Cette thèse interroge un phénomène historique particulier, entre autres observé dans l'actualité : l'imitation massive d'un comportement de défiance politique prenant une forme démonstrative d’annihilation du vivant face à un symbole de pouvoir, que cette dernière soit auto-sacrificielle comme dans le cas de l'immolation de soi par le feu ; ou qu’il s’agisse, plus récemment encore, d’une tuerie de masse souvent indiscriminée, assimilée par nombres d’auteurs à une forme moderne de la course de l’Amok. L'étude porte l’examen sur certaines hypothèses cliniques usuelles à ce sujet et questionne les tenants théoriques classiques : peut-on parler de processus identificatoires ? L’étiologie psychanalytique renvoie-t-elle, dans le cas d’acting-out politiques, nécessairement à un fantasme de parricide? Un premier pan de cette étude s’intéresse aux signifiants qui ont émergés dans le champ social lié auxdits actes, notamment « martyr » et « dignité » pour ce qui est de l’immolation par le feu, et « radicalisation » pour ce qui est de l’Amok. Quel imaginaire y est convoqué ? Qu’est-ce qui est dit dans ces actes qui ne parvient à être dit autrement ? Qu’est-ce que cela vient révéler de la modernité en tant que discours de pouvoir ? L’apport clinique et théorique de ce travail propose l’argument qu’une certaine phénoménologie politique moderne ne relève pas de l’acte, mais du geste ; qu’elle ne s’oriente pas d’un idéal, mais d’un hors-sens ; et qu’elle ne produit pas une réadaptation sociale de la collectivité, mais une mise à nu d’un réel indicible au centre de la culture. Une clinique dite du vide et de l’ab-sens est ainsi mobilisée pour étayer ces propos. Les conclusions sur lesquelles débouche cette clinique proposent, aux moyens d’une approche topologique, une conceptualisation psychanalytique originale des processus identificatoires, de la fonction paternelle et de la forclusion radicale du sens, comme socle « troumatique » de la structure. Les conclusions de cette thèse engagent une pensée de la répétition comme empreinte temporelle et logique du sujet, du symptôme et du lien social, dans laquelle trouve à s’exprimer un antagonisme, aussi impossible qu’inévitable, entre mêmeté et altérité. / This thesis questions a particular historic phenomenon, mainly observed in recent events: the mass imitation of a behaviour of political protest embodied in a life-annihilating act in front of a symbol of power, whether it is self-sacrificial as in the case of a self-immolation by fire, or, as even more recently seen, indiscriminate mass killings, that many authors assimilate as a modern form of running amok. The study verifies some usual clinical hypotheses on this matter: and questions the classic theoretical basics: are we dealing with process of identification? Are we dealing with a fantasy of parricide based identification? Does psychoanalytic aetiology always lead to the phantasy of parricide when it comes to political acting-outs? A first part of this study shows interest for the signifiers, which have emerged amongst the social field related to these acts, namely “martyr” and “dignity” when it comes to self-immolation by fire and “radicalization” when it comes to amok. What collective imaginary is summoned by the latter? What is being said throughout these acts that cannot be said any other way? What does it reveal about modernity understood as a discourse of power? The clinical and theoretical material made available for this work proposes following argument: a certain modern political phenomenology does not fall within the concept of act but of gesture; it is not oriented by an ideal but by an outside of meaning; as well as it does not produce social rehabilitation of the group but the exposing of an unutterable real in the heart of the culture. In this manner, a singular so-called clinic of void or of ab-sense is mobilized to back up these assertions. The conclusions, which it leads to, propose by the means of a topologic approach an original psychoanalytical conceptualization of the process of identification, of the paternal function as well as the radical foreclosure of meaning,, as the “troumatic” foundation of the structure. The conclusions of this thesis engage a reflection whereby repetition appears as a temporal and logic print of the subject, of the symptom and of the social bond, in which it finds to express an impossible but inevitable antagonism between sameness and alterity.

The main goal of this thesis is to elucidate the sense in which recent experimental progress in condensed matter physics, namely the verification of two-dimensional Dirac-like materials and their control in ballistic- as well as hydrodynamic transport experiments enables the observation of a well-known 'high-energy' phenomenon: The parity anomaly of planar quantum electrodynamics (QED\(_{2+1}\)). In a nutshell, the low-energy physics of two-dimensional Quantum Anomalous Hall (QAH) insulators like (Hg,Mn)Te quantum wells or magnetically doped (Bi,Sb)Te thin films can be described by the combined response of two 2+1 space-time dimensional Chern insulators with a linear dispersion in momentum. Due to their Dirac-like spectra, each of those Chern insulators is directly related to the parity anomaly of planar quantum electrodynamics. However, in contrast to a pure QED\(_{2+1}\) system, the Lagrangian of each Chern insulator is described by two different mass terms: A conventional momentum-independent Dirac mass \(m\), as well as a momentum-dependent so-called Newtonian mass term \(B \vert \mathbf{k} \vert^2\). According to the parity anomaly it is not possible to well-define a parity- and U(1) gauge invariant quantum system in 2+1 space-time dimensions. More precisely, starting with a parity symmetric theory at the classical level, insisting on gauge-invariance at the quantum level necessarily induces parity-odd terms in the calculation of the quantum effective action. The role of the Dirac mass term in the calculation of the effective QED\(_{2+1}\) action has been initially studied in Phys. Rev. Lett. 51, 2077 (1983). Even in the presence of a Dirac mass, the associated fermion determinant diverges and lacks gauge invariance. This requires a proper regularization/renormalizaiton scheme and, as such, transfers the peculiarities of the parity anomaly to the massive case. In the scope of this thesis, we connect the momentum-dependent Newtonian mass term of a Chern insulator to the parity anomaly. In particular, we reveal, that in the calculation of the effective action, before renormalization, the Newtonian mass term acts similarly to a parity-breaking element of a high-energy regularization scheme. This calculation allows us to derive the finite frequency correction to the DC Hall conductivity of a QAH insulator. We derive that the leading order AC correction contains a term proportional to the Chern number. This term originates from the Newtonian mass and can be measured via electrical or via magneto-optical experiments. The Newtonian mass, in particular, significantly changes the resonance structure of the AC Hall conductivity in comparison to pure Dirac systems like graphene. In addition, we study the effective action of the aforementioned Chern insulators in external out-of-plane magnetic fields. We show that as a consequence of the parity anomaly the QAH phase in (Hg,Mn)Te quantum wells or in magnetically doped (Bi,Sb)Te thin films survives in out-of-plane magnetic fields, violates the Onsager relation, and can therefore be distinguished from a conventional quantum Hall (QH) response. As a smoking-gun of the QAH phase in increasing magnetic fields, we predict a transition from a quantized Hall plateau with \(\sigma_\mathrm{xy}= -\mathrm{e}^2/\mathrm{h}\) to a not perfectly quantized plateau which is caused by scattering processes between counter-propagating QH and QAH edge states. This transition is expected to be of significant relevance in paramagnetic QAH insulators like (Hg,Mn)Te/CdTe quantum wells, in which the exchange interaction competes against the out-of-plane magnetic field. All of the aforementioned results do not incorporate finite temperature effects. In order to shed light on such phenomena, we further analyze the finite temperature Hall response of 2+1 dimensional Chern insulators under the combined influence of a chemical potential and an out-of-plane magnetic field. As we have mentioned above, this non-dissipative transport coefficient is directly related to the parity anomaly of planar quantum electrodynamics. Within the scope of our analysis we show that the parity anomaly itself is not renormalized by finite temperature effects. However, the parity anomaly induces two terms of different physical origin in the effective Chern-Simons action of a QAH insulator, which are directly proportional to its Hall conductivity. The first term is temperature and chemical potential independent and solely encodes the intrinsic topological response. The second term specifies the non-topological thermal response of conduction- and valence band modes, respectively. We show that the relativistic mass \(m\) of a Chern insulator counteracts finite temperature effects, whereas its non-relativistic Newtonian mass \(B \vert \mathbf{k} \vert^2 \) enhances these corrections. In addition, we are extending our associated analysis to finite out-of-plane magnetic fields, and relate the thermal response of a Chern insulator therein to the spectral asymmetry, which is a measure of the parity anomaly in out-of-plane magnetic fields. In the second part of this thesis, we study the hydrodynamic properties of two-dimensional electron systems with a broken time-reversal and parity symmetry. Within this analysis we are mainly focusing on the non-dissipative transport features originating from a peculiar hydrodynamic transport coefficient: The Hall viscosity \(\eta_\mathrm{H}\). In out-of-plane magnetic fields, the Hall viscous force directly competes with the Lorentz force, as both mechanisms contribute to the overall Hall voltage. In our theoretical considerations, we present a way of uniquely distinguishing these two contributions in a two-dimensional channel geometry