A questão de como sistemas quânticos correspondem a sistemas clássicos existe desde o surgimento da mecânica quântica e parece ser algo natural de se perguntar. E também desde o principio da mecânica quântica estados coerentes são usados para responder esse tipo de questão, já que eles são, em certo sentido, os estados quânticos mais próximos a estados que descrevem sistemas clássicos. Seguindo os resultados de Hepp, que mostrou a correspondência tantopara o caso da mecânica quântica não relativística quanto para o caso de camposBosônicos relativísticos, mostramos a correspondência entre sistemas Bosônicos livres em um espaço-tempo de de Sitter e soluções da equação de Klein-Gordon neste mesmo espaço.Após introduzir os conceitos relevantes e construir a álgebra que descreve sistemas Bosônicos livres em um espaço globalmente hiperbólico, construímos estados coerentes para álgebras CCR na forma de Weyl e provamos o limite semi-clássico para uma região próxima à origem (ou, para um tempo fixo, em todo espaço de de Sitter). Além disso provamos que este limite independe do estado de vácuo---que, em geral, não é único. / The question of the correspondence between quantum and classical systems is an issue since the beginnings of quantum mechanics and it seems like a natural question. Also since the start of quantum mechanics coherent states were used to answer this sort of question, since they are, in a sense, the quantum states closest to states that describe classical systems. Following the results of Hepp, who showed the correspondence for the case of non-relativistic quantum mechanics as well as for relativistic Bosonic fields, we show the correspondence between free Bosonic field in a de Sitter space-time and the solutions of the Klein-Gordon equation in that same space-time. After introducing the relevant concepts and the construction of the algebra that describes free Bosonic systems in a globally hyperbolic space-time, we construct coherent states for CCR algebras in Weyls form, and we prove the semi-classical limit for a region close to the origin (or, for a fixed time, in the whole de Sitter space-time). We also prove that this limit is independent of the vacuum statewhich might not be unique.

Teorias de campo discretas euclideanas invariantes por transformações que preservam a topologia e o volume dos espaços são estudadas em três dimensões. Teorias com tal simetria são chamadas de quasetopológicas. Os modelos são definidos em diagramas de Heegard, interpretados como uma generalização das triangulações e redes cúbicas. Quando um diagrama descreve uma triangulação, o seu gênero g corresponde ao número de tetraedros. Uma função de partição Z () é atribuída a cada diagrama . Nas teorias quase topológicas, Z() depende apenas de g e da topologia de . Ou seja, as operações de simetria são homeomorfismos que preservam o gênero. Nas triangulações, tem-se invariância por homeomorfismos que preservam o número de tetraedros. Provou-se que tais operações sempre podem ser escritas como composições de três operações elementares, batizadas de moves quase topológicos. Impondo-se invariância de Z pela ação dos moves, chegou-se a um sistema de equações que caracteriza as teorias quasetopológicas. Mostrou-se que a cada álgebra de Hopf corresponde uma solução simples do sistema. Uma nova generalização das álgebras de Hopf foi proposta como ansatz para uma solução mais geral, mas as condições de simetria a reduziram a uma álgebra de Hopf. Nesta generalização, a relação de biálgebra foi substituída por uma relação modificada mais fraca. Identidades tradicionais das álgebras de Hopf deixam de ser verificadas, mas uma série de relações semelhantes foi obtida. A generalização estudada sugere uma família de outras generalizações, com modificações diversas da relação de biálgebra, as quais podem ser usadas na busca de novos exemplos de teorias quasetopológicas. / Euclidean discrete field theories invariant under topology and volume preserving transformations are studied in three-dimensions. Theories with such symmetry are called quasitopological. The models are defined in Heegard diagrams, which are interpreted as a generalization of triangulations and cubic lattices. When a diagram describes a triangulation, its genus g corresponds to the number of tetrahedra. A partition function Z() is assigned to each diagram . In quasitopologica theories, Z() depends only on 9 and on the topology of V. In other words, the symmetry operations are genus preserving homeomorphisms. In the case of triangulations, there is invariance under homeomorphisms which preserve the number of tetrahedra. It was proved that such operatíons can always be written as compositions of three elementary operations, denoted quasitopological moves. Imposing invariance of Z under the action of the moves, a system of equations was found which characterizes quasitopological theories. It was shown that to each Hopf algebra corresponds a simple solution of the equations. A new generalization of Hopf algebras was proposed as an ansatz for a more general solution, but the symmetry conditions reduced it to a Hopf algebra. In this generalization, the bialgebra relation was replaced by an weaker modified one. Traditional identities of Hopf algebras are not verified, but a series of similar relations was obtained. The generalization considered suggests a fami1y of other generalizations, with varied modifications of the bialgebra relatiol1, which can be used in the search for new examples of quasitopological theories.

