La ludique, introduite par Jean-Yves Girard, est un modèle de la logique linéaire sans exponentielles. En vue de la modélisation des exponentielles, cette thèse propose deux extensions successives de la ludique. La première extension étend la ludique en un modèle probabiliste original conservant la plupart des théorèmes du modèle initial. La seconde extension reprend ce modèle probabiliste et utilise des pointeurs, introduits dans les jeux de Hyland et Ong, ce qui permet de considérer les répétitions et donc de modéliser les exponentielles.<br /><br />Un résultat de complétude est montré pour la ludique probabiliste vis-à-vis de la ludique et de la logique MALL2. La ludique exponentielle proposée vérifie les théorèmes principaux de la ludique : les théorèmes analytiques. En particulier, ce modèle montre une interprétation de la logique linéaire avec des répétitions gardant une topologie séparée. De plus, les coefficients introduits apporte à la ludique une "plus grande séparation" que dans le modèle d'origine.

La vraisemblance empirique est une méthode d'estimation inspirée de la vraisemblance classique, mais s'affranchissant du choix d'une famille paramétrique de lois. Cette méthode semi-paramétrique consiste à maximiser la vraisemblance d'une loi ne chargeant que les données et permet de construire des régions de confiance lorsque le paramètre d'intérêt est défini à partir de contraintes de moments.<br />Dans cette thèse, nous généraliserons la méthode de vraisemblance empirique à une vaste gamme de méthodes de divergence empirique. Nous montrerons que l'on peut obtenir des résultats non asymptotiques originaux pour certaines divergences. Nous proposerons également une adaptation de la vraisemblance empirique aux chaînes de Markov. Nous mènerons deux applications : l'estimation d'un indice du risque d'exposition au méthylmercure, en combinant les diverses sources de données disponibles, et l'étude du rôle de la norme sociale sur le surpoids et l'obésité.

Dans cette thèse nous étudions des sommes exponentielles et des intégrales p-adiques, en utilisant la théorie des modèles et la géométrie. La première partie traite des sommes exponentielles dans des corps P-minimaux. La deuxième partie examine le comportement asymptotique des sommes exponentielles sur les corps p-adiques. Dans la première partie nous commençons par démontrer une théorème de décomposition cellulaire pour tous les corps P-minimaux, c.-à-d. indépendamment de l’existence des fonctions de Skolem définissables. En l’absence de ces fonctions nous introduisons les cellules en grappe régulières, inspirés par la notion classique de cellule p-adique de Denef. Notre décomposition cellulaire utilise les cellules classiques et les cellules en grappe régulières. Ensuite nous étendons la notion de fonction constructible exponentielle des structures semi-algébriques et sous-analytiques à tous les corps P-minimaux. Pour cela nous ajoutons des sommes exponentielles aux algèbres des fonctions constructibles. En utilisant notre décomposition cellulaire, nous démontrons que les fonctions constructibles exponentielles sont stables dans le contexte d’intégration. Cela signifie que l’intégration d’une fonction constructible exponentielle sur certaines de ses variables produit une fonction constructible exponentielle dans les autres variables. Dans la deuxième partie nous démontrons les conjectures d’Igusa, Denef-Sperber et Cluckers-Veys sur le comportement asymptotique des sommes exponentielles pour les polynômes dont le seuil log-canonique ne dépasse pas un demi. Nous apportons deux démonstrations ; l’une utilise l’intégration motivique et l’autre les fonctions zêtas d’Igusa. / In this thesis we study p-adic exponential sums and integrals using ideas from model theory and geometry. The first part of this thesis deals with exponential sums in P-minimal fields. The second part discusses estimates for the asymptotic behaviour of exponential sums over p-adic fields. Our work on P-minimal fields starts with the proof of a cell decomposition theorem that holds in all P-minimal fields, i.e., independently of the existence of definable Skolem functions. For P-minimal fields that lack these functions, we introduce the notion of regular clustered cells. This notion is close to the classical notion of p-adic cells, that was introduced by Denef. Our cell decomposition uses both classical cells and regular clustered cells. Next, we extend the notion of exponential-constructible functions, already defined in the semi-algebraic and subanalytic setting, to all P-minimal fields. We do this by enlarging the algebras of constructible functions with exponential sums. Using our cell decomposition theorem we prove that exponential-constructible functions are stable under integration. This means that the act of integrating an exponential-constructible function over some of its variables produces an exponential-constructible function in the other variables. In our work on estimates for the asymptotic behaviour of exponential sums we prove the Igusa, Denef-Sperber and Cluckers-Veys conjectures for polynomials with log-canonical threshold at most one half. We give two different proofs, one using motivic integration, and the other one using the Igusa zeta functions.

