Este trabalho apresenta uma proposta de sequência didática em problemas de contagem, a partir de situações de jogos. Foi feito um Estudo de Caso numa turma de 8º ano do ensino fundamental do Colégio Militar de Porto Alegre e, ao longo do segundo semestre de 2008, quando da aplicação desses jogos, fizemos observações em relação às estratégias de contagem, às relações sociais, às distintas formas de organizar a resolução dos problemas que surgiam nas atividades e aos esquemas produzidos pelos alunos. Fundamentados na Teoria dos Campos Conceituais (Vergnaud) e na Zona de Desenvolvimento Proximal (Vygotsky), fazemos uma análise de como esses sujeitos se comportaram em diferentes contextos que abordavam o mesmo campo conceitual multiplicativo. Ao término dessa pesquisa, concluímos que o conjunto das diversas situações dos jogos ampliou o leque de representações de contagem e que o ambiente de sala de aula se tornou mais sociável, à medida que os alunos se integravam para um objetivo comum. / This work proposes a teaching sequence in counting problems, from situations of games. Was made a case study in a class of 8th grade of elementary school of the Military School of Porto Alegre and, during the second half of 2008, when following these games, we made observations on the counting strategies, social interaction, different ways of organizing the problems that arose in the activities and the schemes produced by the students. Based on the Theory of Conceptual Fields (Vergnaud) and Zone of Proximal Development (Vygotsky), we made an analysis of how these individuals behave in different contexts that were on the same multiplicative conceptual field. At the end of this research, we conclude that all the different situations of the game expanded the range of representations of counting and that the environment of the classroom has become more sociable, as the students were integrated into a common goal.

A presente dissertação traz uma pesquisa sobre a aprendizagem da operação de divisão, com crianças do 4º ano do Ensino Fundamental. O objetivo da pesquisa era verificar se, através de uma proposta de ensino em que as crianças pudessem vivenciar a operação de divisão em variados contextos e situações, seria possível favorecer a (re)construção de seus esquemas e provocar sua aprendizagem. A metodologia adotada foi o estudo de caso, com a aplicação da sequência didática elaborada em uma turma de uma escola municipal da cidade de Gravataí, Rio Grande do Sul. A elaboração da sequência didática, assim como a análise dos registros orais e escritos de sua implementação, apoiou-se nos estudos realizados sobre a teoria dos campos conceituais, de Gérard Vergnaud, e em trabalhos de outros autores que estudam a construção das estruturas multiplicativas. Foi possível verificar que houve avanços na aprendizagem da operação de divisão por parte das crianças daquela turma. Através dos registros coletados e dos diálogos estabelecidos, foi possível compreender as maneiras como as crianças compreendiam e lidavam com situações de divisão e observar a mobilização e a reformulação de seus esquemas frente às situações vivenciadas em sala de aula. / The present dissertation presents a research on the division operation learning with children of the 4th grade of Elementary School. The purpose of this research to verify if, through a teaching proposal in which children could experience the division operation in various contexts and situations, it would be possible to favour the (re) construction of their schemes and to develop their learning. The methodology adopted was the case study, with the application of the teaching sequence elaborated in a group of a municipal school of Gravataí, Rio Grande do Sul. The elaboration of the teaching sequence, as the analysis of the oral and written records of its implementation, was supported by the studies accomplished with the Theory of Conceptual Fields by Gérard Vergnaud, and by papers from other authors that study the construction of multiplicative structures. It was possible to verify that there were advancements in the learning of the division operation by the children of that group. Throughout the collected records and the dialogs established, it was possible to understand the ways children understood and dealt with the division situations and to observe the mobilization and the reformulation of their schemes faced to the situations experienced in the classroom.

