In attempting to solve the regular inverse Galois problem for arbitrary subfields K of C (particularly for K=Q), a very important result by Fried and Völklein reduces the existence of regular Galois extensions F|K(t) with Galois group G to the existence of K-rational points on components of certain moduli spaces for families of covers of the projective line, known as Hurwitz spaces. In some cases, the existence of rational points on Hurwitz spaces has been proven by theoretical criteria. In general, however, the question whether a given Hurwitz space has any rational point remains a very difficult problem. In concrete cases, it may be tackled by an explicit computation of a Hurwitz space and the corresponding family of covers. The aim of this work is to collect and expand on the various techniques that may be used to solve such computational problems and apply them to tackle several families of Galois theoretic interest. In particular, in Chapter 5, we compute explicit curve equations for Hurwitz spaces for certain families of \(M_{24}\) and \(M_{23}\). These are (to my knowledge) the first examples of explicitly computed Hurwitz spaces of such high genus. They might be used to realize \(M_{23}\) as a regular Galois group over Q if one manages to find suitable points on them. Apart from the calculation of explicit algebraic equations, we produce complex approximations for polynomials with genus zero ramification of several different ramification types in \(M_{24}\) and \(M_{23}\). These may be used as starting points for similar computations. The main motivation for these computations is the fact that \(M_{23}\) is currently the only remaining sporadic group that is not known to occur as a Galois group over Q. We also compute the first explicit polynomials with Galois groups \(G=P\Gamma L_3(4), PGL_3(4), PSL_3(4)\) and \(PSL_5(2)\) over Q(t). Special attention will be given to reality questions. As an application we compute the first examples of totally real polynomials with Galois groups \(PGL_2(11)\) and \(PSL_3(3)\) over Q. As a suggestion for further research, we describe an explicit algorithmic version of "Algebraic Patching", following the theory described e.g. by M. Jarden. This could be used to conquer some problems regarding families of covers of genus g>0. Finally, we present explicit Magma implementations for several of the most important algorithms involved in our computations. / Das Umkehrproblem der Galoistheorie und explizite Berechnung von Familien von Überlagerungen des \(\mathbb{P}^1\mathbb{C}\) mit vorgegebener Verzweigung

Stuttgart, Univ., Diplomarbeit, 2005.

Stuttgart, Univ., Diss., 2006.

Universiẗat, Diss., 1990--Paderborn.

Erlangen, Nürnberg, Univ., Diss., 2005.

University, Diss., 2003--Chemnitz. / Parallelt.: A direct approach for the segmentation of unorganized points and recognition of simple algebraic surfaces. Text engl.

Freie Universiẗat, Diss., 2003--Berlin. / Dateiformat: zip, Dateien im PDF-Format.

Universiẗat, Diss., 2005--Heidelberg.

