Le développement de qubits quantiques robustes représente un défi technologique de taille. Malgré plus d'une décennie de progrès et de percées, nous sommes toujours à la recherche du candidat idéal. La difficulté réside dans la nécessité de respecter une panoplie de critères stricts: on doit pouvoir préparer et mesurer les qubits rapidement et de manière fiable, préserver leur état pour de longs temps, appliquer avec précision un continuum de transformations, les coupler les uns aux autres, en entasser des milliers, voire des millions sur un seul dispositif, etc. Parallèlement à ces recherches, un autre groupe de scientifiques travaillent plutôt à l'élaboration de l'architecture permettant d'opérer ces qubits. Cette architecture inclut une couche logicielle de base dont l'étude constitue le domaine du calcul tolérant aux fautes: en encodant l'information dans des qubits logiques à l'aide des qubits physiques disponibles, il est possible d'obtenir un dispositif quantique dont les propriétés effectives sont supérieures à celles des composantes physiques sous-jacentes. En contrepartie, une surcharge doit être payée. Celle-ci peut être interprétée comme une forme de redondance dans l'information. De plus, les portes logiques applicables aux qubits encodés sont souvent trop limitées pour être utiles. La recherche dans ce domaine vise souvent à limiter la surcharge et à étendre l'ensemble des opérations applicables. Cette thèse présente les travaux que j'ai publiés avec mes collaborateurs durant mes études de doctorat. Ceux-ci touchent deux aspects importants du calcul tolérant aux fautes: l'élaboration de protocoles de calcul universel et la conception et l'étude d'algorithmes de décodage de codes topologiques stabilisateurs. Concernant l'élaboration de protocoles de calcul universel, j'ai développé avec l'aide de Krysta Svore chez Microsoft Research une nouvelle famille d'états ressources (Chapitre 2). Celle-ci permet, par l'injection d'états, d'effectuer une opération unitaire arbitraire à un qubit à un coût plus faible que les méthodes existant à ce moment. Plus tard, j'ai poursuivi ces travaux avec David Poulin pour élaborer une autre famille d'états ressources qui diminuent encore davantage les coûts de compilation de diverses portes unitaires à un qubit (Chapitre 3). Finalement, Jonas Anderson, David Poulin et moi avons montré comment il est possible de passer de manière tolérante aux fautes d'un encodage à un autre (Chapitre 4). Cette approche est qualitativement différente, car elle fournit un ensemble universel de portes sans passer par l'injection d'états. Durant mon doctorat, j'ai aussi généralisé de plusieurs manières la méthode de décodage par renormalisation du code topologique de Kitaev que j'ai développée au cours de ma maîtrise. Tout d'abord, j'ai collaboré avec Héctor Bombin et David Poulin dans le but de montrer que tous les codes topologiques stabilisateurs invariants sous translation sont équivalents, c'est-à-dire qu'ils appartiennent à la même phase topologique (Chapitre 5). Ce résultat m'a aussi permis d'adapter mon décodeur aux codes topologiques de couleurs stabilisateurs et à sous-systèmes. Puis, je l'ai adapté à une généralisation du code topologique de Kitaev sur des qudits (Chapitre 6). Ensuite, je l'ai généralisé au cas tolérant aux fautes, où les erreurs dans les mesures du syndrome sont prises en compte (Chapitre 7). Finalement, je l'ai appliqué à un nouveau code élaboré par Sergey Bravyi, le code de surface à sous-systèmes (Chapitre 8).

