. For a given problem, an integral operator is defined from the underlying kernel and a parameterization of the data set based on a measurable space. The spectral decomposition of the operator is used in order to obtain a representation formula for the optimal interpolator and spectral truncation allows its approximation. The choice of the measure on the parameters space introduces a hierarchy onto the data set which allows a tunable precision of the approximation. As an example, we show how this methodology can be used in order to enforce boundary conditions in kernel-based interpolation models. The Gaussian processes conditioning problem is also studied in this context. The last part of this thesis is devoted to the notion of conditionally positive kernels. We propose a general definition of symmetric conditionally positive kernels relative to a given space and exposed the associated theory of semi-Hilbert subspaces. We finally study the optimal interpolation problem in such spaces.

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This dissertation concerns the model reduction of linear periodic descriptor systems both in continuous and discrete-time case. In this dissertation, mainly the projection based approaches are considered for model order reduction of linear periodic time varying descriptor systems. Krylov based projection method is used for large continuous-time periodic descriptor systems and balancing based projection technique is applied to large sparse discrete-time periodic descriptor systems to generate the reduce systems. For very large dimensional state space systems, both the techniques produce large dimensional solutions. Hence, a recycling technique is used in Krylov based projection methods which helps to compute low rank solutions of the state space systems and also accelerate the computational convergence. The outline of the proposed model order reduction procedure is given with more details. The accuracy and suitability of the proposed method is demonstrated through different examples of different orders. Model reduction techniques based on balance truncation require to solve matrix equations. For periodic time-varying descriptor systems, these matrix equations are projected generalized periodic Lyapunov equations and the solutions are also time-varying. The cyclic lifted representation of the periodic time-varying descriptor systems is considered in this dissertation and the resulting lifted projected Lyapunov equations are solved to achieve the periodic reachability and observability Gramians of the original periodic systems. The main advantage of this solution technique is that the cyclic structures of projected Lyapunov equations can handle the time-varying dimensions as well as the singularity of the period matrix pairs very easily. One can also exploit the theory of time-invariant systems for the control of periodic ones, provided that the results achieved can be easily re-interpreted in the periodic framework. Since the dimension of cyclic lifted system becomes very high for large dimensional periodic systems, one needs to solve the very large scale periodic Lyapunov equations which also generate very large dimensional solutions. Hence iterative techniques, which are the generalization and modification of alternating directions implicit (ADI) method and generalized Smith method, are implemented to obtain low rank Cholesky factors of the solutions of the periodic Lyapunov equations. Also the application of the solvers in balancing-based model reduction of discrete-time periodic descriptor systems is discussed. Numerical results are given to illustrate the effciency and accuracy of the proposed methods.