A presente pesquisa versa sobre o aprender a aprender dos diferentes sujeitos/atores em situações de ensino problematizadoras e diversificadas, produzidas na dinâmica do contexto escolar. A aprendizagem, neste estudo, é considerada como um “evento” relacionado à diferentes contextos histórico-culturais, em uma unidade dinâmica, cujos sujeitos-atores estão inseridos, provocando múltiplas situações produtoras da aprendizagem. As situações e as interações entre os sujeitos envolvidos no ato de aprender, foram problematizadas em uma escola pública de Porto Alegre/RS, o Colégio Estadual Júlio de Castilhos, entre 2011 e 2013, junto aos alunos de 1º ano do ensino médio na disciplina de biologia, e a estudantes do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFRS-campus Porto Alegre), do curso de Licenciatura em Ciências da Natureza: Química e Biologia, participantes do PIBID (Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência), entre julho de 2012 a dezembro de 2013. Na perspectiva de uma pesquisa em ação, foram analisados os conceitos construídos (os invariantes operatórios), e identificou-se as dificuldades para determinar as situações-problema mais adequadas para promover as conceituações em ciências. Mas nas interações que se estabelecem dialeticamente na escola, o professor também aprende, modifica-se. É na sala de aula que este professor irá desenvolver o seu processo investigativo para aprender a ensinar, construindo conceitos relacionados ao ensino de ciências, em um aprender a aprender. No processo de aprender a aprender, o professor compreende a dinâmica relacionada ao aprender a aprender do estudante. Nas dificuldades da aprendizagem de alunos e professores formados e em formação, a professora investigadora modificou-se através da reflexão sobre as suas próprias dificuldades de aprendizagem para resolver as situações-problema, no enfoque de Gérard Vergnaud (1990), dos campos conceituais. Nesta análise, o conhecimento está organizado em situações-problema, e é a partir da resolução destas situações que os sujeitos que aprendem, desenvolverão as suas conceituações. O contexto de ensino dos formadores de professores também é problematizado nesta pesquisa. Nas investigações de formação inicial e continuada, as situações/contextos sociais direcionaram a aprendizagem em ciências, reforçando a ideia de que aprender a aprender através da ressignificação dos conceitos prévios em situações problematizadoras, é fundamental para aprender a ensinar. Quando não existe esta conexão, identificam-se dificuldades para a aprendizagem do professor, pois ele simplesmente repete sem significação alguns conceitos transmitidos na academia, reproduzindo muitas vezes, a metodologia tradicional de ensino. Constatou-se neste estudo, que um professor que não é formado em um contexto investigativo, onde a sua prática na sala de aula não é o fundamento para elaboração de conhecimentos ressignificados da academia, é um professor que provavelmente, não reconhece como elemento para a aprendizagem de seus alunos, a investigação. Portanto, o aprender e o ensinar ciências se realizam no contexto cuja essência deve ser a investigação, pois é permeado por situações de ensino que se constituem no contexto histórico-cultural dos sujeitos da aprendizagem. As argumentações desta tese foram fundamentadas a partir da reflexão-ação nos referenciais de Vergnaud (1990, 2003), Ausubel (1980, 2000), Vygotsky (!988), Moreira (2002, 2011), Freire (2004), Demo (1999), Nóvoa (1992) e Schön (1997). / The study deals on the learning to learn of the different subjects/actors in teaching situations problematizing and diversified, produced in the dynamics of the school context. Learning, in this study, it is considered as an "event" related to different contexts historical-cultural in a dynamic unity, whose subject-actors are inserted, causing multiple situations producing learning. The situations and the interactions between the individuals involved in the act of learning, were analyzed in a public school in Porto Alegre/RS, the State College Julio de Castilhos, between 2011 and 2013, together with the students of 1ST year of secondary education in the discipline of biology, and the students of the Federal Institute of Education, Science and Technology (IFRS-campus Porto Alegre), of degree course in Natural Sciences: Chemistry and Biology, participants of PIBID (Institutional Program of Scholarships to Teaching), between july 2012 and december 2013. From the perspective of a research in action, were análisados concepts built (the invariant operative), and we identified the difficulties to determine the problem situations most suitable to promote the conceptions in sciences. But in the interactions that are dialectically in the school, the teacher also learns, modifies itself. It is in the classroom that the teacher will develop your investigative process to learn how to teach, constructing concepts related to the teaching of science, in a learning to learn. In the process of learning to learn, the teacher understands the dinâmca related to learning to learn of student. In the learning difficulties of students and teachers trained and training, the teacher researcher has changed through reflection of their own learning difficulties to solve problem situations, at focus of Gérard Vergnaud (1990), in the conceptual fields. In this analysis, the knowledge is organized in problem situations, and is from the resolution of these situations that the subjects who learn, develop their conceptualizations. The context of teaching