L'encodage topologique de l'information quantique a attiré beaucoup d'attention, car c'est un modèle qui semble propice à résister aux erreurs locales. Tout d'abord, le modèle du calcul topologique est basé sur la statistique anyonique non-Abélienne universelle et sur son contrôle. Des anyons indésirables peuvent apparaître soudainement, en raison de fluctuations thermiques ou de processus virtuels. La présence de ces anyons peut corrompre l'information encodée, il est nécessaire de les éliminer: la correction consiste à fusionner les défauts tout en préservant la topologie du système. Ensuite, dans le cas des codes topologiques, on doit aussi protéger l'information encodée dans la topologie. En effet, dans ces systèmes, on n'a accès qu'à une fraction de l'information décrivant l'erreur. Elle est recueillie par des mesures et peut être interprétée en termes de particules. Ces défauts peuplent le code et doivent être annihilés adéquatement dans le but de préserver l'information encodée. Dans ce mémoire, nous proposons un algorithme efficace, appelé décodeur, pouvant être utilisé dans les deux contextes décrits ci-haut. Pour y parvenir, cet algorithme s'inspire de méthodes de renormalisation et de propagation de croyance. Il est exponentiellement plus rapide que les méthodes déjà existantes, étant de complexité [Caractères spéciaux omis] (l[indice supérieur 2] log l) en série et, si on parallélise, [Caractères spéciaux omis] (log l) en temps, contre [Caractères spéciaux omis] (l[indice supérieur]6) pour les autres décodeurs. Le temps étant le facteur limitant dans le problème du décodage, cette caractéristique est primordiale. De plus, il tolère une plus grande amplitude de bruit que les méthodes existantes; il possède un seuil de ~ 16.5% sur le canal dépolarisant surpassant le seuil déjà établi de ~ 15.5%. Finalement, il est plus versatile. En effet, en étant limité au code de Kitaev, on ne savait pas décoder les codes topologiques de manière générale (e.g. codes de couleur). Or, le décodeur proposé dans ce mémoire peut traiter la grande classe des codes topologiques stabiliseurs.

Le sujet de cette thèse porte sur la reconstruction de formes à partir de coupes planaires. Dans de nombreux domaines d'application, il est nécessaire de reconstruire des formes à partir de sections. L'importance du sujet en imagerie médicale a conduit, depuis les années 1990, à des résultats importants qui sont cependant pour la plupart limités au cas de sections parallèles. Pourtant en échographie, les données obtenues au moyen d'une sonde guidée manuellement, forment une série d'images représentant des coupes de l'organe par des plans non parallèles. Cette application directe motivait le sujet de ma thèse. Dans cette thèse nous considérons le problème de la reconstruction d'une 3-variété à bord plongée dans R^3, à partir de ses intersections avec un ensemble de plans en positions arbitraires, appelées coupes. C'est pour la première fois que ce problème est étudié en toute généralité, dans le but de fournir des garanties théoriques satisfaisantes sur le résultat de la reconstruction. Aucune garantie théorique n'a été obtenue même pour le cas de coupes parallèles avant cette thèse. Dans le premier chapitre de ce manuscrit, nous étudions la méthode de reconstruction proposée par Liu et al. en 2008. Nous prouvons que si certaines conditions d'échantillonnage sont vérifiées, cette méthode permet de reconstruire la topologie de l'objet à partir des coupes données. Nous prouvons également que l'objet reconstruit est homéomorphe (et isotope) à l'objet. Le deuxième chapitre présente une nouvelle méthode de reconstruction en utilisant le diagramme de Voronoi des sections. Cette méthode permet d'établir plus de connections entre les sections par rapport à la première méthode. Favoriser les connections entre les sections est motivé par la reconstruction d'objets fins à partir de sections peu denses. Nous présentons des conditions d'échantillonnage qui sont adaptées aux objets fins et qui permettent de prouver l'équivalence homotopique entre l'objet reconstruit et l'objet de départ. En effet, nous prouvons que si les plans de coupe sont suffisamment transversales à l'objet, notre méthode de reconstruction est topologiquement valide et peut traiter des topologies complexes des sections avec plusieurs branchements. Dans le dernier chapitre de ce manuscrit, nous présentons une autre méthode de reconstruction qui permet d'établir encore plus de connections entre les sections en comparant avec les deux premières méthodes. Notre méthode est basée sur la triangulation de Delaunay et suit une approche duale en considérant le diagramme de Voronoi des sections. L'algorithme correspondant a été implémenté en C++, en utilisant la bibliothèque CGAL. Les résultats de la reconstruction obtenus par cet algorithme sont très satisfaisants pour les topologies complexes des sections. En se basant sur les études que nous avons développées durant cette thèse, nous espérons pouvoir fournir un fondement solide pour le processus d'acquisition et de reconstruction des données échographiques afin d'avoir un logiciel fiable pour les diagnostics.

