In dieser Arbeit wird vor allem der Einflu¨s eines quasiperiodischen Gitters und dessen Topologie auf die Lokalisierungseigenschaften der Eigenzust¨ande und die elektronische Zustandsdichte untersucht. Ausgehend vom Penrosegitter und dessen dreidimensionalen Analogons werden auch die quasiperiodischen Gitter aus anderen lokal isomorphen Klassen untersucht. Durch den Einbau von Phasonendefekten werden weiterhin Random-Tiling-Gitter konstruiert. Ferner wird untersucht, inwieweit ein quasiperiodisches Gitter den Metall-Isolator-¨Ubergang beeinflu¨st. Zwei- und dreidimensionale Quasigitter werden mit der Gridmethode nach de Bruijn konstruiert und ¨Random Tiling¨-Gitter durch den Einbau von Phasonendefekten erzeugt. Im Vertexmodell wird jeder Ecke eines Rhombus ein s-Atomorbital zugewiesen mit ausschlie¨slich N¨achster-Nachbar-Wechselwirkung entlang der Kanten. Aus den berechneten Eigenzust¨anden werden Zustandsdichten berechnet und deren Partizipationzahlen und R¨uckkehrwahrscheinlichkeiten bestimmt, um das Lokalisierungsverhalten zu untersuchen. Im Penrosegitter zeigen die Zustandsdichten eine hohe Entartung in der Bandmitte. Die entsprechenden Zust¨ande sind stark lokalisiert (¨confined states¨) und durch eine Energiel¨ucke von den anderen Energieniveaus getrennt. Die Zust¨ande an der Bandkante sind dagegen ausgedehnt. Durch die Phasonen werden die Zustandsdichte und das Lokalisierungsverhalten ver¨andert. Im Falle dreidimensionaler Quasigitter ist die Energiel¨ucke verschwunden, und man findet eine wesentlich kleinere Anzahl entarteter Zust¨ande in der Bandmitte. Die anderen Zust¨ande in der Bandmitte sind nicht lokalisiert.

Für die erfolgreiche Lösung eines Optimierungsproblems ist die Wahl der verwendeten Suchstrategie von entscheidender Bedeutung. Die vorliegende Arbeit untersucht die Kriterien dieser Wahl. Dabei stellen sich drei grundlegende Fragen: Welche Strategien der Optimierung eines gegebenen Problems existieren überhaupt, und was für Eigenschaften besitzen sie? Wodurch wird der Charakter eines Optimierungsproblems bestimmt, und gibt es Klassen ähnlicher Probleme? Besteht eine Verbindung zwischen den Eigenschaften der Strategien und den Klassen der Probleme, die es ermöglicht, für jede Problemklasse eine geeignete Optimierungsstrategie anzugeben? Dazu wird zuerst die Klasse der Evolutionären Algorithmen naher betrachtet, deren generelles Verhalten die Boltzmannstrategie, Darwinstrategie oder Boltzmann-Darwin-Strategie beschreiben. Als weiteres Beispiel wird die Multitome Strategie untersucht. In ihr wird das Problem unter verschiedenen Gesichtspunkten betrachtet und in Einzelanforderungen zerlegt, die abwechselnd optimiert werden. Für den speziellen Fall der Dichotomen Strategie wird die allgemeine zeitabhängige Lösung mit Hilfe der Methode der Charakteristiken bestimmt. Zur Beantwortung der zweiten Frage wird die Zustandsdichte als klassifizierende Größe des Optimierungsproblems eingeführt. Sie kann unter Verwendung der Boltzmannstrategie während des Optimierungslaufes durch zwei allgemeine Approximationsmethoden: die Methode der stationären Verteilungen und die Eigenvektormethode bestimmt werden. Aus der Zustandsdichte erhält man den Wirkungsgrad der Zufallssuche. Er charakterisiert den Ordnungsgrad des Problems und stellt damit ein wichtiges Maß der Problemschwierigkeit dar. Die entscheidende dritte Frage wird für Probleme der Optimierung frustrierter Sequenzen, der Netzwerkoptimierung und für das Faltungsproblem der RNA behandelt. Mit der Einführung der Klassen gerichteter und ungerichteter Strategien, die für Optimierungsprobleme mit niedrigem bzw. hohem Wirkungsgrad der Zufallssuche effektiv sind, kann eine Verbindung zwischen dem Strategieverhalten und dem Problemcharakter hergestellt werden, die es ermöglicht, für eine konkrete Optimierungsaufgabe die Klasse der geeigneten Strategien zu wählen. / A crucial point of successful solving an optimization problem is the choice of the used strategy. The present paper investigates the criteria of this choice. Thereby three fundamental questions put themselves: Which strategies of the optimization of a given problem exist altogether, and which properties characterize the strategies? How is the character of an optimization problem determined, and are there classes of similar problems? Does a combination exist between the characteristics of the strategies and the classes of problems, which makes it possible to indicate a suitable strategy for each class? The class of the Evolutionary Algorithms is considered more closely. The general behavior of the algorithms can be described by the Boltzmann strategy, Darwin strategy or Boltzmann-Darwin strategy. As a further example the Multitomic strategy is explored. In this approach the problem is considered under different points of view and decomposes in single demands, which are optimized alternately. For the special case of the Dichotomic strategy the general time dependent solution is determined. To answer the second question the density of states is introduced as classifying measure of optimization problems. The density can be determined during the optimization course by two general approaches: the method of the stationary distribution and the eigenvalue method. From the density of states one receives the efficiency of the random search. It describes the degree of order of the problem and presents an measure of the problem difficulty. The important third question is treated for problems of the optimization of frustrated sequences, the network optimization and RNA folding. The introduction of the classes of directed and non directed strategies, which are effective for problems with low and high efficiency of the random search, establishes a connection between the strategy and the character of the problem, which makes it possible to choose the class of the suitable strategies for a given optimization task.

