Diss. (sammanfattning) Umeå : Umeå universitet, 2007. / Härtill 2 uppsatser.

Diss. (sammanfattning) Uppsala : Uppsala universitet, 2007. / Härtill 3 uppsatser.

Min undersökning är en filosofisk resa där jag fritt funderar över, under och i min process. Jag använder mig av en naturvetenskaplig terminologi för att ge det konstnärliga resonemanget en grund för ett annat tänkande. Det är ett filosofiskt tänkande kring min konstform i förhållande till min världsbild, ett slags kosmiskt förhållningssätt. Min undersökning tittar inte på den andliga konstnärliga traditionen, jag tittar inte heller på konsten som ett konkret läsbart objekt. Jag undersöker tomheten, inte som ett religiöst fenomen utan som ett naturvetenskapligt/filosofiskt fenomen. Jag undersöker om konstnärliga processer går att åskådliggöras med naturvetenskapliga medel. Kan man använda sig av matematiska formler för att åskådliggöra konstnärliga processer? Kan man problematisera vetenskapen genom att göra formler för ett konstnärligt tänkande och vad gör en formel för konstens frihet?

Målet har varit att undersöka hur grafiska formgivare kan använda sig av matematisk kod i form av fraktala system för att skapa inspirerande grid. Genom att titta på befintliga fraktala mönster och sedan anpassa vissa av dem till gridsystem skapades under designprocessen ett antal olika fraktala grid. Hur väl dessa gridsystem fungerade testades i en skisskalender - en fickkalender för formgivare med plats att skissa. För att kontrollera och verifiera de resultat som kom fram under designprocesssen jämfördes de med åsikter från en fokusgrupp bestående av grafiska formgivare. Slutsatsen blev att fraktala gridsystem inspirerar grafiska formgivare att skapa dynamiska och harmoniska layouter. Och att de fraktala gridsystemen kan läggas till under kategorin konstruerade grid.

Min teori är att en av förklaringarna till naturens positiva inverkan på oss ligger i att naturen är lättläst för oss när vi avkodar vår omgivning. I naturen finns det matematiska mönster som återkommer och upprepar sig. Fibonaccis talserie, Gyllene snittet, Fyllotaxisspiralen och framförallt fraktaler. De här mönstren hjälper oss att registrera och ta in information från det vi ser i vår omvärld för att förstå den men också för att avgöra om det finns några faror eller om vi är på en trygg plats.   Inom forskning där försökspersonernas ögonrörelser studerades fann man att vi automatiskt fäster blicken vid mönster med den fraktala dimensionen 1,3 - 1,5. Vidare försök visade att testpersonerna blev som mest avslappnade när de fick se bilder med ett D-värde inom det spannet. Ytterligare stöd för växters hälsofrämjande inverkan fann jag i en rapport från ett försök där testpersonerna fick vidröra olika material med förbundna ögon. Man ville mäta både psykiska och fysiska reaktioner. Testpersonerna fick dels skatta sina upplevelser utifrån 10 par motsatsord och dels mättes deras syremättnad i blodet och det cerebrala blodflödet. Den psykologiska delen av försöket gav ett neutralt resultat men de fysiska mätvärdena indikerade att försökspersonerna blev stressade av att vidröra metall och blev mer avslappnade när de vidrörde levande växtmaterial i form av ett blad. Slutsatsen blev att fysisk kontakt med växtmaterial kan ha en lugnande effekt, trots att försökspersonen inte vet att det är växtmaterial den vidrör.   Genom att föra in dessa mönster i bostadsgården skulle den bli mer hälsofrämjande för den urbana människan. Eftersom örtskiktet idag är underrepresenterat i dessa bostadsområden har jag valt att lägga fokus på perenner som skulle lyfta in de fraktala och matematiska mönstren i den miljön. / My theory is that one of the explanations for the nature's positive impact on us is that nature is easy to read when we decode our surroundings. In nature there are mathematical patterns that recur and repeat themselves like the Fibonacci numbers, Golden Ratio, Phyllotaxis spiral and especially fractals. These patterns help us to record and take in information from what we see in our surroundings to understand it but also to determine if there is something scary or if we are in a safe place.   In research where they investigated the subjects’ eye movements it was found that we automatically attach our gaze at pattern of the fractal dimension 1.3 – 1.5. Further experiments showed that the test subjects where the most relaxed when they saw pictures with a dimension value within that range. I found additional support for plant health effects in a report from an experiment in which test subjects touched different materials blindfolded. The research team wanted to measure both psychological and physical reactions. The test subjects were instructed to value their experiences based on 10 pairs of word opposites and additionally their oxygen saturation in the blood and the cerebral blood flow were monitored. The psychological part of the trail gave a neutral result, but the physical measurements indicated that the subjects were stressed by touching metal and were more relaxed when they touched living plant material (a fresh leaf). The conclusion was that physical contact with plant material can have a calming effect, even though the subject does not know it is plant material it touches.   By bringing in these patterns to apartment house courtyards they would become more health promoting for the urban human. Since the herbal layer is underrepresented in these areas today, I have chosen to focus on perennials that would bring in the fractal and mathematical patterns in this environment.

