What is in common between the Kepler problem, a Hydrogen atom and a rotating black- hole? These systems are described by different physical theories, but much information about them can be obtained by separating an appropriate Hamilton-Jacobi equation. The separation of variables of the Hamilton-Jacobi equation is an old but still powerful tool for obtaining exact solutions. The goal of this thesis is to present the theory and application of a certain type of conformal Killing tensor (hereafter called concircular tensor) to the separation of variables problem. The application is to spaces of constant curvature, with special attention to spaces with Euclidean and Lorentzian signatures. The theory includes the general applicability of concircular tensors to the separation of variables problem and the application of warped products to studying Killing tensors in general and separable coordinates in particular. Our first main result shows how to use these tensors to construct a special class of separable coordinates (hereafter called Kalnins-Eisenhart-Miller (KEM) coordinates) on a given space. Conversely, the second result generalizes the Kalnins-Miller classification to show that any orthogonal separable coordinates in a space of constant curvature are KEM coordinates. A closely related recursive algorithm is defined which allows one to intrinsically (coordinate independently) search for KEM coordinates which separate a given (natural) Hamilton-Jacobi equation. This algorithm is exhaustive in spaces of constant curvature. Finally, sufficient details are worked out, so that one can apply these procedures in spaces of constant curvature using only (linear) algebraic operations. As an example, we apply the theory to study the separability of the Calogero-Moser system.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-08-10T16:41:16Z No. of bitstreams: 1 ARLANDSON MATHEUS SILVA OLIVEIRA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2015..pdf: 1086287 bytes, checksum: 8275364016e59e314e21589fb09a88dc (MD5) / Made available in DSpace on 2018-08-10T16:41:16Z (GMT). No. of bitstreams: 1 ARLANDSON MATHEUS SILVA OLIVEIRA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2015..pdf: 1086287 bytes, checksum: 8275364016e59e314e21589fb09a88dc (MD5) Previous issue date: 2015-02 / Capes / Para ler o resumo deste trabalho recomendamos o download do arquivo, uma vez que o mesmo possui fórmulas e caracteres matemáticos que não foram possíveis trascreve-los aqui. / To read the summary of this work we recommend downloading the file, since it has formulas and mathematical characters that were not possible to transcribe them here.

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-05-15T14:04:40Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Paula Gonçalves Correia Bonfim - 2015.pdf: 761299 bytes, checksum: 88e01b4ea63a9e5d1b49cc325edca279 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-05-15T14:10:40Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Paula Gonçalves Correia Bonfim - 2015.pdf: 761299 bytes, checksum: 88e01b4ea63a9e5d1b49cc325edca279 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-15T14:10:40Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Paula Gonçalves Correia Bonfim - 2015.pdf: 761299 bytes, checksum: 88e01b4ea63a9e5d1b49cc325edca279 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2015-02-25 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work, we propose to present concepts and results that guide us to construction of examples of complete locally conformally flat manifolds of nonpositive curvature obtained by Brozos-Vázquez, García-Río e Vázquez-Lorenzo in [4]. For this, was made a study of product manifolds equipped with a multiply warped metric. / Neste trabalho nos propomos a apresentar conceitos e resultados que nos guiem para a construção de exemplos de variedades completas localmente conformemente planas de curvatura seccional não positiva, obtidos por Brozos-Vázquez, García-Río e Vázquez- Lorenzo em [4]. Para isso, foi feito um estudo sobre variedades produto equipadas com uma métrica torcida múltipla.

Nesta tese, consideramos o ajuste de modelos de regressão com coeficientes funcionais para séries temporais, por meio de splines, ondaletas clássicas e ondaletas deformadas. Consideramos os casos em que os erros do modelo são independentes e correlacionados. Através das três abordagens de estimação, obtemos taxas de convergência a zero para distâncias médias entre as funções do modelo e seus respectivos estimadores, propostos neste trabalho. No caso das abordagens de ondaletas (clássicas e deformadas), obtemos também resultados assintóticos em situações mais específicas, nas quais as funções do modelo pertencem a espaços de Sobolev e espaços de Besov. Além disso, estudos de simulação de Monte Carlo e aplicações a dados reais são apresentados. Por meio desses estudos numéricos, fazemos comparações entre as três abordagens de estimação propostas, e comparações entre outras abordagens já conhecidas na literatura, onde verificamos desempenhos satisfatórios, no sentido das abordagens propostas fornecerem resultados competitivos, quando comparados aos resultados oriundos de metodologias já utilizadas na literatura. / In this thesis, we study about fitting functional-coefficient regression models for time series, by splines, wavelets and warped wavelets. We consider models with independent and correlated errors. Through the three estimation approaches, we obtain rates of convergence to zero for average distances between the functions of the model and their estimators proposed in this work. In the case of (warped) wavelets approach, we also obtain asymptotic results in more specific situations, in which the functions of the model belong to Sobolev and Besov spaces. Moreover, Monte Carlo simulation studies and applications to real data sets are presented. Through these numerical results, we make comparisons between the three estimation approaches proposed here and comparisons between other approaches known in the literature, where we verify interesting performances in the sense that the proposed approaches provide competitive results compared to the results from methodologies used in literature.