the teacher trainers also is problematized in this research. In investigations of initial and continuing training, the situations / social contexts has influenced learning in sciences, reinforcing the idea that learning to learn through the Resignification of the previous concepts in problem-solving situations, it is essential to learn to teach. When there not is this connection, identifies difficulties for the learning of the teacher, because he simply repeats without signification some concepts transmitted in the academy, reproducing often many times, the traditional methodology of teaching. It was found in this study that a teacher who is not formed in a research context, where his practice in the classroom not the basis for the elaboration of new meanings of academic knowledge, is a teacher who probably does not recognize as an element for the learning of their students, research. Therefore, the learning and teaching science if perform in the context whose essence must be the research, because it is permeated by teaching situations that is constitute in the historical-cultural context of the subjects of learning. The arguments of this thesis were based from the reflection-action on reference Vergnaud (1990, 2003), Ausubel (1980, 2000), Vygotsky (! 988), Moreira (2002, 2011), Freire (2004), Demo (1999) Nóvoa (1992) and Schon (1997).

Esta pesquisa tem como objetivo investigar os obstáculos à aprendizagem de Álgebra no Ensino Fundamental com o intuito de ajudar na compreensão das dificuldades envolvidas no aprendizado desse tópico. Para tal efeito, foi feito um levantamento da bibliografia relacionada à construção da ideia de obstáculo, erros e dificuldades relativos à aprendizagem de Matemática no Brasil e no exterior. Através desse levantamento, constatou-se que elevados índices de erros cometidos por alunos do Ensino Fundamental em países como a Inglaterra e os Estados Unidos, em problemas matemáticos relacionados à Álgebra, aproximam-se da realidade brasileira, como mostram os dados do último relatório fornecido pelo INEP (Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas). Para confirmar esses fatos, foi aplicada uma pesquisa entre os alunos do 9º ano do Ensino Fundamental, da rede pública do estado de São Paulo, com questões adaptadas do SARESP (Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo). Para efeitos de análise, os obstáculos encontrados foram classificados sob a perspectiva de quatro categorias (Epistemológicos, Didáticos, Psicológicos e Ontogenéticos) definidas por Guy Brousseau para o ensino de Matemática. Utilizou-se também o aspecto conceitual do domínio do funcionamento cognitivo do \"sujeito-emsituação\", cujas bases são advindas e ampliadas da teoria piagetiana de operações lógicas e das estruturas gerais do pensamento, conhecida como a Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud. Esta pesquisa trata do conhecimento-em-ação e sua influência no aprendizado de Álgebra, o que é um teorema-em-ação e uma invariante operatória, além de mostrar o funcionamento dos esquemas. Desta forma, foi possível oferecer alguns indicativos ao professor do que seria necessário para compreender as dificuldades e obstáculos que envolvem o aprendizado de Álgebra e conscientizá-lo de que é relevante um acompanhamento em longo prazo e aprofundado de seus alunos para realmente obter respostas concretas sobre os obstáculos epistemológicos e os aspectos psicológicos envolvidos na aprendizagem, como definidos por Vergnaud (1994). / The aim of this study is to examine obstacles and understand difficulties involved in the learning of Algebra in elementary school. The work consists in a review of the academic production and theoretical studies concerning the construction of the idea of obstacles, difficulties and errors in the learning of Mathematics in Brazil and overseas. The analyses of the studies revealed that a high level of errors made by students in elementary school in some countries, such as England and the United States, on mathematical problems related to Algebra, are close to the Brazilian reality, as shown by the data of the last report provided by INEP (National Institute of Studies and Research). Also an empirical study was applied among students in the 9th grade of elementary school, all from public schools of Sao Paulo. The questions applied in this study have been adapted from SARESP (System for Evaluation of Educational Achievement of Sao Paulo). For analysis purposes, the obstacles encountered were classified from the perspective of four categories (Epistemological, Educational, Psychological and Ontogenetic) defined by Guy Brousseau for teaching mathematics in addition to the conceptual aspect in the field of cognitive functioning of \"subject in a situation\", whose bases are arisen and extended from Piaget\'s theory of logical operations and the general structures of thought, known as Theory of Conceptual Fields (Vergnaud, 1990). This study also treats with knowledge-in-action and their influence on the learning of Algebra, what are theorems-in-action and operative invariants in addition to showing the function of schemes. Thus it was possible to offer some indications for teachers and helping them to understand difficulties and obstacles involving in the learning of Algebra. In addition, it is relevant to keep in mind that a long term and careful tracking of their students must be required. In that way, it is possible to infer answers involving obstacles on the epistemological and psychological aspects, as defined by Vergnaud (1994).