Im Rahmen dieser Arbeit wurde eine neue Kombination Metallatomquelle - Hochfrequenz-Ionenfalle aus den vorliegenden Funktionseinheiten aufgebaut und für die Untersuchung der Reaktionen zwischen Ionen und Metallatomen eingesetzt. In der Anordnung durchdringt der effusive Metallatomstrahl die Falle, in der die kalten Ionen gespeichert sind. Mit der Methode wurde zunächst die schnelle Reaktion zwischen O2+ Ionen und Ni Atomen untersucht. Der Ratenkoeffizient der NiO+ Bildung wurde bestimmt. Als nächstes wurde eine Reaktionskette gesucht, mit welcher ionische Metallcluster in der Falle gebildet werden. Es wurde beobachtet, daß die Bildung von Ni(N2)n+ Ionen sehr schnell verläuft. Der erste Schritt des Wachstums der ionischen Ni Cluster, d.h. die Ni2+ Bildung, wurde durch die Ni-Austauschreaktion NiN2+ + Ni realisiert; der Ratenkoeffizient wurde bestimmt. Weiterhin wurde ein lineares Flugzeitmassenspektrometer aufgebaut, mit dem die gespeicherten Ionen analysiert werden. Die in der Falle weit verteilten Ionen werden für die Flugzeitanalyse mit speziellen Pulsen vorbereitet. Eine Massenauflösung von 50 wurde erreicht. In einer temperaturvariablen Ionenfalle wurde das Wachstum von (CO)n+ Clustern untersucht. Die Cluster wurden durch die sequentielle Anlagerung von CO Molekülen an ein CO+ Ion gebildet. Die Ratenkoeffizienten der Dreikörperassoziation wurden für die ersten zwei Wachstumsschritte CO+ + CO und (CO)2+ + CO bei verschiedenen Temperaturen und CO Dichten bestimmt. Das weitere Wachstum wird durch zwei Isotopenklassen der (CO)3+ Ionen und größerer Cluster beeinflußt. Reaktionspfade zur Bildung und Isomerisierung von (CO)n+ Clustern werden vorgeschlagen. Die Bildung großer Cluster (n > 4) wird durch den gepulsten intensiven Einlaß von CO Gas erzielt.