Nesta tese exploramos uma classe de modelos de N-sítios que foram desenvolvidos para produzir grandes hierarquias de escalas. Usando a abordagem de desconstrução dimensional e correspondências apropriadas, esses modelos puramente quadridimensionais coincidem com modelos AdS5 no limite do contínuo, que corresponde ao limite com um grande núumero de grupos de gauge. Por outro lado, no limite em que há poucos grupos de gauge, tais teorias possuem os acoplamentos entre estados excitados e modos zero dos campos muito distintos dos acoplamentos em construções AdS5, resultando em uma rica fenomenologia a ser explorada no Large Hadron Collider (LHC). O problema da hierarquia do Modelo Padrão (MP) é resolvido se o campo de Higgs estão localizado no infravermelho, assim como nas teorias Randall-Sundrum. A hierarquia de massa dos férmions do MP e misturas são obtidas pelas diferentes localizações dos modos zero dos férmions no espaço dos sítios. Essa estrutura é empregada para abordar o problema da hierarquia sob uma nova perspectiva. Nós mostramos que uma descrição efetiva com poucos sítios de uma dimensão extra curva pode implementar os recentemente introduzidos modelos de relaxion, que são uma nova alternativa para explicar a estabilidade radiativa do setor escalar do MP através do mecanismo de relaxação cosmológico. Esses modelos requerem que o campo experimente grandes variações, que s~ao difíceis de serem geradas em um modelo ultravioleta consistente e de serem compatíveis com o espaço compacto do relaxion. Nós propomos um modelo de N-sítios que gera naturalmente essa grande constante de decaimento necessária para abordar esses problemas. No nosso modelo, a matriz de massa dos pseudo Bósons de Nambu-Goldstone (pBNGs), cujo modo zero faz o papel do relaxion, é idêntica à matriz obtida para uma linha de Wilson pBNG na desconstrução de AdS5. / this thesis we explore a class of N-site models that were developed to generate large-scale hierarchies. Using the dimensional deconstruction approach and appropriate matchings, these purely four-dimensional theories coincide with AdS5 models in the continuum limit, which corresponds to the limit with a large number of gauge groups. On the other hand, in the coarse lattice limit such theories have very distinct couplings of the excited states to zero mode fields compared with AdS5 constructions, resulting in a rich phenomenology to be explored at the Large Hadron Collider (LHC). The Standard Model (SM) hierarchy problem is solved if the Higgs field is infrared-localized as in Randall-Sundrum scenarios. The SM fermion mass hierarchy and mixings are obtained by different localizations of zero mode fermions in the theory space. This framework is employed to tackle the electroweak hierarchy problem from a new perspective. We show that an effective few site description of a warped extra dimension can implement the recently introduced relaxion models, which are a new alternative to explain the radiative stability of the SM scalar sector through the cosmological relaxation mechanism. These models require very large field excursions, which are difficult to generate in a consistent ultraviolet completion and to reconcile with the compact field space of the relaxion. We propose an N-site model that naturally generates the large decay constant needed to address these problems. In our model, the mass matrix of the pseudo-Nambu-Goldstone Bosons (pNGBs), whose zero mode plays the role of the relaxion field, is identical to the one obtained for a pNGBWilson line in the deconstruction of AdS5.

Nesta tese, são obtidas taxas de convergência a zero, do risco de estimação obtido com regressão não-paramétrica via ondaletas, quando há erros correlacionados. Quatro métodos de regressão não-paramétrica via ondaletas, com delineamento desigualmente espaçado são estudados na presença de erros correlacionados, oriundos de processos estocásticos. São apresentadas condições sobre os erros e adaptações aos procedimentos necessárias à obtenção de taxas de convergência quase minimax, para os estimadores. Sempre que possível são obtidas taxas de convergência para os estimadores no domínio da função, sob condições bastante gerais a respeito da função a ser estimada, do delineamento e da correlação dos erros. Mediante estudos de simulação, são avaliados os comportamentos de alguns métodos propostos quando aplicados a amostras finitas. Em geral sugere-se usar um dos procedimentos estudados, porém aplicando-se limiares por níveis. Como a estimação da variância dos coecientes de detalhes pode ser problemática em alguns casos, também se propõe um procedimento iterativo semi-paramétrico geral para métodos que utilizam ondaletas, na presença de erros em séries temporais. / In this thesis, rates of convergence to zero are obtained for the estimation risk, for non-parametric regression using wavelets, when the errors are correlated. Four non-parametric regression methods using wavelets, with un-equally spaced design are studied in the presence of correlated errors, that come from stochastic processes. Conditions on the errors and adaptations to the procedures are presented, so that the estimators achieve quasi-minimax rates of convergence. Whenever is possible, rates of convergence are obtained for the estimators in the domain of the function, under mild conditions on the function to be estimated, on the design and on the error correlation. Through simulation studies, the behavior of some of the proposed methods is evaluated, when used on finite samples. Generally, it is suggested to use one of the studied methods, however applying thresholds by level. Since the estimation of the detail coecients can be dicult in some cases, it is also proposed a general semi-parametric iterative procedure, for wavelet methods in the presence of time-series errors.