by calculating their functional dependencies on all external parameters. We are in particular deriving that the ratio of the Hall viscous contribution to the Lorentz force contribution is negative and that its absolute value decreases with an increasing width, slip-length and carrier density. Instead, it increases with the electron-electron mean free path in the channel geometry considered. We show that in typical materials such as GaAs the Hall viscous contribution can dominate the Lorentz signal up to a few tens of millitesla until the total Hall voltage vanishes and eventually is exceeded by the Lorentz contribution. Last but not least, we derive that the total Hall electric field has a parabolic form originating from Lorentz effects. Most remarkably, the offset of this parabola is directly characterized by the Hall viscosity. Therefore, in summary, our results pave the way to measure and to identify the Hall viscosity via both global and local measurements of the entire Hall voltage. / Das zentrale Leitmotiv dieser Dissertation besteht darin, zwei unterschiedliche theoretische Konzepte aus verschiedenen Teilbereichen der Physik zu verbinden, um dadurch neue Perspektiven zu erschließen. Im Wesentlichen zielt die Arbeit darauf ab, die quantenfeldtheoretischen Konstrukte der Paritäts- als auch der chiralen Anomalie aus der Hochenergiephysik auf die Festkörperphysik von sogenannten zwei-dimensionalen Quanten Anomalen Hall (QAH) Isolatoren zu übertragen. Die Dirac-artige Bandstruktur dieser neuartigen Materialien ermöglicht es, Effekte freier quantenelektrodynamischer Teilchen in 2+1 Raumzeit Dimensionen im Festkörperlabor direkt messbar zu machen. Um die zentralen Erkenntnisse dieser Arbeit nachvollziehen zu können ist das Verständnis zweier Konstrukte unumgänglich: (1) Unter einer Quantenanomalie versteht man den Symmetriebruch einer klassischen Theorie während des Quantisierungsprozesses. Um eine konsistente Quantentheorie formulieren zu können, ist es in einem quanten-anomalen System nicht möglich, alle klassischen Symmetrien auf der Quantenebene aufrechtzuerhalten. (2) Unter zwei-dimensionalen QAH Isolatoren versteht man planare Halbleiter mit einer endlichen, transversalen (Hall-) Leitfähigkeit in der Abwesenheit eines externen Magnetfeldes. Derartige Halbleiter werden zum Beispiel in (Hg,Mn)Te/CdTe Schichtsystemen oder in dünnen magnetisierten (Bi,Sb)Te Filmen vorhergesagt und zum Teil bereits experimentell nachgewiesen. Die nieder-energie Theorie um die Bandlücke der oben genannten QAH Systeme wird gemeinsam durch die Physik zweier sogenannter Chern Isolatoren beschrieben. Jeder Chern Isolator besitzt eine lineare Dispersion im Impulsraum und gleicht somit der Theorie quantenelektrodynamischer Teilchen in 2+1 Raumzeit Dimensionen QED\(_{2+1}\). Darauf basierend ist jeder Chern Isolator für sich direkt mit der Paritätsanomalie verbunden. Um die effektive Bandkrümmung im Festkörper zu charakterisieren unterscheidet sich das Modell eines Chern Isolators von der entsprechenden QED\(_{2+1}\) Theorie um einen quadratischen Masse-Term im Impuls, die sogenannte Newtonsche Masse \( B \vert \mathbf{k}\vert^2 \). Zusammen mit dem impulsunabhängigen Dirac Masseterm \(m\) definiert jene paritätsbrechende Masse die Energielücke eines Chern Isolators. Wie bereits in (1) erwähnt tritt die Paritätsanomalie während der Quantisierung klassisch paritätssymmetrischer Systeme auf. Quantisiert man beispielsweise eine masselose QED\(_{2+1}\) Theorie, so induziert man während der Berechnung der Fermion Determinante paritätsbrechende Terme in der zugehörigen effektiven Wirkung. Obgleich eine nichtverschwindende Dirac-Masse die Paritätssymmetrie auf klassischer Ebene bricht, ist die zugehörige Fermion Determinante UV divergent als auch Eichsymmetrie brechend und Bedarf daher eines geeigneten Regularisierung/Renormierungsschemas. Diese Eigenschaft erlaubt es Konsequenzen der Paritätsanomalie ebenfalls in massiven Systemen zu identifizieren. Die Auswirkungen einer Dirac-Masse für die Berechnung der effektiven Wirkung eines QED\(_{2+1}\) Systems wurden inertial in der wegweißenden Publikation Phys. Rev. Lett. 51, 2077 (1983) analysiert. Im Rahmen dieser Dissertation eruieren wir die Implikationen der Newtonschen Masse eines Chern Isolators auf die entsprechende Berechnung der Fermion Determinante und beleuchten damit die effektive Bandkrümmung eines Festkörpers im Kontext einer diskreten Raumzeit Anomalie. Wir zeigen insbesondere, dass die Newtonsche Masse vor dem unumgänglichen Renormierungprozess den paritätsbrechenden Elementen verschiedener hochenergetischer Regularisierungsschemata ähnelt, wie zum Beispiel Wilson Fermionen. Mittels dieser Berechnung leiten wir ebenfalls die Wechselstromleitfähigkeit der genannten QAH Isolatoren her. Wir zeigen, dass die führende Frequenzkorrektur in diesen Systemen einen Term proportional zur Chern Zahl enthält. Jener Beitrag basiert auf der zugrundeliegenden Galilei Invarianz und ist insbesondere durch magneto-optische Experimente nachzuweisen. Weiter eruieren wir, dass der genannte Term fundamental die Resonanzstruktur der Hall Leitfähigkeit beeinflusst, sodass diese maßgeblich von der entsprechenden Größe eines puren Dirac Systems wie Graphen abweicht. Zudem analysieren wir in dieser Arbeit die Physik von 2+1 dimensionalen Chern Isolatoren in externen Magnetfeldern die orthogonal auf der zugrundeliegenden Raum-Mannigfaltigkeit stehen -sogenannte orbitale Magnetfelder. Wir zeigen dass als direkte Konsequenz der Paritätsanomalie die QAH Phase in orbitalen Magnetfelder überlebt, darin die Onsager Relationen bricht und somit von konventionellen QH Systemen unterschieden werden kann, obgleich beide topologischen Phasen durch die selbe Chern Klasse beschrieben sind. Als experimentelle Signatur der QAH Phase in adiabatisch zunehmenden orbitalen Magnetfeldern sagen wir den Übergang eines quantisierten Hall Plateaus mit \(\sigma_\mathrm{xy}= -\mathrm{e}^2/\mathrm{h}\) zu einem nicht-quantisierten, rauschenden Hall Plateau vorher. Der Mittelwert des letzteren Plateaus hängt stark von Streuprozessen zwischen entgegengesetzt propagierenden QH und QAH Randzuständen ab. Insbesondere in (Hg,Mn)Te/CdTe Schichtsystemen ist der vorhergesagte Übergang von großem Interesse da in jenen Systemen die Austauschwechelwirkung mit dem polarisierenden Magnetfeld konkurriert. All die oben genannten Ergebnisse vernachlässigen thermische Effekte. Um den Einfluss einer endlichen Umgebungstemperatur auf die Physik von QAH Isolatoren zu untersuchen, analysieren wir im Rahmen dieser Dissertation ebenfalls die Hall Leitfähigkeit 2+1 dimensionaler Chern Isolatoren bei endlicher Temperatur und unter dem Einfluss beliebiger chemischer Potentiale sowie orbitaler Magnetfelder. Wie oben bereits erwähnt hängt dieser nicht dissipative Transportkoeffizient direkt mit der Paritätsanomalie eines masselosen QED\(_{2+1}\) Systems zusammen. Wir zeigen mittels unserer Analyse, dass die Paritätsanomalie an sich nicht durch endliche Temperatureffekte beeinflusst wird. Allerdings induziert jene Anomalie in der effektiven Wirkung eines Chern Isolators zwei Beitrage unterschiedlichen physikalischen Ursprungs. Einer der Terme ist unabhängig vom chemischen Potential und der Temperatur da er ausschließlich die intrinsische topologische Phase des Systems codiert. Der andere Term definiert die thermisch angeregten Zustände im Leitungs- bzw. im Valenzband und ist somit nicht-topologischen Ursprungs. Insbesondere zeigen wir, dass in der topologisch nicht trivialen Phase eines Chern Isolators die Dirac Masse den endlichen Temperatureffekten entgegenwirkt, während die nicht-relativistische Newtonsche Masse jene Korrekturen verstärkt. Neben diesen Effekten bei verschwindendem orbitalem Magnetfeld verallgemeinern wir unsere thermischen Betrachtungen hinsichtlich der Effekte quantisierender orbitaler Magnetfelder. Insbesondere verknüpfen wir die Leitfähigkeit von QAH Isolatoren bei endlicher Temperatur zur sogenannten Spektralen Asymmetrie. Diese Größe kann als Signatur der Paritätsanomalie in orbitalen Magnetfeldern interpretiert werden. Im zweiten großen Kapitel dieser Dissertation analysieren wir den hydrodynamischen Ladungs-transport in zwei-dimensionalen Elektronensystemen, in denen sowohl die Zeitumkehr- als auch die Paritätssymmetrie gebrochen sind. Unseren Forschungsschwerpunkt legen wir hierbei vor Allem auf nicht-dissipative Transporteigenschaften, die sich mittels der Hall Viskosität aus den Navier-Stokes Gleichungen ergeben. In orbitalen Magnetfeldern konkurrieren aufgrund dieses paritätsbrechenden Transportkoeffizient zwei transversale Kräfte miteinander: Die sogenannte Hall viskose Kraft und die wohlbekannte Lorentzkraft. Zusammen definieren beide Kräfte die gesamte Hall Spannung des Systems. In den Ausführungen dieser Arbeit zeigen wir wie die genannten unterschiedlichen Beiträge in zweidimensionalen Transportkanälen anhand ihrer verschiedenen funktionellen Abhängigkeiten von den Systemparametern unterschieden werden können. Wir eruieren, dass das Verhältnis zwischen dem Hall viskosen Beitrag und dem Lorentz basierten Beitrag negativ ist und dessen Absolutbetrag mit zunehmender Kanalbreite, Rutsch-Länge [engl. slip length] und Ladungsträgerdichte abnimmt. Im Gegensatz dazu wächst jener Betrag mit der mittleren Elektron-Elektron Streulänge. Im Rahmen dieser Dissertation zeigen wir, dass in typischen GaAs Fermi Flüssigkeiten der Hall viskose Beitrag das Lorentz Signal bis hin zu einer orbitalen Magnetfeldstärke im zehnstelligen Milli-Tesla Bereich dominieren kann. Im Anschluss nimmt das Verhältnis dieser Größen ab, verschwindet bei einem kritischen Magnetfeld und wird schlussendlich durch das Lorentz Signal dominiert. Zuletzt zeigen wir, dass das transversale elektrische Feld in den genannten Experimenten eine parabolische Form besitzt, welche auf dem Lorentz Beitrag basiert. Im Gegensatz dazu ist der konstante Offset dieser Parabel hauptsächlich durch die Hall Viskosität definiert. Zusammen weisen die hier genannten Eigenschaften einen möglichen Weg zur experimentellen Bestimmung der Hall Viskosität mittels lokaler- oder globaler Spannungsmessungen auf.

