Aqui estabelecemos um resultado de classificacao de superficies minimas, completas e estaveis imersas em 3-variedades de curvatura escalar nao-negativa, ou seja, dizemos a quem nossa superficie S à conforme, e para isso analisamos separadamente os casos em que S à compacta ou nÃo-compacta. AlÃm dos corolarios obtidos no caso em que o ambiente à o espaÃo R3, obtemos uma aplicaÃÃo desse teorema de classificaÃÃo a qual dà uma caracterizaÃÃo intrinseca para mÃtricas no plano complexo C e na esfera S2 que podem ser realizadas em superfÃcies completas e estÃveis imersas em 3-variedades completas de curvatura escalar nula.

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Na primeira parte (capÃtulos 2, 3 e 4) desta Tese estudaremos as hipersuperfÃcies de Rp+q+2 que sÃo r-mÃnimas (Sr = 0) e invariantes pela aÃÃo canÃnica do grupo O(p + 1)  O(q + 1). Obteremos uma classificÃÃo completa de todas as hipersu- perfÃcies de Rp+q+2 que sÃo O(p + 1)  O(q + 1)-invariantes e possuem a r-Ãsima curvatura mÃdia nula (2 menor ou igual a r menor ou igual a min{p,q}), analisando se tais hipersuperfÃcies sÃo completas, mergulhadas e (r -1)-estÃveis. Com isto obteremos o seguinte resultado de existÃncia: "Sejam p, q, r pertence a N tais que p + q maior ou igual a r + 5 e 2 menor ou igual a r menor ou igual a min{p, q}, entÃo existe uma hipersuperfÃcie Mp+q+1 està contido Rp+q+2 completa, mergulhada, com r-Ãsima curvatura mÃdia nula que à globalmente (r -1)-estÃvel". No capÃtulo 5 estudaremos os cones C(M) està contido em Rn+1 r-mÃnimos, cuja base Mn-1 està contido em Sn à uma hipersuperficie compacta tal que Sr = 0 e Sr+1 à constante nÃo nula. Provaremos que: "Se r + 2 menor ou igual a n menor ou igual a r + 5, entÃo existe 0 < epsilon < 1 tal que o tronco de cone C(M)epsilon nÃo à (r - 1)-estÃvel". AlÃm disso, construiremos um Toro de Clifford com Sr = 0 e Sr+1 à diferente de 0 para mostrarmos que este resultado nÃo à vÃlido quando n maior ou igual r-Ãsima + 6.

O objetivo desta dissertaÃÃo à apresentar um resultado similar ao Teorema de Bernstein sobre hipersuperfÃcies mÃnimas no espaÃo euclidiano, isto Ã, mostrar que tal resultado se generaliza para hipersuperfÃcies de Sn+1 com curvatura mÃdia constante, cuja aplicaÃÃo de Gauss estÃcontida em um hemis- fÃrio fechado de Sn+1 (Teorema 3.1). PorÃm, no caso em que a hipersuperfÃcie à mÃnima, utilizaremos na demonstraÃÃo deste teorema, um resultado sobre caracterizaÃÃo das hiperesferas de Sn+1 entre todas hipersuperfÃcies de Sn+1 em termos de suas imagens de Gauss (Teorema 2.1). / The objective of this dissertation is to show a similar result of Bernstein theorem about minimal hypersurfaces in Euclidian space, that is, to show that that result is generalized to hypersurfaces of Sn+1 with constant mean curvature, whose Gauss image is contained in a closed hemisphere of Sn+1(Theorem 3.1). However, in the case where the hypersurface is minimal, we will use in the proof of this theorem a result about the characterization of the hyperspheres of Sn+1 among all complete hypersurfaces in Sn+1 in terms of their Gauss images (Theorem 2.1)

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CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / O objetivo desse trabalho à mostrar estimativas superiores para o menor autovalor nÃo-nulo lambda1 do operador de Laplace-Beltrami delta. Os resultados que se seguem foram encontrados por R. Reilly [1] e a dupla A. El Soufi e S. Ilias [2]. A estimativa de Reilly à feita para variedades imersas no espaÃo euclidiano Rn, e a de Soufi-Ilias para variedades conformemente imersas na esfera Sn. A partir daà concluiremos o resultado, tambÃm de Soufi-Ilias [2], para subvariedades do espaÃo hiperbÃlico Hn. / The aim of this works is to show superior estimatives to the least non-zero eingenvalue lambda1 of the Laplace-Beltrami operator delta. The forthcoming results were discovered by Reilly [1] and the duo A. El Soufi and S. Ilias [2]. Reillyâs Estimative was calculated for immersed manifolds in the Euclidian Space Rn, and Soufi-Ilias for conformally immersed manifolds in the sphere Sn.Then, we conclude the result, again by Soufi-Ilias [2], for submanifolds of the hyperbolic space Hn.