Die abgeschlossenen Erweiterungen der sogenannten geometrischen Operatoren (Spin-Dirac, Gauß-Bonnet und Signatur-Operator) auf Mannigfaltigkeiten mit metrischen Hörnern sind Fredholm-Operatoren und ihr Index wurde von Matthias Lesch, Norbert Peyerimhoff und Jochen Brüning berechnet. Es wurde gezeigt, dass die Einschränkungen dieser drei Operatoren auf eine punktierte Umgebung des singulären Punkts unitär äquivalent zu irregulär singulären Operator-wertigen Differentialoperatoren erster Ordnung sind. Die Lösungsoperatoren der dazugehörigen Differentialgleichungen definierten eine Parametrix, mit deren Hilfe die Fredholmeigenschaft bewiesen wurde. In der vorliegenden Doktorarbeit wird eine Klasse von irregulären singulären Differentialoperatoren erster Ordnung, genannt Horn-Operatoren, eingeführt, die die obigen Beispiele verallgemeinern. Es wird bewiesen, dass ein elliptischer Differentialoperator erster Ordnung, dessen Einschränkung auf eine punktierte Umgebung des singulären Punkts unitär äquivalent zu einem Horn-Operator ist, Fredholm ist, und sein Index wird berechnet. Schließlich wird dieser abstrakte Index-Satz auf geometrische Operatoren auf Mannigfaltigkeiten mit "multiply warped product"-Singularitäten angewendet, welche eine wesentliche Verallgemeinerung der metrischen Hörner darstellen. / The closed extensions of geometric operators (Spin-Dirac, Gauss-Bonnet and Signature operator) on a manifold with metric horns are Fredholm operators, and their indices were computed by Matthias Lesch, Norbert Peyerimhoff and Jochen Brüning. It was shown that the restrictions of all three operators to a punctured neighbourhood of the singular point are unitary equivalent to a class of irregular singular operator-valued differential operators of first order. The solution operators of the corresponding differential equations defined a parametrix which was applied to prove the Fredholm property. In this thesis a class of irregular singular differential operators of first order - called horn operators - is introduced that extends the examples mentioned above. It is proved that an elliptic differential operator of first order whose restriction to the neighbourhood of the singular point is unitary equivalent to a horn operator is Fredholm and its index is computed. Finally, this abstract index theorem is applied to compute the indices of geometric operators on manifolds with multiply warped product singularities that extend the notion of metric horns considerably.

Nesta tese exploramos uma classe de modelos de N-sítios que foram desenvolvidos para produzir grandes hierarquias de escalas. Usando a abordagem de desconstrução dimensional e correspondências apropriadas, esses modelos puramente quadridimensionais coincidem com modelos AdS5 no limite do contínuo, que corresponde ao limite com um grande núumero de grupos de gauge. Por outro lado, no limite em que há poucos grupos de gauge, tais teorias possuem os acoplamentos entre estados excitados e modos zero dos campos muito distintos dos acoplamentos em construções AdS5, resultando em uma rica fenomenologia a ser explorada no Large Hadron Collider (LHC). O problema da hierarquia do Modelo Padrão (MP) é resolvido se o campo de Higgs estão localizado no infravermelho, assim como nas teorias Randall-Sundrum. A hierarquia de massa dos férmions do MP e misturas são obtidas pelas diferentes localizações dos modos zero dos férmions no espaço dos sítios. Essa estrutura é empregada para abordar o problema da hierarquia sob uma nova perspectiva. Nós mostramos que uma descrição efetiva com poucos sítios de uma dimensão extra curva pode implementar os recentemente introduzidos modelos de relaxion, que são uma nova alternativa para explicar a estabilidade radiativa do setor escalar do MP através do mecanismo de relaxação cosmológico. Esses modelos requerem que o campo experimente grandes variações, que s~ao difíceis de serem geradas em um modelo ultravioleta consistente e de serem compatíveis com o espaço compacto do relaxion. Nós propomos um modelo de N-sítios que gera naturalmente essa grande constante de decaimento necessária para abordar esses problemas. No nosso modelo, a matriz de massa dos pseudo Bósons de Nambu-Goldstone (pBNGs), cujo modo zero faz o papel do relaxion, é idêntica à matriz obtida para uma linha de Wilson pBNG na desconstrução de AdS5. / this thesis we explore a class of N-site models that were developed to generate large-scale hierarchies. Using the dimensional deconstruction approach and appropriate matchings, these purely four-dimensional theories coincide with AdS5 models in the continuum limit, which corresponds to the limit with a large number of gauge groups. On the other hand, in the coarse lattice limit such theories have very distinct couplings of the excited states to zero mode fields compared with AdS5 constructions, resulting in a rich phenomenology to be explored at the Large Hadron Collider (LHC). The Standard Model (SM) hierarchy problem is solved if the Higgs field is infrared-localized as in Randall-Sundrum scenarios. The SM fermion mass hierarchy and mixings are obtained by different localizations of zero mode fermions in the theory space. This framework is employed to tackle the electroweak hierarchy problem from a new perspective. We show that an effective few site description of a warped extra dimension can implement the recently introduced relaxion models, which are a new alternative to explain the radiative stability of the SM scalar sector through the cosmological relaxation mechanism. These models require very large field excursions, which are difficult to generate in a consistent ultraviolet completion and to reconcile with the compact field space of the relaxion. We propose an N-site model that naturally generates the large decay constant needed to address these problems. In our model, the mass matrix of the pseudo-Nambu-Goldstone Bosons (pNGBs), whose zero mode plays the role of the relaxion field, is identical to the one obtained for a pNGBWilson line in the deconstruction of AdS5.