A presente dissertação traz uma pesquisa sobre a aprendizagem da operação de divisão, com crianças do 4º ano do Ensino Fundamental. O objetivo da pesquisa era verificar se, através de uma proposta de ensino em que as crianças pudessem vivenciar a operação de divisão em variados contextos e situações, seria possível favorecer a (re)construção de seus esquemas e provocar sua aprendizagem. A metodologia adotada foi o estudo de caso, com a aplicação da sequência didática elaborada em uma turma de uma escola municipal da cidade de Gravataí, Rio Grande do Sul. A elaboração da sequência didática, assim como a análise dos registros orais e escritos de sua implementação, apoiou-se nos estudos realizados sobre a teoria dos campos conceituais, de Gérard Vergnaud, e em trabalhos de outros autores que estudam a construção das estruturas multiplicativas. Foi possível verificar que houve avanços na aprendizagem da operação de divisão por parte das crianças daquela turma. Através dos registros coletados e dos diálogos estabelecidos, foi possível compreender as maneiras como as crianças compreendiam e lidavam com situações de divisão e observar a mobilização e a reformulação de seus esquemas frente às situações vivenciadas em sala de aula. / The present dissertation presents a research on the division operation learning with children of the 4th grade of Elementary School. The purpose of this research to verify if, through a teaching proposal in which children could experience the division operation in various contexts and situations, it would be possible to favour the (re) construction of their schemes and to develop their learning. The methodology adopted was the case study, with the application of the teaching sequence elaborated in a group of a municipal school of Gravataí, Rio Grande do Sul. The elaboration of the teaching sequence, as the analysis of the oral and written records of its implementation, was supported by the studies accomplished with the Theory of Conceptual Fields by Gérard Vergnaud, and by papers from other authors that study the construction of multiplicative structures. It was possible to verify that there were advancements in the learning of the division operation by the children of that group. Throughout the collected records and the dialogs established, it was possible to understand the ways children understood and dealt with the division situations and to observe the mobilization and the reformulation of their schemes faced to the situations experienced in the classroom.

Este trabalho é um estudo sobre o processo do desenvolvimento cognitivo, através da resolução qualitativa de problemas, à luz da teoria dos campos conceituais de Gèrard Vergnaud. É proposto o uso da linguagem verbal como instrumento de detecção e explicitação de invariantes operatórios que, inicialmente, poderão não ser verdadeiros conceitos e teoremas científicos, mas, através da intervenção do professor, poderão evoluir para tal. A proposta é fundamentada em diversos trabalhos sobre a resolução de problemas e pela teoria dos campos conceituais, avaliada como instrumento no processo de aprendizagem sendo validada a partir dos resultados da intervenção didática com alunos da 1ª série do Ensino Médio em aulas de Física e seus resultados são apresentados. / This work is a study about the cognitive development process through qualitative problem solving, under the light of Gérard Vernaud's conceptual fields theory. It proposes the use of verbal language as an instrument for detection and explicitation of operational invariants that, initially, may not be scientifically accepted but that through the teacher's mediation might evolve to scientific concepts and theorems. The proposal is based on previous studies on problem solving and the conceptual fields theory, which was taken as theoretical framework for the learning process and validated by the research findings of a didactical intervention with first year high school students in physics classes.