Uma das propriedades mais marcantes de partículas que obedecem a dinâmica quântica é o fato de partículas do mesmo tipo (como dois elétrons, por exemplo) serem indistinguíveis. Em três dimensões, essas partículas podem ser separadas em dois grupo distintos - férmions ou bósons - não havendo uma terceira opção. A razão para isso é topológica, ou seja, depende exclusivamente da topologia do espaço. Em duas dimensões, entretanto, existem partículas que obedecem a regras estatísticas fracionárias, ou estatísticas ainda mais bizarras ditas não-abelianas, em que uma simples troca de dois anyons idênticos representa uma transformação unitária na função de onda do sistema ao invés de uma simples fase. Partículas que obedecem essas regras estatística não-usuais recebem o nome de anyons. Da mesma forma como a topologia do espaço em três dimensões dita as possíveis regras estatísticas que as partículas podem obedecer, a estatística aniônica está fortemente relacionando à topologia do espaço e, portanto, sistemas aniônicas são muitas vezes usados para descrever fases topológicas presentes em alguns sistemas bidimensionais. Neste trabalho apresentaremos alguns aspectos gerais de sistemas aniônicos - livres de modelo - e analisaremos alguns modelos de muitos corpos na rede que permitem descrever anyons como excitação de quasi-partícula. A principal classe de modelo que iremos analisar é a classe do modelo duplo quântico (MDQ) - que é um modelo quântico em (2+1)D cujos graus de liberdade são elementos de um grupo G (finito) vivendo nas arestas de uma rede e cuja dinâmica é descrita por uma hamiltoniana de muitos corpos. O MDQ é um modelo já bem estudado e conhecido na literatura; neste trabalho, porém, será apresentada uma formulação alternativa para o mesmo, a qual desempenha dois papeis importantes nesta tese. O primeiro deles é de mostrar que o MDQ pode ser obtido a partir da deformação de um invariante topológico; o que, por sua vez, ajuda a reconhecer a ordem topológica presente no modelo. O segundo papel importante é mostrar que essa formulação leva também a uma hamiltoniana de muitos corpos que representa uma generalização da hamiltoniana do MDQ. Alguns desses novos modelos permitem descrever sistemas aniônicos que não podem ser descritos pelo modelo duplo quântico usual. Em outras palavras, o modelo generalizado que será apresentado neste trabalho permite descrever diferentes fases topológicas partindo da deformação de um mesmo invariante topológico. / One of the most interesting properties of quantum particles is the indistinguishability of particles of the same kind (as for example two electrons). On three dimensions these particles are known to be either fermions or bosons depending on their statistical behaviour. The reason for that is topology, in other words these two possible statistics are due to the space topology. However, on two dimensions there are particles called anyons which are neither fermion nor boson; they may obey a fractional statistic or a even more weird non-abelian statistic - where a single exchange of two identical anyons a unitary transformation on the wave function instead of just acquiring a phase factor. As well as the usual fermionic and bosonic statistic, the anyonic statistic depends strongly on the space topology and thus anyonic systems are often used to describe topological phases of matter of two dimensional systems. In this work we are going to show some general (model free) aspects of anyonic systems and also analyse some many body systems that describe anyons as quasi-particle excitations. We will mostly study a class of model called quantum double models (QDMs). Quantum double models are (2+1)D models where the degrees of freedom are elements of a group G living on the edges of lattice and the dynamic is given by a many body hamiltonian. The QDM is a well known and studied model on the literature, however in this work we are going to show an alternative construction for QDMs which will play two very important roles in this thesis. First, it will allows us to obtain the QDMs from deforming a topological invariant, and that helps to easily identify the topological order on this model. Besides, one can also obtain a many body hamiltonian that represents a generalization of the the QDM hamiltonian. Some of these new models describe anyonic systems other than the ones that can be described by usual QDM. In other words, this new construction leads to a many body hamiltonian that can describe both quantum double models and generalizations of it as particular cases.

