Carleson measures for Harmonically Weighted Dirichlet Spaces are characterized. It is shown a version of a maximal inequality for these spaces. Also, Interpolating Sequences and Closed-Range Composition Operators are studied in this context.

OLIVEIRA FILHO, Itamar Sales de. Time-frequency analysis : the bilinear Hilbert transform and the Carleson theorem. 2016. 109 f. Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2016. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2016-08-03T13:04:26Z No. of bitstreams: 1 2016_dis_isoliveirafilho.pdf: 1052932 bytes, checksum: 65cea71bb69c14d263414a81de75c8d8 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2016-08-03T13:09:30Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_dis_isoliveirafilho.pdf: 1052932 bytes, checksum: 65cea71bb69c14d263414a81de75c8d8 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-08-03T13:09:30Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_dis_isoliveirafilho.pdf: 1052932 bytes, checksum: 65cea71bb69c14d263414a81de75c8d8 (MD5) Previous issue date: 2016 / In 1966, Lennart Carleson proved that the Fourier series of a periodic function, square integrable over a fundamental domain of the real line converges to the same function almost everywhere. This result was revisited years later by Charles Fe erman (1973) and by Lacey and Thiele (2000). It is studied here Lacey and Thiele's work, where they approached the problem through time-frequency analysis. This proof was inspired in a previous work of theirs, where they establish boundedness for the bilinear Hilbert transform in Lebesgue spaces. The study of boundedness for this operator started with the attempts to establish boundedness for the first Calderon's commutator. Also through time-frequency analysis, it will be studied one of the works of Lacey and Thiele about the bilinear Hilbert transform. / Em 1966, Lennart Carleson provou que a série de Fourier de uma função periódica, quadrado-integrável em um domínio fundamental na reta converge para a prápria função em quase todo ponto. Esse resultado foi revisitado alguns anos depois por Charles Fefferman (1973) e por Lacey e Thiele (2000). É estudado aqui o trabalho desses ultimos, onde o problema é abordado através de análise de tempo e frequência. Essa demonstração foi inspirada em um trabalho anterior dos mesmos autores em que estabelecem limitação para a transformada de Hilbert bilinear em espaços de Lebesgue. O estudo da limitação desse operador começou com as tentativas de estabelecer limitação para o primeiro comutador de Calderón. Também sob o ponto de vista da análise de tempo e frequência, será estudado um dos trabalhos de Lacey e Thiele sobre a transformada de Hilbert bilinear.

