O presente estudo propõe-se responder à questão de investigação: Quais são as evidências de pensamentos matemáticos e como os alunos as expressam em atividades de programação envolvendo o conceito de ângulo? A pesquisa compreende um estudo de caso realizado com 16 alunos do 6º ano do ensino fundamental de uma escola da rede pública municipal de São Leopoldo. Os alunos participaram de 11 encontros semanais, dentro da sua carga horária de aula, em que solucionaram situações variadas propostas pela pesquisadora e produziram um jogo. Todas as atividades foram desenvolvidas no Scratch, visando à compreensão do conceito de ângulo e de conceitos básicos de programação. Durante a realização das atividades, os alunos eram observados e entrevistados. As entrevistas foram inspiradas no método clínico, criado por Piaget, que busca auxiliar na compreensão do curso do pensamento dos sujeitos Além disso, foram utilizados como material de análise vídeos das interações com os alunos, arquivos produzidos no Scratch e registros dos alunos em uma página na internet. A análise de dados está apoiada na Teoria dos Campos Conceituais proposta por Gérard Vergnaud e na busca por aproximações e distanciamentos na psicogênese das condutas cognitivas da criança em interação com o mundo do computador, observadas por Léa Fagundes. Os resultados apontam para evoluções na compreensão do conceito de ângulo, permitindo identificar fases e subfases nas quais os alunos apresentam seus esquemas em relação ao conceito de ângulo e apropriação da linguagem de programação do software. / The present study proposes to answer the research question: What are the evidences of mathematical thinking and how do the students express them in programming activities involving the angle concept? The research comprises a case study carried out with 16 students from 6th grade of elementary school in a public school in São Leopoldo. The students took part of 11 weekly meetings, within their class schedule, in which they solved varied situations proposed by the researcher and produced a game. All activities were developed in Scratch, aiming at understanding the concept of angle and basic programming concepts. During the activities, the students were observed and interviewed The interviews were inspired in clinical method, created by Piaget, which seeks to assist them in understanding the course of the subjects' reasoning. In addition, videos of interactions with students, files produced in Scratch and student records on a web page were used as analysis material. Data analysis is supported by the Theory of Conceptual Fields proposed by Gérard Vergnaud and the search for similarities and differences in the psychogenesis of the cognitive behavior of the child in interaction with the computing world, observed by Léa Fagundes. The results point to evolutions in the understanding of the concept of angle, allowing us to identify phases and subphases in which the students present their schemas in concerning the concept of angle and appropriation of the software programming language.

Este trabalho traz um estudo sobre o ensino e a aprendizagem dos números relativos e das operações de adição e subtração. A escolha deste tema de pesquisa está associada às constatações de incompreensões dos números relativos pelos alunos, ao longo de anos de prática docente. A partir dessa prática e dos referenciais teóricos adotados, observou-se que a concepção de número como quantidade constitui-se em obstáculo epistemológico para a aceitação dos números negativos. Foi construída uma sequência didática com o objetivo de promover a compreensão dos números relativos como operadores aditivos e como representação de posição relativa e das operações de adição e subtração. A sequência didática foi aplicada em uma turma do sétimo ano do Ensino Fundamental de uma escola da rede municipal da cidade de Canoas, durante o primeiro semestre letivo do ano de 2013. A elaboração da sequência didática e a análise dos registros escritos e orais coletados no decorrer de sua implementação apoiaram-se na Teoria dos Campos Conceituais e em pesquisas de autores que estudam o ensino e a aprendizagem dos números relativos. A análise apontou que o desenvolvimento de atividades envolvendo transformações de sentidos opostos, em contextos variados, favoreceu a compreensão dos números relativos como operadores aditivos, bem como das operações de adição e subtração e suas propriedades. Tais resultados também se devem à participação dos alunos em discussões argumentativas acerca de suas próprias soluções para os problemas propostos. Como produto da pesquisa, propomos uma sequência didática aprimorada, a partir das reflexões desenvolvidas sobre a aplicação realizada. / This paper presents a study on the teaching and learning of relative numbers and addition and subtraction operations with such numbers. The choice of this research topic is related to the findings of misunderstandings of the relative numbers by students over years of teaching practice. From this practice and the theoretical frameworks adopted, it was observed that the concept of number as an expression of quantity is an epistemological obstacle to the acceptance of negative numbers. A didactic sequence was constructed with the aim of promoting understanding of the numbers as operators and representations of the relative position, and the understanding of addition and subtraction. The instructional sequence was applied to a seventh year class in an elementary school of the municipality of Canoas, during the first semester of the year 2013. The development of instructional sequence and the analysis of written and oral records collected in the course of its implementation were based on the Conceptual Fields Theory and research of authors who study the teaching and learning of relative numbers. The analysis pointed out that the development of activities involving transformations along opposite directions, in varying contexts, favoured the understanding of numbers as additive operators, as well as understanding of the addition and subtraction operations and their properties. These results are also due to the participation of students in argumentative discussions about their own solutions to the problems posed. As a product of the research, we propose an enhanced instructional sequence, based on the reflections developed during and after the application.