O objetivo desta Tese foi a aplicação da teoria dos estados coerentes para sistemas quânticos não-triviais. A partir da definição de estados coerentes para grupos de Lie compactos em geral, nos dedicamos a uma investigação detalhada da construção de tais estados e de suas propriedades no caso do grupo simplético unitário Sp(4), que é extremamente importante tanto em mecânica quântica quanto em mecânica clássica. Esse grupo possui uma complexidade intermediária, que permite um tratamento analítico ainda que apresente propriedades não-triviais do ponto de vista de teoria de representação de álgebras de Lie. Os estados coerentes obtidos nos permitiram uma investigação do limite clássico para sistemas com simetria Sp(4) e uma conexão com a teoria do caos em mecânica quântica. Além disso, tratamos uma proposta recente de generalização do conceito de estados coerentes para sistemas de espectro discreto não-degenerado, os estados de Gazeau-Klauder. Esses estados foram aplicados a um problema de magnetização bidimensional e também ao potencial unidimensional de mínimos duplos, onde observamos o aparecimento dos estados chamados \"Gatos de Schrödinger\", que consistem na superposição de dois estados de mínima incerteza. / The subject of the Thesis was the aplication of the coherent states theory to non-trivial quantum systems. Starting from the general definition of coherent states for compact Lie groups, we made a detailed investigation of the construction of these states and its properties in the case of the unitary symplectic group Sp(4), which is extremely important in both quantum and classical mechanics. This group has an intermediate complexity, allowing an analytic treatment while presenting non-trivial properties from the point of view of represention theory of Lie algebras. The coherent states so obtained allowed us an investigation of the classical limit of systems with Sp(4) symmetry and a conection with the theory of chaos in quantum mechanics. Besides that, we have treated a recent generalization of the concept of coherent states for systems with discrete and nondegenerate spectrum, the Gazeau-Klauder states. These states were applied to a twodimensional magnetization problem and also to the onedimensional double-well potential, where we have observed the appearence of the so-called \"Schrödinger cats\", which consist in the superposition of two minimum-uncertainty states.

Orientador: Dessislava Hristova Kochloukova / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T08:44:12Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Lazaro_CristianeAlexandra_D.pdf: 1091031 bytes, checksum: f0d50a933bc78e9414aef5c8219b96bf (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: Sejam L uma álgebra de Lie' metabeliana sobre um corpo k, sendo L uma extensão cindida de A por B, onde A e B são álgebras de Lie abelianas, ou seja, temos A >---+ L ---77 B extensão cindida de álgebras de Lie. Denotemos por U (L) a álgebra universal envelopante de L. E consideremos Q um grupo abeliano finitamente gerado agindo sobre A e B tal que a ação sobre. B é trivial tal que temos a seguinte extensão cindida de álgebras de Hopf ...Observação: O resumo, na íntegra, poderá ser visualizado no texto completo da tese digital / Abstract: Suppose L is a metabelian Lie algebra over a field k such that L is a split extension of A by B, where A and B are abelian Lie algebras, ie, there is a split extension A > 7 L ---7r B af Lie algebras. We denote by U(L) the universal enveloping algebra of the Lie algebra L. Furthermore we suppose Q is a finitely generated abelian group that acts on A and B and the action on B is trivial. Consider the split extension of Hopf algebras...Note: The complete abstract is available with the full electronic digital thesis or dissertations / Doutorado / Algebra / Doutor em Matemática

Orientador: Plamen Emilov Kochloukov / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-10T10:59:05Z (GMT). No. of bitstreams: 1 SantuloJunior_EdneiAparecido_D.pdf: 675335 bytes, checksum: ff19aaa47432de596122e88eeede9a05 (MD5) Previous issue date: 2007 / Resumo: Kemer classificou, a menos de PI-equivalência, todas as álgebras T-primas no caso de caracterísitica zero e, em seu importante Teorema sobre o Produto Tensorial (TPT), demonstrou que o produto tensorial entre duas álgebras T-primas (ainda sobre corpos de característica zero) resulta igualmente numa álgebra T-prima. Neste trabalho é fornecida uma generalização para o último caso do TPT utilizando identidades graduadas. Além disso, é estudada a existência de mergulhos nas álgebras que aparecem no TPT. Mais especificamente, são encontradas condições necessárias e suficientes para a existência de um mergulho graduado de uma álgebra que satisfaz todas as identidades graduadas da álgebra de matrizes cujas entradas pertencem à álgebra de Grassmann em uma álgebra de matrizes cujas entradas se encontram numa álgebra supercomutativa com unidade, quando todas essas álgebras são consideradas sobre corpos infinitos de característica diferente de dois. Por fim, são fornecidas bases de identidades graduadas para os T-ideais graduados da nésima potência tensorial da' álgebra de Grassmann, das álgebras de matrizes cuja ordem é uma potência de dois, e do produto tensorial de quaisquer duas dentre as álgebras previamente citadas. A partir destas deduz-se o TPT no caso em que a ordem das álgebras de matrizes é uma potência de dois / Abstract: Kemer classified, up to PI-equivalence, the T-prime algebras in the case of characteristic zero, and in his celebrated Tenso r Product Theorem (TPT) he showed that the tensor product of two T-prime algebras considered over a field of characteristic zero, is another T-prime algebra. In this work, a generalization for the last case of the TPT is given using graded identities. The existence of embeddings into the algebras cited on the TPT is also studied. More specifically, necessary and sufficient conditions for the existence of a graded embedding of an algebra satisfying all graded polynomial identities for the matrix algebra with entries in the Grassmann algebra, into a matrix algebra with entries in a supercommutative algebra with unity are found when these algebras are taken over fields of characteristic different from two. Graded identities that generate the graded T-ideals of the n-th tensor power of the Grassmann algebra, of the matrix algebras cited in Kemer's TPT (whose order is a power of two) and of the tensor product between any two of those algebras are provided. As a consequence, Kemer's TPT is derived from those results in the special case when the order of the matrices in the matrix algebras under consideration, is a powers of two / Doutorado / Algebra / Doutor em Matemática