Pour une suite ⋀ = (λn) satisfaisant la condition de Müntz Σn 1/λn < +∞ et pour p ∈ [1,+∞), on définit l'espace de Müntz Mp⋀ comme le sous-espace fermé de Lp([0, 1]) engendré par les monômes yn : t ↦ tλn. L'espace M∞⋀ est défini de la même façon comme un sous-espace de C([0, 1]). Lorsque la suite (λn + 1/p)n est lacunaire avec un grand indice, nous montrons que la famille (gn) des monômes normalisés dans Lp est (1 + ε)-isométrique à la base canonique de lp. Dans le cas p = +∞, les monômes (yn) forment une famille normalisée et (1 + ε)-isométrique à la base sommante de c. Ces résultats sont un raffinement asymptotique d'un théorème bien connu pour les suites lacunaires. D'autre part, pour p ∈ [1, +∞), nous étudions les mesures de Carleson des espaces de Müntz, c'est-à-dire les mesures boréliennes μ sur [0,1) telles que l'opérateur de plongement Jμ,p : Mp⋀ ⊂ Lp(μ) est borné. Lorsque ⋀ est lacunaire, nous prouvons que si les (gn) sont uniformément bornés dans Lp(μ), alors μ est une mesure de Carleson de Mq⋀ pour tout q > p. Certaines conditionsgéométriques sur μ au voisinage du point 1 sont suffsantes pour garantir la compacité de Jμ,p ou son appartenance à d'autres idéaux d'opérateurs plus fins. Plus précisément, nous estimons les nombres d'approximation de Jμ,p dans le cas lacunaire et nous obtenons même des équivalents pour certaines suites ⋀. Enfin, nous calculons la norme essentielle del'opérateur de moyenne de Cesàro Γp : Lp → Lp : elle est égale à sa norme, c'est-à-dire à p'. Ce résultat est aussi valide pour l'opérateur de Cesàro discret. Nous introduisons les sous-espaces de Müntz des espaces de Cesàro Cesp pour p ∈ [1, +∞]. Nous montrons que la norme essentielle de l'opérateur de multiplication par Ψ est égale à ∥Ψ∥∞ dans l'espace deCesàro, et à |Ψ(1)| dans les espaces de Müntz-Cesàro. / For a sequence ⋀ = (λn) satisfying the Müntz condition Σn 1/λn < +∞ and for p ∈ [1,+∞), we define the Müntz space Mp⋀ as the closed subspace of Lp([0, 1]) spanned by the monomials yn : t ↦ tλn. The space M∞⋀ is defined in the same way as a subspace of C([0, 1]). When the sequence (λn + 1/p)n is lacunary with a large ratio, we prove that the sequence of normalized Müntz monomials (gn) in Lp is (1 + ε)-isometric to the canonical basis of lp. In the case p = +∞, the monomials (yn) form a sequence which is (1 + ε)-isometric to the summing basis of c. These results are asymptotic refinements of a well known theorem for the lacunary sequences. On the other hand, for p ∈ [1, +∞), we investigate the Carleson measures for Müntz spaces, which are defined as the Borel measures μ on [0; 1) such that the embedding operator Jμ,p : Mp⋀ ⊂ Lp(μ) is bounded. When ⋀ is lacunary, we prove that if the (gn) are uniformly bounded in Lp(μ), then for any q > p, the measure μ is a Carleson measure for Mq⋀. These questions are closely related to the behaviour of μ in the neighborhood of 1. Wealso find some geometric conditions about the behaviour of μ near the point 1 that ensure the compactness of Jμ,p, or its membership to some thiner operator ideals. More precisely, we estimate the approximation numbers of Jμ,p in the lacunary case and we even obtain some equivalents for particular lacunary sequences ⋀. At last, we show that the essentialnorm of the Cesàro-mean operator Γp : Lp → Lp coincides with its norm, which is p'. This result is also valid for the Cesàro sequence operator. We introduce some Müntz subspaces of the Cesàro function spaces Cesp, for p ∈ [1, +∞]. We show that the value of the essential norm of the multiplication operator TΨ is ∥Ψ∥∞ in the Cesàaro spaces. In the Müntz-Cesàrospaces, the essential norm of TΨ is equal to |Ψ(1)|.

On s'intéresse dans un premier temps à un problème de division dans les espaces de Hardy de la boule B de C^n. Il s'agit, étant données m fonctions g_1,...,g_m holomorphes et bornées dans B, et une fonction f holomorphe dans B, de donner une condition suffisante, plus faible que l'hypothèse classique de la couronne, pour qu'il existe m fonctions f_1,...,f_m dans un espace de Hardy de B vérifiant f_1g_1+...+f_mg_m=f. La démonstration repose sur l'utilisation du complexe de Koszul, et la résolution du d" avec de bonnes estimations. La principale nouvelle difficulté, par rapports aux travaux antérieurs, provient du fait que les fonctions g_1,...,g_m peuvent s'annuler simultanément. Dans un deuxième temps on s'intéresse au problème de la couronne dans les espaces de Hardy du bidisque muni de son bord topologique. On donne un résultat de résolution du d" dans le bidisque avec estimations dans Lp du bord de celui-ci, quand les donnnées vérifient des hypothèses de type Carleson. Enfin on termine avec un résultat permettant de déduire d'un théorème de la couronne dans un espace de Hardy d'un domaine de C^n, un théorème de la couronne à valeurs dans des espaces vectoriels de dimension finie. Ceci nous permet d'obtenir un théorème de la couronne opérateur dans les espaces de Hardy de la boule et du polydisque muni de son bord distingué.

La convergence d 'une série de Fourier est toujours un thème d'actualité. Notre sujet d 'étude porte sur la convergence presque partout de la série de Fourier d 'une fonction· de carré sommable, démontrée par L. Carleson en 1966 en utilisant une décomposition de cette fonction. C. Feffermann, en 1973, utilise la décomposition de l'opérateur de Carleson. Puis, dans la deuxième moitié des années 1990, C. Thiele et M. T . Lacey reprennent cette décomposit ion en s 'appuyant sur la st ructure du plan t emps-fréquence. C'est dans cette optique qu'on va discuter de ce sujet , en tirant profit de la géométrie du plan temps-fréquence et de l'analyse des paquets d 'ondes.