O objetivo deste trabalho foi identificar e analisar como os estudantes compreendem os conceitos de área e perímetro. A escolha do tema se deu durante nossa experiência docente ao observarmos a dificuldade de estudantes ao resolverem problemas em geometria. Para atingir tal objetivo trabalhou-se com uma turma do nono ano do ensino fundamental, durante nove horas-aula, uma sequência de atividades. Estes alunos participantes da pesquisa pertencem a uma escola pública da rede estadual, situada próximo ao centro de Porto Alegre, Rio Grande do Sul. Nossa principal base teórica foi a Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud e os estágios da aprendizagem de grandezas propostos por Plaza e Gómez. Com o auxílio desta teoria elaboramos as atividades, e procuramos entender como os estudantes compreendem as ideias de área e perímetro. Nestas atividades foram propostos problemas que discutiam o tema, os estudantes eram convidados a medir, visualizar construções geométricas, aplicar os conceitos e executarem cálculos. A partir destes dados foram feitas discussões sobre o porquê dos alunos apresentarem dificuldades e/ou êxitos nos problemas. Por analisarmos as resoluções de cada aluno, podemos afirmar que nossa metodologia foi qualitativa voltada a um estudo de caso. A partir das análises destas resoluções, embasado em Plaza e Gómez, Vergnaud e em outros autores que discutiram o tema, elaboramos uma sequência didática como uma proposta que auxilie os estudantes a compreenderem área e perímetro. Verificamos que muitos dos erros cometidos pelos estudantes estavam ligados a um mau entendimento dos conceitos envolvidos nos problemas, e que a maioria, durante a resolução das atividades, tentava aplicar as definições e fórmulas mesmo em situações que não fazia sentido aplicá-las. Verificamos, também, algumas indicações de que uma reconstrução destes conceitos, através da sequência proposta, é possível. / The aim of this paper has been to identify and analyse how the students understand the concepts of area and perimeter. The choice of this topic happened during our teaching experience while observing the difficulty of the students in solving geometry problems. To reach this aim, we have worked with a ninth year of primary school class, during nine classes, using a sequence of activities. These students, who participated in the study, belong to a state school, located near Porto Alegre downtown, Rio Grande do Sul. Our main theoretical framework was Gérard Vergnaud’s Theory of Conceptual Fields and the stages of quantities of learning proposed by plaza and Gómez. With the help of this theory, we elaborated the activities and tried to comprehend how the students understand the ideas of area and perimeter. In these activities, problems that discussed the topic were proposed, in which the students were invited to measure, visualise geometric constructions, apply the concepts and execute the calculations. From this data, discussions on the reason the students have difficulties and/or success with the problems happened. As we analysed the answers of each student, we can affirm that our methodology was a qualitative study with case study approach. From the analyses of these answers, based on Vergnaud, Plaza e Gómez and other authors who have discussed the topic, we elaborated a didactic sequence with a proposal that helps the students to understand area and perimeter. It was verified that many of the mistakes made by the students were connected to a poor understanding of the concepts involved in the problems, and, most of them, during the solution of the problems, tried to apply the definitions and formulas even when it didn’t make any sense. It was also verified that some indicatives of a reconstruction of these concepts, through the proposed sequence, is possible.