La première partie concerne l'estimation séquentielle du paramètre de régression pour le modèle de Cox pour des données censurées à droite. Il est ainsi possible de définir des règles d'arrêt garantissant une bonne estimation. Celles-ci conduisent alors à des estimateurs dépendant de tailles d'échantillons aléatoires pour lesquels le comportement asymptotique est le même que celui des estimateurs non séquentiels. Les propriétés démontrées sont étendues au cadre multidimensionnel et illustrées par des simulations. Cette première partie s'achève par l'étude théorique du comportement de la variable d'arrêt dans le cadre d'intervalles de confiance séquentiels. La règle d'arrêt normalisée est alors asymptotiquement normale. La seconde partie porte sur la construction de tests d'homogénéité dans le cadre d'un modèle de durées de vie non paramétrique incluant des covariables ainsi que la censure à droite. Une statistique de test est proposée et son comportement asymptotique est établi.

Reproduction de : Thèse de doctorat : Mathématiques appliquées : Grenoble, INPG : 1993. / Titre provenant de l'écran-titre.

Cette thèse porte sur le phénomène de superconcentration qui apparaît dans l'étude des fluctuations de divers modèles de la recherche actuelle (matrices aléatoires, verres de spins, champ libre gaussien discret, percolation,...). Plus particulièrement, la thèse est consacrée à l'examen d'inégalités de superconcentration à l'échelle exponentielle ; notamment pour des supremum de familles gaussiennes. Les outils mis en œuvre comprennent la propriété d'hypercontractivité de semi-groupes de Markov. Par ailleurs, celle-ci a conduit à une version d'ordre supérieur d'une inégalité sur la variance de M. Talagrand. La première partie de la thèse présente brièvement les notions essentielles de la théorie classique de la concentration de la mesure ainsi que les principaux outils, à savoir : méthodes d'interpolations à l'aide de semi-groupes markoviens, inégalités fonctionnelles, transport optimal et isopérimétrie. Un survol de la littérature existante est ensuite proposé. La deuxième partie du manuscrit rassemble, dans différents chapitres, les travaux que nous avons effectués durant cette thèse. Une grande partie de ceux-ci repose sur la représentation dynamique de la variance le long du semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck et sa propriété d'hypercontractivité. De nouvelles inégalités de superconcentration sont obtenues au niveau exponentiel et illustrées sur des exemples provenant de la théorie des extrêmes. Le cadre de l'hypercontractivité a également conduit à une nouvelle inégalité sur le cube discret, celle-ci permettant une application sur l'influence d'ordre deux de fonctions booléennes. Enfin, le dernier chapitre aborde la phénomène de superconcentration par le transport optimal. Des majorations de la variance et des inégalités de déviations non asymptotiques pour le maximum de variables aléatoires indépendantes et de même loi sont obtenues. A nouveau, des illustrations pour des lois usuelles, appartenant aux différents domaines d'attraction de la théorie des extrêmes, sont proposées / The thesis focuses on the superconcentration phenomenon which appears in the study of the fluctuations of various moelds from current research (random matrices, spin glasses, discrete Gaussien free field, percolation,...). More precisely, the thesis mainly deals with superconcentration inequalities at an exponentiel level ; in particular for supremum of familu of Gaussian random variables. The principal tools used during this study are the hypercontractive property satisfied by some Markov semi-groups ; this approach leads to an extension of higher order of an inequality due to M. Talagrand. The first part of the thesis exposes the fundamental notions of concentration of measure, interpolation methods with Markovians semi-groups, functional inequalities, optimal transport and isoperimetry. Then, a survey of the literature concerning superconcentration phenomenon is done. The second part of the manuscript bring together, in different chapters, the results obtained during the thesis. Most of them are based on the dynamical representation of the variance along the semi-group of Ornstein-Uhlenbeck and its hypercontractive property. New ineqaulities are obtained at an exponential level and are illustrated on examples coming from extreme theory. This hypercontractive framework also gave birth to a new inequality on the discrete cube which leads to an application on the influence of second order of boolean functions. Finally, the last chapter is about the superconcentration phenomenon with an optimal transport approach. Some non asymptotic bounds on the variance and deviations inequalities are obtained for the maximum of an i.i.d. sample. Again, illustrations for usual laws of probability, belonging to different domain of attraction from extreme theory, are given.