Cette thèse poursuit deux directions dans le domaine des isolants et supraconducteurs topologiques.Dans la première partie de la thèse nous étudions des isolants en deux dimensions sur réseau, présentant un effet Hall quantique anormal (c'est-à-dire en l'absence d'un champ magnétique externe), induit par la présence d'un flux magnétique inhomogène dans la maille. Le système possède des phase isolantes caractérisés par un invariant topologique, le nombre de Chern, qui est lié à la conductance portée par le bord états. Nous montrons que les modèles à deux bandes admettent des phase à nombre de Chern arbitraire, ou, de façon équivalente, un nombre arbitraire d'états de bord, quand on augmente la portée des couplages sur réseau. Cette compréhension est rendue possible grâce à la démonstration d'une formule montrant que le nombre de Chern d'une bande dépend de certains propriétés d'un ensemble discret de points dans la zone de Brillouin, les points de Dirac en l'absence du gap. Ces idées sont rendues plus concrètes dans l'étude du modèle de Haldane et dans la création d'un modèle artificiel avec cinq phases de Chern dont les états de bord sont déterminés en détail. La deuxième partie de la thèse porte sur les supraconducteurs topologiques unidimensionnels qui exhibent des états exotiques d'énergie zéro: les états liés de Majorana. Nous étudions ici la présence de fermions de Majorana dans des fils de semiconducteurs à fort couplage spin-orbite sous l’effet de proximité d'un supraconducteur d'onde s. Nous montrons que la polarisation de spin des degrés de liberté électroniques dans la fonction d'onde Majorana dépend du poids relatif du couplage spin-orbite Dresselhaus et Rashba. Nous étudions également les fermions de Majorana dans des jonctions linéaires longues supraconducteur-normal et supraconducteur-normal-supraconducteur (SNS) où ils apparaissent comme des états étendus dans la jonction normale. En outre, la géométrie d'anneaux peut être mise en correspondance avec une jonction SNS, et, sous l'action de gradients dans la phase supraconductrice, des fermions Majorana étendus se forment encore à l'intérieur du fil normal. Enfin, un modèle à deux bandes avec des fermions de Majorana multiples est traité. Nous démontrons que les jonctions Josephson construites à partir de ce modèle maintiennent l'une des signatures remarquables des fermions de Majorana, à savoir la périodicité 4π de l'effet Josephson fractionnaire. / This thesis follows two threads in the field of topological insulators and superconductors. The first part of the thesis is devoted to the study of two-dimensional quantum anomalous Hall insulators on a lattice, in the absence of an external magnetic flux, but induced by an inhomogeneous flux in the unit cell. The system possesses several gapped phases characterized by a topological invariant, the Chern number, that is related to the conductance carried by the edge states. Here we show that two-band models admit an arbitrary large number of Chern phases or, equivalently, an arbitrary number of edge states, by adding hopping between distant neighbor sites. This result is based on a formula proving that the Chern number of a band depends on certain properties of a finite set of points in the Brillouin zone, i.e. the Dirac points for the gapless system. These ideas are made more concrete in the study of a modified Haldane model, and also by creating an artificial model with five Chern phases, whose edge states are determined in detail. The second part of the thesis focuses on one-dimensional topological superconductors with exotic zero-energy edge states: the Majorana bound states. Here we investigate the presence of Majorana fermions in spin-orbit coupled semiconducting wire in proximity to an s-wave superconductor. We show that the spin-polarization of the electronic degrees of freedom in the Majorana wave function depends on the relative weight of Dresselhaus and Rashba spin-orbit couplings. We also investigate Majorana fermions in linear superconductor-normal and long superconductor-normal-superconductor (SNS) junctions where they appear as extended states in the normal junction. Furthermore, ring geometries can be mapped to an SNS junction, and, we have shown that under the action of superconducting phases gradients, extended Majorana fermions can form again inside the normal wire. Finally a two-band model with multiple Majorana fermions is treated and we show that Josephson junctions built from this model maintain the 4π periodicity for the fractional Josephson effect, one of Majorana fermions signatures.