Este trabalho apresenta uma proposta de sequência didática em problemas de contagem, a partir de situações de jogos. Foi feito um Estudo de Caso numa turma de 8º ano do ensino fundamental do Colégio Militar de Porto Alegre e, ao longo do segundo semestre de 2008, quando da aplicação desses jogos, fizemos observações em relação às estratégias de contagem, às relações sociais, às distintas formas de organizar a resolução dos problemas que surgiam nas atividades e aos esquemas produzidos pelos alunos. Fundamentados na Teoria dos Campos Conceituais (Vergnaud) e na Zona de Desenvolvimento Proximal (Vygotsky), fazemos uma análise de como esses sujeitos se comportaram em diferentes contextos que abordavam o mesmo campo conceitual multiplicativo. Ao término dessa pesquisa, concluímos que o conjunto das diversas situações dos jogos ampliou o leque de representações de contagem e que o ambiente de sala de aula se tornou mais sociável, à medida que os alunos se integravam para um objetivo comum. / This work proposes a teaching sequence in counting problems, from situations of games. Was made a case study in a class of 8th grade of elementary school of the Military School of Porto Alegre and, during the second half of 2008, when following these games, we made observations on the counting strategies, social interaction, different ways of organizing the problems that arose in the activities and the schemes produced by the students. Based on the Theory of Conceptual Fields (Vergnaud) and Zone of Proximal Development (Vygotsky), we made an analysis of how these individuals behave in different contexts that were on the same multiplicative conceptual field. At the end of this research, we conclude that all the different situations of the game expanded the range of representations of counting and that the environment of the classroom has become more sociable, as the students were integrated into a common goal.

A presente pesquisa versa sobre o aprender a aprender dos diferentes sujeitos/atores em situações de ensino problematizadoras e diversificadas, produzidas na dinâmica do contexto escolar. A aprendizagem, neste estudo, é considerada como um “evento” relacionado à diferentes contextos histórico-culturais, em uma unidade dinâmica, cujos sujeitos-atores estão inseridos, provocando múltiplas situações produtoras da aprendizagem. As situações e as interações entre os sujeitos envolvidos no ato de aprender, foram problematizadas em uma escola pública de Porto Alegre/RS, o Colégio Estadual Júlio de Castilhos, entre 2011 e 2013, junto aos alunos de 1º ano do ensino médio na disciplina de biologia, e a estudantes do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia (IFRS-campus Porto Alegre), do curso de Licenciatura em Ciências da Natureza: Química e Biologia, participantes do PIBID (Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência), entre julho de 2012 a dezembro de 2013. Na perspectiva de uma pesquisa em ação, foram analisados os conceitos construídos (os invariantes operatórios), e identificou-se as dificuldades para determinar as situações-problema mais adequadas para promover as conceituações em ciências. Mas nas interações que se estabelecem dialeticamente na escola, o professor também aprende, modifica-se. É na sala de aula que este professor irá desenvolver o seu processo investigativo para aprender a ensinar, construindo conceitos relacionados ao ensino de ciências, em um aprender a aprender. No processo de aprender a aprender, o professor compreende a dinâmica relacionada ao aprender a aprender do estudante. Nas dificuldades da aprendizagem de alunos e professores formados e em formação, a professora investigadora modificou-se através da reflexão sobre as suas próprias dificuldades de aprendizagem para resolver as situações-problema, no enfoque de Gérard Vergnaud (1990), dos campos conceituais. Nesta análise, o conhecimento está organizado em situações-problema, e é a partir da resolução destas situações que os sujeitos que aprendem, desenvolverão as suas conceituações. O contexto de ensino dos formadores de professores também é problematizado nesta pesquisa. Nas investigações de formação inicial e continuada, as situações/contextos sociais direcionaram a aprendizagem em ciências, reforçando a ideia de que aprender a aprender através da ressignificação dos conceitos prévios em situações problematizadoras, é fundamental para aprender a ensinar. Quando