Fractals is a relatively new mathematical topic which received thorough treatment only starting with 1960's. Fractals can be observed everywhere in nature and in day-to-day life. To give a few examples, common fractals are the spiral cactus, the romanesco broccoli, human brain and the outline of the Swedish map. Fractal dimension is a dimension which need not take integer values. In fractal geometry, a fractal dimension is a ratio providing an index of the complexity of fractal pattern with regard to how the local geometry changes with the scale at which it is measured. In recent years, fractal analysis is used increasingly in many areas of engineering and technology. Among others, fractal analysis is used in signal and image compression, computer and video design, neuroscience and fractal based cancer modelling and diagnosing.   This study consists of two main parts. The first part of the study aims to understand the appearance of an irregular Cantor set generated by the chaotic dynamical system generated by the logistic function on the unit interval [0,1]. In order to understand this irregular Cantor set, we studied the topological properties of the Cantor Middle-thirds set and the generalised Cantor sets, all of which have zero length. The necessity to compare these sets with regard to their size led us to the second part of this paper, namely the dimension studies of fractals. More complex fractals were presented in the second part, three definitions of dimension were introduced. The fractal dimension of the irregular Cantor set generated by the logistic mapping was estimated and we found that the Hausdorff dimension has the widest scope and greatest flexibility in the fractal studies. / Fraktaler är ett relativt nytt ämne inom matematik som fick sitt stora genomslag först efter 60-talet.  En fraktal är ett självliknande mönster med struktur i alla skalor. Några vardagliga exempel på fraktaler är spiralkaktus, romanescobroccoli, mänskliga hjärnan, blodkärlen och Sveriges fastlandskust. Bråktalsdimension är en typ av dimension där dimensionsindexet tillåts att anta alla icke-negativa reella tal. Inom fraktalgeometri kan dimensionsindexet betraktas som ett komplexitetsindex av mönstret med avseende på hur den lokala geometrin förändras beroende på vilken skala mönstret betraktas i. Under det senaste decenniet har fraktalanalysen använts alltmer flitigt inom tekniska och vetenskapliga tillämpningar. Bland annat har fraktalanalysen använts i signal- och bildkompression, dator- och videoformgivning, neurovetenskap och fraktalbaserad cancerdiagnos.   Denna studie består av två huvuddelar. Den första delen fokuserar på att förstår hur en fraktal kan uppstå i ett kaotiskt dynamiskt system. För att vara mer specifik studerades den logistiska funktionen och hur denna ickelinjära avbildning genererar en oregelbunden Cantormängd på intervalet [0,1]. Vidare, för att förstå den oregelbundna Cantormängden studerades Cantormängden (eng. the Cantor Middle-Thirds set) och de generaliserade Cantormängderna, vilka alla har noll längd. För att kunna jämföra de olika Cantormängderna med avseende på storlek, leds denna studie vidare till dimensionsanalys av fraktaler som är huvudämnet i den andra delen av denna studie. Olika topologiska fraktaler presenterades, tre olika definitioner av dimension introducerades, bland annat lådräkningsdimensionen och Hausdorffdimensionen. Slutligen approximerades dimensionen av den oregelbundna Cantormängden med hjälp av Hausdorffdimensionen. Denna studie demonstrerar att Hausdorffdimensionen har större omfattning och mer flexibilitet för fraktalstudier.