La présente thèse s’articule autour de deux sujets. Le premier concerne la localisation des électrons en présence d’impuretés ou d’interfaces dans le réseau hexagonal. Le deuxième, en revanche, traite de l’accumulation de spin dans un supraconducteur hors-Équilibre de type s.Le graphène est la principale motivation de la première partie. Ce matériau bidimensionnel consiste en un feuillet d’atomes de carbones et peut être décrit comme un réseau hexagonal, c’est-à-dire un réseau de Bravais triangulaire avec un motif diatomique. La structure de bande électronique révèle alors l’existence d’électrons de Dirac sans masse et chiraux à basse énergie.D’une part, il est possible d’annihiler ces fermions chiraux en étirant de façon uni-Axiale le matériau. Pour une valeur seuil de l’étirement, les électrons deviennent massiques et non-Relativistes, ce qui définit une transition de phase dite de Lifshitz. Afin de caractériser cette transition, nous étudions la diffusion des électrons sur des impuretés en fonction de l’étirement. Une impureté localisée induit des interférences quantiques dans la densité électronique, connues sous le nom d’oscillations de Friedel. Etant sensibles à la nature chirale des électrons, nous montrons que ces oscillations décroissent selon des lois de puissances qui permettent de caractériser chacune des phases de la transition. La même étude est réalisée dans le cas limite où le diffuseur est une lacune.D’autre part, le motif diatomique du réseau hexagonal propose aussi une incursion dans le monde des isolants et supraconducteurs topologiques. Pour ces systèmes, la caractérisation topologique de la structure de bande électronique permet de prédire l’existence d’états de bord aux interfaces. Nous développons notamment un modèle de supraconducteur topologique basé sur le réseau hexagonal du graphène, en présence de supraconductivité de type singulet (s ou d). Lorsque la symétrie par renversement du temps est brisée par un champ Zeeman, et en présence de couplage spin-Orbit Rashba, nous donnons une prescription qui permet de caractériser les différentes phases topologiques possibles et de prédire l’apparition d’états de bord (états de Majorana) dans des nano-Rubans de graphène.La seconde partie discute l’accumulation de spin dans un supraconducteur hors-Équilibre, joint à un ferromagnétique. Lorsqu’il est à l’équilibre, le supraconducteur est composé de quasiparticules et d’un condensat. L’injection de particules polarisées en charge et en spin, à savoir des électrons polarisés en spin, induit une accumulation de spin et de charge à l’intérieur du supraconducteur. Si l’injection cesse, les populations de spin et de charge vont relaxer vers l’équilibre, mais pas nécessairement sur des échelles de temps identiques. Récemment, la réalisation d’une expérience a mis en évidence que le la charge pouvait relaxer bien plus rapidement que le spin. Afin de confirmer cet effet, une nouvelle expérience a été réalisée grâce à des mesures établies dans le domaine fréquentiel. Ici, nous adressons un model relatif à cette dernière expérience, dans le but d’extraire le temps caractéristique de relaxation du spin qui s’avère être de l’ordre de quelques nanosecondes. / Two fields of research define the framework in which the present thesis can be apprehended. The first one deals with impurity and boundary modes in the hexagonal lattice. The second one concerns a spin accumulation in an out-Of-Equilibrium superconductor.Two fields of research define the framework in which the present thesis can be apprehended. The first one deals with impurity and boundary modes in the hexagonal lattice. The second one concerns a spin accumulation in an out-Of-Equilibrium superconductor.Graphene is the main motivation of the first part. From a crystallographic perspective, the carbon atoms in graphene, a graphite layer, design a triangular Bravais lattice with a diatomic pattern. This gives rise to an extra degree of freedom in the electronic band structure that crucially reveals chiral massless Dirac electrons at low-Energy. First of all, it is possible to make these chiral fermions annihilate when a uniaxial strain stretches the graphene layer. For a critical value of the strain, all the fermions become massive and nonrelativistic, which defines a Lifshitz transition. We study the impurity scattering as a function of the strain magnitude. A localised impurity yields quantum