Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2017-09-27T13:49:03Z No. of bitstreams: 1 marcelodamascenomarangon.pdf: 420801 bytes, checksum: 1541d566ceb0fcd639f11dcc6f27070a (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2017-09-27T15:20:26Z (GMT) No. of bitstreams: 1 marcelodamascenomarangon.pdf: 420801 bytes, checksum: 1541d566ceb0fcd639f11dcc6f27070a (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-27T15:20:26Z (GMT). No. of bitstreams: 1 marcelodamascenomarangon.pdf: 420801 bytes, checksum: 1541d566ceb0fcd639f11dcc6f27070a (MD5) Previous issue date: 2017-06-24 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / O objetivo principal deste trabalho é contar a origem do número aos alunos do ensino médio, além de exibir alguns métodos de aproximação e curiosidades envolvendo este número irracional. A motivação para a escolha do tema baseou-se no histórico de dificuldades e erros encontrados tantas vezes pelos discentes em sala de aula. Serão tratados métodos de cálculo desde Arquimedes até Ramanujan, passando pelas contribuições de Viète, Wallis, Gregory, Euler e Gauss, todos numa incessante busca pelo mais importante número irracional da matemática. Mostraremos também como a geometria plana e a trigonometria contribuíram na descoberta e investigação desse número, além de sua evolução até os dias de hoje. / This study aims to unveil to the high school students the origin of number , as well as to show some approximation methods and curiosities involving this irrational number. The theme choice was based on history of difficulties and errors found several times by students in the classroom. Will be reviewed calculus methods from Archimedes to Ramanujan, passing through Viète, Wallis, Gregory, Euler, and Gauss contributions, all of them on an unceasing quest for the most important mathematics’ irrational number. We will show also show show plane geometry and trigonometry contributed on discover and investigation of this number, as well as its evolution until today.

This work establishes itself as objective analysis of the process of elaboration of the definitions of the trigonometric functions, particularly the definition of the cosine function. Thus, it is given a guideline regarding the development of a curriculum in which students are not sparked off the concept of trigonometric function based only on the triangle and trigonometric cycle. Therefore, the biggest challenge is to develop arguments for teaching about and investigate further the concepts of trigonometry. Thus, although we like the first chapter a brief explanation about the history of trigonometry, the work focuses on the development of the definition cosine of some forms, namely: the one presented in textbooks as it observes that it is made with support Euler function, setting via power series, the setting based on the exponential function domain in complex and, finally, setting as a solution of an initial value problem, that is, a differential equation that satisfies a given initial condition. From there will be an analysis of these definitions by observing the viability of each to be presented to high school students. / Neste trabalho, se estabelece como objetivo a análise do processo de elaboração das definiçõoes das funçõoes trigonométricas, particularmente, a definição da funçãao cosseno. Desse modo, é dada uma diretriz no que toca a elaboração de um currículo em que os alunos não fiquem ateados ao conceito de função trigonométrica apenas com base no triângulo retângulo e no ciclo trigonométrico. Portanto, o maior desafio é desenvolver argumentos didáticos para tal, bem como investigar mais detalhadamente as concepções da trigonometria. Com isso, apesar de termos como primeiro capítulo uma breve explanação sobre a história da trigonometria, o trabalho tem como foco o desenvolvimento da definição cosseno de algumas formas, sendo elas: a apresentada nos livros didáticos em que se observa que a mesma é feita com suporte da função de Euler, a definição através de séries de potências, a definição com base na função exponencial com domínio nos complexos e, por fim, a definição como solução de um problema de valor inicial, isto é, uma equação diferencial que satisfaz uma determinada condição inicial. A partir daí será feita uma análise dessas definições observando-se a viabilidade de cada uma delas ser apresentada para os alunos do Ensino Médio.

