Nous présentons des travaux autour de trois axes : 1- Phénomène de focalisation en un point en optique géométrique non linéaire. Les équations considérées sont principalement des équations d'ondes et de Schrödinger non linéaires. 2- Rôle des oscillations quadratiques dans les équations de Schrödinger non linéaires. 3- Equations de Schrödinger non linéaire en présence d'un potentiel extérieur.

Le micromagnétisme est l'étude de la magnétisation spontanée dans les matériaux ferromagnétiques. Cette magnétisation, de norme constante, est soumise à une énergie libre. Nous étudions les configurations limites admissibles de la magnétisation dans certains régimes asymptotiques. Les premiers résultats présentés concernent la structure géométrique des parois des configurations limites d'un modèle micromagnétique en deux dimensions. La similarité entre le problème micromagnétique et les lois de conservation scalaires nous permet d'obtenir, par la meme méthode, un résultat sur la structure des ondes de choc de certaines solutions d'une loi de conservation scalaire en une dimension d'espace. Enfin, nous donnons une formulation cinétique du problème mathématique lié à un modèle micromagnétique en trois dimensions et nous terminons par un résultat de régularisation pour les moyennes en vitesse des solutions d'une équation cinétique linéaire.

L'évolution technologique et scientifique à l'heure actuelle se répercute, en tout ou en partie, sur le domaine de la CAO. On assiste à une universalisation des techniques de conception, qui se basent souvent sur les mêmes algorithmes, que ce soit pour l'industrie aéronautique, pour la médecine ou pour d'autres domaines. Cette pluridisciplinarité naît des différentes vues de la conception, qui ne se fait plus seulement par des ingénieurs, mais par un public très varié, et qui entraîne, à son tour, des différentes techniques d'interaction. Pour répondre à cette diversité, les systèmes de CAO devraient assister l'utilisateur par des outils de modélisation adaptés. Une approche dans ce sens serait d'intégrer les déformations avec des contraintes métier. Ainsi, le concepteur pourrait se concentrer sur son métier plutôt que sur le modèle géométrique, laissant au système la tache du passage des paramètres métier aux paramètres géométriques, applicables au modèle. L'étude présente se place dans le contexte du projet DIJA, avec le but de créer un modeleur de déformation de surfaces avec un comportement métier bien précis, non pas en utilisant le modèle géométrique sous-jacent, tel que réalisé jusqu'à présent, mais en prenant en compte une triangulation de la surface aussi fine que nécessaire. L'étude permet de démontrer également le passage des paramètres métier aux paramètres géométriques et l'interaction avec l'utilisateur des différents niveaux de l'architecture du système, selon ses compétences.

Ce travail de recherche présente les résultats concernant à la modélisation et identification des paramètres d’un robot sériel pour une utilisation en usinage dans le but d’améliorer la précision de la position de l’outil dans un espace de travail dédié. Dans ce sens, les travaux présentés permettent de proposer une méthodologie de modélisation géométrique pertinente avec la précision de la tâche et la maîtrise des erreurs d’assemblage et de fabrication des éléments du robot. Avec l’utilisation des modèles géométriques appliqués au robot ABB IRB 6660 nous avons développés des modèles avec des paramètres liés à la structure physique du robot et nous avons complémenté ces modèles avec la modélisation des paramètres géométriques d’une broche dédiée à l’usinage implémenté dans le dernier axe du robot. / This work presents the results concerning the modeling and identification of the parameters of a serial robot for use in machining in order to improve the precision of the position of the tool in a dedicated workspace. In this sense, the presented works allow to propose a methodology of geometrical modeling pertinent with the precision of the task and the control of the errors of assembly and manufacture of the elements of the robot. With the use of the geometric models applied to the ABB IRB 6660 robot we have developed models with parameters related to the physical structure of the robot and we complemented these models with the modeling of the geometric parameters of a spindle dedicated to the machining implemented in the last axis of the robot.