interferences in the local density of states that are known as Friedel oscillations. Because they are affected by the chiral nature of the electrons, we show that the decaying laws of these oscillations are specific to the phase the system belongs to. Thus, the impurity scattering offers the possibility to fully characterise the transition.Second, the diatomic pattern of the graphene lattice can also be considered as an invitation to the world of topological insulators and superconductors. The existence of edge states in such systems relies on the topological characterization of the band structure. Here we especially introduce a model of topological superconductor based on the honeycomb lattice with induces spin-Singlet superconductivity. When a Zeeman field breaks the time-Reversal invariance, and in the presence of Rashba spin-Orbit interactions, we give a prescription to describe the topological phases of the system and predict the emergence of Majorana modes (edge states) in strained and doped nanoribbons.The second part discusses the study of a spin accumulation in an out-Of-Equilibrium s-Wave superconductor. At the equilibrium, the superconductor is made of particles coupled by a s-Wave pairing, as well as unpaired quasiparticles. Injecting spin-Polarised electrons into the superconductor induces charge and spin imbalances. When the injection stops, it may happen that charge and spin do not relax over the same time-Scale. The first experiment that points out such a spin-Charge decoupling has recently been realised. In order to confirm this chargeless spin-Relaxation time, a new experiment has been developed [96], based on measurements in the frequency domain. Here, we address a model that fits the experimental data and thus enables the extraction of this characteristic time that is of the order of a few nanoseconds.

Dans cette thèse, notre étude porte sur les défauts topologiques en cosmologie et en physique de la matière condensée. Nous proposons d’étudier l’analogie entre les défauts qui apparaissent dans ces domaines. Par exemple, nous discutons l’analogie entre les cordes cosmiques et les disinclinaisons présentes dans les cristaux liquides. Cependant, nous concentrons nos efforts sur l’étude de la gravité et des aspects géométriques des défauts linéaires; cordes cosmiques «ondulées» et les disinclinaisons hyperboliques. Le champ gravitationnel des cordes ondulées est analogue à celui des cordes régulières mais avec un potentiel newtonien non nul. Pour cette raison, outre le fait que l’espace-temps a une géométrie conique, les cordes produisent également une traction gravitationnelle sur les objets situés dans leur voisinage. Ceci a pour conséquence: l’apparition de nouveaux effets en plus de la lentille gravitationnelle. En réalité, nous constatons que les champs massiques et non-massiques sont confinés au voisinage de la corde quand nous examinons la propagation non perpendiculaire à son axe. Cette affirmation est basée sur l’analyse des trajectoires et l’application du formalisme ondulatoire. Enfin, nous proposons la conception d’un guide d’onde optique ayant l’indice de réfraction spécifique permettant de simuler l’effet des cordes ondulées en laboratoire. Bien que la disinclinaison hyperbolique soit très similaire à la disinclinaison ordinaire, le milieu résultant est un métamatériau anisotrope dans lequel le rapport entre les permittivités ordinaire et extraordinaire est négatif. En fait, notre analyse concernant la disinclinaison hyperbolique étant très proche de la précédente pour la corde ondulée, nous appliquons alors le formalisme ondulatoire avec des traitements d’optique géométrique pour comprendre la propagation de la lumière. Nous trouvons que pour un agencement spécifique du champ directeur du cristal liquide hyperbolique, la lumière est confinée et dirigée vers l’axe du métamatériau. Plus précisément, on obtient un dispositif optique qui concentre les rayons de lumière, quelles que soient les conditions d’injection / In this thesis, we study topological defects in cosmology and condensed matter physics. We propose to investigate the analogy between defects that appear in these two realms with respect to aspects of formation and gravity. For instance, we discuss the analogy between cosmic strings and disclinations existing in liquid crystals. In particular, we concentrate our efforts on the study of gravity/geometric aspects