O objetivo deste trabalho é o ensino de ondulatória através de uma metodologia ativa de ensino que permita aos estudantes se engajarem com a própria aprendizagem. Para atingir esse objetivo, foi desenvolvida uma sequência didática que originou um produto educacional aplicável em aulas de Física no ensino médio. A metodologia implementada integrou os métodos ativos Instrução pelos Colegas (Peer Instruction) e Ensino sob Medida (Just-in-time Teaching), buscando o envolvimento cognitivo dos alunos. Além desses métodos, a sequência didática incluiu uma atividade experimental com espectrógrafo de baixo custo, atividades de resolução de problemas e dois debates, sobre o uso de câmara de bronzeamento artificial e a instalação de usina de fissão nuclear. O suporte teórico da metodologia foi a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud. As aulas foram estruturadas a partir de questões norteadoras com potencial de se tornarem situações-problema para os alunos. O produto educacional contém tarefas de leitura (com textos e questões sobre os textos), uma lista de testes conceituais, listas de problemas quantitativos, um modelo de minirrelatório e um opinário. As 21 aulas dessa proposta foram desenvolvidas com duas turmas de segundo ano do ensino médio, da rede privada de ensino, na cidade de Joaçaba, Santa Catarina. As atividades propostas foram realizadas com êxito. As respostas dos estudantes permitiram concluir que houve aprendizagem durante a aplicação da metodologia. Os resultados do opinário mostraram que houve boa receptividade à proposta de trabalho pela maioria dos estudantes que consideraram metodologia melhor para seu aprendizado do que os métodos tradicionais de ensino. / The main goal of this work is to teach waves through an active learning methodology that engages cognitively the students with their own learning. To achieve this goal, a didactic sequence was developed as an educational product to be used in high school physics classes. The present approach integrated two active learning methods - Peer Instruction and Just-in-Time Teaching - aiming to get more student engagement. In addition to these methods, other kinds of activities were included: an experimental activity with low cost spectrograph, problem solving and debates about tanning beds and nuclear plants. The Vergnaud’s Theory of Conceptual Fields supports this work. The lessons were organized around leading questions, which could turn out to be problem-situations to be solved by the students. The educational product contains a set of reading assignments, including texts and tasks, concept tests, problems list, a small report template and a questionnaire to gather the students’ opinions about the methodology. Twenty one lessons were applied to two classes for high school students at a private school in a Brazilian city (Joaçaba, in Santa Catarina). The results revealed the applicability of this teaching proposal. Answers given by the students showed that the learning was successfully achieved during the use of this methodology. The students´ evaluation was very positive. They considered this methodology more efficient for their learning than traditional teaching methods.

Este trabalho apresenta uma experiência que analisa as contribuições que o uso integrado de recursos manipulativos digitais e não-digitais podem trazer para o ensino-aprendizado de geometria, mais especificamente na compreensão de conceitos sobre polígonos. O estudo foi desenvolvido durante o ano de 2012, com duas turmas de 6ª série de uma escola da rede privada de Porto Alegre, no horário regular de aula. Apoiada na Teoria dos Campos Conceituais, de Gérard Vergnaud, e utilizando o estudo de caso como metodologia, a presente pesquisa aponta que os estudantes podem construir seu próprio conhecimento, quando lhes são oferecidas diversas possibilidades de conceitualização, em diferentes âmbitos educativos. Os resultados mostram estudantes mais críticos, autônomos e com maior poder de argumentação. / This paper presents an experience which analyzes the contributions that the integrated usage of manipulative digital and non-digital resources may bring to the teaching-learning of geometry, specifically on understanding concepts of polygons. The study was developed in 2012, with two groups of 6th graders from a private school in Porto Alegre during the regular school schedule. Supported by the Theory of Conceptual Fields, by Gérard Vergnaud, and using the case study as methodology, this research points that students can construct their own knowledge when various possibilities of conceptualization are offered to them, in different areas of education. The results show more critical, autonomous students, with a bigger argumentative power.

