Dans un anneau de polynômes à $n$ indéterminées $A\n=A[y_1\tr y_n]$ à coefficients dans un anneau commutatif unitaire $A$ on dit qu'un polynôme $p=p(y_1\tr y_n)$ est une variable ou $A$-variable s'il existe un ($A$-)automorphisme $\alpha$ de $A\n$ tel que $p=\alpha(y_1)$. Dans cette thèse, on donne une construction assez générale de variables de $A\n$ par conjugaison d'automorphismes de $A\n$ avec des automorphismes de $(\Quot A)\n$. On définit les variables résiduelles qui désigne des polynômes qui sont des variables modulo $\Max$ pour tout idéal ma\-xi\-mal $\Max$ de $A$, en particulier, lorsque $A=\C\x=\C[x_1\tr x_k]$, on parle de variables $\xb$-résiduelles. Bien entendu les variables sont des variables résiduelles mais la réciproque est-elle vraie? On montre, grâce à un résultat de Daigle et Freudenburg, que les variables $\xb$-résiduelles de $\C\x[y,z]$ sont bien des $\xb$-variables. Les variables interviennent également dans les problèmes d'hyperplans plongés d'Abhyankar-Sathaye; un polynôme $p$ de $A\n$ est un ($A$-)hyperplan si le quotient de $A\n$ par l'idéal principal engendré par $p$, $(p)$ est isomorphe à $A^{[n-1]}$. Les variables sont des hyperplans et on étudie là encore la réciproque. Dans l'article co-écrit avec M.M. Kaliman et Zaidenberg qui fait partie de cette thèse on étudie les hyperplans de $\C[x,y,z,u]$ de la forme $p=f(x,y)u+g(x,y,z)$. À un changement des variables $x$ et $y$ près on montre que ces hyperplans sont aussi des variables $x$-résiduelles et partant de là on montre que ce sont des $x-$plans (i.e. $A$-plans où $A=\C[x]$) de $\Cx[y,z,u]$ et même qu'il existe un automorphisme $\alpha$ de $A[y,z,u,v]$ tel que $\alpha((p,v))=(y,v)$. Dans certains cas, par exemple lorsque $g$ est de degré un en $z$, on parvient à prouver que ce sont des $x$-variables. On donne aussi une généralisation d'un théorème de Wright en montrant qu'un $x$-plan de la forme $f(x,y,z)u^n+g(x,y,z)$ où $n\geq 2$ est une $x$-variable. Cependant le problème reste irrésolu concernant, par exemple, le polynôme $y+x[xz+y(yu+z^2)]$ qui, bien qu'étant un $x$-plan et une variable $x$-résiduelle ne semble pas être une $x$-variable.