Cette thèse propose une nouvelle approche pour estimer des propriétés de la topologie d’Internet. Contrairement aux approches historiques, qui se bases sur des données déclaratives très peu fiables, ou sur la lecture de cartes mesurées avec des outils de diagnostic, notre approche consiste à mettre au point des primitives de mesures très fiables, dont le fonctionnement, les hypothèses et les résultats sont bien définis formellement. Notre premier cas d’étude est celui de la distribution de degré de la topologie logique, ou L3. Nous utilisons l’outil traceroute dont nous étudions le fonctionnement, pour en déduire une primitive de mesure. Cette primitive de mesure, qui repose sur l’utilisation d’un ensemble de moniteurs distribué dans le réseau, permet d’obtenir une estimation du nombre de voisins dans la topologie logique, d’un routeur du cœur. Nous utilisons cette primitive vers un échantillon aléatoire de cibles, pour obtenir une estimation de la distribution de degré recherchée et établir les limites de cette approche. Notre deuxième cas d’étude est celui de la distribution de degré de la topologie physique, ou L2-L3. Nous utilisons l’outil UDP Ping, dont nous étudions le fonctionnement, pour en déduire une primitive de mesure. Elle est semblable à l’outil utilisé pour la topologie logique, mais repose sur des hypothèses bien plus clairement établies et vérifiées, et validée par des simulations très détaillées. Nous intégrons également au protocole de mesure, des garanties statistiques sur l’uniformité de l’échantillon de cibles, des routeurs du cœur, que nous mesurons. Nous obtenons une évaluation de la distribution de degré recherchée, d’une très grande fiabilité. Nous complétons ce cas d’étude par un travail complémentaire sur les tables de transmission des routeurs du cœur. Enfin, nous dressons un tableau assez large des perspectives qui s’ouvrent en se basant sur cette approche, par exemple en l’appliquant à d’autres types de réseaux (réseaux sociaux, etc.). / This thesis proposes a novel approach to reliably estimate properties of the Internet topology. Unlike historical approaches, based on declarative, hardly reliable data, or on readings from maps measured with diagnostic tools, our approach is to develop very reliable measure primitives, of which the operation, the hypotheses, and the results are well defined. Our first case study is the degree distribution of the logical topology, or L3. We use the traceroute tool, of which we study the operation, to derive a measurement primitive. This measurement primitive, which relies on using a distribution set of monitors over the network, allows us to get an estimation of the number of neighbors in L3 of a target core router. We use this primitive against a random sample of targets and obtain the sought distribution, and establish limits to this method. Our second case study is the degree distribution of the physical topology, or L2-L3. We use the UDP Ping tool, of which we study the operation, to derive a measurement primitive. It is alike the tool we used for the logical topology, but relies on much more clearly established and verified hypotheses, and is validated by very detailed simulations. We also include statistical guarantees of the sampling uniformity of the target core routers to the measurement protocol. We obtain an evaluation of the sought degree distribution, of an unprecedented reliability. We complete this case study by a complimentary study over the forwarding tables of the core routers. Finally, we picture the many perspectives opened by this approach, eg. By applying it to other types of networks (social networks, etc.).

Dans cette thèse, nous étudions d'un point de vue théorique différents aspects de la matière topologique. Ces systèmes présentent des propriétés résistantes aux éventuelles perturbations grâce à une topologie non-triviale de leur structure de bandes. En particulier, des excitations exotiques, par exemple des fermions de Majorana, peuvent apparaitre à leurs bords.L'entropie d'intrication, ainsi que le spectre d'intrication ont été fondamentaux dans l'étude théorique de ces systèmes, et plus généralement des phases libres. Il est cependant difficile de les mesurer expérimentalement. L'étude des fluctuations de charge bipartites a été proposée afin de remédier à ce problème, et celles-ci permettent une mesure faible de l'intrication, en particulier pour des modèles unidimensionnels libres. Nous généralisons les précédents travaux sur les Liquides de Luttinger à des familles génériques de supraconducteurs et isolants topologiques en une et deux dimensions, systèmes dans lesquels la charge observée n'est plus conservée. Nous montrons que les transitions de phases topologiques sont caractérisées par certains coefficients universels dans les fluctuations et les fonctions de corrélations. Les systèmes bidimensionnels que nous étudions présentent des cônes de Dirac, et ces coefficients dépendent de leur enroulement. Cela nous permet de caractériser la topologie de ces points critiques. Dans tous les cas, les fluctuations suivent une loi de volume, qui a un comportement non-analytique aux transition de phase.Dans un second temps, nous nous intéressons aux systèmes en interactions. Nous montrons tout d'abord que certaines des signatures des transitions topologiques survivent en leur présence, dans les supraconducteurs topologiques. Nous étudions ensuite le diagramme de phase de deux fils supraconducteurs couplés par une interaction Coulombienne. Celle-ci mène à la création de phases exotiques grâce à la compétition avec la supraconductivité non-conventionnelle. Nous montrons en particulier l'apparition de phases de Mott brisant spontanément la symétrie de renversement du temps et présentant des courant orbitaux non-triviaux, ainsi que celle d'une phase de fermions libres, qui est l'extension de deux chaînes de Majorana critiques en interaction.Enfin, nous nous intéressons aux effets de la présence de fermions de Majorana sur le transport électronique. Nous étudions un îlot supraconducteur où plusieurs de ces fermions existent. Ce système pourrait être l'un des composants élémentaires d'un éventuel ordinateur quantique. Les fermions de Majorana changent les statistiques d'échange des porteurs de charges, ce qui se traduit par une fractionnalisation de la conductance. Celle-ci se révèle très robuste face aux anisotropies et autres perturbations. Nous étendons les études précédentes au cas où le nombre d'électrons dans la boîte peut fluctuer, et montrons l'équivalence de ce problème avec le modèle Kondo à plusieurs canaux. Nous réinterprétons alors ce modèle en terme du déplacement d'une particule dans un réseau fictif dissipatif. / In this thesis, we study theoretically different aspects of topological systems. These models present resilient properties due to a non-trivial topology of their band structures, and in particular exotic edge excitations such as Majorana fermions.Entanglement entropy and entanglement spectrum have been fundamental to the study of these systems and of gapless systems in general, but are difficult to measure experimentally. Bipartite charge fluctuations were proposed as a weak measurement of this entanglement, in particular for one-dimensional gapless phases. We extend previous results on standard Luttinger Liquids to generic families of one- and two-dimensional non-interacting topological systems. Through exact computations, we show that their critical points are characterized by universal coefficients that reveal the topological aspect of the transitions. In two dimensions, the Dirac cones give quantized contributions to the fluctuations and various correlation functions. These contributions depend on their winding numbers, allowing for a precise determination of the topological structure of the gapless points. A volume law is also present and linked to the Quantum Fisher information, with characteristic non-analyticities at the phase transitions.In a second time, we include interactions and show that some of these signatures are preserved in topological superconductors even in their presence. Through analytical (bosonization, renormalization group) and numerical (exact diagonalization and DMRG) methods, we study the phase diagram of two Coulomb-coupled topological superconducting wires. We are interested in their behavior when the interactions are strong enough to break the topological protection: the interplay between unconventional superconductivity and interactions leads to exotic phases. We show the appearance of phases spontaneously breaking the time-reversal symmetry, with non-trivial orbital currents, and of an unusual gapless phase that is the extension of two critical interacting Majorana modes.Finally, we are interested in electronic transport mediated by Majorana fermions. We study a floating superconducting island carrying several such impurities. This device is thought to be a potential building block for a quantum computer. The Majorana fermions affect the statistics of the charge carriers, which leads to very resilient fractionalized transport. We extend previous studies to the charge degenerate case, where the total number of fermions in the island is not fixed, and map it to the well-known Multi-Channel Kondo model at large interaction. We reinterpret this standard model in terms of a particle moving in a highly dimensional, dissipative lattice.