Orientador: Luiz Antonio Barrera San Martin / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T11:48:47Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Santos_EdsonCarlosLicurgo_D.pdf: 405695 bytes, checksum: 334d5172d85f7bc35539dbd900fbef67 (MD5) Previous issue date: 2007 / Resumo: Seja (g; [·,·]) uma álgebra de Lie com uma estrutura complexa integrável J. Os ± i-auto-espaços de J são subálgebras complexas de gC isomorfas a álgebra (g; [*]J ) com colchete [X * Y ]J = ½ ([X, Y ] - [JX, JY ]). Consideramos, no capítulo 2, o caso onde estas subálgebras são nilpotentes e mostramos que a álgebra de Lie original (g, [·,·]) é solúvel. Consideramos também o caso 6-dimensional e determinamos explicitamente a única álgebra de Lie possível (g; [*]J ). Finalizamos esse capítulo pruduzindo vários exemplos ilustrando diferentes situações, em particular mostramos que para cada s existe g com estrutura complexa J tal que (g; [*]J ) é s-passos nilpotente. Exemplos similares para estruturas hipercomplexas são também construidos. No capítulo 3 consideramos o caso onde os ±i-auto-espaços de J são subálgebras complexas solúveis e a álgebra complexa é uma álgebra de Lie semi-simples. Mostramos que, se a álgebra real é compacta, uma tal estrutura complexa depende unicamente de um subespaço da subálgebra de Cartan. Finalizamos esse capítulo considerando o caso em que as subálgebras solúveis complexas estão contidas em subálgebras de Borel de uma órbita aberta da ação dos automorfismos internos da álgebra real. Mostramos que, assim como no caso compacto, as estruturas complexas são determinandas, de modo único, por subespaços da subálgebra de Cartan. Ao final da tese apresentamos um procedimento, elaborado em MAPLE, que possibilita testar a identidade de Jacobi quando os colchetes de Lie são dados pelas constantes de estrutura / Abstract: Let (g; [·,·]) be a Lie algebra with an integrable complex structure J. The ±i eigenspaces of J are complex subalgebras of gC isomorphic to the algebra (g; [*]J )with bracket [X * Y ]J = ½ ([X, Y ] - [JX, JY ]). We consider, in chapter three, thecase where these subalgebras are nilpotent and prove that the original Lie algebra(g, [·,·]) must be solvable. We consider also the 6-dimensional case and determineexplicitly the possible nilpotent Lie algebras (g; [*]J ). We finish this chapter byproducing several examples illustrating different situations, in particular we showthat for each given s there exists g with complex structure J such that (g; [*]J ) iss-step nilpotent. Similar examples of hypercomplex structures are also built.In Chapter 3 we consider the case where the ± i eigenspaces of J are solvablecomplex subalgebras and gC is a semisimple Lie algebra. We prove that, if g is compact, such a complex structure comes from a subspace of the Cartan subalgebra.We finish this chapter by considering the case where the solvable complex subalgebras are contained in Borel subalgebras of an open orbit of the action of inner automorphisms of the real algebra.At the end of the thesis we present an algorithm, made in MAPLE, that allowus to verify the Jacobi identity when the Lie brackets are defined by the structureconstants / Doutorado / Mestre em Matemática

Descrevemos propriedades espectrais de aplicações positivas em C*- álgebras de dimensão finita, seguindo o trabalho clássico de Evans e Hoegh-Krohn [EH-K]. Conjuntamente, estudamos os pontos extremais do conjunto das aplicações duplamente estocásticas completamente positivas sobre Mn(C), seguindo Landau e Streater [LS]. / We describe spectral properties of positive maps over nite dimensional C* -algebras, following the classical work of Evans and H egh-Krohn [EH-K]. We also study the extremal points of the set of completely positive doubly-stochastic maps over Mn(C), following Landau and Streater [LS].