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Neste trabalho estudamos hipersuperfÃcies mÃnimas completas e com curvatura de Gauss-Kronecker constante em uma forma espacial Q4(c). Provamos que o Ãnfimo do valor absoluto da curvatura de Gauss-Kronecker de uma hipersuperfÃcie mÃnima completa em Q4(c); c &#8804; 0; na qual a curvatura de Ricci à limitado inferiormente, à igual a zero. AlÃm disso, estudamos hipersuperfÃcies mÃnimas conexas M3 em uma forma espacial Q4(c) com curvatura de Gauss-Kronecker K constante. Para o caso c &#8804; 0, provamos, por um argumento local, que se K à constante, entÃo K deve ser igual a zero. TambÃm apresentamos uma classificaÃÃo de hipersuperfÃcies completas mÃnimas em Q4 com K constante. Exemplos de hipersuperfÃcies mÃnimas que nÃo sÃo totalmente geodÃsicas no espaÃo Euclidiano e no espaÃo hiperbÃlico com curvatura de Gauss-Kronecker nula sÃo apresentados. / In this work we study complete minimal hypersurfaces with constant Gauss-Kronecker curvature in a space form Q4(c). We prove that the infimum of the absolute value of the Gauss-Kronecker curvature of a complete minimal hypersurface in Q4(c); c &#8804; 0; whose Ricci curvature is bounded from below,is equal to zero. Futher, we study the connected minimal hypersurfaces M3 of a space form Q4(c) with constant Gauss-Kronecker curvature K. For the case c &#8804; 0, we prove, by a local argument, that if K is constant, then K must be equal to zero. We also present a classification of complete minimal hypersurface of Q4 with K constant. Examples of complete minimal hypersurfaces which are not totally geodesic in the Euclidean space R4 and the hiperbolic space H4(c) with vanishing Gauss-Kronecker curvature are also presented.

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Neste trabalho estudaremos o Ãndice de hipersuperfÃcies mÃnimas e de curvatura mÃdia constante imersas na esfera Euclidiana Sn+1. Mais precisamente, definiremos o operador de Jacobi de hipersuperfÃcies mÃnimas e de curvatura mÃdia constante usando as fÃrmulas de variaÃÃo de Ãrea, e em seguida estabeleceremos estimativas por baixo para o Ãndice de hipersuperfÃcies mÃnimas imersas em Sn+1 . AlÃm disso, caracterizaremos os toros de Clifford mÃnimos como as hipersuperfÃcies compactas, orientÃveis e mÃnimas em Sn+1 tais que a = -2n, onde a à o primeiro autovalor do operador de Jacobi. Mostraremos que as esferas totalmente umbÃlicas Sn (r) em Sn+1, com 0 < r < 1, sÃo as hipersuperfÃcies fracamente estÃveis em Sn+1. Por Ãltimo, estabeleceremos estimativas por baixo para o Ãndice fraco de hipersuperfÃcies de curvatura mÃdia constante em Sn+1 e caracterizaremos os toros de Clifford Sk (r) x Sn-k (1 - r2) de curvatura mÃdia constante como as hipersuperfÃcies de curvatura mÃdia constante tais que o Ãndice fraco à igual a n + 2, onde (k/n + 2 ) &#8804; r &#8804; (k + 2/n + 2) Â. / The aim of this work is to study the index either of compact minimal or constant mean curvature hypersurfaces immersed into the Euclidean unit sphere Sn+1. The main ingredient to do that is the Jacobi operator which appears on the second formula of variation of area. On the minimal case we shall present low estimative for the index and we shall show that the minimal Clifford tori are the unique minimal hypersurfaces over which a = -2n , where a stands for the first eigenvalue of the Jacobi operator. Moreover, it is easy to see that totally umbilical sphere Sn (r) em Sn+1 , with 0 < r < 1, are weakly stable. Finally we shall show that the index is bigger that or equal to n+2 for compact constant mean curvature hypersurfaces of Sn+1 provides they have constant scalar curvature. Moreover , Clifford tori Sk (r) x Sn-k (1 - r2) attain such index provided (k/n + 2 ) &#8804; r &#8804; (k + 2/n + 2) Â.