não existe esta conexão, identificam-se dificuldades para a aprendizagem do professor, pois ele simplesmente repete sem significação alguns conceitos transmitidos na academia, reproduzindo muitas vezes, a metodologia tradicional de ensino. Constatou-se neste estudo, que um professor que não é formado em um contexto investigativo, onde a sua prática na sala de aula não é o fundamento para elaboração de conhecimentos ressignificados da academia, é um professor que provavelmente, não reconhece como elemento para a aprendizagem de seus alunos, a investigação. Portanto, o aprender e o ensinar ciências se realizam no contexto cuja essência deve ser a investigação, pois é permeado por situações de ensino que se constituem no contexto histórico-cultural dos sujeitos da aprendizagem. As argumentações desta tese foram fundamentadas a partir da reflexão-ação nos referenciais de Vergnaud (1990, 2003), Ausubel (1980, 2000), Vygotsky (!988), Moreira (2002, 2011), Freire (2004), Demo (1999), Nóvoa (1992) e Schön (1997). / The study deals on the learning to learn of the different subjects/actors in teaching situations problematizing and diversified, produced in the dynamics of the school context. Learning, in this study, it is considered as an "event" related to different contexts historical-cultural in a dynamic unity, whose subject-actors are inserted, causing multiple situations producing learning. The situations and the interactions between the individuals involved in the act of learning, were analyzed in a public school in Porto Alegre/RS, the State College Julio de Castilhos, between 2011 and 2013, together with the students of 1ST year of secondary education in the discipline of biology, and the students of the Federal Institute of Education, Science and Technology (IFRS-campus Porto Alegre), of degree course in Natural Sciences: Chemistry and Biology, participants of PIBID (Institutional Program of Scholarships to Teaching), between july 2012 and december 2013. From the perspective of a research in action, were análisados concepts built (the invariant operative), and we identified the difficulties to determine the problem situations most suitable to promote the conceptions in sciences. But in the interactions that are dialectically in the school, the teacher also learns, modifies itself. It is in the classroom that the teacher will develop your investigative process to learn how to teach, constructing concepts related to the teaching of science, in a learning to learn. In the process of learning to learn, the teacher understands the dinâmca related to learning to learn of student. In the learning difficulties of students and teachers trained and training, the teacher researcher has changed through reflection of their own learning difficulties to solve problem situations, at focus of Gérard Vergnaud (1990), in the conceptual fields. In this analysis, the knowledge is organized in problem situations, and is from the resolution of these situations that the subjects who learn, develop their conceptualizations. The context of teaching the teacher trainers also is problematized in this research. In investigations of initial and continuing training, the situations / social contexts has influenced learning in sciences, reinforcing the idea that learning to learn through the Resignification of the previous concepts in problem-solving situations, it is essential to learn to teach. When there not is this connection, identifies difficulties for the learning of the teacher, because he simply repeats without signification some concepts transmitted in the academy, reproducing often many times, the traditional methodology of teaching. It was found in this study that a teacher who is not formed in a research context, where his practice in the classroom not the basis for the elaboration of new meanings of academic knowledge, is a teacher who probably does not recognize as an element for the learning of their students, research. Therefore, the learning and teaching science if perform in the context whose essence must be the research, because it is permeated by teaching situations that is constitute in the historical-cultural context of the subjects of learning. The arguments of this thesis were based from the reflection-action on reference Vergnaud (1990, 2003), Ausubel (1980, 2000), Vygotsky (! 988), Moreira (2002, 2011), Freire (2004), Demo (1999) Nóvoa (1992) and Schon (1997).