O presente estudo propõe-se responder à questão de investigação: Quais são as evidências de pensamentos matemáticos e como os alunos as expressam em atividades de programação envolvendo o conceito de ângulo? A pesquisa compreende um estudo de caso realizado com 16 alunos do 6º ano do ensino fundamental de uma escola da rede pública municipal de São Leopoldo. Os alunos participaram de 11 encontros semanais, dentro da sua carga horária de aula, em que solucionaram situações variadas propostas pela pesquisadora e produziram um jogo. Todas as atividades foram desenvolvidas no Scratch, visando à compreensão do conceito de ângulo e de conceitos básicos de programação. Durante a realização das atividades, os alunos eram observados e entrevistados. As entrevistas foram inspiradas no método clínico, criado por Piaget, que busca auxiliar na compreensão do curso do pensamento dos sujeitos Além disso, foram utilizados como material de análise vídeos das interações com os alunos, arquivos produzidos no Scratch e registros dos alunos em uma página na internet. A análise de dados está apoiada na Teoria dos Campos Conceituais proposta por Gérard Vergnaud e na busca por aproximações e distanciamentos na psicogênese das condutas cognitivas da criança em interação com o mundo do computador, observadas por Léa Fagundes. Os resultados apontam para evoluções na compreensão do conceito de ângulo, permitindo identificar fases e subfases nas quais os alunos apresentam seus esquemas em relação ao conceito de ângulo e apropriação da linguagem de programação do software. / The present study proposes to answer the research question: What are the evidences of mathematical thinking and how do the students express them in programming activities involving the angle concept? The research comprises a case study carried out with 16 students from 6th grade of elementary school in a public school in São Leopoldo. The students took part of 11 weekly meetings, within their class schedule, in which they solved varied situations proposed by the researcher and produced a game. All activities were developed in Scratch, aiming at understanding the concept of angle and basic programming concepts. During the activities, the students were observed and interviewed The interviews were inspired in clinical method, created by Piaget, which seeks to assist them in understanding the course of the subjects' reasoning. In addition, videos of interactions with students, files produced in Scratch and student records on a web page were used as analysis material. Data analysis is supported by the Theory of Conceptual Fields proposed by Gérard Vergnaud and the search for similarities and differences in the psychogenesis of the cognitive behavior of the child in interaction with the computing world, observed by Léa Fagundes. The results point to evolutions in the understanding of the concept of angle, allowing us to identify phases and subphases in which the students present their schemas in concerning the concept of angle and appropriation of the software programming language.

Este trabalho traz um estudo sobre o ensino e a aprendizagem dos números relativos e das operações de adição e subtração. A escolha deste tema de pesquisa está associada às constatações de incompreensões dos números relativos pelos alunos, ao longo de anos de prática docente. A partir dessa prática e dos referenciais teóricos adotados, observou-se que a concepção de número como quantidade constitui-se em obstáculo epistemológico para a aceitação dos números negativos. Foi construída uma sequência didática com o objetivo de promover a compreensão dos números relativos como operadores aditivos e como representação de posição relativa e das operações de adição e subtração. A sequência didática foi aplicada em uma turma do sétimo ano do Ensino Fundamental de uma escola da rede municipal da cidade de Canoas, durante o primeiro semestre letivo do ano de 2013. A elaboração da sequência didática e a análise dos registros escritos e orais coletados no decorrer de sua implementação apoiaram-se na Teoria dos Campos Conceituais e em pesquisas de autores que estudam o ensino e a aprendizagem dos números relativos. A análise apontou que o desenvolvimento de atividades envolvendo transformações de sentidos opostos, em contextos variados, favoreceu a compreensão dos números relativos como operadores aditivos, bem