Dans la première partie de ma thèse, il est démontré, dans les espaces de Banach et de Fréchet de suites, un résultat d'existence d'un sous-espace fermé de dimension infinie dont les éléments non-nuls sont des séries universelles.La deuxième partie est consacrée à l'étude des opérateurs de composition sur des espaces de fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes. Dans un premier temps, le spectre et la dynamique des opérateurs de composition hyperboliques sur les espaces de Hardy de la boule sont décrits complètement.Dans un second temps, la continuité et la compacité des opérateurs de composition sur les espaces de Hardy-Orlicz et de Bergman-Orlicz de la boule sont caractérisées. On en déduit en particulier l'existence d'une classe de fonctions d'Orlicz définissant des espaces du type précédent sur lesquels tout opérateur de composition est continu. / In the first part of my thesis, a result on the existence of a closed infinite-dimensional subspace, whose non-zero elements are universal series, is given in Banach and Fréchet spaces framework.The second part is devoted to the study of composition operators on spaces of several variables analytic functions. First, the spectrum and the dynamics of hyperbolic composition operators acting on Hardy spaces on the ball are completely described.Second, continuity and compactness of composition operators on Hardy-Orlicz and Bergman-Orlicz spaces on the ball are characterized. In particular, we deduce from the treatment of the continuity that there exists a class of Orlicz functions which define Hardy-Orlicz and Bergman-Orlicz spaces, on which every composition operator is bounded.

[pt] O teorema de Benedicks e Carleson afirma que para a família quadrática existe um conjunto de parâmetros, com medida positiva, para os quais o expoente de Lyapunov é positivo no ponto crítico. Nesta dissertação apresentamos uma demonstração rigorosa e detalhada desse célebre resultado. Uma parte importante da demonstração é o estudo do comportamento quase periódico de um conjunto de órbitas. Além disso, um argumento de grandes desvios é utilizado para mostrar que os parâmetros que não satisfazem a propriedade desejada formam um conjunto pequeno. Tais técnicas apresentam um interesse intrínseco, já que têm se mostrado muito proveitosas para o estudo de outros problemas em sistemas dinâmicos. Combinando o teorema de Benedicks e Carleson ao teorema de Singer, conclui-se que para um conjunto de parâmetros com medida positiva, a função quadrática correspondente não admite atratores periódicos, indicando um comportamento caótico. Neste trabalho, também são estudados critérios para a positividade do expoente de Lyapunov de cociclos quase periódicos de Schrodinger, como o teorema de Herman. O estudo de cociclos de Schrodinger representa um importante tópico na área de física matemática. Mais ainda, algumas das generalizações de tais critérios utilizam as técnicas de Benedicks-Carleson. / [en] The Benedicks and Carleson theorem states that for the quadratic family there exists a set of parameters, with positive measure, for which the Lyapunov exponent is positive at the critical point. In this dissertation we present a rigorous and detailed proof of this famous result. An important part of the proof is the study of the quasi periodic behavior of a set of orbits. In addition, a large deviation argument is used to show that parameters which do not satisfy the desired property form a small set. Such techniques have an intrinsic interest, as they have proven fruitful in the study of other problems in dynamical systems. Combining Benedicks-Carlesons theorem with Singers theorem, we conclude that for a set of parameters with positive measure, the corresponding quadratic function does not admit periodic attractors, indicating its chaotic behavior. In this work we also study criteria for the positivity of the Lyapunov exponent of quasi-periodic Schrodinger cocycles, such as Hermans theorem. The study of the Schrodinger cocycles represents an important topic in mathematical physics. Moreover, some of the generalizations of such criteria use the techniques of Benedicks-Carleson.