Une image numérique peut être définie comme un ensemble de n-xels sur une grille constituée de n-cubes. La segmentation consiste à calculer une partition d'une image en régions. Les n-xels ayant des caractéristiques similaires (couleur, intensité, etc.) sont regroupés. Schématiquement, à chaque n-xel est attribuée une étiquette, et chaque région de l'image est constituée de n-xels de même étiquette. Les méthodes "de type" Marching cubes et Kenmochi et al. construisent des complexes représentant la topologie de la région d'intérêt d'une image numérique binaire de dimension 3. Dans la première méthode, l'algorithme construit un complexe simplicial, dont 0-cellules sont des points des arêtes de la grille duale. Dans la deuxième méthode, les auteurs construisent un complexe cellulaire sur une grille duale, c.a.d les 0-cellules du complexe sont des sommets de la grille duale. Afin de construire le complexe, Kenmochi et al. calculent (à rotations près) les différentes configurations de sommets blancs et noirs d'un cube, puis, ils construisent les enveloppes convexes des points noirs de ces configurations. Ces enveloppes convexes définissent les cellules du complexe, à rotations près. Le travail développé dans cette thèse étend la méthode de Kenmochi et al. en dimension 4. L'objectif est de construire un complexe cellulaire à partir d'une image numérique binaire définie sur une grille duale. Nous calculons d'abord les différentes configurations de sommets blancs et noirs d'un 4-cube (à isométries près), puis, nous construisons des enveloppes convexes définies par ces configurations. Ces enveloppes convexes sont construites par déformation du 4-cube d'origine, et nous distinguon / A digital image can be defined as a set of n-xels on a grid made up by n-cubes. Segmentation consists in computing a partition of an image into regions. The n-xels having similar characteristics (color, intensity, etc.) are regrouped. Schematically, each n-xel is assigned a label, and each region of the image is made up by n-xels with the same label. The methods "type" Marching cubes and Kenmochi et al. construct complexes representing the topology of the region of interest of a 3-dimensional binary digital image. In the first method, the algorithm constructs a simplicial complex, whose 0-cells are points of the edges of the dual grid. Inthe second one, the authors construct a cell complex on a dual grid, i.e. the 0-cells of the complex are vertices of the dual grid. In order to construct the complex, Kenmochi et al. compute (up to rotations) the different configurations of white and black vertices of a cube, and then, they construct the convex hulls of the black points of these configurations. These convex hulls define the cells of the complex, up to rotations. The work developed in this thesis extends Kenmochi et al. method todimension 4. The goal is to construct a cell complex from a binary digital image defined on a dual grid. First, we compute the different configurations of white and black vertices of a 4-cube, up to isometries, and then, we construct the convex hulls defined by these configurations. These convex hulls are constructed by deforming the original 4-cube, and we distinguishseveral basic construction operations (deformation, degeneracy of cells, etc.). Finally, we construct the cell complex corresponding to the dual image by assembling the cells so o / Una imagen digital puede ser definida como un conjunto de n–xeles en un mallado constituido de n–cubos. Los n–xeles pueden ser identificados con: (1) los n–cubos del mallado, o con (2) los puntos centrales de estos n–cubos. En el primer caso, trabajamos con un mallado primal, mientras que en el segundo, trabajamos con un mallado dual construido a partir del mallado primal. La segmentación consiste en calcular una partición de una imagen en regiones. Los n–xeles que tienen características similares (color, intensidad, etc.) son reagrupados. Esquemáticamente, a cada n–xel se le asocia una etiqueta, y cada región de la imagen está constituida de n–xeles con la misma etiqueta. En particular, si las únicas etiquetas permitidas para los n–xeles son “blanca” y “negra”, la segmentación se dice binaria: los n–xeles negros forman el primer plano (foreground) o región de interés en cuestión de análisis de la imagen, y los n–xeles blancos forman el fondo (background). Ciertos modelos, como los Grafos de Adyacencia de Regiones (RAGs), los Grafos Duales (DGs) y la carta topológica, han sido propuestos para representar las particiones en regiones, y en particular para representar la topología de estas regiones, es decir las relaciones de incidencia y/o adyacencia entre las diferentes regiones. El RAG [27] es un precursor de este tipo de modelos, y ha sido una fuente de inspiración de los DGs [18] y de la carta topológica [9, 10]. Un RAG representa una imagen primal etiquetada por un grafo: los vértices del grafo corresponden a regiones de la imagen, y las aristas del grafo representan las relaciones de adyacencia entre la regiones. Los DGs son un modelo que permite resolver ciertos inconvenientes de los RAGs para representar imágenes de dimensión 2. La carta topológica es una extensión de los modelos anteriores definida para manipular imágenes primales de dimensión 2 y 3, representando no solamente las relaciones topológicas, sino también las relaciones geométricas.

Alors que les surfaces géométriques sont essentiellement représentées à l'aide de maillages triangulaires dans le domaine de la géométrie numérique, les structures permettant d'interagir avec ces géométries sont variées et adaptées aux différents traitements visés par l'utilisateur. Cette thèse présente des travaux réalisés sur des structures de dimension et de représentation géométrique variées, allant de l'étude des structures internes comme les squelettes analytiques pour la modélisation géométrique, passant par les structures surfaciques pour la sélection automatiques de poignées de déformation, jusqu'aux structures externes de contrôle d'objet de type "cage" offrant une représentation haut niveau de séquences animées d'objets issues de systèmes de performance capture. Sont présentés également les résultats obtenus sur les coordonnées aux valeurs moyennes offrant une solution au problème de l'interpolation de conditions de Dirichlet, pour lesquelles les formules analytiques des gradients et Hessiens sont fournies, et les fonctions biharmoniques pour lesquelles une base d'éléments finis est formulée pour la résolution du problème de Laplace biharmonique avec conditions mixtes Dirichlet/Neumann, ainsi que leurs applications à la déformation de formes 3D. / While 3D surfaces are essentially represented using triangle meshes in the domain of digital geometry, the structures that allow to interact with those are various and adapted to the different geometry processing tasks that are targetted by the user.This thesis presents results on structures of various dimension and various geometrical representations, going from internal structures like analytical curve skeletons for shape modeling, to on-surface structures allowing automatic selection of feature handles for shape deformation, and external control structures known as “cages” offering a high-level representation of animated 3D data stemming from performance capture. Results on spatial functions are also presented, in particular for the Mean-Value Coordinates, for which the analytical formulae of the gradients and the Hessians are provided, and biharmonic functions, for which a finite elements basis is given for the resolution of the biharmonic Laplace problem with mixed Dirichlet/Neumann boundary conditions, as well as their applications to 3D shapes deformation.

