Reproduction de : Thèse doctorat : Mathématiques : Cergy-Pontoise : 2005. / Titre provenant de l'écran titre. Bibliogr. p.101-104.

Diss.--Math.--Chemnitz--Technische Universität, 2001. / Bibliogr. p. 111-115.

Nous nous intéressons à l'application de la méthode de Galerkine discontinue avec pénalité intérieure (IPDGM) pour la migration terrestre par équations d'ondes. Il s'agit d'utiliser la propagation d'ondes sismiques pour produire des images du sous-sol et notre contribution se situe au niveau de la résolution du problème direct que nous proposons de faire par une méthode d'éléments finis s'appuyant sur des tétraèdres. Cette méthode est particulièrement bien adaptée pour la migration terrestre où il est nécessaire de prendre en compte la topographie du site qui est de plus en plus souvent accidentée. Tout d'abord, nous analysons les performances de la méthode d'éléments finis que nous avons choisie et concluons qu'elle surpasse les méthodes de différences finies classiquement utilisées pour la Reverse Time Migration (RTM) et qu'elle est aussi performante en terme de précision que la méthode d'élément spectraux qui est la méthode d'éléments finis la plus populaire en géophysique. Nous justifions ensuite notre choix en montrant qu'on peut imager des régions complexes en utilisant notamment des données synthétiques générées avec un autre code que le code IPDGFem développé durant la thèse. Pour finir, nous nous intéressons à la technique de pas de temps locaux qui permet d'adapter le pas de temps de la méthode à la taille des mailles utilisées et proposons une nouvelle discrétisation temporelle qui permet de combiner des ordres différents en temps et en espace. Les premiers résultats obtenus en 1D sont très intéressants et encourageants et le 2D est en cours de développement.

Diss.--Math.--Chemnitz--Technische Universität, 1999. / Bibliogr. p. 103-106.

Mes travaux de thèse portent sur le développement de schémas numériques d'ordre élevé en temps et en espace pour la simulation de propagation des ondes. Nous avons proposé de discrétiser dans un premier temps l'équation des ondes par rapport au temps, en utilisant une technique de type équation modifiée. Puis nous avons utilisé une méthode d'éléments finis de type Galerkine discontinue pour la discrétisation en espace. En modifiant l'ordre de la discrétisation, nous avons construit des schémas tout aussi précis que ceux déjà existants pour un coût de mise en oeuvre très intéressant. Après avoir validé numériquement la nouvelle méthode, nous nous sommes intéressés à sa stabilité ainsi qu'à son adaptivité en temps et en espace. Pour arriver à cela, nous avons dû faire une étude précise de la stabilité de la méthode de Galerkine discontinue et nous avons proposé des améliorations à cette technique entraînant des gains de temps significatifs. / My work consists in developing some high order numerical schemes in time and space for the modeling of the wave propagation. We have proposed to first discretize the wave equation with respect to the time using the so called Modified Equation Technique. Then, we have used a Discontinuous Galerkine Finite Element method for the space discretization. Switching the classical discretization process, we have constructed schemes as accurate as the classical ones with a numerical cost very interesting. After the numerical validation of this method, we have focused on its stability and on its adaptibility in time and space. To reach these objectives, we have performed a stability analysis of the Discontinuous Galerkin method and we have proposed some improvements to this technique which imply very important gain in terms of computationnal time.

Le contexte scientifique de cette thèse est l'imagerie sismique dont le but est de reconstituer la structure du sous-sol de la Terre. Comme le forage a un coût assez élevé, l'industrie pétrolière s'intéresse à des méthodes capables de reconstituer les images de la structure terrestre interne avant de le faire. La technique d'imagerie sismique la plus utilisée est la technique de sismique-réflexion qui est basée sur le modèle de l'équation d'ondes. L'imagerie sismique est un problème inverse qui requiert de résoudre un grand nombre de problèmes directs. Dans ce contexte, nous nous intéressons dans cette thèse à la résolution du problème direct en régime harmonique, soit à la résolution des équations d'Helmholtz. L'objectif principal est de proposer et de développer un nouveau type de solveur élément fini (EF) caractérisé par un opérateur discret de taille réduite (comparée à la taille des solveurs déjà existants) sans pour autant altérer la précision de la solution numérique. Nous considérons les méthodes de Galerkine discontinues (DG). Comme les méthodes DG classiques sont plus coûteuses que les méthodes EF continues si l'on considère un même problème à cause d'un grand nombre de degrés de liberté couplés, résultat des approximations discontinues, nous développons une nouvelle classe de méthode DG réduisant ce problème : la méthode DG hybride (HDG). Pour valider l'efficacité de la méthode HDG proposée, nous comparons les résultats obtenus avec ceux obtenus avec une méthode DG basée sur des flux décentrés en 2D. Comme l'industrie pétrolière s'intéresse au traitement de données réelles, nous développons ensuite la méthode HDG pour les équations élastiques d'Helmholtz 3D. / The scientific context of this thesis is seismic imaging which aims at recovering the structure of the earth. As the drilling is expensive, the petroleum industry is interested by methods able to reconstruct images of the internal structures of the earth before the drilling. The most used seismic imaging method in petroleum industry is the seismic-reflection technique which uses a wave equation model. Seismic imaging is an inverse problem which requires to solve a large number of forward problems. In this context, we are interested in this thesis in the modeling part, i.e. the resolution of the forward problem, assuming a time-harmonic regime, leading to the so-called Helmholtz equations. The main objective is to propose and develop a new finite element (FE) type solver characterized by a reduced-size discrete operator (as compared to existing such solvers) without hampering the accuracy of the numerical solution. We consider the family of discontinuous Galerkin (DG) methods. However, as classical DG methods are much more expensive than continuous FE methods when considering steady-like problems, because of an increased number of coupled degrees of freedom as a result of the discontinuity of the approximation, we develop a new form of DG method that specifically address this issue: the hybridizable DG (HDG) method. To validate the efficiency of the proposed HDG method, we compare the results that we obtain with those of a classical upwind flux-based DG method in a 2D framework. Then, as petroleum industry is interested in the treatment of real data, we develop the HDG method for the 3D elastic Helmholtz equations.