L'objectif de cette thèse est de traiter trois problèmes relatifs aux réseaux de grande taille. Les outils utilisés à cette fin sont issus des probabilités et plus spécifiquement de la théorie des files d'attente. En plus d'améliorer la compréhension des systèmes étudiés, les travaux réalisés dans cette thèse ont permis de prouver des résultats théoriques nouveaux ainsi que d'illustrer certains phénomènes probabilistes. Dans le Chapitre II, un modèle de réseau à partage de bande passante est étudié. Contrairement à ce qui avait été étudié dans la littérature, les utilisateurs n'utilisent pas de contrôle de congestion. On suppose qu'ils envoient des données avec un débit maximum et protègent leur transmission à l'aide d'un mécanisme basé sur des codes correcteurs d'erreur. Le modèle obtenu est analysé pour deux topologies de réseaux spécifiques : les réseaux linéaires et les arbres montants. A l'aide de limites fluides, les conditions de stabilité de ces réseaux sont établies. Ces limites fluides donnent lieu à un phénomène intéressant de moyennage stochastique. Ensuite, une autre méthode de renormalisation est utilisée pour prouver que la région de stabilité de ces processus converge vers la région optimale lorsque que les débits maximaux des utilisateurs deviennent infiniment petits par rapport à la taille des liens du réseau. Dans le Chapitre III, on se propose d'étudier CSMA/CA, un algorithme d'accès implémenté dans certains standards de réseaux sans fil. Chaque lien est constitué d'un émetteur et d'un récepteur et un graphe d'interférence modélise les collisions potentielles entre les liens. Les arrivées et les départs de ces derniers sont prises en compte. Une approximation est faite en supposant que la dynamique d'accès au canal est infiniment plus rapide que la dynamique des arrivées et départs de liens. Il est alors établi que le CSMA permet une utilisation optimale des ressources radio dans le cadre des réseaux ad-hoc. Cependant, il est également prouvé que ce même algorithme n'est pas efficace pour les réseaux avec une station de base ; dans ce cas, un biais en faveur des transmissions vers la station de base est observé. A la fin du chapitre, l'hypothèse simplificatrice est discutée. Les deux derniers chapitres de la thèse sont consacrés à l'étude d'un grand système distribué de stockage de données avec pertes. L'objectif est d'estimer la vitesse de perte des fichiers ou la durée de vie d'un fichier donné. Dans le Chapitre IV, c'est le premier point de vue qui est adopté. Le système est considéré de manière globale. Le système est constitué d'un grand nombre de fichiers qui peuvent avoir chacun deux copies au maximum. Chaque copie disparaît au bout d'un temps aléatoire. Un mécanisme centralisé de sauvegarde permet alors de restaurer les copies perdues. Un fichier dont les deux copies ont été détruites est définitivement perdu. Le système est étudié dans le cas limite où le nombre de fichiers tend vers l'infini. Afin de décrire correctement le système, trois échelles de temps différentes sont étudiées. Ralentir le temps permet de comprendre le mécanisme de sauvegarde ; laisser le temps inchangé permet de définir la capacité du système ; accélérer le temps permet d'évaluer la vitesse de perte des fichiers. Le principe de moyennage stochastique est également observé à l'échelle de temps la plus rapide. Dans le chapitre V, le point de vue d'un fichier donné est adopté. Des liens sont établis avec les modèles classiques d'Ehrenfest, issu de la physique statistique, et d'Erlang, issu des télécommunications. Des méthodes basées sur les martingales sont utilisées pour calculer la transformée de Laplace des temps d'atteinte de ces deux processus. Ces transformées permettent alors d'estimer le comportement asymptotique de ces temps d'atteinte et notamment le temps de disparition d'un fichier.

Fonction matricielle. Exponentielle d'une matrice. Approximants de Padé de l'exponentielle d'une matrice. Usage pratique de la methode de Padé pour le calcul de l'exponentielle d'une matrice. Méthode pour calculer l'exponentielle d'une matrice qui utilise un algorithme de bloc diagonalisation. Développement en série de polynômes de Tchebychev. Méthode pour calculer le nombre de chiffres significatifs exacts obtenus par un algorithme qui calcule l'exponentielle d'une matrice.