Submitted by (lucia.rodrigues@ufrpe.br) on 2016-10-21T14:26:07Z No. of bitstreams: 1 Cacilda Tenorio Oliveira Machado.pdf: 747196 bytes, checksum: 4521087d05351f5895a55272c91ba3e2 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-10-21T14:26:07Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Cacilda Tenorio Oliveira Machado.pdf: 747196 bytes, checksum: 4521087d05351f5895a55272c91ba3e2 (MD5) Previous issue date: 2007-01-24 / The aim of this work is to investigate the existence of relationships among the conceptions of the Mathematic teachers about fractionary numbers and the teaching process of this subject in the 5th level of the fundamental school. Based on the theory of the Conceptual Fields from Vergnaud, we analyzed data by doing the comparison between two situations: how the teacher learned and how does he teaches the concept of fraction. Our exposition was compound by ten Mathematic teachers who teach in the 5th level, that, in the beginning were interviewed through out the DHC–Dialectical Hermeneutical Circle and after they had their fraction concept introductory class observed. Being this research made on a qualitative character, it was utilized the Interactive Methodology, cause of its meaningful contribution to collect and analyze data. The DHC technique made considerably easier the data collection and gave us the opportunity of a better interaction among the interviewed ones and the researcher. The results we found showed that as men as women were capable of carrying out good didactical transpositions, those teachers between 40 and 45 years old, the ones with more general time of teaching, the ones with more experience in the 5th level and those who act only in the Prived School were better in the observed classes. Other important factor to be considered is that the Mathematical Education haven’t influenced conceptions and parctices of teachers differently. We observed that there are teachers with a very well made conceptions about fractions, conscious that the didactical transposition which they are doing in their classes is disconnected from the pupils’ reality and as they know the necessity of a contextualized teaching of this subject, meanwhile they can not be free from old practices. This studying points to future researchers which ones can clarify the incoherence between teachers’ speeching and doing. We confirmed that there is a relationship between the conceptions that the teachers have about the Mathematic Knowledge and the procedures to teach and evaluate adopted by them. The part/all model is the most worked by the collaborator teachers of this research and almost always it is associated to the procedure of double counting which makes the pupils to think about fraction not as numbers to learn, but as part of things. We concluded that many difficulties from the pupils to learn about fraction is a consequence from the model of the Didactical Transposition done by the teacher in the moment of teaching that concept. / O objetivo deste trabalho foi investigar a existência de relações entre as concepções de professores de matemática sobre númers fracionários e o processo de ensino desse conteúdo na 5ª série do ensino fundamental. Baseados na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud analisamos os dados coletados fazendo um confronto de duas situações: como o professor aprendeu e como ele ensina o conceito de fração. A nossa amostra foi composta por dez professores de matemática de 5ª série, que, inicialmente foram entrevistados através do Círculo Hermenêutico Dialético (CHD) e, posteriormente, tiveram observadas as suas aulas introdutórias do conceito de fração. Sendo esta pesquisa de caráter qualitativo, nela foi utilizada a Metodologia Interativa, pela sua contribuição significativa na coleta e análise dos dados. A técnica do CHD facilitou consideravelmente a coleta dos dados oportunizando uma maior interação entre os entrevistados e a pesquisadora. Os resultados encontrados apontam que tanto homens como mulheres foram capazes de realizar boas transposições didáticas, que professores da faixa dos 40 aos 45 anos, os com mais tempo geral de ensino, os com mais tempo de ensino na 5ª série e os que atuavam apenas na rede particular de ensino se saíram melhor na aula observada. Outro fator importante a ser considerado é que a formação em matemática não influenciou diferentemente concepções e práticas dos professores. Observamos que há professores com concepções bem elaboradas sobre fração, conscientes de que a transposição didática que estão fazendo em suas salas de aula está desarticulada da realidade dos alunos e sabedores da necessidade de um ensino contextualizado desse conteúdo, entretanto, não conseguem se desvencilhar de antigas práticas. Este estudo sinaliza para pesquisas futuras que possam esclarecer a incoerência entre o dizer e o fazer dos professores. Não observamos uma relação entre as concepções que os professores têm acerca do conhecimento matemático e os procedimentos de ensinar e avaliar por eles adotados. O modelo parte/todo é o mais trabalhado pelos professores colaboradores desta pesquisa e quase sempre é associado ao procedimento de contagem dupla, o que leva os alunos a pensarem frações não como números, mas, como partes de coisas. Concluímos que muitas das dificuldades dos alunos na aprendizagem de frações é conseqüência do modelo da transposição didática feita pelo professor no momento do ensino daquele conceito.