como das operações de adição e subtração e suas propriedades. Tais resultados também se devem à participação dos alunos em discussões argumentativas acerca de suas próprias soluções para os problemas propostos. Como produto da pesquisa, propomos uma sequência didática aprimorada, a partir das reflexões desenvolvidas sobre a aplicação realizada. / This paper presents a study on the teaching and learning of relative numbers and addition and subtraction operations with such numbers. The choice of this research topic is related to the findings of misunderstandings of the relative numbers by students over years of teaching practice. From this practice and the theoretical frameworks adopted, it was observed that the concept of number as an expression of quantity is an epistemological obstacle to the acceptance of negative numbers. A didactic sequence was constructed with the aim of promoting understanding of the numbers as operators and representations of the relative position, and the understanding of addition and subtraction. The instructional sequence was applied to a seventh year class in an elementary school of the municipality of Canoas, during the first semester of the year 2013. The development of instructional sequence and the analysis of written and oral records collected in the course of its implementation were based on the Conceptual Fields Theory and research of authors who study the teaching and learning of relative numbers. The analysis pointed out that the development of activities involving transformations along opposite directions, in varying contexts, favoured the understanding of numbers as additive operators, as well as understanding of the addition and subtraction operations and their properties. These results are also due to the participation of students in argumentative discussions about their own solutions to the problems posed. As a product of the research, we propose an enhanced instructional sequence, based on the reflections developed during and after the application.

Este trabalho é a narrativa de uma experiência didática de aplicação de um módulo que integrou o tópico de Supercondutividade no Ensino Médio regular de uma escola pública situada na cidade de Veranópolis, RS, sob o referencial teórico da Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud. Descrevem-se em detalhe as situações-problema e os recursos selecionados e utilizados, bem como a sequência de como o tema foi abordado no ensino regular, com turmas de terceiro ano. A forma como o módulo foi pensado e o nível de profundidade que foi possível alcançar aparecem ao longo do texto, que também oferece uma revisão da literatura em que a relevância da inclusão da Física Moderna e Contemporânea no currículo do Ensino Médio é discutida. O resultado indica que é possível trabalhar assuntos de Física Moderna e Contemporânea no ensino regular, que os alunos apreciam e mostram disposição para aprender assuntos atuais e que o esforço para introduzir pequenas atualizações curriculares é válido e precisa ser incentivado como uma das possíveis alternativas para se alcançar a melhoria de qualidade na Educação Básica. Ao final, um produto educacional em formato de texto de apoio, orientação e motivação aos professores de Física é apresentado. / This work is a narrative of an application teaching experience that composed the topic of Superconductivity in a Public High School located in Veranópolis city, RS, with the theoretical reference of the Conceptual Fields Theory from Gérard Vergnaud. The problem situations and the selected used resources are detailed described, as well the sequence like it was seen with high school third year students. The way the module was thought and the possible intensity level are throughout the text, which also offers a literature review where there are discussions about the relevance of the Modern and contemporary Physics inclusion in High School curriculum. The result indicates that it is possible to develop Modern and contemporary Physics issues in High School, because the students enjoy and cheer learning current topics, and that the effort to insert small curriculum changes is valid and needs to be encouraged as one possible solution to achieve the Basic Education quality improvement. At the end, it is presented an educational product as a supporting text, orientation and motivation to Physics’ teachers.