The topic of this PhD thesis is the combination of topologically non-trivial phases with correlation effects stemming from Coulomb interaction between the electrons in a condensed matter system. Emphasis is put on both emerging benefits as well as hindrances, e.g. concerning the topological protection in the presence of strong interactions. The physics related to topological effects is established in Sec. 2. Based on the topological band theory, we introduce topological materials including Chern insulators, topological insulators in two and three dimensions as well as Weyl semimetals. Formalisms for a controlled treatment of Coulomb correlations are presented in Sec. 3, starting with the topological field theory. The Random Phase Approximation is introduced as a perturbative approach, while in the strongly interacting limit the theory of quantum Hall ferromagnetism applies. Interactions in one dimension are special, and are treated through the Luttinger liquid description. The section ends with an overview of the expected benefits offered by the combination of topology and interactions, see Sec. 3.3. These ideas are then elaborated in the research part. In Chap. II, we consider weakly interacting 2D topological insulators, described by the Bernevig-Hughes-Zhang model. This is applicable, e.g., to quantum well structures made of HgTe/CdTe or InAs/GaSb. The bulk band structure is here a mixture stemming from linear Dirac and quadratic Schrödinger fermions. We study the low-energy excitations in Random Phase Approximation, where a new interband plasmon emerges due to the combined Dirac and Schrödinger physics, which is absent in the separate limits. Already present in the undoped limit, one finds it also at finite doping, where it competes with the usual intraband plasmon. The broken particle-hole symmetry in HgTe quantum wells allows for an effective separation of the two in the excitation spectrum for experimentally accessible parameters, in the right range for Raman or electron loss spectroscopy. The interacting bulk excitation spectrum shows here clear differences between the topologically trivial and topologically non-trivial regime. An even stronger signal in experiments is expected from the optical conductivity of the system. It thus offers a quantitative way to identify the topological phase of 2D topological insulators from a bulk measurement. In Chap. III, we study a strongly interacting system, forming an ordered, quantum Hall ferromagnetic state. The latter can arise also in weakly interacting materials with an applied strong magnetic field. Here, electrons form flat Landau levels, quenching the kinetic energy such that Coulomb interaction can be dominant. These systems define the class of quantum Hall topological insulators: topologically non-trivial states at finite magnetic field, where the counter-propagating edge states are protected by a symmetry (spatial or spin) other than time-reversal. Possible material realizations are 2D topological insulators like HgTe heterostructures and graphene. In our analysis, we focus on the vicinity of the topological phase transition, where the system is in a strongly interacting quantum Hall ferromagnetic state. The bulk and edge physics can be described by a nonlinear \sigma-model for the collective order parameter of the ordered state. We find that an emerging, continuous U(1) symmetry offers topological protection. If this U(1) symmetry is preserved, the topologically non-trivial phase persists in the presence of interactions, and we find a helical Luttinger liquid at the edge. The latter is highly tunable by the magnetic field, where the effective interaction strength varies from weakly interacting at zero field, K \approx 1, to diverging interaction strength at the phase transition, K -> 0. In the last Chap. IV, we investigate whether a Weyl semimetal and a 3D topological insulator phase can exist together at the same time, with a combined, hybrid surface state at the joint boundaries. An overlap between the two can be realized by Coulomb interaction or a spatial band overlap of the two systems. A tunnel coupling approach allows us to derive the hybrid surface state Hamiltonian analytically, enabling a detailed study of its dispersion relation. For spin-symmetric coupling, new Dirac nodes emerge out of the combination of a single Dirac node and a Fermi arc. Breaking the spin symmetry through the coupling, the dispersion relation is gapped and the former Dirac node gets spin-polarized. We propose experimental realizations of the hybrid physics, including compressively strained HgTe as well as heterostructures of topological insulator and Weyl semimetal materials, connected to each other, e.g., by Coulomb interaction. / Das Thema dieser Doktorarbeit ist die Kombination von topologisch nicht-trivialen (TnT) Phasen mit Coulomb Wechselwirkungseffekten, die zwischen den Elektronen eines Systems der kondensierten Materie auftreten. Ein Schwerpunkt wird sowohl auf die sich ergebenen Vorteile als auch möglichen Nachteile gelegt, z.B. bezogen auf den topologischen Schutz in der Gegenwart von starker Wechselwirkung. Die topologischen Effekte in der Physik werden in Kap. 2 vorgestellt. Basierend auf der topologischen Bandtheorie führen wir die topologischen Materialien ein, inklusive Chern Isolatoren, topologischer Isolatoren (TIs) in zwei und drei Dimensionen und Weyl Halbmetallen (WSMs). Die Formalismen für eine kontrollierte Behandlung der Coulomb Korrelationen werden in Kap. 3 präsentiert, beginnend mit der topologischen Feldtheorie. Die Random Phase Approximation bietet einen störungstheoretischen Ansatz, während im Bereich der starken Wechselwirkung die Theorie des Quanten-Hall-Ferromagnetismus greift. Wechselwirkende Systeme in einer Dimension sind besonders und werden von uns als Luttinger Flüssigkeit beschrieben. Das Kapitel endet mit einem Überblick über die zu erwartenden Vorteile und Möglichkeiten einer Kombination von Topologie und Korrelationen in Kap. 3.3. Diese Ideen werden im Forschungsteil weiter ausgeführt. In Kap. II beschäftigen wir uns mit schwach wechselwirkenden, zweidimensionalen (2D) TIs, beschrieben durch das Bernevig-Hughes-Zhang Modell. Dies ist z.B. anwendbar für Quantentrogstrukturen basierend auf HgTe/CdTe oder InAs/GaSb. Die Bandstruktur im Volumen ist hier gegeben durch eine Mischung aus linearen Dirac and quadratischen Schrödinger Fermionen. Wir untersuchen die Anregungen für kleine Energien mittels Random Phase Approximation und finden ein neues Interbandplasmon, das aus der Kombination von Dirac und Schrödinger Physik entspringt und in den jeweiligen Grenzfällen nicht existiert. Während es bereits im undotierten Fall zu finden ist, konkurriert es bei endlicher Dotierung mit dem gewöhnlichen Intrabandplasmon. Die gebrochene Teilchen-Loch Symmetrie in HgTe Quantentrögen ermöglicht eine Trennung der Beiden im Anregungsspektrum, für experimentell zugängliche Parameter in der richtigen Größenordnung für Raman- oder Elektronenspektroskopie. Das wechselwirkende Anregungsspektrum des Bulk zeigt hier klare Unterschiede zwischen dem topologisch trivialen und nicht-trivialen Regime. Ein noch deutlicheres experimentelles Signal erwarten wir von der optischen Leitfähigkeit des Systems, welche somit eine quantitative Möglichkeit bietet, zwischen den topologischen Phasen eines 2D TIs mittels einer Bulk Messung zu unterscheiden. In Kap. III untersuchen wir stark-wechselwirkende Systeme, die sich in einem geordneten, Quanten-Hall-Ferromagnetischen (QHFM) Zustand befinden. Dieser Zustand kann auch in schwach-wechselwirkenden Systemen in einem starken magnetischen Feld auftreten. In diesem Fall bilden die Elektronen flache Landau-Niveaus mit minimierter kinetischer Energie aus, sodass die Coulomb Wechselwirkung dominiert. Solche Systeme bilden die Klasse der Quanten-Hall topologischen Isolatoren (QHTIs): TnT Zustände bei endlichem Magnetfeld, deren gegenläufige Randzustände nicht durch Zeitumkehr, sondern durch räumliche oder spin Symmetrien geschützt werden. Infrage kommende Materialien sind 2D TIs wie HgTe Heterostrukturen oder Graphen. Unsere Analyse fokussiert sich auf die Umgebung des topologischen Phasenübergangs, in der sich das System in dem stark-wechselwirkenden QHFM Zustand befindet. Hier kann die Physik sowohl des Bulks als auch die der Randzustände mittels des nichtlinearen \sigma-Modells für den Ordnungsparameter beschrieben werden. Wir zeigen, dass eine effektive, kontinuierliche U(1) Symmetrie für den topologischen Schutz sorgt. Ist diese Symmetrie erhalten, bleibt die TnT Phase auch für starke Wechselwirkungen bestehen und die Randzustände bilden eine helikale Luttinger Flüssigkeit. Diese kann durch das magnetische Feld stark beeinflusst werden, sodass die effektive Wechselwirkungsstärke zwischen schwach wechselwirkend für vernachlässigbares Feld, K \approx 1, und stark wechselwirkend am topologischen Phasenübergang, K -> 0, variiert. Im letzten Kap. IV erforschen wir, ob WSM- and drei-dimensionale TI-Phasen zeitgleich und am selben Ort existieren können, mit einem hybriden Oberflächenzustand an der gemeinsamen Grenzfläche. Ein entsprechender Austausch zwischen den Materialien kann durch Coulomb Wechselwirkung oder eine räumliche Bandüberlagerung realisiert werden. Ein Tunnelkopplungsansatz erlaubt es uns, den hybriden Oberflächenhamiltonian analytisch herzuleiten und ermöglicht so eine detaillierte Analyse der Oberflächendispersionsrelation. Im Fall von spin-symmetrischer Kopplung entstehen weitere Diracpunkte aus der Kombination eines einzelnen Diracpunktes und eines Fermibogens. Bricht man die Spinsymmetrie durch die Kopplung entstehen Bandlücken in der Oberflächendispersion und die ursprünglichen Diracpunkte werden spinpolarisiert. Wir schlagen experimentelle Umsetzungen dieser hybriden Physik vor, z.B. kompressiv verspanntes HgTe oder auch Heterostrukturen aus TI and WSM Materialien.