Este trabalho investiga o processo de apreensão do princípio de conservação da energia mecânica por alunos em diferentes momentos da instrução formal. O trabalho é justificado pelos relatos existentes acerca da complexidade que envolve o conceito de energia, o princípio de conservação da energia, degradação e conversão relacionadas aos materiais didáticos, à sua estrutura epistemológica racional e, principalmente, à sua aprendizagem. Consideramos, para isso, duas dimensões que julgamos centrais para essa discussão: a primeira refere-se ao desenvolvimento histórico-epistemológico do conceito e, a segunda, ao seu desenvolvimento em nível individual ou cognitivo. Para a primeira dimensão resgatamos pontos chaves do desenvolvimento histórico do princípio de conservação da energia, sua relação com a conservação da vis viva e os diferentes desenvolvimentos do teorema trabalho-energia, sendo um realizado por Lazare Carnot e, outro, por Lagrange. Consoante a isso apresentamos, orbitando à primeira dimensão, de que maneira o conceito de energia mecânica é tratado em alguns manuais de ensino universitário e uma síntese dos trabalhos voltados para o conceito de energia na área de Ensino de Ciências. Para a segunda dimensão pesquisamos os conhecimentos mobilizados por estudantes de diferentes níveis privilegiando duas metodologias: a primeira num estudo coletivo, que chamamos de preliminar e, outra, em nível do indivíduo, aprofundado. A intenção do estudo preliminar foi a de verificar e confirmar que alunos que se encontram em momentos mais avançados de ensino tendem a mobilizar e articular conceitos com maior pertinência do que aqueles que se encontram em momentos anteriores. Foram aplicados 158 questionários e analisados à luz de categorias existentes na literatura da área, possibilitando a aproximação com os dados relatados em pesquisas longitudinais. A partir dessa análise e da literatura, foi possível elencar 8 situações na perspectiva de aprofundarmos o entendimento de como ocorre, de maneira explícita ou implícita, o processo de aprendizagem de 6 sujeitos para os conceitos-chaves levantados durante a ação da resolução das situações com mediação do investigador. As mediações foram gravadas em vídeo e áudio e integralmente transcritas para análise. O referencial teórico adotado para a investigação da conceitualização é a Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud. A análise das condutas dos sujeitos-em-ação nos permitiu inferir, por exemplo, que os sujeitos-em-ação reconhecem a conservação da energia mecânica e até mesmo, implicitamente, a expressão matemática do teorema trabalho-energia capaz de representar essa conservação na sua forma integral. Por outro lado, os dados analisados no estudo aprofundado sugerem que a dinâmica newtoniana parece atuar como obstáculo epistemológico para a aprendizagem da conservação da energia mecânica. / This work investigates the learning process of the conservation of mechanical energy by students in different levels of formal education. The work is justified by researches involving the concept of energy, the principle of the conservation and degradation of energy and transforming process related to the instructional materials. Furthermore, the complexity of rational epistemological structure of those concepts and its learning. In this case, two dimensions are considered as main points: the first one refers to the development of historical-epistemological concept and the second one to the individual cognitive development. For the first dimension, we accomplished the key points of the historical development of the principle of conservation of energy, its relation with the vis viva conservation and different developments of the work-energy theorem which were made by Lazare Carnot and other by Lagrange. According to that, we present the concept of the mechanical energy within some university books and a synthesis of works devoting the concept of the mechanical energy within the Science Learning studies. For the second dimension, we made a research about knowledge utilized by the pupils of different levels specializing in two methodologies: first about collective research called pre-study and the second one about individual research called detailed study. The aim of pre-study was to verify and confirm that high school and undergraduate students tends to mobilize and articulate concepts with better form in accordance with their level; those studies are called cross-grade or longitudinal studies. We applied and categorized 158 questionnaires which had been possible to approximate data related in longitudinal researches. After that, according to the literature, it was possible to organize 8 situations to carefully investigate how do the learning process occur, explicitly or implicitly, in 6 students about key concepts that have been appeared during the act of the resolution of the situations with mediation of the researcher. The mediations were recorded in video and audio and fully transcribed to our analysis. The framework adopted to investigate the conceptualization was the Theory of Conceptual Fields developed by the French cognitivist Gérard Vergnaud. The conduct analyses of the subjects action allowed us to infer, for example, that students recognized the conservation of the mechanical energy during the action of the students and implicitly they recognized the mathematical function that express this conservation in integral form. Moreover, the data suggests that the Newtonian dynamics acts as epistemological obstacle to the learning of the conservation of the mechanical energy.