of two linear defects: wiggly cosmic string and hyperbolic disclination. The gravitational field of wiggly strings is analogous to the one of regular strings, but with a non-vanishing Newtonian potential. For that reason, besides the spacetime has conical geometry, the string also produces gravitational pullings on objects located in its vicinity. This new fact leads to new effects in addition to the already expected gravitational lensing. In fact, we find that both massive and massless fields are confined to the string when we examine non-perpendicular propagation to the string axis. This statement is based on the analysis of trajectories and by applying the wave formalism. Finally, we propose the design of an optical waveguide having the specific refractive index likely to simulate the effects of wiggly strings in the laboratory. Even though the hyperbolic disclination is very similar to the ordinary one, the resulting medium is an anisotropic metamaterial, in which the ratio between ordinary and extraordinary permittivities is negative. In fact, as our analysis concerning the hyperbolic medium is very close to the previous one for the wiggly string, we also apply the wave formalism together with geometrical optics treatment to understand how light propagates. Interestingly, we find that for one specific director field arrangement of the hyperbolic liquid crystal metamaterial, light is confined and directed to the metamaterial axis. More specifically, we come into possession of an optical device that concentrates light rays, no matter how they are injected in it

Ces travaux de thèse portent sur la conception et sur la caractérisation expérimentale de résonateurs opto-phononiques. Ces structures permettent le confinement simultané de modes optiques et de vibrations mécaniques de très haute fréquence (plusieurs dizaines jusqu’à plusieurs centaines de GHz). Cette étude a été effectuée sur des systèmes multicouches à l’échelle nanométrique, fabriqués à partir de matériaux semiconducteurs de type III-V. Ces derniers ont été caractérisés par des mesures de spectroscopie Raman de haute résolution. Grâce aux méthodes expérimentales et aux outils numériques développés, nous avons pu explorer de nouvelles stratégies de confinement pour des phonons acoustiques au sein de super-réseaux nanophononiques, à des fréquences de résonance de l’ordre de 350 GHz. En particulier, nous avons étudié les propriétés acoustiques de deux types de résonateurs planaires. Le premier est basé sur la modification adiabatique du diagramme de bande d’un cristal phononique unidimensionnel. Dans le deuxième système, nous utilisons les invariants topologiques caractérisant ces structures périodiques, afin de créer un état d’interface entre deux miroirs de Bragg phononiques. Nous nous sommes ensuite intéressés à l’étude de cavités opto-phononiques permettant le confinement tridimensionnel de la lumière et de vibrations mécaniques de haute fréquence. Nous avons mesuré par spectroscopie Raman les propriétés acoustiques de résonateurs phononiques planaires placés à l’intérieur de cavités optiques tridimensionnelles, de type micropiliers. Enfin, la dernière partie de cette thèse porte sur l’étude théorique des propriétés optomécaniques de micropiliers GaAs/AlAs. Nous avons effectué des simulations numériques par éléments finis, nous permettant d’expliquer les mécanismes de confinement tridimensionnel de modes acoustiques et optiques dans ces systèmes, et de calculer les principaux paramètres optomécaniques. Les résultats de cette étude démontrent que les micropilier GaAs/AlAs possèdent des caractéristiques prometteuses pour de futures expériences en optomécanique, telles que des fréquences de résonance acoustiques très élevées, de hauts facteurs de qualités mécaniques et optiques à température ambiante, ou encore de fortes valeurs pour les facteurs de couplage optomécaniques et pour le produit Q • f / The work carried out in this thesis addresses the conception and the experimental characterization of opto-phononic resonators. These structures enable the confinement of optical modes and mechanical vibrations at very high frequencies (from few tens up to few hundreds of GHz). This study has been carried out on multilayered nanometric systems, fabricated from III-V semiconductor materials. These nanophononic platforms have been characterized through high resolution Raman scattering measurements. The