Orientador: Jayme Vaz Junior / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-16T08:39:55Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Mattos_EduardoSouza_M.pdf: 1032396 bytes, checksum: fd915adc5546adcea3d86c90b4fda15b (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: Atualmente, o estudo das Álgebras de Clifford é utilizado em inúmeras áreas de pesquisa. Uma delas é na área de Visão Computacional. O objetivo central dessa dissertação consiste em exibir noções sobre Álgebras de Clifford e sua utilização na formulação dos conceitos e definições de operações entre objetos da Geometria Projetiva e na formulação algébrica de câmeras virtuais, que é um dos assuntos tratados na área de Visão Computacional. Para isso são expostos de forma gradual e coerente os principais aspectos teóricos necessários para atingir os objetivos citados. Como resultado, as Álgebras de Clifford proporcionam uma excelente descrição da Geometria Projetiva e das câmeras virtuais / Abstract: Currently, the study of Clifford algebras are used in many research areas. One is in the area of Computer Vision. The main objective of this dissertation is to display notions of Clifford algebras and their use in formulating the concepts and definitions of transactions between objects of Projective Geometry and algebraic formulation of virtual cameras, which is one of the topics covered in Computer Vision. For it is exposed gradually and consistently the main theoretical aspects needed to achieve the goals mentioned. As a result, Clifford algebras provide an excellent description of Projective Geometry and virtual cameras / Mestrado / Matematica Aplicada / Mestre em Matemática Aplicada

Orientador: Plamen Emilov Koshlukov / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-17T15:30:47Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Machado_GustavoGrings_M.pdf: 1211967 bytes, checksum: 772eb43184b0ff273c48ec3a47e9ec93 (MD5) Previous issue date: 2011 / Resumo: Neste trabalho estudamos álgebras com identidades polinomiais, focando-se no estudo de álgebras associativas unitárias finitamente geradas. Nosso objetivo é fazer uma demonstração alternativa da não PI-equivalência de álgebras utilizando um invariante conhecido como dimensão de Gelfand-Kirillov. Este invariante tem ganhado importância ultimamente, uma vez que ele é relativamente fácil de calcular e, de certa forma, é capaz de diferenciar o modo com que duas álgebras crescem. Começamos com as definições e resultados básicos de álgebras, álgebras graduadas, identidades polinomiais (graduadas), reduções de identidades polinomiais, etc. Em seguida apresentamos alguns resultados de álgebras com identidades polinomiais finitamente geradas, que permitem uma melhor compreensão dos conceitos de altura e de dimensão de Gelfand-Kirillov. Depois estudamos o Teorema do Produto Tensorial de Kemer (TPT), donde se conclui a PI-equivalência (multilinear) envolvendo álgebras importantes na teoria de PI-álgebras, as álgebras T-primas. Em particular, conclui-se a PI-equivalência sobre corpos de característica zero de M1;1(E) e EE, em que E é a álgebra de Grassmann de um espaço vetorial de base enumerável. Enfim, finalizamos mostrando a não PI-equivalência sobre corpos infinitos de característica positiva maior que dois de M1;1(E) e E E, utilizando-se da dimensão de Gelfand-Kirillov / Abstract: In this work we study algebras with polynomial identities, focusing on the study of finitely generated unitary associative algebras. Our goal is to give an alternative proof of non PI-equivalence of algebras using an invariant known as Gelfand-Kirillov dimension. This invariant has gained importance lately since in many cases it is relatively easy to calculate and, surprisingly, it is able to differentiate the growth of two algebras. We begin with definitions and basic results of algebras, graded algebras, (graded) polynomial identities, reduction of polynomial identities, etc. Afterwards we present some results concerning finitely generated algebras with polynomial identities, which give a better comprehension of the notions of height and Gelfand-Kirillov dimension. Later on we study the Kemer's Tensor Product Theorem (TPT), from which we conclude (multilinear) PI-equivalence involving important algebras in PI-theory, the so called T-prime algebras. In particular, we deduce the PI-equivalence of M1;1(E) and E E over fields of characteristic zero, where E is the infinite dimensional Grassman algebra. Finally, we prove the non PI-equivalence of M1;1(E) and E E over infinite fields of prime characteristic greater than two by means of Gelfand-Kirillov dimension / Mestrado / Algebra / Mestre em Matemática