Recent interest surrounding large scale satellite constellations has increased analysis efforts to create the most efficient designs. Multiple studies have successfully optimized constellation patterns using equations of motion propagation methods and genetic algorithms to arrive at optimal solutions. However, these approaches are computationally expensive for large scale constellations, making them impractical for quick iterative design analysis. Therefore, a minimalist algorithm and efficient computational method could be used to improve solution times. This thesis will provide a tool for single target constellation optimization using spherical trigonometry propagation, and an evolutionary genetic algorithm based on a multi-objective optimization function. Each constellation will be evaluated on a normalized fitness scale to determine optimization. The performance objective functions are based on average coverage time, average revisits, and a minimized number of satellites. To adhere to a wider audience, this design tool was written using traditional Matlab, and does not require any additional toolboxes. To create an efficient design tool, spherical trigonometry propagation will be utilized to evaluate constellations for both coverage time and revisits over a single target. This approach was chosen to avoid solving complex ordinary differential equations for each satellite over a long period of time. By converting the satellite and planetary target into vectors of latitude and longitude in a common celestial sphere (i.e. ECI), the angle can be calculated between each set of vectors in three-dimensional space. A comparison of angle against a maximum view angle, , controlled by the elevation angle of the target and the satellite’s altitude, will determine coverage time and number of revisits during a single orbital period. Traditional constellations are defined by an altitude (a), inclination (I), and Walker Delta Pattern notation: T/P/F. Where T represents the number of satellites, P is the number of orbital planes, and F indirectly defines the number of adjacent planes with satellite offsets. Assuming circular orbits, these five parameters outline any possible constellation design. The optimization algorithm will use these parameters as evolutionary traits to iterate through the solutions space. This process will pass down the best traits from one generation to the next, slowly evolving and converging the population towards an optimal solution. Utilizing tournament style selection, multi-parent recombination, and mutation techniques, each generation of children will improve on the last by evaluating the three performance objectives listed. The evolutionary algorithm will iterate through 100 generations (G) with a population (n) of 100. The results of this study explore optimal constellation designs for seven targets evenly spaced from 0° to 90° latitude on Earth, Mars and Jupiter. Each test case reports the top ten constellations found based on optimal fitness. Scatterplots of the constellation design solution space and the multi-objective fitness function breakdown are provided to showcase convergence of the evolutionary genetic algorithm. The results highlight the ratio between constellation altitude and planetary radius as the most influential aspects for achieving optimal constellations due to the increased field of view ratio achievable on smaller planetary bodies. The multi-objective fitness function however, influences constellation design the most because it is the main optimization driver. All future constellation optimization problems should critically determine the best multi-objective fitness function needed for a specific study or mission.

Richard Skemp's theory of conceptual structures (schemas) was adapted by hypothesizing two types of schemast (a) an underlying parent schema; and (b) a problem solving schema which contains paths for problem solving. Three interpretations of the definitions of the trigonometric functions were identified: (a) the right triangle interpretation; (b) the coordinate system interpretation; and (c) the unit circle interpretation. For each interpretation representative problems were chosen and methods of solution analysed. From the methods of solutions the relevant concepts and specific actions employed were identified. The parent schema was constructed by placing the concepts in a geometric configuration with two concepts joined by a line if and only if some action joined those concepts. The problem solving schema was formed by joining the concepts at the vertices by lines which were labeled to describe the actions they represent. The preliminary model thus constructed was tested and refined by interviewing four subjects of varying abilities from a trigonometry class and then analyzing those interviews according to instructions developed from the adaptation of Skemp's theory and the problem solving methods. Interview analysis included constructing representations of the parent and problem solving schemas possessed by each subject in each interpretation. The refined Model was then used to interview two additional subjects from another trigonometry class and to analyse the interviews. Interview analysis indicated strong face validity in that the Model was found to contain the problem solving paths used by the subjects. Cross validation was also found to be strong. Reliability of analysis was found to be strong in the less complex schemas and somewhat weaker when more complex schemas were involved. The Model was found to be a viable model of conceptual structures in which problem solving can be described and to have potential value for both instruction and research. Suggestions for further research on the Model and for using the Model in both instruction and research are included. / Ed. D.

