Ce mémoire constitue un travail de synthèse de nos travaux dans le domaine des équations aux dérivées partielles, notamment les équations non-linéaires de type parabolique. Les modèles traités ici sont issus principalement de la mécanique des fluides, de la géophysique, ou des bio-mathématiques ; dans d'autres cas les motivations viennent de la théorie des probabilités. On touchera ici aux questions centrales de l'existence, de l'unicité, ou de l'explosion en temps fini des solutions, qui occupent une place importante dans nos travaux, ainsi qu'à leur comportement asymptotique. C'est précisément l'étude de propriétés fines sur le comportement en temps long, ou sur le comportement à l'infini en variable d'espace sous de différentes perspectives (dissipation de l'énergie, croissance ou décroissance temporelle, profils asymptotiques, autosimilarité, diffusion spatiale, questions de localisation, etc.) qui représente notre contribution la plus importante. Les équations de Navier–Stokes constituent un défi remarquable pour toutes ces questions : en effet, il est rare que des techniques ou idées standards apportent des avancées vraiment significatives dans ce modèle. C'est pourquoi ces équations occupent une place privilégiée dans nos travaux. Le premier chapitre est donc consacré au système de Navier–Stokes, et le deuxième à d'autres modèles de la mécanique des fluides incompressibles (magnéto–hydrodynamique, système de Boussinesq, etc.) qui sont des généralisations assez naturelles de celui-ci. On insistera notamment sur l'étude de propriétés qualitatives des solutions qui sont spécifiques à chacun de ces modèles. Dans le troisième chapitre nous abordons le problème de la stabilité des écoulement stationnaires. Le quatrième chapitre est consacré à l'étude de l'autosimilarité : nous aurons alors l'opportunité de revenir sur les équations de Navier–Stokes, mais aussi d'introduire d'autres systèmes, et d'étudier une équation non-locale de convection avec diffusion non-standard. Dans le cinquième chapitre nous nous intéressons à deux modèles bien connus en chimiotactisme : nous y présentons nos travaux sur la convergence du système parabolique-parabolique de Keller–Segel vers le système parabolique–elliptique, ainsi qu'un théorème d'explosion. Dans le dernier chapitre nous illustrons les résultats de deux articles, dans lesquels nous apportons une contribution à l'analyse fonctionnelle et harmonique, sur des questions liées à la théorie des multiplicateurs dans les espaces de Sobolev, à la théorie de l'approximation et aux bases d'ondelettes. Ces deux contributions à l'Analyse, a priori assez indépendantes du reste de notre production, n'en sont pas complètement déconnectées. En effet de différentes techniques d'analyse harmonique apparaissent souvent dans nos démonstrations : l'analyse de Fourier classique d'abord (la méthode de Fourier splitting par exemple), qui conduit à des résultats souvent optimaux dans l'étude du comportement en temps long des solutions ; l'analyse de Littlewood–Paley est un outil puissant pour prouver des résultats d'existence ou d'unicité ; les espaces de Besov permettent non seulement de mesurer avec précision la régularité des solutions, mais ils peuvent également nous renseigner sur leur caractère oscillant. Nous avons aussi été amenés à développer certains aspects de la théorie des espaces à poids afin de résoudre un problème de localisation en magnéto-hydrodynamique. De plus, la plupart des modèles que nous avons étudiés ont une nature non locale : la perturbation d'une quantité dans une région de l'espace a des répercussions importantes sur le comportement du système entier, même à de grandes distances. Nous abordons l'étude de ces modèles en les réécrivant sous une forme pseudo-différentielle. Les applications de la théorie des intégrales singulières sont, alors, souvent décisives dans notre travail. Les sections 1.1.1 et 1.1.2 présentent des résultats directement issus de la thèse. Le chapitre 6 est lui aussi étroitement lié à la thèse, bien que les théorèmes qu'ils y sont présentés aient été ré-élaborés assez en profondeur. Le reste du chapitre 1 et les chapitres 2 à 5 contiennent nos résultats plus récents. Ces chapitres se terminent par une section illustrant des perspectives, ainsi que quelques pistes pour des recherches futures.