In this thesis, I study entanglement in quantum field theory, using methods from operator algebra theory. More precisely, the thesis covers original research on the entanglement properties of the free fermionic field. After giving a pedagogical introduction to algebraic methods in quantum field theory, as well as the modular theory of Tomita-Takesaki and its relation to entanglement, I present a coherent framework that allows to solve Tomita-Takesaki theory for free fermionic fields in any number of dimensions. Subsequently, I use the derived machinery on the free massless fermion in two dimensions, where the formulae can be evaluated analytically. In particular, this entails the derivation of the resolvent of restrictions of the propagator, by means of solving singular integral equations. In this way, I derive the modular flow, modular Hamiltonian, modular correlation function, R\'enyi entanglement entropy, von-Neumann entanglement entropy, relative entanglement entropy, and mutual information for multi-component regions. All of this is done for the vacuum and thermal states, both on the infinite line and the circle with (anti-)periodic boundary conditions. Some of these results confirm previous results from the literature, such as the modular Hamiltonian and entanglement entropy in the vacuum state. The non-universal solutions for modular flow, modular correlation function, and R\'enyi entropy, however are new, in particular at finite temperature on the circle. Additionally, I show how boundaries of spacetime affect entanglement, as well as how one can define relative (entanglement) entropy and mutual information in theories with superselection rules. The findings regarding modular flow in multi-component regions can be summarised as follows: In the non-degenerate vacuum state, modular flow is multi-local, in the sense that it mixes the field operators along multiple trajectories, with one trajectory per component. This was already known from previous literature but is presented here in a more explicit form. In particular, I present the exact solution for the dynamics of the mixing process. What was not previously known at all, is that the modular flow of the thermal state on the circle is infinitely multi-local even for a connected region, in the sense that it mixes the field along an infinite, discretely distributed set, of trajectories. In the limit of high temperatures, all trajectories but the local one are pushed towards the boundary of the region, where their amplitude is damped exponentially, leaving only the local result. At low temperatures, on the other hand, these trajectories distribute densely in the region to either---for anti-periodic boundary conditions---cancel, or---for periodic boundary conditions---recover the non-local contribution due to the degenerate vacuum state. Proceeding to spacetimes with boundaries, I show explicitly how the presence of a boundary implies entanglement between the two components of the Dirac spinor. By computing the mutual information between the components inside a connected region, I show quantitatively that this entanglement decreases as an inverse square law at large distances from the boundary. In addition, full conformal symmetry (which is explicitly broken due to the presence of a boundary) is recovered from the exact solution for modular flow, far away from the boundary. As far as I know, all of these results are new, although related results were published by another group during the final stage of this thesis. Finally, regarding relative entanglement entropy in theories with superselection sectors, I introduce charge and flux resolved relative entropies, which are novel measures for the distinguishability of states, incorporating a charge operator, central to the algebra of observables. While charge resolved relative entropy has the interpretation of being a ``distinguishability per charge sector'', I argue that it is physically meaningless without placing a cutoff, due to infinite short-distance entanglement. Flux resolved relative entropy, on the other hand, overcomes this problem by inserting an Aharonov-Bohm flux and thus passing to a variant of the grand canonical ensemble. It takes a well defined value, even without putting a cutoff, and I compute its value between various states of the free massless fermion on the line, the charge operator being the total fermion number. / In dieser Dissertation untersuche ich quantenmechanische Verschränkung mittels Methoden aus Theorie der Operatoralgebren. Genauer gesagt stelle ich eigene Forschung über die Verschränkungseigenschaften des freien Fermions vor. Die Arbeit beginnt mit einer pädagogischen Einführung in algebraische Quantenfeldtheorie und stellt die modulare Theorie nach