L'objet de cette thèse est d'adapter des techniques<br />de sélection de modèle au cadre particulier de l'estimation d'intensité de<br />processus ponctuels. Plus précisément, nous voulons montrer que les<br />estimateurs par projection pénalisés de l'intensité sont adaptatifs soit dans<br />une famille d'estimateurs par projection, soit pour le risque minimax. Nous<br />nous sommes restreints à deux cas particuliers : les processus de Poisson<br />inhomogènes et les processus de comptage à intensité<br />multiplicative d'Aalen.<br />Dans les deux cas, nous voulons trouver une inégalité de type<br />oracle, qui garantit que les estimateurs par projection pénalisés ont un risque<br />du même ordre de grandeur que le meilleur estimateur par projection pour une<br />famille de modèles donnés. La clé qui permet de prouver des inégalités de<br />type oracle est le phénomène de concentration de la mesure ou plus précisément<br />la connaissance d'inégalités exponentielles, qui permettent de contrôler en<br />probabilité les déviations de statistiques de type khi-deux au dessus de leur<br />moyenne. Nous avons prouvé deux types d'inégalités de concentration. La<br />première n'est valable que pour les processus de Poisson. Elle est comparable<br />en terme d'ordre de grandeur à l'inégalité de M. Talagrand pour les suprema de<br />processus empiriques. La deuxième est plus grossière mais elle est valable<br />pour des processus de comptage beaucoup plus généraux.<br />Cette dernière inégalité met en oeuvre des techniques de<br />martingales dont nous nous sommes inspirés pour prouver des inégalités de<br />concentration pour des U-statistiques dégénérées d'ordre 2 ainsi que pour des<br />intégrales doubles par rapport à une mesure de Poisson recentrée.<br />Nous calculons aussi certaines bornes inférieures pour les<br />risques minimax et montrons que les estimateurs par projection pénalisés<br />atteignent ces vitesses.

Cette thèse comprend deux parties. La première traite de la construction d'un ensemble aléeatoire qui a la propriété de régénération. Plus précisement, on construit des intervalles aléatoires issus des maxima locaux d'un processus de Poisson ponctuel. Ceux-ci sont utilisés pour recouvrir partiellement la semi--droite des réels positifs et on s'intéresse alors à l'ensemble résiduel $\Rs,$ des points qui n'ont pas été recouverts. On donne des critères intégrales pour déterminer si l'ensemble $\Rs$ a une mesure de Lebesgue non nulle, si il est discret ou encore si il est borné. On montre que l'ensemble $\Rs$ est régenératif et on caractérise le subordinateur associé via sa mesure potentiel. On donne des formules pour calculer quelques dimensions fractales pour $\Rs.$ La deuxième partie est constituée de quelques contributions à la théorie des processus de Markov auto--similaires positifs. Pour obtenir les résultats de cette partie on utilise amplement la transformation de Lamperti qui permet de rélier les processus de Markov auto--similaires positif aux processus de Lévy à valeurs dans $\re.$ On s' interesse d'abord, au comportement à l'infini d'un processus de Markov auto--similaire croissant. On détermine, sous certaines hypothèses, une fonction déterministe $f$ telle que la limite inférieure, lorsque $t$ tend vers l'infini, du quotient $X_t/f(t)$ est finie et non nulle avec probabilité $1.$ Un résultat analogue est obtenu pour déterminer le comportement près de 0 du processus $X$ issu de 0. Ensuite, on étudie les différentes manières de construire un processus de Markov auto--similaire $\widetilde(X)$ pour lequel 0 est un point régulier et récurrent. En premier lieu, on donne des conditions qui nous permettent d'assurer qu'un tel processus existe et d'expliciter sa résolvante. En second lieu, on fait une étude systématique de la mesure d'excursions d'Itô $\exc$ pour le processus $\widetilde(X)$. On donne en particulier une description à la Imhof de $\exc,$ on determine la loi sous $\exc$ de l'excursion normalisée et l'image sous retournement de temps de $\exc$. De plus, on construit et on décrit un processus qui est en dualité faible avec le processus $\widetilde(X).$ On obtient diverses estimations de la queue de probabilité de la loi d'une variable aléatoire fonctionnelle exponentielle d'un processus de Lévy.