O presente trabalho apresenta resultados objetivando classificar folheaÃÃes de codimensÃo 1 em variedades Riemannianas cujas folhas tem curvatura mÃdia constante. O principal resultado à o teorema de Barbosa-Kenmotsu-Oshikiri([3]), Teorema: Seja M uma variedade Riemanniana compacta com curvatura de Ricci nÃo negativa e F um folheaÃÃo de codimensÃo 1 e classe C3 de M, transversalmente orientÃvel, cujas folhas tem curvatura mÃdia constante. EntÃo, qualquer folha de F à uma subvariedade totalmente geodÃsica de M. AlÃm disso, M à localmente um produto Riemanniano de uma folha de F e uma curva normal e a curvatura de Ricci na direÃÃo normal Ãs folhas à zero. O resultado anterior nÃo pode ser estendido para o caso onde M à nÃo compacta. Uma folheaÃÃo contra-exemplo pode ser construÃda a partir de uma funÃÃo f que nÃo satisfaz a conjectura de Bernstein. No final, sÃo apresentados resultados recentes sobre os problemas abordados e uma prova da desigualdade de Heinz-Chern / In this paper, we work showing results aiming classify foliations of codimension-one in Riemannian manifolds whose leaves have constant mean curvature. The main result is the theorem by Barbosa-Kenmotsu-Oshikiri([3]). Theorem: LetM be a compact Riemannian manifold with nonnegative Ricci curvature e F, a codimensiononeC3-foliation of M whose leaves have constant mean curvature. The any leaf of F is totally geodesic submanifold of M. Futhermore M is locally a Riemannian product of a leaf of F and a normal curve,and the Ricci curvature in the direction normal to the leaves is zero. The previous result can not be extended for the case where M is not compact. A foliation counterexample can be built from a function f that does not satisfy the Bernsteinâs conjecture. At the end, they are present recent results about the boarded problems and a proof of the Heinz-Chern inequality.

O objetivo deste trabalho e desenvolver um instrumento computadorizado para análise da superfície anterior da córnea humana, gerando para isto, um mapa topográfico bidimensional em código de cores. Utilizando a córnea como um espelho esférico convexo, projeta-se anéis luminosos sobre sua superfície e aquisiciona-se com uma câmera a imagem por ela refletida. Esta imagem e digitalizada e armazenada em um microcomputador para posterior processamento. Através de técnicas de computação gráfica e processamento de imagens digitais, extrai-se da imagem as informações necessárias para construção da topografia desejada. Por fim, a topografia e apresentada em forma de mapas coloridos, sendo cada cor associada a uma determinada dioptria, transmitindo ao médico oftalmologista uma noção exata da superfície da córnea do paciente em análise. / The main goal of this work is to develop a computerized instrument for the analysis of the anterior portion of the human cornea, which displays its result in topographic color maps. Approximating the cornea to a spherical convex mirror, and by projecting a known pattern over it, the reflected image is captured and stored. By means of computer graphics technology and image processing, the necessary information for mathematical calculations is extracted. The resulting maps are color-coded in accordance to the degree of power of each corneal region, that is, to the diopter value. The ophthalmologist can then make important diagnostics and surgery tactics from the analysis of these topographic maps.

A teoria das transforma»ções de superfícies de curvatura constante começou, no fim do século XIX, com o trabalho [3] de A.V. Bäcklund e, em seguida, recebeu importantes contribuições por parte de diversos geômetras, entre eles, L. Bianchi e C. Guichard (veja, por exemplo, [5, 6, 7, 17]). Nessa dissertação apresentamos alguns dos mais importantes resultados desse tópico da geometria diferencial que estão relacionados às superfícies de curvatura média (ou gaussiana não nula) constante. Tais superfícies estão associadas a soluções de equações diferenciais parciais de segunda ordem e não lineares. A interpretação analítica da teoria das transformações de superfícies de curvatura constante nos capacita obter soluções dessas equações diferenciais parciais a partir de uma outra dada, mediante integração de um sistema de equações diferenciais, chamado transformação de Bäcklund. Então, os teoremas de permutabilidade fornecem uma \"fórmula de superposição\" para a construção algébrica de novas soluções / The theory on transformations of surfaces with constant curvature begins, in the late nineteen century, with the article [3] of A.V. Bäcklund and, after, received important contributions from various geometricians, among others, L. Bianchi and C. Guichard (see, for example, [5, 6, 7, 17]). In this dissertation we outline some of the most important results on the theory of surfaces of constant mean (or gaussian) curvature. Such surfaces are associated to the solutions of nonlinear partial differential equations of second order. The analytic interpretation of the theory on transformations of constant curvature surfaces provides a method of obtaining, from a given solution of these partial differential equations, a new solution of the same equation, by integrating a system of differential equations, called Bäcklund transformation. Then, the permutability theorems give a \"superposition formula\" to construct, algebraically, new solutions