Made available in DSpace on 2017-07-21T20:56:30Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Jose Sinval Soares.pdf: 9600283 bytes, checksum: f7492874195cb7828a5be1c775a62374 (MD5) Previous issue date: 2017-02-23 / It is well the great difficulty presented by the students with respect to the trigonometry. Base on this fact, we understand that any tool that can help in the teaching of this content will always be welcome. The aim of this work is to present a pedagogical proposal that consists of applying a apparently simple method to call a Method of Visual Comparisons. This method consists of obtaining values generated by ratios between measurements of similar figures or even the value of the PI number without having the necessity of measuring and divide using standardized measurement units. Look at the lengths of the segments that represent the sides of triangles, a rectified circumference and your diameter, among others and compare. This comparison starts to check if the measure of a length is greater than, less than or equal to the measure of another length and a more refined, comparison with the fractionation of one of the segments. The main idea is to try to estimate a value, if the measures are equal, if the smaller measure is worth half or perhaps seventy-five percent (three quarters) of the larger, or if the larger is worth two, three, or who knows once and half the smaller measure, only with the look, without dividing numerical values. We believe it's worth measuring, comparing,drawing in scale and measure the scale designed to estimate, because these activities and procedures help in a better understanding of the results that will be demonstrated later / Sabendo das grandes dificuldades apresentadas pelos alunos com relação à trigonometria, entendemos que toda ferramenta que possa auxiliar no ensino deste conteúdo sempre será bem vinda. O objetivo desse trabalho é apresentar uma proposta pedagógica que consiste na utilização de um método aparentemente simples que denominamos Método de Comparações Visuais. Este método consiste em obter valores gerados por razões entre medidas de figuras semelhantes ou mesmo o valor do número PI sem a necessidade de medir e dividir usando unidades padronizadas de medição. Basta observar os comprimentos dos segmentos que representam os lados de triângulos, uma circunferência retificada e seu diâmetro, entre outros e comparar. Esta comparação começa em verificar se a medida de um comprimento é maior, menor ou igual que a medida de outro comprimento e vai até uma comparação mais refinada,com o fracionamento de um dos segmentos. A idéia principal é tentar estimar um valor, se as medidas são iguais, se a medida menor vale metade ou talvez setenta e cinco por cento (três quartos) da maior, ou se a maior vale duas, três, ou quem sabe uma vez e meia a medida menor, apenas com o olhar, sem dividir valores numéricos. Acreditamos ser válida a mensuração, comparação, desenhar em escala e medir na escala desenhada para fazer estimativas, pois estas atividades e procedimentos auxiliam na compreensão dos resultados que serão demonstrados posteriormente.

Orientador: Prof. Dr. Antonio Candido Faleiros / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT, 2014. / Ao lecionar trigonometria no nal do primeiro ano e no início do segundo ano do ensino médio senti a necessidade de mudar meu método de expor este conteúdo visto a diculdade que os alunos apresentam em entender seus signicados Após conversar com colegas de prossão e pesquisar alternativas conheci através de um amigo e professor de matemática o Software GeoGebra e comecei a preparar muitas das minhas aulas usando o referido Software. As principais vantagem do GeoGebra é a forma dinâmica que podemos apresentar os conteúdos. É um software gratuito, de fácil instalação, rico em recursos didáticos. Apresento nesta dissertação o conteúdo de trigonometria abordado no ensino médio de escolas publicas estaduais apresentando a parte teórica e exercícios que são resolvidos com o GeoGebra. Esta dissertação tem como principal objetivo servir de material de orientação de estudo para alunos e para professores de matemática que buscam uma alternativa para sairem das aulas tradicionais. / Teaching trigonometry to the end of the rst year and at the beginning of the second year of high school felt the need to change my method of exposing this content seen the diculty that students have in understanding their meanings. After talking with peers and researching alternative met through a friend and teacher of the math software GeoGebra and started preparing many of my classes using said Software. The main advantage of GeoGebra is dynamic so that we can present the content. It is a free software, easy installation, rich in educational resources. I present in this dissertation addressed the content of trigonometry in high school state public schools presenting the theory part and exercises that are solved with GeoGebra. This paper aims to serve as a guidance study material for students and teachers of mathematics who seek an alternative to come out of the traditional classroom.