In dieser Arbeit wird eine Beschreibung von Monte-Carlo-Verfahren zur Lösung komplexer Optimierungsaufgaben mit Hilfe von Markov-Ketten durchgeführt. Nach einer kurzen Einführung werden Lösungsmenge solcher Aufgaben und der physikalische Zustandsraum komplexer Systeme identifiziert. Zunächst wird die Dynamik von Zufallswanderern im Zustandsraum mit Hilfe von Master-Gleichungen modelliert. Durch Einführung von Performanzkriterien können verschiedene Optimierungsstrategien quantitativ miteinander verglichen werden. Insbesondere wird das Verfahren Extremal Optimization vorgestellt, dass ebenfalls als Markov-Prozess verstanden werden kann. Es wird bewiesen, dass eine im Sinne der genannten Kriterien beste Implementierung existiert. Da diese von einem sogenannten Fitness Schedule abhängt, wird dieser für kleine Beispielsysteme explizit berechnet. Daran anschließend wird die Zustandsdichte komplexer Systeme betrachtet. Nach einem kurzen Überblick über vorhandene Methoden folgt eine detaillierte Untersuchung des Verfahrens von Wang und Landau. Numerische und analytische Hinweise werden gegeben, nach denen dieser Algorithmus innerhalb seiner Klasse wahrscheinlich der Optimale ist. Eine neue Methode zur Approximation der Zustandsdichte wird vorgestellt, die insbesondere für die Untersuchung komplexer Systeme geeignet ist. Abschließend wird ein Ausblick auf zukünftige Arbeiten gegeben.

This book is devoted to the study of operators on discrete structures. The operators are supposed to be self-adjoint and obey a certain translation invariance property. The discrete structures are given as Cayley graphs via finitely generated groups. Here, sofic groups and amenable groups are in the center of our considerations. Note that every finitely generated amenable group is sofic. We investigate the spectrum of a discrete self-adjoint operator by studying a sequence of finite dimensional analogues of these operators. In the setting of amenable groups we obtain these approximating operators by restricting the operator in question to finite subsets Qn , n ∈ N. These finite dimensional operators are self-adjoint and therefore admit a well-defined normalized eigenvalue counting function. The limit of the normalized eigenvalue counting functions when |Qn | → ∞ (if it exists) is called the integrated density of states (IDS). It is a distribution function of a probability measure encoding the distribution of the spectrum of the operator in question on the real axis. We prove the existence of the IDS in various geometric settings and for different types of operators. The models we consider include deterministic as well as random situations. Depending on the specific setting, we prove existence of the IDS as a weak limit of distribution functions or even as a uniform limit. Moreover, in certain situations we are able to express the IDS via a semi-explicit formula using the trace of the spectral projection of the original operator. This is sometimes referred to as the validity of the Pastur-Shubin trace formula. In the most general geometric setting we study, the operators are defined on Cayley graphs of sofic groups. Here we prove weak convergence of the eigenvalue counting functions and verify the validity of the Pastur-Shubin trace formula for random and non-random operators . These results apply to operators which not necessarily bounded or of finite hopping range. The methods are based on resolvent techniques. This theory is established without having an ergodic theorem for sofic groups at hand. Note that ergodic theory is the usual tool used in the proof of convergence results of this type. Specifying to operators on amenable groups we are able to prove stronger results. In the discrete case, we show that the IDS exists uniformly for a certain class of finite hopping range operators. This is obtained by using a Banach space-valued ergodic theorem. We show that this applies to eigenvalue counting functions, which implies their convergence with respect to the Banach space norm, in this case the supremum norm. Thus, the heart of this theory is the verification of the Banach space-valued ergodic theorem. Proceeding in two steps we first prove this result for so-called ST-amenable groups. Then, using results from the theory of ε-quasi tilings, we prove a version of the Banach space-valued ergodic theorem which is valid for all amenable groups. Focusing on random operators on amenable groups, we prove uniform existence of the IDS without the assumption that the operator needs to be of finite hopping range or bounded. Moreover, we verify the Pastur-Shubin trace formula. Here we present different techniques. First we show uniform convergence of the normalized eigenvalue counting functions adapting the technique of the Banach space-valued ergodic theorem from the deterministic setting. In a second approach we use weak convergence of the eigenvalue counting functions and additionally obtain control over the convergence at the jumps of the IDS. These ingredients are applied to verify uniform existence of the IDS. In both situations we employ results from the theory of large deviations, in order to deal with long-range interactions.