Adding interactions to topological (non-)trivial free fermion systems can in general have four different effects: (i) In symmetry protected topological band insulators, the correlations may lead to the spontaneous breaking of some protecting symmetries by long-range order that gaps the topological boundary modes. (ii) In free fermion (semi-)metal, the interaction could vice versa also generate long-range order that in turn induces a topological mass term and thus generates non-trivial phases dynamically. (iii) Correlation might reduce the topological classification of free fermion systems by allowing adiabatic deformations between states of formerly distinct phases. (iv) Interaction can generate long-range entangled topological order in states such as quantum spin liquids or fractional quantum Hall states that cannot be represented by non-interacting systems. During the course of this thesis, we use numerically exact quantum Monte Carlo algorithms to study various model systems that (potentially) represent one of the four scenarios, respectively. First, we investigate a two-dimensional $d_{xy}$-wave, spin-singlet superconductor, which is relevant for high-$T_c$ materials such as the cuprates. This model represents nodal topological superconductors and exhibits chiral flat-band edge states that are protected by time-reversal and translational invariance. We introduce the conventional Hubbard interaction along the edge in order to study their stability with respect to correlations and find ferromagnetic order in case of repulsive interaction as well as charge-density-wave order and/or additional $i$s-wave pairing for attractive couplings. A mean-field analysis that, for the first time, is formulated in terms of the Majorana edge modes suggests that any order has normal and superconducting contributions. For example, the ferromagnetic order appears in linear superposition with triplet pairing. This finding is well confirmed by the numerically exact quantum Monte Carlo investigation. Second, we consider spinless electrons on a two-dimensional Lieb lattice that are subject to nearest-neighbor Coulomb repulsion. The low energy modes of the free fermion part constitute a spin-$1$ Dirac cone that might be gapped by several mass terms. One option breaks time-reversal symmetry and generates a topological Chern insulator, which mainly motivated this study. We employ two flavors of quantum Monte Carlo methods and find instead the formation of charge-density-wave order that breaks particle-hole symmetry. Additionally, due to sublattices of unequal size in Lieb lattices, this induces a finite chemical potential that drives the system away from half-filling. We argue that this mechanism potentially extends the range of solvable models with finite doping by coupling the Lieb lattice to the target system of interest. Third, we construct a system with four layers of a topological insulators and interlayer correlation that respects one independent time-reversal and a unitary $\mathbb{Z}_2$ symmetry. Previous studies claim a reduced topological classification from $\mathbb{Z}$ to $\mathbb{Z}_4$, for example by gapping out degenerate zero modes in topological defects once the correlation term is designed properly. Our interaction is chosen according to this analysis such that there should exist an adiabatic deformation between states whose topological invariant differs by $\Delta w=\pm4$ in the free fermion classification. We use a projective quantum Monte Carlo algorithm to determine the ground-state phase diagram and find a symmetry breaking regime, in addition to the non-interacting semi-metal, that separates the free fermion insulators. Frustration reduces the size of the long-range ordered region until it is replaced by a first order phase transition. Within the investigated range of parameters, there is no adiabatic path deforming the formerly distinct free fermion states into each other. We conclude that the prescribed reduction rules, which often use the bulk-boundary correspondence, are necessary but not sufficient and require a more careful investigation. Fourth, we study conduction electron on a honeycomb lattice that form a Dirac semi-metal Kondo coupled to spin-1/2 degrees of freedom on a Kagome lattice. The local moments are described by a variant of the Balents-Fisher-Girvin model that has been shown to host a ferromagnetic phase and a $\mathbb{Z}_2$ spin liquid at strong frustration. Here, we report the first numerical exact quantum Monte Carlo simulation of the Kondo-coupled system that does not exhibit the negative-sign problem. When the local moments form a ferromagnet, the Kondo coupling induces an anti-ferromagnetic mass term in the conduction-electron system. At large frustration, the Dirac cone remains massless and the spin system forms a $\mathbb{Z}_2$ spin liquid. Owing to the odd number of spins per unit cell, this constitutes a non-Fermi liquid that violates Luttinger's theorem which relates the Fermi volume to the particle density in a Fermi liquid. This phase is a specific realization of the so called 'fractional Fermi liquid` as it has been first introduced in the context of heavy fermion models. / Durch Hinzufügen von Wechselwirkungen zu topologisch (nicht-)trivialen, freien Fermion-systemen können im Allgemeinen vier verschiedene Effekte entstehen: (i) Im Fall von symmetriegeschützen topologischen Bandisolatoren können Korrelationen durch langreichweitige Ordnung einige der schützenden Symmetrien spontan brechen, sodass die topologischen Randzustände eine Bandlücken aufweisen. (ii) In (Halb-)metallen mit freien Elektronen können Wechselwirkungen im Gegenzug langreichweitige Ordnung erzeugen, welche wiederum einen topologischen Massenterm induzieren und so eine nicht-triviale Phase dynamisch erzeugen. (iii) Korrelationen können außerdem zur Reduktion der topologischen Klassifikation freier Fermionsystemen führen, indem sie adiabatische Manipulationen zwischen zuvor verschiedenen Zuständen ermöglichen. (iv) Wechselwirkungen können langreichweitig verschränkte topologische Ordnung in Zuständen wie Quanten-Spin-Flüssigkeiten oder fraktionellen Quanten-Hall-Zuständen erzeugen, die nicht durch wechselwirkungsfreie Systeme dargestellt werden können. Im Laufe dieser Dissertation benutzen wir numerisch-exakte Quanten-Monte-Carlo Algorithmen um verschiedene Modelsysteme zu untersuchen, die (potentiell) eines der vier Szenarien darstellen. Als Erstes untersuchen wir zwei-dimensionale, $d_{xy}$-Wellen, spin-singlet Supraleiter, die relevant für Hochtemperatur-Supraleiter wie den Cupraten sind. Dieses Model repräsentiert lückenlose Supraleiter und weist chirale dispersionslose Randzustände auf, die durch Zeitumkehr- und Translationssymmetrie geschützt sind. Wir führen die übliche Hubbard-Wechselwirkung entlang des Randes ein um die Stabilität in Bezug auf Korrelationen zu untersuchen und beobachten ferromagnetische Ordnung im Fall von repulsiven Wechselwirkungen sowie Ladungsdichtewellen und/oder zusätzliche $i$s-Wellen-Paarung bei attraktiven Kopplungen. Eine Molekularfeldanalyse, die zum ersten Mal bezüglich der Majorana Randzuständen formuliert wird, deutet an, dass jede Ordnung normale und supraleitende Beiträge enthält. Diese Erkenntnis wird durch die numerisch-exakte Quanten-Monte-Carlo Untersuchung gut bestätigt. Als Zweites betrachten wir spinlose Elektronen auf einem zwei-dimensionalen Lieb-Gitter die der nächsten-Nachbar Coulombwechselwirkung ausgesetzt sind. Die Niedrigenergiemoden des freien Teilsystems bilden Spin-$1$ Dirac-Fermionen mit verschiedenen möglichen Massentermen. Bei einem davon wird die Zeitumkehrsymmetrie gebrochen und ein topologischer Chern-Isolator erzeugt, was die Hauptmotivation dieser Untersuchen darstellt. Wir verwenden zwei verschiedene Arten der Quanten-Monte-Carlo Methoden und finden stattdessen die Bildung von Ladungsdichtewellenordnung, welche die Teilchen-Loch-Symmetrie bricht. Zusätzlich führt dies, durch die verschieden großen Untergitter die Lieb-Gitters, zu einem endlichen chemischen Potential und treibt das System weg von Halbfüllung. Wir argumentieren, dass dieser Mechanismus möglicherweise die Breite von lösbaren Modellen mit endlicher Dotierung erweitert, indem das Lieb-Gitter an das Zielmodel von Interesse angekoppelt wird. Als Drittes konstruieren wir ein System, bestehend aus vier Schichten eines topologischen Isolators, mit Wechselwirkungen zwischen den Schichten, das eine unabhängige Zeitumkehr- und eine unitäre $\mathbb{Z}_2$ Symmetrie respektiert. Vorangegangene Untersuchungen legen nahe eine von $\mathbb{Z}$ auf $\mathbb{Z}_4$ reduzierte topologische Klassifikation, zum Beispiel durch das Aufspalten entarteter Nullmoden in topologischen Defekten, sofern die Korrelationen entsprechend entworfen wurden. Unsere Wechselwirkungen sind den Regeln dieser Analysis folgend gewählt, sodass ein adiabatischer Pfad zwischen Zuständen, deren topologische Quantenzahl sich um $\Delta q=\pm4$ unterscheiden, existieren sollte. Wir benutzen einen projektiven Quanten-Monte-Carlo Algorithmus um das Phasendiagramm des Grundzustandes zu bestimmen und erhalten, zusätzlich zum nicht-wechselwirkenden Halbleiter, einen symmetriegebrochenen Bereich der die nicht-wechselwirkenden Isolatoren voneinander trennt. Frustration reduziert die Größe dieser Region mit langreichweitiger Ordnung bis sie durch einen Phasenübergang erster Ordnung ersetzt wird. Im betrachteten Parameterbereich gibt es keinen adiabatischen Pfad, der zuvor verschiedene nicht-wechselwirkende Zustände ineinander überführt. Wir schließen daraus, dass die beschriebenen Regel zur Reduktion, die oft die Korrespondenz zwischen dem Probeninneren und dem Rand verwenden, notwendig aber nicht hinreichend sind und dass es hierzu weiterer Studien bedarf. Als Viertes betrachten wir Leitungselektronen auf einem Honigwabengitter, die einen Dirac Halbleiter verkörpern, und Kondo-gekoppeln diese mit Spin-$1/2$ Freiheitsgraden auf einem Kagomegitter. Die lokalen Momente werden durch eine Variante des Balents-Fisher-Girvin Models beschrieben, welches nachweislich eine ferromagnetische Phase und eine $\mathbb{Z}_2$ Spinflüssigkeit bei starker Frustration beherbergt. Wir berichten hier über die erste numerisch-exakte Quanten-Monte-Carlo Simulation des Kondo-gekoppelten Systems, die kein negatives Vorzeichenproblem aufweist. Wenn die lokalen Momente einen Ferromagneten bilden, überträgt dies einen antiferromagnetischen Massenterm auf das System der Leitungselektronen. Bei starker Frustration bleiben die Dirac-Fermionen masselos und das Spinsystem bildet eine $\mathbb{Z}_2$ Spinflüssigkeit. Aufgrund der ungeraden Anzahl von Spin-Freiheitsgraden pro Einheitszelle stellt dies keine Fermiflüssigkeit dar und verletzt das Theorem von Luttinger, dass das Fermivolumen mit der Teilchendichte der Fermiflüssigkeit verbindet. Diese Phase ist eine spezielle Realisation der sogenannten `fraktionellen Fermiflüssigkeit' die zuerst im Zusammenhang mit Schwerfermion-Systeme eingeführt worden ist.