nÃo hà / Esta pesquisa aborda o uso de um software educacional de geometria dinÃmica (GeoGebra) para introduzir conceitos referentes ao ensino de geometria e trigonometria, tendo como base sua histÃria. Tem tambÃm como objetivo tornar o ensino de trigonometria mais significativo, atravÃs da visualizaÃÃo no computador da influÃncia da mudanÃa de parÃmetros em grÃficos de funÃÃes trigonomÃtricas. As atividades propostas tiveram por objetivos especÃficos estudar alguns aspectos das funÃÃes trigonomÃtricas atravÃs da sua visualizaÃÃo no computador bem como o desenvolvimento de applets como ferramentas de ensino. Estas atividades foram elaboradas para serem trabalhadas em laboratÃrio de informÃtica, em que o debate entre os estudantes à uma das principais estratÃgias pedagÃgicas aqui utilizadas. Estas sÃo, em geral, estruturadas da seguinte forma: construÃÃo de grÃficos de funÃÃes em uma mesma tela, comparaÃÃo dos grÃficos obtidos e conclusÃes por parte dos estudantes com a orientaÃÃo do professor. A funÃÃo seno foi empregada como exemplo, mas uma abordagem pode ser desenvolvida de forma anÃloga para as demais funÃÃes trigonomÃtricas. Os resultados deste trabalho mostraram que o uso do computador como ferramenta nas escolas permanece como um recurso importante e como um grande desafio para professores e pesquisadores, à medida que passem a ser utilizados como fonte de estudo e de criaÃÃo de estratÃgias pedagÃgicas, para as quais diversas tecnologias podem ser empregadas. Esta pesquisa analisou o quanto à relevante o uso de softwares de Geometria DinÃmica. A experimentaÃÃo nos levou a comprovar que a aquisiÃÃo de saberes por parte dos estudantes, resistentes ao ensino usual, Ã, no entanto, susceptÃvel a saltos qualitativos importantes com o uso dos applets. Este trabalho mostrou, enfim, como as familiaridades construÃdas podem conduzir a uma melhora na capacidade de precisar e estimar elementos de uma funÃÃo trigonomÃtrica. As conclusÃes aqui apresentadas resultaram da anÃlise das atividades dos estudantes, bem como de suas reflexÃes durante a resoluÃÃo destas.

Den här studien undersöker gymnasieelevers begreppsförståelse inom trigonometri. Eleverna, som samtliga läser Ma 4, besvarade anonymt två frågeformulär där det ena bestod av en öppen fråga, medan det andra var upplagt som ett test med uppgifter att lösa. Den kvalitativa analysen baseras på Tall och Vinners (1981) teori om begreppsbild och Sfards (1991) uppdelning av begreppsförståelse i de tre processerna interiorisering, kondensering och reifiering. Resultatet indikerar att elever tenderar att använda cirkeltrigonometri före triangeltrigonometri för att lösa uppgifter, men att majoriteten av deras begreppsbilder består av både och. Det visade sig att radianer var det trigonometriska begrepp eleverna hade svårast för. Detta stämmer överens med tidigare forskning på området. Tre elever analyseras djupare med avseende på hur långt de har kommit i sin utveckling av begreppsförståelse inom trigonometri. Det ges även exempel på hur utvecklingsfaserna kan ge sig till uttryck hos enskilda elever. Såväl begreppsbild som vilka stadier eleverna befinner sig på i sin begreppsförståelse varierar stort. / This study investigates the conceptual understanding of high school students in a trigonometry context. The students, all of them taking the Swedish math course Ma 4, anonymously answered two questionnaires, one of them containing an open question, while the other was constructed like a test with problems to solve. The qualitative analysis is based on Tall & Vinner’s (1981) theory of concept image and Sfard’s (1991) division of conceptual understanding into the three processes interiorization, condensation and reification. The result indicates that students tend to use circle trigonometry over triangle trigonometry for problem solving, however the majority of their concept images consist of both. Radians seemed to be the trigonometrical concept that the students had most trouble understanding. This corresponds with earlier research of trigonometry. In the analysis three students are more deeply analysed, based on how far they have come in their development of trigonometric conceptual understanding. Furthermore there are concrete examples of how the phases of development can be presented among individual students. The concept image as well as the levels of the students’ conceptual understanding vary considerably.