Tomita und Takesaki, sowie ihre Verbindung zu Verschränkung vor. Darauffolgend stelle ich einen vollständigen Satz an Werkzeugen vor, mit dem Tomita-Takesaki-Theorie für freie fermionische Felder in beliebiger Anzahl von Dimenionen gelöst werden kann. Diese Werkzeuge wende ich dann auf das freie, masselose Dirac-Fermion in zwei Dimensionen an, wo die hergeleiteten Formeln exakt gelöst werden können. Dies beinhaltet insbesondere die Herleitung der Resolvente von Einschränkungen des Propagators mittels der analytischen Lösung singulärer Integralgleichungen. Daraus ergeben sich schließlich der modulare Fluss, der modulare Hamiltonian, der modulare Korrelator, Rényi Verschränkungsentropien, von-Neumann Verschränkungsentropien, relative Verschränkungsentropie und Transinformation für nicht-zusammenhängende Verschränkungsgebiete. Dies alles wird im Vakuum und bei endlicher Temperatur ausgearbeitet, für ein Fermion sowohl auf der Geraden, als auch auf dem Kreis mit (anti-)periodischen Randbedingungen. Einige der Ergebnisse, besipielsweise der modulare Hamiltonian und von-Neumann Verschränkungsentropie, bestätigen Resultate aus bereits existierender Literatur. Die nicht-universellen Lösungen für den modularen Fluss, den modularen Korrelator und die Rényi Verschränkungsentropie dagegen sind neu, insbesondere für den Fall des thermischen Zustandes auf dem Kreis. Zusätzlich demonstriere ich den Einfluss von Rändern der Raumzeit auf Verschränkung und zeige, wie man relative Entropie und Transinformation in Theorien mit Superselektionsregeln definieren kann. Die Ergebnisse bezüglich modularen Flusses in nicht-zusammenhängenden Gebieten lassen sich wie folgt zusammenfassen: Im nicht-entarteten Vakuum ist der modulare Fluss multi-lokal, was bedeutet, dass er Feldoperatoren entlang mehrerer Trajektorien -- eine pro Zusammenhangskomponente der Region -- untereinander vermischt. Dies war bereits vorher bekannt, allerdings folgt es sich hier in expliziter Form aus exakten Lösungen. Ein vollkommen neues Ergebnis ist, dass der modulare Fluss des thermischen Zustandes auf dem Kreis sogar für zusammenhängende Regionen multi-lokal ist: Er mischt Feldoperatoren entlang unendlich vieler, diskret verteilter Trajektorien in der Verschränkungsregion. Im Hochtemperaturgrenzwert befinden sich alle diese Trajektorien, bis auf die lokale, nahe am Rand der Region, wo ihre Amplitude exponentiell gedämpft wird -- es bleibt nur die lokale Lösung. Bei tiefen Temperaturen dagegen sind die Trajektorien dicht in der Region verteilt, sodass sie entweder (bei antiperiodischen Randbedingungen) sich durch destruktive Interferenz gegenseitig aufheben oder (bei periodischen Randbedingungen) durch konstruktive Interferenz einen nicht-lokalen Term erzeugen, der auf das entartete Vakuum zurückgeführt werden kann. Im Falle von Raumzeiten mit Rand zeige ich explizit, wie der Rand Verschränkung zwischen beiden Komponenten des Dirac-Spinors impliziert. Mit zunehmdendem Abstand vom Rand nimmt diese Verschränkung invers quadratisch ab, wie ich quantitativ durch Berechnung der Transinformation zwischen den Komponenten in einem zusammenhängenden Gebiet zeige. Zusätzlich lässt sich die volle konforme Symmetrie der Theorie (die durch den Rand explizit gebrochen wird) aus der exakten Lösung für den modularen Fluss wiederherstellen, indem man den Grenzwert eines weit entfernten Randes betrachtet. Meines Wissens sind alle diese Resultate neu, allerdings wurden während der Fertigstellung dieser Dissertation verwandte Ergebnisse von einer anderen Arbeitsgruppe veröffentlicht. Die letzten Resultate in dieser Arbeit beziehen sich auf die Untersuchung relativer Entropie in Systemen mit Superselektionsregeln. Hier führe ich neue informationstheoretische Maße für die Unterscheidbarkeit von Zuständen ein: Die ladungs- und flussbezogenen relativen Entropien. Beide werden mittels eines Ladungsoperators aus dem Zentrum der Observablenalgebra definiert. Während die ladungsbezogene relative Entropie sich physikalisch als "Unterscheidbarkeit pro Ladungssektor" interpretieren lässt, argumentiere ich, dass sie nur innerhalb eines Regularisierungsschemas physikalisch bedeutsam ist, da die universell unendliche Verschränkung auf kurzen Längenskalen sonst zu Widersrpüchen führt. Flussbezogene relative Entropie dagegen hat dieses Problem nicht: Durch das Hinzufügen eines Aharonov-Bohm-Flusses betrachtet man hier eine lokale Variante des großkanonischen Ensembles, wodurch sie sich auch ohne Regularisierung definieren und berechnen lässt. Ich berechne ihren Wert zwischen verschiedenen Zuständen des freien masselosen Fermions auf der Geraden. Die erhaltene Ladung ist hierbei die Gesamtzahl der Fermionen im System.

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