The fascination of microcavity exciton-polaritons (polaritons) rests upon the combination of advanced technological control over both the III-V semiconductor material platform as well as the precise spectroscopic access to polaritonic states, which provide access to the investigation of open questions and complex phenomena due to the inherent nonlinearity and direct spectroscopic observables such as energy-resolved real and Fourier space information, pseudospin and coherence. The focus of this work was to advance the research area of polariton lattice simulators with a particular emphasis on their lasing properties. Following the brief introduction into the fundamental physics of polariton lattices in chapter 2, important aspects of the sample fabrication as well as the Fourier spectroscopy techniques used to investigate various features of these lattices were summarized in chapter 3. Here, the implementation of a spatial light modulator for advanced excitation schemes was presented. At the foundation of this work is the capability to confine polaritons into micropillars or microtraps resulting in discrete energy levels. By arranging these pillars or traps into various lattice geometries and ensuring coupling between neighbouring sites, polaritonic band structures were engineered. In chapter 4, the formation of a band structure was visualised in detail by investigating ribbons of honeycomb lattices. Here, the transition of the discrete energy levels of a single chain of microtraps to the fully developed band structure of a honeycomb lattice was observed. This study allows to design the size of individual domains in more complicated lattice geometries such that a description using band structures becomes feasible, as it revealed that a width of just six unit cells is sufficient to reproduce all characteristic features of the S band of a honeycomb lattice. In particular in the context of potential technological applications in the realms of lasing, the laser-like, coherent emission from polariton microcavities that can be achieved through the excitation of polariton condensates is intriguing. The condensation process is significantly altered in a lattice potential environment when compared to a planar microcavity. Therefore, an investigation of the polariton condensation process in a lattice with respect to the characteristics of the excitation laser, the exciton-photon detuning as well as the reduced trap distance that represents a key design parameter for polaritonic lattices was performed. Based on the demonstration of polariton condensation into multiple bands, the preferred condensation into a desired band was achieved by selecting the appropriate detuning. Additionally, a decreased condensation threshold in confined systems compared to a planar microcavity was revealed. In chapter 5, the influence of the peculiar feature of flatbands arising in certain lattice geometries, such as the Lieb and Kagome lattices, on polaritons and polariton condensates was investigated. Deviations from a lattice simulator described by a tight binding model that is solely based on nearest neighbour coupling cause a remaining dispersiveness of the flatbands along certain directions of the Brillouin zone. Therefore, the influence of the reduced trap distance on the dispersiveness of the flatbands was investigated and precise technological control over the flatbands was demonstrated. As next-nearest neighbour coupling is reduced drastically by increasing the distance between the corresponding traps, increasing the reduced trap distance enables to tune the S flatbands of both Lieb and Kagome lattices from dispersive bands to flatbands with a bandwidth on the order of the polariton linewidth. Additionally to technological control over the band structures, the controlled excitation of large condensates, single compact localized state (CLS) condensates as well as the resonant excitation of polaritons in a Lieb flatband were demonstrated. Furthermore, selective condensation into flatbands was realised. This combination of technological and spectroscopic control illustrates the capabilities of polariton lattice simulators and was used to study the coherence of flatband polariton condensates. Here, the ability to tune the dispersiveness from a dispersive band to an almost perfect flatband in combination with the selectivity of the excitation is particularly valuable. By exciting large flatband condensates, the increasing degree of localisation to a CLS with decreasing dispersiveness was demonstrated by measurements of first order spatial coherence. Furthermore, the first order temporal coherence of CLS condensates was increased from τ = 68 ps for a dispersive flatband, a value typically achieved in high-quality microcavity samples, to a remarkable τ = 459 ps in a flatband with a dispersiveness below the polarion linewidth. Corresponding to this drastic increase of the first order coherence time, a decrease of the second order temporal coherence function from g(2)(τ =0) = 1.062 to g(2)(0) = 1.035 was observed. Next to laser-like, coherent emission, polariton condensates can form vortex lattices. In this work, two distinct vortex lattices that can form in polariton condensates in Kagome flatbands were revealed. Furthermore, chiral, superfluid edge transport was realised by breaking the spatial symmetry through a localised excitation spot. This chirality was related to a change in the vortex orientation at the edge of the lattice and thus opens the path towards further investigations of symmetry breaking and chiral superfluid transport in Kagome lattices. Arguably the most influential concept in solid-state physics of the recent decades is the idea of topological order that has also provided a new degree of freedom to control the propagation of light. Therefore, in chapter 6, the interplay of topologically non-trivial band structures with polaritons, polariton condensates and lasing was emphasised. Firstly, a two-dimensional exciton-polariton topological insulator based on a honeycomb lattice was realised. Here, a topologically non-trivial band gap was opened at the Dirac points through a combination of TE-TM splitting of the photonic mode and Zeeman splitting of the excitonic mode. While the band gap is too small compared to the linewidth to be observed in the linear regime, the excitation of polariton condensates allowed to observe the characteristic, topologically protected, chiral edge modes that are robust against scattering at defects as well as lattice corners. This result represents a valuable step towards the investigation of non-linear and non-Hermitian topological physics, based on the inherent gain and loss of microcavities as well as the ability of polaritons to interact with each other. Apart from fundamental interest, the field of topological photonics is driven by the search of potential technological applications, where one direction is to advance the development of lasers. In this work, the starting point towards studying topological lasing was the Su-Schrieffer-Heeger (SSH) model, since it combines a simple and well-understood geometry with a large topological gap. The coherence properties of the topological edge defect of an SSH chain was studied in detail, revealing a promising degree of second order temporal coherence of g(2)(0) = 1.07 for a microlaser with a diameter of only d = 3.5 µm. In the context of topological lasing, the idea of using a propagating, topologically protected mode to ensure coherent coupling of laser arrays is particularly promising. Here, a topologically non-trivial interface mode between the two distinct domains of the crystalline topological insulator (CTI) was realised. After establishing selective lasing from this mode, the coherence properties were studied and coherence of a full, hexagonal interface comprised of 30 vertical-cavity surface-emitting lasers (VCSELs) was demonstrated. This result thus represents the first demonstration of a topological insulator VCSEL array, combining the compact size and convenient light collection of vertically emitting lasers with an in-plane topological protection. Finally, in chapter 7, an approach towards engineering the band structures of Lieb and honeycomb lattices by unbalancing the eigenenergies of the sites within each unit cell was presented. For Lieb lattices, this technique opens up a path towards controlling the coupling of a flatband to dispersive bands and could enable a detailed study of the influence of this coupling on the polariton flatband states. In an unbalanced honeycomb lattice, a quantum valley Hall boundary mode between two distinct, unbalanced honeycomb domains with permuted sites in the unit cells was demonstrated. This boundary mode could serve as the foundation for the realisation of a polariton quantum valley Hall effect with a truly topologically protected spin based on vortex charges. Modifying polariton lattices by unbalancing the eigenenergies of the sites that comprise a unit cell was thus identified as an additional, promising path for the future development of polariton lattice simulators. / Die Faszination von Exziton-Polaritonen (Polaritonen) basiert auf der einzigartigen Kombination aus technologischer Kontrolle über die III-V Halbleiterplattform und umfassendem spektroskopischen Zugang zu polaritonischen Zuständen, die aufgrund ihrer inhärenten Nichtlinearität und vielfältigen Observablen, wie zum Beispiel Real- und Fourierraumspektren, Pseudospin und Kohärenz, Zugang zu diversen offenen Fragen und komplexen physikalischen Phänomenen bieten. Im Fokus dieser Arbeit lag die Weiterentwicklung von Polaritongittern als Simulatoren für diverse physikalische Phänomene. Dabei wurde insbesondere die das kohärente, Laser-artige Licht, das von Polaritonkondensaten ausgesendet wird, untersucht. Die Arbeit beginnt mit einer kurzen Zusammenfassung der für das Verständnis relevanten physikalischen Grundlagen in Kapitel 2, gefolgt von einer Beschreibung der Probenherstellung sowie der spektroskopischen Methoden, die für die Untersuchung der polaritonischen Gitter verwendet wurden, in Kapitel 3. Hier wurde insbesondere die Implementierung eines Spatial Light Modulators für die Erzeugung beliebig definierbarer Anregungsmuster präsentiert. Diese Arbeit basiert auf der Fähigkeit, Einschlusspotentiale in Form von Mikrotürmchen oder Mikrofallen für Polaritonen zu erzeugen, die zu einem diskretisierten Modenspektrum führen. Wird nun ein Gitter aus solchen Türmchen oder Fallen hergestellt, führt die Kopplung zwischen benachbarten Gitterpositionen zur Ausbildung von Bandstrukturen. Die Ausbildung einer solchen Bandstruktur wurde in Kapitel 4 anhand von Streifen eines Honigwabengitters veranschaulicht. Dabei konnte der Übergang vom diskreten Energiespektrum einer eindimensionalen Kette bis hin zur vollständig ausgebildeten Bandstruktur eines Honigwabengitters dargestellt werden. Diese systematische Untersuchung ermöglicht das gezielte Design neuer, komplizierterer Gittergeometrien, die aus verschiedenen Domänen bestehen, da gezeigt werden konnte, dass eine Domänengröße von sechs Einheitszellen ausreicht, um eine Bandstruktur zu erzeugen. Neben der Ausbildung von Bandstrukturen in Gittern ist das Phänomen der Polaritonkondensation, das zur Emission von kohärenter Strahlung führt, besonders spannend, da es in direktem Bezug zu möglichen technologischen Anwendungen als Laser steht. Da sich der Kondensationsprozess in einem Gitter grundsätzlich vom Kondensationsprozess in einer planaren Kavität unterscheidet, wurde dieser detailliert untersucht. Hierbei wurde insbesondere der Einfluss des Anregungslasers, der Verstimmung zwischen Exziton und Photon, sowie des reduzierten Fallenabstandes, der einen wichtigen Parameter im Design neuer Gitter darstellt, untersucht. Im Rahmen dieser Untersuchung konnte die Polaritonkondensation in mehrere