Dans cette thèse nous donnons une classification des algèbres amassées provenant de l'infini-gone et établissons une relation entre ces algèbres et celles associées aux carquois de type A [indice inférieur infini]. Nous présentons une nouvelle construction des algèbres amassées sur les carquois de type A[indice inférieur infini] qui exhibe la liste complète des variables amassées, chacune étant donnée par une formule explicite. Ensuite nous montrons que si Q est un carquois fini, connexe et acyclique dont le carquois répétitif ZQ contient une tranche locale isomorphe à Q[indice supérieur op], alors il existe un plongement de ZQ dans l'espace et une réflexion oblique de l'espace qui induisent une involution dans ZQ. Comme conséquence immédiate de ce résultat, nous montrons que: si une algèbre amassée contient une graine (x Q) tel que Q est un carquois acyclique équivalent par mutations à Q[indice supérieur op], alors le groupe des automorphismes amassés de cette algèbre est un produit semi-direct du sous-groupe des automorphismes directs et du groupe Z[indice inférieur 2] ce qui est une démonstration de la conjecture d'Assem-Schiffler-Shramchenko sur les automorphismes amassés.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique p>0. Soit C/k une courbe algébrique, propre, lisse et de genre g>1, munie d'un p-groupe G d'automorphismes tel que |G|/g> 2p/(p-1). Un tel couple (C,G) est appelé une "grosse action". Sous ces hypothèses, C--> C/G est un revêtement étale de la droite affine Spec k[X], complètement ramifié à l'infini. Après avoir précisé certaines propriétés du deuxième groupe de ramification G_2 de G à l'infini, on donne des exemples de telles actions avec G_2 abélien d'exposant quelconque. Ces exemples trouvent leur source dans la construction , via les corps de classes de rayon, de courbes algébriques sur un corps fini possédant beaucoup de points rationnels. On se concentre ensuite sur le cas où G_2 est un p-groupe abélien élémentaire. En considérant une filtration d'anneau de k[X] liée aux polynômes additifs, on obtient un théorème de structure pour les fonctions paramétrant le revêtement d'Artin-Schreier: C --> C/G_2. On exhibe alors des familles universelles et on discute l'espace de déformation correspondant lorsque p=5. On déduit de ces résultats une classification et une paramétrisation de telles actions lorsque |G|/g^2 est supérieur ou égal à 4/(p^2-1)^2. / Let k be an algebraically closed field of characteristic p>0 and C a connected nonsingular projective curve over k with genus g>1. We define a big action as a pair (C,G) where G is a p-subgroup of the k-automorphism group of C such that |G| /g > 2p / p-1. Then, C ---> C/G is an étale cover of the affine line Spec k[X] totally ramified at infinity. We first give necessary conditions on the second ramification G_2 of G at infinity for (C,G) to be a big action. We also display realizations of such actions with G_2 abelian of exponent as large as we want. Our main source of examples comes from the construction of curves with many rational points using ray class field theory for global function fields. Then we focus on the case where G_2 is p-elementary abelian. In particular, considering additive polynomials of k[X], we obtain a structure theorem for the functions parametrizing the Artin-Schreier cover C --> C/G_2. Then we display universal families and discuss the corresponding deformation space for p=5. All these results lead to the classification and the parametrization of big actions for |G|/g^2 greater or equal to 4/(p^2-1)^2.

Les travaux présentés dans ce mémoire concernent les réseaux, qui sont des objets mathématiques fondamentaux pour de nombreux domaines tel que théorie des nombres et la cryptographie.Nous proposons dans un premier temps une généralisation et une implantation de l'algorithme de réduction de Lenstra, Lenstra et Lov'asz (algorithme LLL) dans le cadre algébrique simple des réseaux sur les anneaux d'entiers quadratiques, imaginaires et euclidiens.Nous nous attachons ensuite à présenter les notions de réseaux algébriques et de formes de Humbert, qui sont des généralisations dans un cadre algébrique aussi large que possible des notions classiques de réseaux euclidiens et de formes quadratiques. L'introduction de ces objets nous permet de présenter une adaptation et une implantation de l'algorithme de Plesken et Souvignier permettant de traiter efficacement les problèmes de l'isométrie et de la détermination des automorphismes pour les réseaux algébriques.Nous proposons finalement une étude détaillée de la complexité de ces deux problèmes. Nous montrons notamment qu'ils sont intiment reliés à des problèmes similaires sur les graphes. Cette réduction nous permet d'exhiber des bornes de complexité inédites. / This thesis deals with lattices, which are fundamental objects in many fields, such as number theory and cryptography.As a first step, we propose a generalization and an implantation of the Lenstra, Lenstra and Lov'asz algorithm (LLL algorithm) in the simple algebraic setting of lattices over quadratic imaginary and euclidean ring of integers.Then, we present the notions of algebraic lattices and Humbert forms, which are extensions of euclidean lattices and quadratic forms in a large algebraic setting. Introducing these objects leads us to develop and implant modifications of the Plesken and Souvignier algorithm. This algorithm efficiently solves the isometric lattices problem and the automorphism group computation problem for algebraic lattices.Eventually, we analyze in depth the complexity of this two algorithmic problems. We show that they are intimately related to similar problems on graphs. This reduction leads us to express unprecedented complexity bounds.

