Une valeur propre est dite stable si sa multiplicité se maintient par petites perturbations. Cette hypothèse de stabilité dépend en particulier de la perturbation considérée. Nous verrons cela dans l'exemple de la sphère de dimension trois. Après avoir introduit la définition des opérateurs de Schrödinger avec champ magnétique sur une variété Riemannienne puis sur un graphe, nous montrerons que toute valeur propre de la sphère est stable pour les perturbations par champ électromagnétique et que la première valeur propre de la sphère avec champ magnétique constant est stable pour les potentiels. Nous prouverons que la multiplicité maximale de l'état fondamental d'un opérateur de Schrödinger avec champ magnétique sur S² est indépendant de la topologie du fibré. Nous montrerons par la suite que la multiplicité maximale de la première valeur propre d'un opérateur de Schrödinger avec champ magnétique sur un graphe est indépendant de sa planarité.

1- Généralisation des fibrés instantons spéciaux sur P^2n+1 qui est appelée les fibrés (b+1)-instantons pondérés sur P^2n+1. On a étudié la stabilité de ces fibrés dans le cas où b=0. On a étudié la déformation de fibrés de Steiner pondérés sur P^2n+1. 2- Généralisation des fibrés de Tango sur P^n qui est appelée les fibrés de Tango pondérés sur P^n. On a étudié la stabilité de ces fibrés vectoriels. On a étudié la déformation de ces fibrés vectoriels. 3- Construction de fibrés vectoriels de rang 3 sur P^4. On a étudié la condition pour avoir des fibrés vectoriels qui ne sont pas isomorphes à une somme directe de trois fibrés en droites. / 1 - Generalization of the special instanton bundles on P^2n+1 which is called the (b+1)-weighted instanton bundles on P^2n+1. The stability of these vector bundles was studied in the case b=0. We studied the deformation of weighted Steiner bundles on P^2n+1. 2 - Generalization of the Tango bundles on P^n which is called the weighted Tango bundles on P^n. The stability of these vector bundles has been studied. The deformation of these vector bundles has been studied. 3 - Construction of vector bundles of rank 3 on P^4. We have studied the condition to have vector bundles that do not isomorphic to a direct sum of three line bundles.

Nous étudions le déterminant du laplacien sur les fibrés vectoriels sur les graphes et l'utilisons, en lien avec des techniques d'analyse complexe discrète, pour comprendre des modèles de physique statistique. Nous calculons certaines constantes de réseaux, construisons des limites d'échelles d'excursions de la marche aléatoire à boucles effacées sur les surfaces, et étudions certains champs gaussiens et processus déterminantaux. / We study the determinant of the Laplacian on vector bundles on graphs and use it, combined with discrete complex analysis, to study models of statistical physics. We compute exact lattice constants, construct scaling limits for excursions of the loop-erased random walk on surfaces, and study some Gaussian fields and determinantal processes.

Résumé : Dans cette thèse j'ai travaillé sur deux problèmes différents dans le domaine de la Géométrie Algébrique. La première partie de cette thèse consiste dans l'étude de la stabilité des images inverses du fibré tangent de l'espace projectif sur des variétés projectives. La stabilité de ces fibrés est équivalente à celle du noyau du morphisme d'évaluation M associé à un fibré en droites L engendré par ses sections globales. On obtient un résultat optimal dans le cas des courbes projectives et ensuite on utilise ce résultat pour en déduire la stabilité dans le cas des quelques surfaces projectives, notamment K3 et abéliennes. Un second problème que nous abordons est l'étude du lieu fixe d'une involution symplectique d'une variété irréductible holomorphe symplectique de dimension 4 telle que b2 = 23. On montre qu'il y a seulement trois cas possibles pour le nombre des points fixes isolés et des surfaces K3 fixées. On conjecture que seulement un cas soit possible, celui avec 28 points fixes isolés et une surface K3 fixée, et qu'une telle involution ne fixe jamais une surface abélienne. On vérifie cette conjecture dans quelques exemples.