Im Rahmen dieser Arbeit wurde eine neue Kombination Metallatomquelle - Hochfrequenz-Ionenfalle aus den vorliegenden Funktionseinheiten aufgebaut und für die Untersuchung der Reaktionen zwischen Ionen und Metallatomen eingesetzt. In der Anordnung durchdringt der effusive Metallatomstrahl die Falle, in der die kalten Ionen gespeichert sind. Mit der Methode wurde zunächst die schnelle Reaktion zwischen O2+ Ionen und Ni Atomen untersucht. Der Ratenkoeffizient der NiO+ Bildung wurde bestimmt. Als nächstes wurde eine Reaktionskette gesucht, mit welcher ionische Metallcluster in der Falle gebildet werden. Es wurde beobachtet, daß die Bildung von Ni(N2)n+ Ionen sehr schnell verläuft. Der erste Schritt des Wachstums der ionischen Ni Cluster, d.h. die Ni2+ Bildung, wurde durch die Ni-Austauschreaktion NiN2+ + Ni realisiert; der Ratenkoeffizient wurde bestimmt. Weiterhin wurde ein lineares Flugzeitmassenspektrometer aufgebaut, mit dem die gespeicherten Ionen analysiert werden. Die in der Falle weit verteilten Ionen werden für die Flugzeitanalyse mit speziellen Pulsen vorbereitet. Eine Massenauflösung von 50 wurde erreicht. In einer temperaturvariablen Ionenfalle wurde das Wachstum von (CO)n+ Clustern untersucht. Die Cluster wurden durch die sequentielle Anlagerung von CO Molekülen an ein CO+ Ion gebildet. Die Ratenkoeffizienten der Dreikörperassoziation wurden für die ersten zwei Wachstumsschritte CO+ + CO und (CO)2+ + CO bei verschiedenen Temperaturen und CO Dichten bestimmt. Das weitere Wachstum wird durch zwei Isotopenklassen der (CO)3+ Ionen und größerer Cluster beeinflußt. Reaktionspfade zur Bildung und Isomerisierung von (CO)n+ Clustern werden vorgeschlagen. Die Bildung großer Cluster (n > 4) wird durch den gepulsten intensiven Einlaß von CO Gas erzielt.

The modification of the radiation pattern and radiative lifetime of dye molecules in three-dimensional colloidal photonic crystals is studied, using high-resolution optical microscopy and spectroscopy. The experimental observations are compared to corresponding calculations of the local optical density of states. It can be concluded, that the fluorescence of the molecules is redistributed spectrally and spatially within the photonic crystal. / Mit Hilfe hochauflösender optischer Mikroskopie und Spektroskopie werden Änderungen der Abstrahlcharakteristik und strahlenden Lebensdauer von Farbstoffmolekülen in dreidimensionalen kolloidalen photonischen Kristallen untersucht. Die experimentellen Beobachtungen werden mit entsprechenden Berechnungen der lokalen optischen Zustandsdichte verglichen. Hieraus kann auf eine spektrale und räumliche Umverteilung der Fluoreszenz der Moleküle im photonischen Kristall geschlossen werden.

In dieser Arbeit wird eine Beschreibung von Monte-Carlo-Verfahren zur Lösung komplexer Optimierungsaufgaben mit Hilfe von Markov-Ketten durchgeführt. Nach einer kurzen Einführung werden Lösungsmenge solcher Aufgaben und der physikalische Zustandsraum komplexer Systeme identifiziert. Zunächst wird die Dynamik von Zufallswanderern im Zustandsraum mit Hilfe von Master-Gleichungen modelliert. Durch Einführung von Performanzkriterien können verschiedene Optimierungsstrategien quantitativ miteinander verglichen werden. Insbesondere wird das Verfahren Extremal Optimization vorgestellt, dass ebenfalls als Markov-Prozess verstanden werden kann. Es wird bewiesen, dass eine im Sinne der genannten Kriterien beste Implementierung existiert. Da diese von einem sogenannten Fitness Schedule abhängt, wird dieser für kleine Beispielsysteme explizit berechnet. Daran anschließend wird die Zustandsdichte komplexer Systeme betrachtet. Nach einem kurzen Überblick über vorhandene Methoden folgt eine detaillierte Untersuchung des Verfahrens von Wang und Landau. Numerische und analytische Hinweise werden gegeben, nach denen dieser Algorithmus innerhalb seiner Klasse wahrscheinlich der Optimale ist. Eine neue Methode zur Approximation der Zustandsdichte wird vorgestellt, die insbesondere für die Untersuchung komplexer Systeme geeignet ist. Abschließend wird ein Ausblick auf zukünftige Arbeiten gegeben.