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Cette thèse est consacrée aux actions des groupes de transformations algébriques sur les variétés affines algébriques. Dans la première partie, on étudie la normalité des adhérences des orbites de tore maximal dans un module rationnel de groupe algébrique simple. La seconde partie porte sur les actions du groupe d'automorphismes d'une variété affine. Nous nous intéressons aux propriétés de transitivité et de transitivité multiple de ces actions sur le lieu lisse de la variété.

Cette thèse est consacrée aux actions des groupes de transformations algébriques sur les variétés affines algébriques. Dans la première partie, on étudie la normalité des adhérences des orbites de tore maximal dans un module rationnel de groupe algébrique simple. La seconde partie porte sur les actions du groupe d'automorphismes d'une variété affine. Nous nous intéressons aux propriétés de transitivité et de transitivité multiple de ces actions sur le lieu lisse de la variété. / This thesis is devoted to the actions of groups of algebraic transformations on affine algebraic varieties. In the first part we study normality of closures of maximal torus orbits in the rational modules of simple algebraic groups. The second part deals with actions of automorphism groups on affine varieties. We study here transitivity and multiple transitivity of such an action on the set of smooth points.

La these s'integre dans la theorie des representations d'un groupe reductif fini. Un tel groupe est defini comme <b>G</b>^F, ou <b>G</b> est un groupe reductif connexe sur un corps algebriquement clos de caracteristique p>0 et F est un endomorphisme tel que l'ensemble des points fixes <b>G</b>^F est fini.<br />Dans cette situation, on obtient une famille de groupes finis en remplacant F par une puissance F^m. Cette idee joue un role important dans la theorie generale des groupes reductifs finis; elle est notamment developpee par Lusztig.<br />Dans le cas ou m=2, F agit comme un automorphisme sur <b>G</b>^F². On peut donc former le produit semi-direct de <b>G</b>^F² par F; la descente de Shintani definit alors une isometrie de l'espace des fonctions centrales sur la tranche <b>G</b>^F².F dans l'espace des fonctions centrales sur <b>G</b>^F. Le but de la these est d'etudier cette isometrie dans le cas des groupes de Suzuki et de Ree de type B₂ et G₂, definis par un endomorphisme F "tres tordu" (dans le sens que F n'est pas un endomorphisme de Frobenius). Ce dernier fait entraine un certain nombre de problemes au niveau de la theorie generale. Nous determinons donc explicitement la table des valeurs des fonctions centrales sur la tranche <b>G</b>^F².F.<br />Comme applications, nous pouvons explicitement determiner les valeurs propres associees par Lusztig aux representations unipotentes cuspidales du groupe de Suzuki et de Ree. Nous pouvons aussi verifier un certain nombre de conjectures dans la theorie des representations modulaires: conjecture de Broue, existence des ensembles basiques. Plus generalement, la determination des tables des caracteres des extensions cycliques rentre dans le projet de determiner les tables des caracteres de toutes les extensions des groupes finis simples.

Résumé : Dans cette thèse j'ai travaillé sur deux problèmes différents dans le domaine de la Géométrie Algébrique. La première partie de cette thèse consiste dans l'étude de la stabilité des images inverses du fibré tangent de l'espace projectif sur des variétés projectives. La stabilité de ces fibrés est équivalente à celle du noyau du morphisme d'évaluation M associé à un fibré en droites L engendré par ses sections globales. On obtient un résultat optimal dans le cas des courbes projectives et ensuite on utilise ce résultat pour en déduire la stabilité dans le cas des quelques surfaces projectives, notamment K3 et abéliennes. Un second problème que nous abordons est l'étude du lieu fixe d'une involution symplectique d'une variété irréductible holomorphe symplectique de dimension 4 telle que b2 = 23. On montre qu'il y a seulement trois cas possibles pour le nombre des points fixes isolés et des surfaces K3 fixées. On conjecture que seulement un cas soit possible, celui avec 28 points fixes isolés et une surface K3 fixée, et qu'une telle involution ne fixe jamais une surface abélienne. On vérifie cette conjecture dans quelques exemples.