Nous allons étudier les propriétés des courbes algébriques sur des surfaces K3 spéciales, du point de vue de la théorie de Brill-Noether.La démonstration de Lazarsfeld du théorème de Gieseker-Petri a mis en lumière l'importance de la théorie de Brill-Noether des courbes admettant un plongement dans une surface K3. Nous allons donner une démonstration détaillée de ce résultat classique, inspirée par les idées de Pareschi. En suite, nous allons décrire le théorème de Green et Lazarsfeld, fondamental pour tout notre travail, qui établit le comportement de l'indice de Clifford des courbes sur les surfaces K3.Watanabe a montré que l'indice de Clifford de courbes sur certaines surfaces K3, admettant un recouvrement double des surfaces de del Pezzo, est calculé en utilisant les involutions non-symplectiques. Nous étudions une situation similaire pour des surfaces K3 avec un réseau de Picard isomorphe à U(m), avec m>0 un entier quelconque. Nous montrons que la gonalité et l'indice de Clifford de toute courbe lisse sur ces surfaces, avec une seule exception déterminée explicitement, sont obtenus par restriction des fibrations elliptiques de la surface. Ce travail est basé sur l'article suivant :M. Ramponi, Gonality and Clifford index of curves on elliptic K3 surfaces with Picard number two, Archiv der Mathematik, 106(4), p. 355–362, 2016.Knutsen et Lopez ont étudié en détail la théorie de Brill-Noether des courbes sur les surfaces d'Enriques. En appliquant leurs résultats, nous allons pouvoir calculer la gonalité et l'indice de Clifford de toute courbe lisse sur les surfaces K3 qui sont des recouvrements universels d'une surface d'Enriques. Ce travail est basé sur l'article suivant :M. Ramponi, Special divisors on curves on K3 surfaces carrying an Enriques involution, Manuscripta Mathematica, 153(1), p. 315–322, 2017. / We study the properties of algebraic curves lying on special K3 surfaces, from the viewpoint of Brill-Noether theory.Lazarsfeld's proof of the Gieseker-Petri theorem has revealed the importance of the Brill-Noether theory of curves which admit an embedding in a K3 surface. We give a proof of this classical result, inspired by the ideas of Pareschi. We then describe the theorem of Green and Lazarsfeld, a key result for our work, which establishes the behaviour of the Clifford index of curves on K3 surfaces.Watanabe showed that the Clifford index of curves lying on certain special K3 surfaces, realizable as a double covering of a smooth del Pezzo surface, can be determined by a direct use of the non-simplectic involution carried by these surfaces. We study a similar situation for some K3 surfaces having a Picard lattice isomorphic to U(m), with m>0 any integer. We show that the gonality and the Clifford index of all smooth curves on these surfaces, with a single, explicitly determined exception, are obtained by restriction of the elliptic fibrations of the surface. This work is based on the following article:M. Ramponi, Gonality and Clifford index of curves on elliptic K3 surfaces with Picard number two, Archiv der Mathematik, 106(4), p. 355-362, 2016.Knutsen and Lopez have studied in detail the Brill-Noether theory of curves lying on Enriques surfaces. Applying their results, we are able to determine and compute the gonality and Clifford index of any smooth curve lying on the general K3 surface which is the universal covering of an Enriques surface. This work is based on the following article:M. Ramponi, Special divisors on curves on K3 surfaces carrying an Enriques involution, Manuscripta Mathematica, 153(1), p. 315-322, 2017.

Cette thèse traite de quelques problèmes classiques en géométrie complexe. La première partie est consacrée à la géométrie Finslérienne complexe. Étant donnés deux fibrés vectoriels holomorphes E1 et E2, munis respectivement de deux structures Finslériennes F1 et F2, on construit une métrique Finslérienne F sur le fibré E 1 ⊗ E 2 faisant intervenir les structures Finslériennes initiales. Moyennant une hypothèse sur les sections globales de E1* et E2*, on donne une condition optimale sous laquelle F est strictement pseudo convexe à courbure négative. Ce résultat est présenté après un chapitre constituant un background Finslérien témoignant de la recherche bibliographique en amont de cette thèse et de quelques initiatives et essais personnels. La seconde partie de ce travail traite d'un problème en géométrie Kählerienne. On prouve l'existence d'une fonction "extrémale" minorant toutes les fonctions admissibles (c'est à dire strictement pseudo convexe à la métrique initiale près) à sup nul sur des variétés de Fano non toriques, à savoir la grassmannienne complexe G m,nm ( C ). Les fonctions considérées sont invariantes par un groupe d'automorphismes convenablement choisi. Cette minoration est faite dans le but de calculer l'invariant de Tian sur de telles variétés, les initiatives dans le cas non torique restant très rares, même sur les variétés les plus simples. / This thesis deals with some classical problems in complex geometry. The first part is devoted to a problem in complex Finsler Geometry. Giving two holomorphic vector bundles E1 and E2, respectively endowed with two Finsler structures F1 and F2, we build a Finsler metric F on E 1 ⊗ E 2 involving the two initial Finsler structures. This is done under some assumptions on global sections of E1* and E2*. We give an optimal condition under which F is strictly pseudo convex with negative curvature. This result is preceded by a chapter containing a background material in complex Finsler geometry and some personal attempts. The second part of this thesis deals with a problem in Kähler Geometry. We prove the existence of an "extremal" function lower bounding all admissible functions (ie plurisubharmonic functions modulo a metric) with sup equal to zero on the complex Grassmann manifold G m,nm ( C ). The functions considered are invariant under a suitable automorphisms group. This gives a conceptually simple method to compute Tian's invariant in the case of a non toric manifold.