experimental methods and the numerical tools that we have developed in this thesis have allowed us to explore novel confinement strategies for acoustic phonons in acoustic superlattices, with resonance frequencies around 350 GHz. In particular, we have studied the acoustic properties of two nanophononic resonators. The first acoustic cavity proposed in this manuscript enables the confinement of mechanical vibrations by adiabatically changing the acoustic band-diagram of a one-dimensional phononic crystal. In the second system, we take advantage of the topological invariants characterizing one dimensional periodic structures, in order to create an interface state between two phononic distributed Bragg reflectors. We have then focused on the study of opto-phononic cavities allowing the simultaneous confinement of light and of high frequency mechanical vibrations. We have measured, by Raman scattering spectroscopy, the acoustic properties of planar nanophononic structures embedded in three-dimensional micropillar optical resonators. Finally, in the last sections of this manuscript, we investigate the optomechanical properties of GaAs/AlAs micropillar cavities. We have performed numerical simulations through the finite element method that allowed us to explain the three-dimensional confinement mechanisms of optical and mechanical modes in these systems, and to calculate the main optomechanical parameters. This work shows that GaAs/AlAs micropillars present very interesting properties for future optomechanical experiments, such as very high mechanical resonance frequencies, large optical and mechanical quality factors at room temperature, and high values for the vacuum optomechanical coupling factors and for the Q • f products

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Ce travail de thèse concerne l'auto-structuration de particules magnétiques dans une matrice cristal liquide nématique (CLN). Par l'élaboration de matériaux nouveaux combinant propriétés magnétiques et structurations des particules, cette étude s'inscrit dans le domaine, en plein essor, de la recherche de matériaux adaptatifs. P. Poulin, le premier, a mis en évidence de nouvelles interactions colloïdales induites par l'élasticité d'un fluide nématique suspendant. L'obtention d'une structuration contrôlée des particules microniques via la matrice nématique passe par un contrôle précis de l'ancrage des molécules de CLN sur la surface des particules de fer. Ainsi, après une caractérisation approfondie de l'état de surface du fer, de nombreux traitements capable d'engendrer un ancrage homéotrope des nématogènes en contact avec la surface ont été réalisés sur des plaques servant de système modèle. Deux approches ont été explorées, l'une consiste en une modification de l'état de surface du fer, l'autre, beaucoup plus prometteuse, consiste en une modification de la surface par dépôt de molécules amphiphiles. Ces traitements transposées aux particules de fer avec succès, ont permis d'obtenir l'ancrage homéotrope fort indispensable à l'obtention des défauts topologiques induisant l'auto-alignement des particules. La réponse magnétique des particules de fer soumises à un champ, observée en microscopie optique, a permis de calculer précisément, grâce à un logiciel de calcul de force magnétique par éléments finis, les contributions attractives et répulsives de la force induite par les distorsions du CLN entre les particules et ainsi, de construire le profil complet de cette force.

Dans cette these, nous etudions d'abord le probleme des singularites eliminables des EDP elliptiques du second ordre; le cas modele etant $- \Delta u + cu \geq f$ sur $\Omega \backslash K$, avec $u \geq 0$ et $(\rm cap)_2((K))=0$. Nous démontrons aussi un principe du maximum fort pour l'operateur $-\Delta + a(x)$, avec un potentiel $a \in L^1$. Ces deux résultats utilisent plusieurs formulations de l'inegalite de Kato classique. Nous presentons ensuite quelques variantes de l'inegalite de Poincare, motives par une nouvelle caracterisation des espaces de Sobolev. Puis, nous nous interessons aux singularites topologiques des fonctions dans l'espace $W^(1,1)(S^2;S^1)$. A cet effet, nous etudions leur energie relaxee et la variation totale du jacobien. Finalement, nous considerons plusieurs proprietes des distributions de la forme $\sum_j((\delta_(p_j) - \delta_(n_j)))$, definies sur un espace metrique complet.