Der Zustandsraum ist ein sehr wichtiges und grundlegendes Konzept für die Untersuchung komplexer Systeme. Alle Eigenschaften des Systems können anhand der Struktur dieses Raumes verstanden werden. Aufgrund der immensen Größe des Zustandsraumes eines realen komplexen Systems ist eine vergröberte Beschreibung unumgänglich für dessen Analyse. In dieser Arbeit werden, aufbauend auf dem lang etablierten Modell der hierarchischen Bäume, spezielle Aspekte komplexer Systeme untersucht. Gleichzeitig wird das verwendete Modell in geeigneter Weise erweitert und verbessert. Im ersten Teil der Forschungsarbeit werden die Besonderheiten des Wahrscheinlichkeitsflusses an einem einzelnen Sattelpunkt einer Energielandschaft detailliert betrachtet. Die Einflüsse verschiedener Parameter wie Energietiefe, Zustandsdichte und Konnektivität werden unabhängig voneinander und im Zusammenspiel untersucht. Im zweiten Teil wird ein vollständiges System, das komplexes Verhalten zeigt, untersucht, wobei besonderes Gewicht auf seine Wechselwirkung, d.h. seinen Energieaustausch mit der Umgebung, gelegt wird. Es kann gezeigt werden, daß das hierarchische Relaxationsverhalten, welches bei anderen Varianten komplexer Systeme beobachtet werden konnte, im Baummodell bereits enthalten ist. Neben den bisher untersuchten, auf Energielandschaften basierenden Systemen besitzen auch turbulente Diffusionsprozesse hierarchische Strukturen. Im dritten Teil der Arbeit wird die Baumstruktur verwendet, um turbulente Superdiffusionsprozesse zu modellieren. Das dabei beobachtete Diffusionsverhalten wird mit vier bekannten mathematischen Modellen verglichen. Die Ergebnisse zeigen, daß nur eines der untersuchten Modelle den vom Baummodell beschriebenen turbulenten Transport in akzeptabler Weise nachbildet. / The state space is a very important and fundamental concept for the treatment of complex systems. All the system's properties can be understood by means of its structure. Due to the gigantic extent of a real system's state space, a coarse grained approach is inevitable for the analysis. In this work, based on the well established model of hierarchical trees, particular aspects of complex systems have been studied, while at the same time several extensions to the model have been made. In the first part of this research work the features of the probability flow are treated in detail at a single saddle point in the energy landscape. Influences of various parameters like energetic depth, density of states and connectivity are studied isolated and in their interaction. In the second part a whole system showing complex behavior is being considered, especially its energy exchange with the surroundings. It can be demonstrated that the hierarchical relaxation behavior observed in other realizations of complex systems is intrinsically covered by the tree model. Beside energy landscape based systems turbulent diffusion processes possess hierarchical structures, too. In the third part the tree structure has been used to model a turbulent superdiffusion process. The diffusion behavior observed there has been compared with four well known diffusion equation approaches. The results show that only one of the discussed continuum diffusion equations can model the turbulent transport based on the tree model in acceptable fashion.

The parQ method, up to now only capable of calculating the density of states in the canonical ensemble, is extended to the grand canonical ensemble and compared to the Wang-Landau algorithm, a local-update flat-histogram method. Both algorithms have been implemented so that the performance and the respective benefits with increasing simulation time can be determined and compared.