Neste trabalho de tese discutimos resultados recentes sobre a regularidade e propriedades geomÃtricas de soluÃÃes variacionais de problemas de fronteira livre de duas fases regidos por equaÃÃes elÃpticas nÃo lineares degeneradas/singulares. Discutimos tambÃm resultados do tipo PhragmÃm-Lindelof para tais equaÃÃes classificando essas soluÃÃes em semi-espaÃos. / Neste trabalho de tese discutimos resultados recentes sobre a regularidade e propriedades geomÃtricas de soluÃÃes variacionais de problemas de fronteira livre de duas fases regidos por equaÃÃes elÃpticas nÃo lineares degeneradas/singulares. Discutimos tambÃm resultados do tipo PhragmÃm-Lindelof para tais equaÃÃes classificando essas soluÃÃes em semi-espaÃos. / In this work of thesis we discuss recents results on the regularity and geometric properties of variational solutions of two phase free boundary problems governed by singular/degenerate nonlinear elliptic equations. We also discuss PhragmÃn-Lindelof type results for such equations classifying those solutions in half spaces. / In this work of thesis we discuss recents results on the regularity and geometric properties of variational solutions of two phase free boundary problems governed by singular/degenerate nonlinear elliptic equations. We also discuss PhragmÃn-Lindelof type results for such equations classifying those solutions in half spaces.

La thèse est consacrée à une étude d'interpolation complexe "semi-libre" dans le sens suivant: étant donné un ensemble "sigma" dans le disque unité D et une fonction f holomorphe dans D appartenant à une certaine classe X, on cherche g dans une autre classe Y (plus petite que X) qui minimise la norme de g dans Y parmi toutes les fonctions g satisfaisant g=f sur l'ensemble "sigma". Plus précisément, nous nous intéressons aux estimations de la constante d'interpolation suivante: c(sigma, X, Y ) = sup{ inf{||g||_Y: g=f sur sigma}: ||f||_X<=1} Dans la thèse, nous étudions le cas où Y = H^infini et où l'espace des contraintes X est choisi parmi les espaces suivants: les espaces de Hardy, les espaces de Bergman pondérés à poids radial ou encore les espaces de fonctions holomorphes ayant leurs coefficients de Taylor dans lp(w) (w étant un poids). La thèse contient également certaines applications aux nombres conditionnés des matrices de Toeplitz. / The thesis is devoted to a "semi-free" interpolation problem in the following way. Let sigma be a finite set of the unit disc D and f an holomorphic function in D which belongs to a certain class X, we search for g in another class Y (smaller than X) which minimize the norm of g in Y among all the functions g such that g=f on the set "sigma". More precisely, we are interested in the following interpolation constant : c(sigma, X, Y ) = sup{ inf{||g||_Y: g=f sur sigma}: ||f||_X<=1}. We study in the thesis the case where Y=H^\infinity and the space of constrains X is chosen among the following spaces: Hardy spaces, weighted Bergman spaces (with radial waights), and holomorphic functions which Taylor coefficients are in lp(w) (w being a weight). The thesis also contains an application to the condition numbers of Toeplitz matrices.

Le propos de cette thèse est l'étude de la norme ||G+T|| d'une perturbation compacte d'un opérateur G agissant entre des espaces de Banach. Dans un premier temps nous abordons le problème du point de vue de la propriété de Daugavet : un opérateur G un centre de Daugavet si tout opérateur T de rang 1 (ou de manière équivalente tout opérateur compact) vérifie ||G+T||=||G||+||T||. Dans le premier chapitre, nous donnons des exemples de centres de Daugavet parmi les opérateurs de composition à poids agissant sur certains espaces de fonctions, comme par exemple l'espace C(K) des fonctions continues sur un compact parfait K, l'algèbre du disque, ou encore l'espace des fonctions lipschitziennes sur un espace métrique complet. Dans le second chapitre, nous étudions une propriété un peu plus faible, à savoir que l'équation ||G+T||=||G||+||T|| ne soit plus satisfaite que pour une certaine classe d'opérateurs de rang 1, et nous appelons alors un tel opérateur G un presque centre de Daugavet. Nous donnons une caractérisation des presque centres de Daugavet en terme de l^1-type canonique et d'épaisseur de l'opérateur G. Ceci nous permet alors d'obtenir une caractérisation des opérateurs qui fixent une copie de l'espace l^1. Le point de vue du dernier chapitre est différent : on ne cherche plus à trouver G qui " maximise " la norme de G+T pour tout opérateur compact T, mais à trouver un opérateur compact T qui minimise ||G+T||. En d'autres termes, on cherche à évaluer la norme essentielle de G. Nous complétons certains résultats obtenus dans le cadre des opérateurs de composition à poids agissant entre différents espaces de Hardy.