Nesta tese, são obtidas taxas de convergência a zero, do risco de estimação obtido com regressão não-paramétrica via ondaletas, quando há erros correlacionados. Quatro métodos de regressão não-paramétrica via ondaletas, com delineamento desigualmente espaçado são estudados na presença de erros correlacionados, oriundos de processos estocásticos. São apresentadas condições sobre os erros e adaptações aos procedimentos necessárias à obtenção de taxas de convergência quase minimax, para os estimadores. Sempre que possível são obtidas taxas de convergência para os estimadores no domínio da função, sob condições bastante gerais a respeito da função a ser estimada, do delineamento e da correlação dos erros. Mediante estudos de simulação, são avaliados os comportamentos de alguns métodos propostos quando aplicados a amostras finitas. Em geral sugere-se usar um dos procedimentos estudados, porém aplicando-se limiares por níveis. Como a estimação da variância dos coecientes de detalhes pode ser problemática em alguns casos, também se propõe um procedimento iterativo semi-paramétrico geral para métodos que utilizam ondaletas, na presença de erros em séries temporais. / In this thesis, rates of convergence to zero are obtained for the estimation risk, for non-parametric regression using wavelets, when the errors are correlated. Four non-parametric regression methods using wavelets, with un-equally spaced design are studied in the presence of correlated errors, that come from stochastic processes. Conditions on the errors and adaptations to the procedures are presented, so that the estimators achieve quasi-minimax rates of convergence. Whenever is possible, rates of convergence are obtained for the estimators in the domain of the function, under mild conditions on the function to be estimated, on the design and on the error correlation. Through simulation studies, the behavior of some of the proposed methods is evaluated, when used on finite samples. Generally, it is suggested to use one of the studied methods, however applying thresholds by level. Since the estimation of the detail coecients can be dicult in some cases, it is also proposed a general semi-parametric iterative procedure, for wavelet methods in the presence of time-series errors.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-08-09T17:38:25Z No. of bitstreams: 1 JAMILLY LOURÊDO ROCHA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2014..pdf: 5707925 bytes, checksum: 8010cd451ac64c8a7fccc36a2f8313f6 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-08-09T17:38:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 JAMILLY LOURÊDO ROCHA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2014..pdf: 5707925 bytes, checksum: 8010cd451ac64c8a7fccc36a2f8313f6 (MD5) Previous issue date: 2014-08 / Capes / Com uma aplicação adequada do conhecido princípio do máximo generalizado de Omori-Yau, obtemos resultados de rigidez com relação a hipersuperfícies imersas completascomcurvaturamédiadelimitadanoespaçohiperbólicoHn+1 (n+1)-dimensional. Em nossa abordagem exploramos a existência de uma dualidade natural entreHn+1 e a metade Hn+1 do espaço de SitterSn+11 , cujo modelo é chamado de steady state space. / As a suitable application of the well known generalized maximum principle of Omori-Yau, we obtain rigidity results concerning to a complete hypersurface immersed with bounded mean curvature in the (n+1)-dimensional hyperbolic spaceHn+1. In our approach, we explore the existence of a natural duality betweenHn+1 and the half Hn+1 of the de Sitter spaceSn+11 , which models the so-called steady state space.