Bänder nachgewiesen werden. Außerdem wurde selektive Kondensation in ein gewünschtes Band durch die Wahl einer geeigneten Verstimmung zwischen Exziton und Photon erreicht. Abschließend konnte eine Verringerung der Kondensationsschwelle in einem Gitter gegenüber einer planaren Kavität nachgewiesen werden. Ein bemerkenswertes Phänomen, das zum Beispiel in den Bandstrukturen von Lieb- und Kagomegittern auftritt, sind Flachbänder, deren Einfluss auf Polaritonen und Polaritonkondensate, insbesondere in Bezug zu ihren Kohärenzeigenschaften, in Kapitel 5 untersucht wurde. Abweichungen von einem Gittersimulator, der sich mit einem Tight Binding Modell, das nur Kopplung zwischen nächsten Nachbarn berücksichtigt, beschreiben lässt, führen dazu, dass Flachbänder entlang bestimmter Richtungen in der Brillouinzone dispersiv werden. Mit einer Untersuchung des Einflusses des reduzierten Fallenabstandes auf Flachbänder konnte technologische Kontrolle über diese Dispersivität gezeigt werden. Da die Kopplung zwischen übernächsten Nachbarn mit steigendem Abstand zwischen den Fallen stark abnimmt, lassen sich die Flachbänder in den S Bändern von Lieb und Kagomegittern von dispersiven in nahezu perfekte Flachbänder, deren Bandbreite in der Größenordnung der polaritonischen Linienbreite liegt, überführen, indem der reduzierte Fallenabstand vergrößert wird. Zusätzlich zur technologischen Kontrolle über die Dispersivität der Flachbänder wurde die kontrollierte Anregung von großen Flachbandkondensaten, Kondensaten in einzelnen Compact Localised States (CLS), sowie die resonante Anregung von Polaritonen in einem Lieb Flachband demonstriert. Insbesondere für das Flachband des Kagomegitters konnte selektive Kondensation realisiert werden. Diese Kombination aus technologischer und spektroskopischer Kontrolle verdeutlicht das Potential polaritonischer Gittersimulatoren. Aufbauend auf der Kontrolle über polaritonische Flachbänder wurde die Kohärenz von Flachbandkondensaten untersucht. In diesem Zusammenhang erwies sich die Kombination aus der Möglichkeit, die Dispersivität des Flachbandes zu beeinflussen, und der selektiven Kondensation als besonders wertvoll. Durch interferometrische Messungen an großen Flachbandkondensaten konnte gezeigt werden, dass sich die Kohärenz mit abnehmender Dispersivität des Flachbandes auf einen CLS lokalisiert. Außerdem konnte eine Steigerung der Kohärenzzeit von τ = 68 ps, einem für hochwertige Mikrokavitäten typischen Wert, in einem dispersiven Flachband zu beeindruckenden τ = 459 ps in einem Flachband, dessen Dispersivität kleiner als die polaritonische Linienbreite ist, gezeigt werden. Passend zu dieser deutlichen Steigerung der Kohärenzzeit erster Ordnung konnte eine Abnahme der Kohärenzfunktion zweiter Ordnung von g(2)(τ =0) = 1.062 zu g(2)(0) = 1.035 beobachtet werden. Neben den mit einem Laser vergleichbaren Emissionseigenschaften können Polaritonkondensate Gitter aus Vortices ausbilden. Im Rahmen dieser Arbeit wurden zwei verschiedene Vortexgitter nachgewiesen. Außerdem konnte durch Symmetriebrechung mittels eines lokalisierten Anregungslasers chiraler, superfluider Randtransport realisiert werden. Diese Chiralität konnte mit einer Änderung der Vortexausrichtung am Rand des Gitters in Verbindung gebracht werden und motiviert daher weitere Untersuchungen zu Symmetriebrechung und chiralem, superfluidem Transport in Kagomegittern. Das vermutlich einflussreichste Konzept in der Festkörperphysik der letzten Jahrzehnte ist die Idee einer topologischen Ordnung, die auch einen neuen Freiheitsgrad zur Kontrolle der Propagation von Licht bietet. Daher wurde in Kapitel 6 das Zusammenspiel aus topologisch nicht-trivialen Bandstrukturen und Polaritonen, Polarionkondensaten und Lasern untersucht. Zuerst wurde ein zweidimensionaler, polaritonischer, topologischer Isolator, der auf einem Honigwabengitter basiert, realisiert. Die topologisch nicht-triviale Bandlücke wurde durch eine Kombination aus einer Modenaufspaltung zwischen der transversal-elektrischen und der transversal-magnetischen Komponente der photonischen Mode sowie einer Zeeman-Aufspaltung der exzitonischen Mode geöffnet. Da die Bandlücke zu klein gegenüber der Linienbreite war, um sie im linearen Regime nachweisen zu können, wurden Polaritonkondensate angeregt. Mithilfe dieser Kondensate war es möglich, die charakteristischen, topologisch geschützten, chiralen Randmoden, die robust gegenüber Rückstreuung und Streuung an Defekten sowie den Ecken des Gitters sind, nachzuweisen. Dieses Ergebnis stellt einen wichtigen Schritt in der Untersuchung nicht-linearer und nichthermitischer, topologischer Systeme dar, da Mikrokavitäten eine intrinsische Nichtlinearität aufweisen und Polaritonen untereinander wechselwirken können. Neben dem fundamentalen Interesse wird das Feld der topologischen Photonik vor allem durch die Suche nach neuen technologischen Anwendungen vorangetrieben. Eine wichtige Forschungsrichtung ist dabei die Entwicklung neuer Laser. In dieser Arbeit war der Ausgangspunkt für die Untersuchung topologischer Laser das Su-Schrieffer-Heeger (SSH) Modell, da es eine einfache, gut verstandene Geometrie und eine große topologische Bandlücke bietet. Die Kohärenzeigenschaften des topologischen Randdefekts in SSH Ketten wurden detailliert untersucht und ein Grad zeitlicher Kohärenz zweiter Ordnung von g(2)(0) = 1.07 erreicht. Für einen Mikrolaser mit einem Durchmesser von nur d = 3.5 µm ist dies ein sehr gutes Ergebnis. Besonders vielversprechend in der Entwicklung topologischer Laser ist allerdings vor allem die kohärente Kopplung vieler Laser mithilfe einer propagierenden, topologisch geschützten Mode. Um diese Kopplung zu untersuchen wurde eine topologisch nichttriviale Mode an der Domänengrenze zwischen zwei kristallinen, topologischen Isolatoren implementiert. Nachdem selektive Laseremission aus dieser Mode erreicht wurde, wurden insbesondere die Kohärenzeigenschaften untersucht. Dabei konnte gezeigt werden, dass 30 vertikal emittierende Laser, die eine geschlossene, hexagonale Domänengrenze bilden, kohärent gekoppelt werden können. Dieser erste Nachweis eines topologisch geschützten Gitters aus gekoppelten, vertikal emittieren Lasern überzeugt vor allem durch die Kombination der kompakten Bauform und einfachen Bündelung der Laseremission vertikal emittierenden Laser mit dem topologischen Schutz der zwischen den Lasern propagierenden Mode. Zuletzt wurde in Kapitel 7 untersucht, wie die Bandstrukturen von Lieb- und Honigwabengittern durch die Einführung eines Energieunterschiedes zwischen den Untergittern gezielt verändert werden können. In Liebgittern bietet diese Technologie einen Weg, die Kopplungsumgebung des Flachbandes drastisch zu ändern, da das Flachband nun nicht mehr einen Dirac-Punkt mit linearer Dispersion schneidet, sondern ein dispersives Band an einem Potentialminimum berührt. In Honigwabengittern konnte eine Quantum Valley Hall Mode an der Grenzfläche zwischen zwei Domänen mit invertiertem Untergitter gezeigt werden. Diese Mode könnte die Basis für die Entwicklung eines Quantum Valley Hall Zustandes mit echtem topologischem Schutz auf der Basis von Vortizes bilden. Eine Variation der Eigenenergien der Untergitter stellt also einen vielversprechenden, weiteren Weg für zukünftige Experimente mit polaritonischen Gittersimulatoren dar.

In this thesis, a model system of a magnetic topological heterostructure is studied, namely a heterosystem consisting of a single ferromagnetic septuple-layer (SL) of \(MnBi_2Te_4\) on the surface of the three-dimensional topological insulator \(Bi_2Te_3\). Using MBE and developing a specialized experimental setup, the first part of this thesis deals with the growth of \(Bi_2Te_3\) and thin films of \(MnBi_2Te_4\) on \(BaF_2\)-substrates by the co-evaporation of its binary constituents. The structural analysis is conducted along several suitable probes such as X-ray diffraction (XRD, XRR), AFM and scanning tunnelling electron microscopy (STEM). It is furthermore found that the growth of a single septuple-layer of \(MnBi_2Te_4\) on the surface of \(Bi_2Te_3\) can be facilitated. By using X-ray absorption and circular magnetic dichroism (XAS, XMCD), the magnetic properties of \(MnBi_2Te_4\) are explored down to the monolayer limit. The layered nature of the vdW crystal and a strong uniaxial magnetocrystalline anisotropy establish stable out-of plane magnetic order at the surface of \(MnBi_2Te_4\), which is stable even down to the 2D limit. Pushing the material system to there, i.e. a single SL \(MnBi_2Te_4\) further allows to study the phase transition of this 2D ferromagnet and extract its critical behaviour with \(T_c \, = \, 14.89~k\) and \(\beta \, = \, 0.484\). Utilizing bulk crystals of the ferromagnetic \(Fe_3GeTe_2\) as substrate allows to influence, enhance and bias the magnetism in the single SL of \(MnBi_2Te_4\). By growing heterostructures of the type \(MnBi_2Te_4\) -- n layer \(Bi_2Te_3\) -- \(Fe_3GeTe_2\)for n between 0 and 2, it is shown, that a considerable magnetic coupling can be introduced between the \(MnBi_2Te_4\) top-layer and the substrate. Finally the interplay between topology and magnetism in the ferromagnetic extension is studied directly by angle-resolved photoemission spectroscopy. The heterostructure is found to host a linearly dispersing TSS at the centre of the Brillouin zone. Using low temperature and high-resolution ARPES a large magnetic gap opening of \(\sim\) 35 meV is found at the Dirac point of the TSS. By following its temperature evolution, it is apparent that the scaling behaviour coincides with the magnetic order parameter of the modified surface. / In dieser Arbeit wird ein Modellsystem einer magnetischen topologischen Heterostruktur untersucht, genauer ein Heterosystem, das aus einer einzelnen ferromagnetischen Septupellage (SL) aus \(MnBi_2Te_4\) auf der Oberfläche des dreidimensionalen topologischen Isolators \(Bi_2Te_3\) besteht. Mittels MBE und eines eigens entwickelten Setups befasst sich der erste Teil mit dem Wachstum von \(Bi_2Te_3\) und \(MnBi_2Te_4\) auf \(BaF_2\)-Substraten durch die Ko-Verdampfung ihrer binären Bestandteile. Die Strukturanalyse wird mit Hilfe von Röntgenbeugung (XRD, XRR), AFM und Rastertunnel-Elektronenmikroskopie (STEM) durchgeführt. Darüber hinaus wird festgestellt, dass das Wachstum einer einzelnen SL von \(MnBi_2Te_4\) auf der Oberfläche von \(Bi_2Te_3\) möglich ist. Mit Hilfe von Röntgenabsorption und des zirkularen magnetischen Dichroismus (XAS, XMCD) werden die magnetischen Eigenschaften von \(MnBi_2Te_4\) bis zur Monolage untersucht. Die geschichtete Natur des vdW-Kristalls und eine starke uniaxiale magnetokristalline Anisotropie stabilisieren eine magnetische Ordnung an der Oberfläche von \(MnBi_2Te_4\), die sogar bis zum 2D-Limit stabil ist. Bei Betrachtung einer einzigen SL \(MnBi_2Te_4\), kann man den Phasenübergang dieses 2D-Ferromagneten weiter untersuchen und sein kritisches Verhalten mit \(T_c \, = \, 14,89~k\) und \(\beta \, = \, 0,484\) extrahieren. Die Verwendung von \(Fe_3GeTe_2\) als Substrat ermöglicht es, den Magnetismus in einzelnen SL von \(MnBi_2Te_4\) zu beeinflussen und zu verstärken. Durch Aufwachsen von Heterostrukturen des Typs \(MnBi_2Te_4\) -- n Schicht \(Bi_2Te_3\) -- \(Fe_3GeTe_2\) für n zwischen 0 und 2 wird gezeigt, dass eine beträchtliche magnetische Kopplung zwischen der \(MnBi_2Te_4\) Deckschicht und dem Substrat erreicht werden kann. Schließlich wird das Zusammenspiel zwischen Topologie und Magnetismus in dem System direkt durch winkelaufgelöstes ARPES untersucht. Die Heterostruktur weist einen linear dispergierendes TSS im Zentrum der Brillouin-Zone auf. In der Temperaturabhängigkeit wird eine große magnetische Lücke von \(\sim\) 35 meV am Dirac-Punkt des TSS gefunden, deren Skalierungsverhalten mit dem magnetischen Ordnungsparameter der modifizierten Oberfläche übereinstimmt.

