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Die vorliegende Arbeit ist der Untersuchung von Operatorfolgen gewidmet, die typischerweise bei der Anwendung von Approximationsverfahren auf stetige lineare Operatoren entstehen. Dabei stehen die Stabilität der Folgen sowie das asymptotische Verhalten gewisser Charakteristika wie Normen, Konditionszahlen, Fredholmeigenschaften und Pseudospektren im Mittelpunkt. Das Hauptaugenmerk liegt auf der Entwicklung der Theorie für Operatoren auf Banachräumen. Hierbei bildet ein dafür geeigneter Konvergenzbegriff, die sogenannte P-starke Konvergenz, den Ausgangspunkt, welcher das Studium der gewünschten Eigenschaften in einer erstaunlichen Allgemeinheit gestattet. Die erzielten Resultate kommen, neben einer Reihe weiterer Anwendungen, insbesondere für das Projektionsverfahren für banddominierte Operatoren zum Einsatz.

In der vorliegenden Arbeit wird die Fredholm-Methode zur semiklassischen Berechnung einzelner Eigenzustaende von Quantenabbildungen eingesetzt. Es wird gezeigt, wie auch Eigenzustaende zu entarteten Eigenwerten berechnet werden koennen. Die semiklassische Berechnung eines Eigenzustandes erfolgt mittels der Husimifunktion. Es wird gezeigt, wie das Auftreten von Bifurkationen periodischer Bahnen beruecksichtigt werden kann. Dies geschieht auch fuer den Fall von energiegemittelten Eigenzustaenden. Ebenfalls wird die Stoerung einer Quantenabbildung durch einen Punktstreuer und dessen Auswirkungen auf die semiklassische Berechnungen untersucht.

Doctor of Philosophy / Department of Mathematics / Alexander G. Ramm / A new method, the Dynamical Systems Method (DSM), justified recently, is applied to solving ill-conditioned linear algebraic system (ICLAS). The DSM gives a new approach to solving a wide class of ill-posed problems. In Chapter 1 a new iterative scheme for solving ICLAS is proposed. This iterative scheme is based on the DSM solution. An a posteriori stopping rules for the proposed method is justified. We also gives an a posteriori stopping rule for a modified iterative scheme developed in A.G.Ramm, JMAA,330 (2007),1338-1346, and proves convergence of the solution obtained by the iterative scheme. In Chapter 2 we give a convergence analysis of the following iterative scheme: u[subscript]n[superscript]delta=q u[subscript](n-1)[superscript]delta+(1-q)T[subscript](a[subscript]n)[superscript](-1) K[superscript]*f[subscript]delta, u[subscript]0[superscript]delta=0, where T:=K[superscript]* K, T[subscript]a :=T+aI, q in the interval (0,1),\quad a[subscript]n := alpha[subscript]0 q[superscript]n, alpha_0>0, with finite-dimensional approximations of T and K[superscript]* for solving stably Fredholm integral equations of the first kind with noisy data. In Chapter 3 a new method for inverting the Laplace transform from the real axis is formulated. This method is based on a quadrature formula. We assume that the unknown function f(t) is continuous with (known) compact support. An adaptive iterative method and an adaptive stopping rule, which yield the convergence of the approximate solution to f(t), are proposed in this chapter.

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Nous étudions mathématiquement et numériquement des problèmes de réaction-diffusion avec convection. Dans la première partie, nous montrons sous certaines conditions que les opérateurs considérés ont la propriété de Fredholm, sont propres, et nous construisons un degré topologique pour ces opérateurs. Nous utilisons le degré pour étudier les bifurcations pour un problème d'ondes progressives de réaction-diffusion-convection, et nous montrons l'existence de fronts de réaction modifiés par la convection naturelle. Nous nous intéressons également aux instabilités convectives pour ces solutions. Nous étudions dans la deuxième partie l'influence de la tension de surface sur la stabilité des fronts. Dans le cas de liquides non miscibles, nous montrons que l'interaction de la tension de surface et de la réaction chimique peut conduire à une instabilité nouvelle. Dans le cas de liquides miscibles, nous modélisons la tension transitoire par une contrainte supplémentaire dans les équations de Navier-Stokes. Nous montrons que le problème mathématique correspondant a une solution unique, et nous observons numériquement que les gradients de concentration peuvent engendrer des courants convectifs. Nous simulons l'évolution d'une goutte miscible sous l'influence de ces courants~: elle est comparable à celle d'une goutte non miscible sous l'action de la tension de surface, avec une tendance à s'arrondir ou à se scinder en gouttelettes. Nous montrons numé\-ri\-quement que la tension transitoire peut amplifier de petites déformations de fronts plans.