Cette thèse s'insère dans un projet plus vaste, dont le but est de s'attaquer aux fondements mathématiques du problème inverse en contrôle optimal afin de dégager une méthodologie générale utilisable en neurophysiologie. Les deux questions essentielles sont : (a) l'unicité d'un coût pour une synthèse optimale donnée (injectivité); (b) la reconstruction du coût à partir de la synthèse. Pour des classes de coût générales, le problème apparaît très difficile même avec une dynamique triviale. On a donc attaqué l'injectivité pour des classes de problèmes spéciales : avec un coût quadratique, la dynamique étant soit non-holonome, soit affine en le contrôle. Les résultats obtenus ont permis de traiter la reconstruction pour le problème linéaire-quadratique. / This PhD thesis is part of a larger project, whose aim is to address the mathematical foundations of the inverse problem in optimal control in order to reach a general methodology usable in neurophysiology. The two key questions are : (a) the uniqueness of a cost for a given optimal synthesis (injectivity) ; (b) the reconstruction of the cost from the synthesis. For general classes of costs, the problem seems very difficult even with a trivial dynamics. Therefore, the injectivity question was treated for special classes of problems, namely, the problems with quadratic cost and a dynamics, which is either non-holonomic (sub-Riemannian geometry) or control-affine. Based on the obtained results, we propose a reconstruction algorithm for the linear-quadratic problem.

La représentation des surfaces du monde réel dans la mémoire d'une machine peut désormais être obtenue automatiquement via divers périphériques de capture tels que les scanners 3D. Ces nouvelles sources de données, précises et rapides, amplifient de plusieurs ordres de grandeur la résolution des surfaces 3D, apportant un niveau de précision élevé pour les applications nécessitant des modèles numériques de surfaces telles que la conception assistée par ordinateur, la simulation physique, la réalité virtuelle, l'imagerie médicale, l'architecture, l'étude archéologique, les effets spéciaux, l'animation ou bien encore les jeux video. Malheureusement, la richesse de la géométrie produite par ces méthodes induit une grande, voire gigantesque masse de données à traiter, nécessitant de nouvelles structures de données et de nouveaux algorithmes capables de passer à l'échelle d'objets pouvant atteindre le milliard d'échantillons. Dans cette thèse, je propose des solutions performantes en temps et en espace aux problèmes de la modélisation, du traitement géométrique, de l'édition intéractive et de la visualisation de ces surfaces 3D complexes. La méthodologie adoptée pendant l'élaboration transverse de ces nouveaux algorithmes est articulée autour de 4 éléments clés : une approche hiérarchique systématique, une réduction locale de la dimension des problèmes, un principe d'échantillonage-reconstruction et une indépendance à l'énumération explicite des relations topologiques aussi appelée approche basée-points. En pratique, ce manuscrit propose un certain nombre de contributions, parmi lesquelles : une nouvelle structure hiérarchique hybride de partitionnement, l'Arbre Volume-Surface (VS-Tree) ainsi que de nouveaux algorithmes de simplification et de reconstruction ; un système d'édition intéractive de grands objets ; un noyau temps-réel de synthèse géométrique par raffinement et une structure multi-résolution offrant un rendu efficace de grands objets. Ces structures, algorithmes et systèmes forment une chaîne capable de traiter les objets en provenance du pipeline d'acquisition, qu'ils soient représentés par des nuages de points ou des maillages, possiblement non 2-variétés. Les solutions obtenues ont été appliquées avec succès aux données issues des divers domaines d'application précités.

Cette thèse traite du problème fondamental que constitue la planification de trajectoires de robots manipulateurs. Une première partie précise le contexte robotique de notre travail et présente le système général de programmation automatique développe au Lifia. Nous analysons ensuite l'importance de la représentation des connaissances nécessaires aux raisonnements géométriques particuliers a la planification de déplacements. Les méthodes de modélisation et les concepts de représentation que nous avons mis en oeuvre sont ensuite présentes. Une deuxième partie traite de la planification de trajectoires pour une structure articulée. Une methode de planification globale par construction de l'espace des configurations est présentée, ainsi qu'une methode de replanification locale par application de champs de potentiels et, enfin, une methode hybride réalisant la synthèse de ces approches complémentaires, pour lesquelles sont décrits algorithmes, résultats d'expérimentation et futurs développements

Utilisation du raisonnement géométrique pour la planification de mouvements en robotique. Utilisation de l'intelligence artificielle et de la modélisation géométrique pour la programmation automatique des robots. Cas des mouvements fins correspondants a un assemblage