Durant ce travail, deux approches ont été explorées. <br /> Dans la première, j'ai quantifié le dégonflement osmotique de liposomes remplis d'un gel d'agarose. La fabrication de tels systèmes reconstitués vise à permettre de mimer le comportement de cellules soumises aux mêmes contraintes. En particulier, j'ai observé que ces liposomes fonctionnalisés acquièrent des morphologies crénelées lors de leur dégonflement pour une concentration du gel comprise entre 0.07 et 0.18 % en masse. Ces formes originales ressemblent à celles d'échinocytes parfois prises par les globules rouges. Le gel est responsable de l'apparition de ces formes, ne modifie pas les cinétiques de dégonflement mais sa pression élastique arrête précocement le dégonflement comparativement aux liposomes aqueux, mettant en évidence un phénomène de rétention d'eau.<br /> Dans la deuxième approche, j'ai étudié l'effet de contraintes hydrodynamiques sur des amibes Dictyostelium adhérentes à un substrat et ai quantifié la réorganisation mécanosensible du cytosquelette de ces cellules vivantes. Pour obtenir les cinétiques de relocalisation de protéines majeures du cytosquelette en réponse aux forces d'un flux, j'ai marqué l'actine et la myosine-II avec des protéines fluorescentes et ai fabriqué une chambre à flux permettant de changer rapidement la direction du flux. J'ai montré que les cellules s'orientent contre les forces du flux et se réorientent contre en inversant leur polarité après une inversion du flux : d'abord l'actine dépolymérise puis des protrusions sont émises contre les nouvelles forces mécaniques, et 15 sec plus tard, l'arrière rétracte en utilisant la myo-II. De plus, la contractilité du système actine-myosine n'est pas nécessaire pour sentir les forces. Des expériences similaires en inversant la direction d'un gradient de chimioattractants montrent que ce processus de réorientation cellulaire n'est pas spécifique d'expériences sous flux. Ce travail met en évidence l'existence d'un signal inhibiteur rapide menant à la dépolymérisation de l'actine, signal qui n'est pas pris en compte dans les modèles actuels expliquant la réponse chimiotactique. Enfin, les outils de visualisation que j'ai développés permettent d'étudier le rôle de protéines et de structures cellulaires dans la mécanotransduction.

La dérégulation du compartiment de cellules B est une conséquence importante de l’infection par le virus de l’immunodéficience humaine (VIH-1). On observe notamment une diminution des nombres de lymphocytes B sanguins ainsi qu’une variation des fréquences relatives des différentes populations de lymphocytes B chez les individus infectés par rapport aux contrôles sains. Notre laboratoire a précédemment démontré l’implication des cellules dendritiques dans la dérégulation des lymphocytes B via la roduction excessive de BLyS/BAFF, un stimulateur des cellules B. De plus, lors l’études menées chez la souris transgénique présentant une maladie semblable au SIDA, et chez la souris BLyS/BAFF transgénique, l’infection au VIH-1 fut associée à une expansion de la zone marginale (MZ) de la rate. De façon intéressante, nous observons chez les contrôleurs élites une diminution de la population B ‘mature’ de la MZ. Il s’agit du seul changement important chez les contrôleurs élites et reflète possiblement un recrutement de ces cellules vers la périphérie ainsi qu’une implication dans des mécanismes de contrôle de l’infection. Pour tenter d’expliquer et de mieux comprendre ces variations dans les fréquences des populations B, nous avons analysé les axes chimiotactiques CXCL13-CXCR5, CXCL12-CXCR4/CXCR7, CCL20-CCR6 et CCL25-CCR9. L’étude longitudinale de cohortes de patients avec différents types de progression clinique ou de contrôle de l’infection démontre une modulation des niveaux plasmatiques de la majorité des chimiokines analysées chez les progresseurs rapides et classiques. Au contraire, les contrôleurs élites conservent des niveaux normaux de chimiokines, démontrant leur capacité à maintenir l’homéostasie. La migration des populations de cellules B semble être modulée selon la progression ou le contrôle de l’infection. Les contrôleurs élites présentent une diminution de la population B ‘mature’ de la MZ et une augmentation de la fréquence d’expression du récepteur CXCR7 associé à la MZ chez la souris, suggérant un rôle important des cellules de la MZ dans le contrôle de l’infection au VIH-1. De façon générale, les résultats dans cette étude viennent enrichir nos connaissances du compartiment de cellules B dans le contexte de l’infection au VIH-1 et pourront contribuer à élaborer des stratégies préventives et thérapeutiques contre ce virus. / Deregulation of the B-cell compartment is an important consequence of human immunodeficiency virus (HIV-1) infection. We observe a decrease in blood B lymphocyte numbers accompanied by variations in the relative frequency of B cell populations in infected individuals when compared to healthy controls. Our lab has previously exposed the implication of dendritic cells in B-cell deregulation via excessive production of B lymphocyte stimulator (BLyS/BAFF). Additionally, the study of BLYS/BAFF-transgenic mice as well as mice exhibiting an AIDS-like disease revealed an expansion of the marginal zone (MZ) of the spleen. Interestingly, we found reduced relative frequencies of mature MZ-like B cells in the blood of elite controllers while rapid and classic HIV progressors had increased ‘precursor’ MZ-like cells. This variation in elite controllers is the only one observed for all population analyzed and could be the reflection of active recruitment of these cells to the periphery to help control infection. To try and understand these variations in B-cell frequencies we have analyzed the Btropic chemotaxis axes CXCL13-CXCR5, CXCL12-CXCR4/CXCR7, CCL20-CCR6 and CCL24-CCR9. The longitudinal study of patients with varying degrees of disease progression and control shows a modulation of the levels of most chemokines in the blood of rapid and classic progessors. Meanwhile, elite controllers maintain normal levels of these chemokines, demonstrating their ability to preserve homeostasis. Our results suggest that the type of disease progression impacts B-cell migration, resulting in modified B-cell population frequencies. The decrease in mature MZ-like B-cells and the increased frequency of cells expressing CXCR7, a receptor associated to the MZ in mice, in elite controllers suggest an important role for the MZ in controlling HIV-1 infection. Overall, our results provide more information about the B-cell compartment in the context of HIV-1 infection and can contribute to the elaboration of preventive and therapeutic strategies for HIV-1.