Cette thèse comprend deux parties principales:La première partie est une étude du problème d'élasticité linéaire en temps par une méthode de Galerkin discontinue (SIPG). Dans cette partie, nous avons toutd'abord obtenu un estimateur a posteriori pour la formulation semi-discrète. En utilisant une technique de reconstruction et des résultats montrés dans le cas stationnaire, on a établi un estimateur a posteriori d'erreur pour le problème d'onde élastique dépendant du temps. Afin de calculer l'estimateur d'erreur lié au cas stationnaire, nous avons présenté deux méthodes, l'une utilisant la technique de la dualité ce qui nous a donné un calcul d'erreur en norme L^2 et l'autre en calculant l'erreur en norme énergie. Pour la discrétisation en temps l'équation, nous utilisons un schéma numérique d'Euler. En utilisant une technique et de reconstruction spatio-temporelle, on propose un nouvel estimateur a posteriori.La deuxième partie a pour but l'établissement d'un développement asymptotiquepour la solution de problème résolvant Stokes avec une petite perturbation dudomaine. Dans ce travail, nous avons appliqué la théorie du potentiel. On a écrit la solution du problème non perturbé et du problème perturbé sous forme d'opérateurs intégraux. En calculant la différence, et en utilisant des propriétés liées aux noyaux des opérateurs on a établi un développement asymptotique de la solution. / This thesis contains two main parts:The first part concerning the discontinuous Galerkin method for the timedependentlinear elasticity problem. In this part, we have derived the a posteriorierror bounds for semi-discrete and fully discrete formulation, by makinguse of the SE reconstruction technique which allows to estimate the errorbound for time-dependent problem through the error estimation of the ascociatedstationary elasticity problem. Then to derive the error bound for thestationary problem, we have presented two methods to obtain two different aposteriori bounds, by L2 duality technique and via energy norm. For fully discretescheme, we make use of the backward-Euler scheme and an appropiatespace-time reconstruction which has the zero-mean value in time.The second part concerning the derivation of an asymptotic expansionfor the solution of Stokes resolvent problem with a small perturbation of thedomain. In this work, we have applied the potential theory, boundary integralequation method and geometric properties of perturbed boundary. Thederivation is rigorous, and this method allows to derive high-order terms inasymptotic expansion. Also, it can be used for many other boundary valueproblems, whenever a suitable potential theory is available.

In this habilitation thesis a factorization theory for Toeplitz plus Hankel operators and singular integral operators with flip is established. These operators are considered with matrix-valued symbols and are thought of acting on the vector-valued analogues of the Hardy and Lebesgue spaces. A factorization theory for pure Toeplitz operators and singular integral operators without flip is known since decades and provides necessary and sufficient conditions for Fredholmness and formulas for the defect numbers. In particular, the invertibility of such operators is equivalent to the existence of a certain type of Wiener-Hopf factorization. In this thesis an analogous theory for the afore-mentioned more general classes of operators is developed. It turns out that a completely different kind of factorization is needed. This kind of factorization is studied extensively, and a corresponding Fredholm theory is established. A connection with the Hunt-Muckenhoupt-Wheeden condition is made, and several examples and applications are given as well. / In dieser Habilitationsschrift wird eine Faktorisierungstheorie für Toeplitz plus Hankel-Operatoren und singuläre Integraloperatoren mit Flip aufgestellt. Diese Operatoren werden mit matrixwertigem Symbol betrachtet und sind auf den vektorwertigen Analoga der Hardy- und Lebesgue-Räumen definiert. Eine Faktorisierungstheorie für reine Toeplitz bzw. singuläre Integraloperatoren ohne Flip ist seit Jahrzehnten bekannt. Sie liefert notwendige und hinreichende Bedingungen für die Fredholmeigenschaft und Formeln für die Defektzahlen. Insbesondere ist die Invertierbarkeit derartiger Operatoren äquivalent zur Existenz einer bestimmten Art der Wiener-Hopf-Faktorisierung. In dieser Habilitationsschrift wird eine entsprechende Theorie für die erwähnten, allgemeineren Klassen von Operatoren aufgestellt. Es stellt sich heraus, dass eine völlig andere Art der Faktorisierung benötigt wird. Diese Art der Faktorisierung wird eingehend studiert und eine entsprechende Fredholmtheorie wird entwickelt. Ein Zusammenhang mit der Hunt-Muckenhoupt-Wheeden Bedingung wird hergestellt. Mehrere Beispiele und Anwendungen werden ebenfalls angegeben.

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Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.