Este trabalho é resultado de pesquisa desenvolvida no ano de 2013 em uma escola estadual de Ensino Fundamental, no Município de Itati, no Estado do Rio Grande do Sul, tendo como campo empírico a realização de dez encontros com uma turma do quinto ano do Ensino Fundamental com seis estudantes. A pesquisa abordou o estudo de múltiplos e divisores com auxílio do material didático “segredo dos números” via realização de atividades que viessem a auxiliar os alunos na construção dos conceitos de múltiplos e divisores de um número. O “segredo dos números” é um material didático criado pela professora Esther Pillar Grossi constituído por cartas nas quais os fatores primos dos números naturais são representados por símbolos. Na análise dos dados foi utilizada a Teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud, com ênfase no campo conceitual multiplicativo. Constatou-se que os alunos evoluíram do ponto de vista da aprendizagem, nos conceitos relativos a múltiplos e divisores, desde o reconhecimento de um número primo, até as construções das maquetes de um número, que passa pela identificação de todos os divisores desse número. / This work is the result of research conducted in 2013 in a state school of Primary Education in Itati City, in the state of Rio Grande do Sul - Brazil, it has as the empirical field the realization of ten meetings with a class of fifth grade of Elementary School with six students. The research addressed the study about multiples and dividers with the help of teaching materials “secret of the numbers" through the realization of activities that were to assist students in the building of concepts of multiple and dividers of a number. The "secret of numbers" is a didactic material created by Professor Esther Pillar Grossi composed of letters in which the prime factors of natural numbers are represented by symbols. In the datas’ analysis it was used the Theory of Conceptual Fields of Gerard Vergnaud, emphasizing the multiplicative conceptual field. It was found that students progressed from the point of view of learning in the concepts related to multiple and dividers, from the recognition of a prime number, to the construction of models of a number, which includes the identification of all divisors of that number.

Neste trabalho, discutem-se aspectos das transformações conformes na eletrodinâmica clássica com ênfase na invariância e nas leis de conservação. Inicialmente, abordaram-se aspectos gerais das transformações conformes e fez-se um resumo histórico da evolução dessas transformações. Procurou-se fazer uma apresentação didática, revisando-se a formulação Lagrangiana e o Teorema de Noether para campos aplicado à eletrodinâmica. Estudaram-se as transformações conformes no espaço plano, onde se mostrou que para dimensões maiores ou iguais a três o número de transformações é finito. A partir das equações de Maxwell em coordenadas curvilíneas, chegou-se à condição para que essas equações mantivessem sua forma cartesiana. Com essa condição, mostrou-se que a eletrodinâmica clássica é invariante para o grupo de transformações conformes. Foram discutidas as leis de conservação associadas à invariância conforme da eletrodinâmica clássica a partir do teorema de Noether. Das simetrias por translações no espaço-tempo, obtiveram-se as leis de conservação do momento linear e da energia. Das simetrias associadas às rotações, obtiveram-se seis quantidades conservadas: três delas ligadas à conservação do momento angular e, com relação às três restantes, observou-se, a partir de analogias com a mecânica, que estavam associadas ao movimento do centro de energia do campo. Para a interpretação da grandeza conservada por simetria de escala, verificou-se, também a partir de uma analogia mecânica, que essa simetria somente é verificada para partículas não massivas ou para partículas massivas a altas energias. Finalmente, para as transformações conformes especiais, verificou-se que as leis de conservação resultantes são consequências das leis anteriores de conservação para o campo eletromagnético, e neste caso, essa simetria também somente se manifesta para partículas de massa nula ou para altas energias. / In this work, aspects of conformal transformations in classical electrodynamics are discussed with emphasis on the invariance and conservation laws. Initially, a general view of conformal transformations was shown and a summary of the historical evolution of those transformations was presented. The work was approached didactically, and Noethers theorem based on the electrodynamics Lagrangian formulation was revised. The conformal transformations were studied in plane spaces and it was shown that, for dimensions greater than or equal to three, the number of transformations is finite. Starting from Maxwells equations in curvilinear coordinates, a condition for maintaining those equations in Cartesian form was established. With that condition, it was shown that the classical electrodynamics laws are invariant for the group of conformal transformations. The conservation laws associated with the conformal invariance of classical electrodynamics were discussed, based on Noethers theorem. From the space-time translation symmetry, the laws of conservation of linear momentum and of energy were obtained. From rotational symmetry, six conserved quantities were obtained: three of them associated with angular momentum and the remaining three, observed, starting from analogies with mechanics, were associated with the movement of the center of energy of the field. For the interpretation of the quantity conserved by scale symmetry, it was verified, also from a mechanical analogy, that that symmetry is only valid for null mass particles or for high energies. Finally, for the special conformal transformations, it was verified that the resultant laws of conservation are consequences of the previous laws, and in that case, symmetry is also valid only for particles of null mass or for high energies.