La présente thèse porte sur le développement d'une théorie d'algèbre linéaire, de géométrie et d'analyse basée sur les algèbres (Z2)n-commutatives, c'est-à-dire des algèbres (Z2)n-graduées associatives unitaires satisfaisant ab = (-1)<deg(a),deg(b)>ba, pour tout couple d'éléments homogènes a, b de degrés deg(a), deg(b) où <.,.> est le produit scalaire usuel). Cette généralisation de la supergéométrie a de nombreuses applications : en mathématiques (l'algèbre de Deligne des superformes différentielles, l'algèbre des quaternions et les algèbres de Clifford en sont des exemples) et même en physique (paraparticules). Dans ce travail, les notions de trace et de (super)déterminant pour des matrices à coefficients dans une algèbre gradué-commutative sont définies et étudiés. Une attention particulière est portée au cas des algèbres de Clifford : ce point de vue gradué fournit une nouvelle approche au problème classique du « bon » déterminant pour des matrices à coefficient non-commutatifs (quaternioniques). En outre, nous entreprenons l'étude de la géométrie différentielle (Z2)n-graduée. Privilégiant l'approche par les espaces annelés, les (Z2)n-supervariétés sont définies en choisissant l'algèbre (Z2)n-commutative des séries formelles en variables graduées comme modèle pour le faisceau de fonctions. Les résultats les plus marquants ainsi obtenus sont : le Berezinien gradué et son interprétation cohomologique (essentielle pour établir une théorie de l'intégration) ; le théorème des morphismes, attestant qu'on peut rétablir un morphisme entre (Z2)n-supervariétés à partir de sa seule expression sur les coordonnées ; le théorème de Batchelor-Gawedzki pour les (Z2)n-supervariétés lisses / The present thesis deals with a development of linear algebra, geometry and analysis based on (Z2)n-superalgebras ; associative unital algebras which are (Z2)n-graded and graded-commutative, i.e. statisfying ab=(-1)<deg(a),deg(b)>ba, for all homogeneous elements a, b of respective degrees deg(a), deg(b) in (Z2)n (<.,.> denoting the usual scalar product). This generalization widens the range of applications of supergeometry to many mathematical structures (quaternions and more generally Clifford algebras, Deligne algebra of superdifferential forms, higher vector bundles) and appears also in physics (for describing paraparticles) proving its worth and relevance. In this dissertation, we first focus on (Z2)n-superalgebra theory ; we define and characterize the notions of trace and (super)determinant of matrices over graded-commutative algebras. Special attention is given to the case of Clifford algebras, where our study gives a new approach to treat the classical problem of finding a “good” determinant for matrices with noncommuting (quaternionic) entries. Further, we undertake the study of (Z2)n-graded differential geometry. Privileging the ringed space approach, we define (smooth) (Z2)n-supermanifolds modeling their algebras of functions on the (Z2)n-commutative algebra of formal power series in graded variables, and develop the theory along the lines of supergeometry. Notable results are : the graded Berezinian and its cohomological interpretation (essential to establish integration theory) ; the theorem of morphism, which states that a morphism of (Z2)n-supermanifolds can be recovered from its coordinate expression ; Batchelor-Gawedzki theorem for (Z2)n-supermanifolds

Le sujet de cette thèse est l'apport d'applications du formalisme des algèbres de Clifford au traitement d'images multicanaux. Nous y introduisons également l'utilisation du cadre des fibrés vectoriels en traitement d'image. La Partie 1 est consacrée à la segmentation d'images multicanaux. Nous généralisons l'approche de Di Zenzo pour la détection de contours en construisant des tenseurs métriques adaptés au choix de la segmentation. En utilisant le cadre des fibrés en algèbres de Clifford, nous montrons que le choix d'une segmentation d'une image est directement lié au choix d'une métrique, d'une connexion et d'une section sur un tel fibré. La Partie 2 est consacrée à la régularisation. Nous utilisons le cadre des équations de la chaleur associées à des Laplaciens généralisés sur des fibrés vectoriels. Le résultat principal que nous obtenons est qu'en considérant l'équation de la chaleur associée à l'opérateur de Hodge sur le fibré de Clifford d'une variété Riemannienne bien choisie, nous obtenons un cadre global pour régulariser de manière anisotrope des images (vidéos) multicanaux, et des champs s'y rapportant tels des champs de vecteurs ou des champs de repères orthonormés. Enfin, dans la Partie 3, nous nous intéressons à l'analyse spectrale via la définition d'une transformée de Fourier d'une image multicanaux. Cette définition repose sur une théorie abstraite de la transformée de Fourier basée sur la notion de représentation de groupe. De ce point de vue, la transformée de Fourier usuelle pour les images en niveau de gris est basée sur les représentations irréductibles du groupe des translations du plan. Nous l'étendons aux images multicanaux en lui associant les représentations réductibles de ce groupe.

Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes très naturels en géométrie algébrique complexe.<br />La première question étudiée est de savoir si le revêtement universel d'une variété kählérienne lisse compacte avec un fibré tangent décomposé est un produit de deux variétés. A l'aide des familles couvrantes de courbes rationnelles nous montrons que certaines variétés avec un fibré tangent décomposé possèdent une structure d'espace fibré. Une étude systématique nous permet de donner une réponse affirmative à la question pour plusieurs classes de variétés.<br />La deuxième question étudiée est de savoir si la positivité d'un fibré en droites implique la positivité de l'image directe, par un morphisme projectif et plat, du fibré en droites adjoint. La réponse à cette question dépend de la positivité du fibré en droites et de ses liens avec la géométrie du morphisme considéré. Nous donnons une réponse positive à la question sous de faibles conditions géométriques.