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Este trabalho apresenta uma pesquisa sobre o ensino de Trigonometria para portadores de visão subnormal, desenvolvida com três jovens estudantes do 1 ano do Ensino Médio do Colégio Pedro II Unidade São Cristóvão - Rio de Janeiro, possuidores de diferentes tipos de deficiência visual. A intenção desta pesquisa é colaborar para uma verdadeira inclusão, onde estudantes normovisuais e deficientes visuais possam compartilhar o mesmo currículo e o mesmo ambiente de aprendizagem. Esta pesquisa traz algumas informações sobre as deficiências da visão e sobre o ensino da Trigonometria, além de apresentar o Multiplano Pedagógico, uma excelente ferramenta facilitadora da aprendizagem Matemática. Com o auxílio do Multiplano foram realizadas experiências com atividades direcionadas para o ensino de Matemática, em especial o conteúdo de Trigonometria, para esse público alvo, resgatando conteúdos inerentes ao bom acompanhamento do curso. Os jovens participantes da pesquisa participaram de forma ativa desde o direcionamento da ação até sua conclusão. Ela mostra que diversos conceitos podem ser melhor introduzidos quando auxiliados por materiais didáticos adaptados às necessidades dos educandos, porém ainda falta um bom caminho para que haja uma educação inclusiva de fato, com profissionais e escolas capacitados a atenderem de forma qualificada aos estudantes portadores de necessidades educacionais especiais. / This dissertation presents a research on teaching trigonometry to low vision, developed with three young students from the 1st year of high school of the Colégio Pedro II - São Cristóvão - Rio de Janeiro, possessing different types of visual impairment. The intent of this research was to contribute towards real inclusion, with normal vision students and students with visually impaired sharing the same curriculum and the same learning environment. This research provides some information about the deficiencies of vision and on the teaching of trigonometry, besides presenting the Multiplano Pedagógico an excellent tool facilitating the learning mathematics. With the aid of Multiplano, were performed experiences with activities directed to the teaching of mathematics, in particular the content of Trigonometry, for this audience, reviewing content fundamental in the proper monitoring of the course. The young research participants participated actively from the guiding action until its completion. It shows that many concepts can be best introduced when aided learning materials tailored to the needs of the students, but still lack a proper way so that there is in fact an inclusive education, with trained professionals and schools to meet a qualified manner to holders of student needs special education.

Orientador: Nelson Antonio Pirola / Banca: Maria Raquel Miotto Morelatti / Banca: Valéria Scomparim de Lima / Resumo: Nesta dissertação, elaborada com abordagem qualitativa e delineamento exploratório, quatro sujeitos, alunos da segunda série do segundo grau de uma escola pública do interior do Estado de São Paulo, foram observados enquanto resolviam problemas de trigonometria, usando o software Cabri Géomètre II, como o objetivo de se obter informações sobre como o uso de recursos tecnológicos poderia influenciar este processo e fornecer subsídios para a elaboração de estratégias educacionais que contemplassem o uso de tecnologia. A fundamentação teórica baseou-se na teoria da formação de conceitos de Klausmeier e Goodwin (1977), na teoria de Sternberg (2000) sobre a resolução de problemas e na teoria de Ausubel (1980) sobre a aprendizagem significativa. Os resultados obtidos indicaram que o uso do Cabri, dentro de estratégias educacionais elaboradas pelo professor, pode conduzir à aprendizagem significativa, em virtude de sua alta potencialidade significativa, principalmente pela utilização dos recursos de geometria dinâmica e dos recursos de registro. / Abstract: On this work, prepared with qualifying approach and exploratory outline, four second-grade students from a Public High School in the interior of the state of São Paulo were observed while solving trigonometry problems using Cabri Géomètre II software in order to obtain information about how the use of technological resources could influence this process as well as supply subsidies to the elaboration of educational strategies which contemplate the use of technology. The theoretical fundamentals were based in the Klausmeier e Goodwin's theory of notions (1977), the Sternberg's theory of solving problems (2000) and the Ausubel's theory of significative learning (1980). The results obtained indicate that the use of Cabri within the educational strategies prepared by the teacher can lead to significative learning due to its high meaningful potential, especially through the use of dynamic geometry and register resources. / Mestre