Since the prediction of the quantum spin Hall effect in graphene by Kane and Mele, \(Z_2\) topology in hexagonal monolayers is indissociably linked to high-symmetric honeycomb lattices. This thesis breaks with this paradigm by focusing on topological phases in the fundamental two-dimensional hexagonal crystal, the triangular lattice. In contrast to Kane-Mele-type systems, electrons on the triangular lattice profit from a sizable, since local, spin-orbit coupling (SOC) and feature a non-trivial ground state only in the presence of inversion symmetry breaking. This tends to displace the valence charge form the atomic position. Therefore, all non-trivial phases are real-space obstructed. Inspired by the contemporary conception of topological classification of electronic systems, a comprehensive lattice and band symmetry analysis of insulating phases of a \(p\)-shell on the triangular lattice is presented. This reveals not only the mechanism at the origin of band topology, the competition of SOC and symmetry breaking, but sheds also light on the electric polarization arising from a displacement of the valence charge centers from the nuclei, i. e., real-space obstruction. In particular, the competition of SOC versus horizontal and vertical reflection symmetry breaking gives rise to four topologically distinct insulating phases: two kinds of quantum spin Hall insulators (QSHI), an atomic insulator and a real-space obstructed higher-order topological insulator. The theoretical analysis is complemented with state-of-the-art first principles calculations and experiments on trigonal monolayer adsorbate systems. This comprises the recently discovered triangular QSHI indenene, formed by In atoms, and focuses on its topological classification and real-space obstruction. The analysis reveals Kane-Mele-type valence bands which profit from the atomic SOC of the triangular lattice. The realization of a HOTI is proposed by reducing SOC by considering lighter adsorbates. Further the orbital Rashba effect is analyzed in AgTe, a consequence of mirror symmetry breaking, the formation of local angular momentum polarization and SOC. As an outlook beyond topology, the Fermi surface and electronic susceptibility of Group V adsorbates on silicon carbide are investigated. In summary, this thesis elucidates the interplay of symmetry breaking and SOC on the triangular lattice, which can promote non-trivial insulating phase. / Seit der Vorhersage des Quanten-Spin-Hall-Effekts in Graphen durch Kane und Mele wird die \(Z_2\) Topologie in hexagonalen Monolagen unausweichlich mit hochsymmetrischen Honigwabengittern assoziiert. Diese Dissertation bricht mit diesem Paradigma, indem sie sich auf topologische Phasen im fundamentalen zweidimensionalen hexagonalem Kristall, dem Dreiecksgitter, konzentriert. Im Gegensatz zu Kane-Mele-artigen Systemen profitieren Elektronen im Dreiecksgitter von einer beträchtlichen, weil lokalen, Spin-Bahn-Kopplung (SBK). Ein nicht-trivialer Grundzustand erfordert das Brechen der Inversionssymmetrie. Gleichzeitig führt dies zu einer Dislokation der Valenzelektronen weg von der atomaren Position. Daher sind alle nicht-trivialen Phasen real-space obstructed. Inspiriert durch die gegenwärtige Auffassung der topologischen Klassifikation von elektronischen Systemen wird eine umfassende Analyse der Gitter- und Bandsymmetrie der isolierenden Phasen einer \(p\)-Schale auf dem Dreiecksgitter präsentiert. Dies offenbart nicht nur den bestimmenden Mechanismus der Bandtopologie, den Wettbewerb von SBK und Symmetriebruch. Letzterer bestimmt auch die elektrische Polarisation, die sich aus der Verschiebung der Valenzladungszentren von den Kernen ergibt. Insbesondere führt der Wettbewerb zwischen SBK und horizontalem sowie vertikalem Reflexionssymmetriebruch zu vier topologisch unterschiedlichen isolierenden Phasen: zwei Quanten-Spin-Hall Isolatoren (QSHI), ein atomarer Isolator und ein real-space obstructed Isolator höherer Ordnung. Die theoretische Analyse wird ergänzt durch moderne ab initio Berechnungen und Experimente an trigonalen Monolagen-Adsorbatsystemen. Dies umfasst den erst kürzlich entdeckten QSHI Indenene, basierend auf einer Dreieckslage von In Atomen, und konzentriert sich auf dessen topologische Klassifikation und Ladungsträgerlokalisation. Die Analyse ergibt Kane-Mele-artige Valenzbänder, die von der atomaren SBK des Dreiecksgitters profitieren. Die Realisierung eines HOTI wird vorgeschlagen, indem die SBK durch die Verwendung leichterer Adsorbate reduziert wird. Weiterhin wird der Orbitale Rashba-Effekt in AgTe analysiert, eine Folge der Spiegelsymmetriebruch, der Bildung von lokalem orbitalem Bahndrehimpuls und SBK. Als Ausblick über die Topologie hinaus werden die Fermi-Oberfläche und die elektronische Suszeptibilität von Gruppe-V Adsorbaten auf Siliziumkarbid untersucht. Zusammenfassend erläutert diese Dissertation das Zusammenspiel von Symmetriebruch und SOC auf dem Dreiecksgitter, die Grundlage für nicht-triviale isolierende Phasen.

Malgré l’efficacité des réseaux pour représenter les systèmes complexes, de récents travaux ont montré que leur structure limite parfois le pouvoir explicatif des modèles théoriques, puisqu’elle n’encode que des relations par paire. Si une interaction plus complexe existe dans le système représenté, elle est automatiquement réduite à un groupe d’interactions par paire, c’est-à-dire d’ordre un. Il faut alors utiliser des structures qui prennent en compte les interactions d’ordre supérieur. Cependant, qu’elles soient ou non d’ordre supérieur, les interactions entre les éléments d’un système sont rarement explicites dans les jeux de données. C’est notamment le cas des données de présence/absence qui indiquent quelles espèces (animales, végétales ou autres) se retrouvent (ou non) sur un site d’observation sans indiquer les relations entre elles. L’objectif de ce mémoire est alors de développer une technique d’inférence pour dénicher les interactions d’ordre supérieur au sein de données de présence/absence. Ici, deux cadres théoriques sont explorés. Le premier est basé sur la comparaison entre la topologie des données, obtenue grâce à une hypothèse souple, et celle d’un ensemble aléatoire. Le second utilise plutôt les modèles log-linéaire et les tests d’hypothèses pour inférer les interactions une à une jusqu’à l’ordre désiré. Ce cadre a permis d’élaborer plusieurs méthodes d’inférence qui génèrent des complexes simpliciaux (ou des hypergraphes) qui peut être analysés grâce aux outils standards de la science des réseaux en plus de l’homologie. Afin de valider ces méthodes, nous avons développé un modèle génératif de données de présence/absence dans lesquelles les véritables interactions sont connues. Des résultats concrets ont également été obtenus pour des jeux de données réelles. Notamment, à partir de données de présence/absence d’oiseaux nicheurs du Québec, nous avons réussi à inférer des cooccurrences d’ordre deux. / Despite the effectiveness of networks to represent complex systems, recent work has shownthat their structure sometimes limits the explanatory power of the theoretical models, sinceit only encodes dyadic interactions. If a more complex interaction exists in the system, it isautomatically reduced to a group of pairwise interactions that are of the first order. We thusneed to use structures that can take higher-order interactions into account. However, whetherrelationships are of higher order or not is rarely explicit in real data sets. This is the case ofpresence/absence data, that only indicate which species (of animals, plants or others) can befound (or not) on a site without showing the interactions between them.The goal of this project is to develop an inference method to find higher-order interactionswithin presence/absence data. Here, two frameworks are examined. The first one is based onthe comparison of the topology of the data, obtained with a non-restrictive hypothesis, andthe topology of a random ensemble. The second one uses log-linear models and hypothesistesting to infer interactions one by one until the desired order. From this framework, we havedevelopped several inference methods to generate simplicial complexes (or hypergraphs) thatcan be studied with regular tools of network science as well as homology. In order to validatethese methods, we have developed a generative model of presence/absence data in which thetrue interactions are known. Results have also been obtained on real data sets. For instance,from presence/absence data of nesting birds in Québec, we were able to infer co-occurrencesof order two