Mes travaux de thèse portent sur le développement de schémas numériques d'ordre élevé en temps et en espace pour la simulation de la propagation des ondes. Nous avons proposé de discrétiser dans un premier temps l'équation des ondes par rapport au temps, en utilisant une technique de type équation modifiée. Puis nous avons utilisé une méthode d'éléments finis de type Galerkine discontinue pour la discrétisation en espace. En modifiant l'ordre de la discrétisation, nous avons construit des schémas tout aussi précis que ceux déjà existants pour un coût de mise en oeuvre très intéressant. Après avoir validé numériquement la nouvelle méthode, nous nous sommes intéressés à sa stabilité ainsi qu'à son adaptivité en temps et en espace. Pour arriver à cela, nous avons dû faire une étude précise de la stabilité de la méthode de Galerkine discontinue et nous avons proposé des améliorations à cette technique entraînant des gains de temps significatifs.

L'objectif principal de cette thèse est l'étude des problèmes et des applications qu'ils se développent dans le domaine de la nanophotonique. Plus précisément, nous considérons les structures de métaux nobles où les modèles de dispersion locaux sont insuffisants et la non-localité doit être incluse dans le modèle. Ici, le système physique sous-jacent est typiquement modélisé comme des équations de Maxwell couplées à des lois de dispersion spatio-temporelles dans le régime des longueurs d'onde optiques. Bien que les solutions analytiques puissent être dérivées pour un petit nombre de problèmes, cela n'est généralement pas possible pour les dispositifs du monde réel, qui présentent souvent des géométries complexes et des compositions de matériaux. Suite à une analyse rigoureuse des propriétés physiques et mathématiques du modèle continu original, nous proposons une méthode de type à éléments finis d'ordre élevé pour discrétiser le modèle continu dans l'espace et le temps. Les méthodes discontinues Galerkin (DG) sont bien établies pour la discrétisation spatiale des équations de Maxwell. Cette thèse prolonge les travaux antérieurs sur les systèmes couplés des équations de Maxwell et les lois de dispersion spatiale. Nous utilisons des méthodes explicites de Runge-Kutta (RK) d'ordre élevé pour la discrétisation temporelle. L'intégration temporelle RK garantit un ordre de convergence espace-temps élevé du schéma entièrement discret, qui repose sur un schéma de preuve de convergence. Parallélisme MPI (Message Passing Interface), éléments curvilignes et PML (Perfectly Matched Layers) autour des aspects d'implémentation et d'évaluation des performances dans le cadre du logiciel développé à Inria Sophia Antipolis-Méditerannée (DIOGENES). La méthode développée est appliquée à de nombreuses simulations nanophotoniques réelles de dispositifs où des observables tels que la réflexion, la section transversale (CS) et la spectroscopie de perte d'énergie électronique (EELS) sont étudiés. Entre autres, nous élaborons une feuille de route pour un étalonnage expérimental robuste du modèle de dispersion non local linéarisé basé sur la solution de problèmes inverses et la quantification d'incertitude (UQ) des paramètres géométriques stochastiques. Nous avons également amélioré les accords de simulations numériques non locales et les résultats expérimentaux pour la résonance des plasmons d'espacement des nano-cubes d'argent. Cela démontre la pertinence de simulations non locales précises. / The main objective of this thesis is the study of problems and applications as they arise in the field of nanophotonics. More speci cally, we consider noble metal structures where local dispersion models are insu cient and nonlocality has to be included in the model. Here, the underlying physical system is typically modeled as Maxwell’s equations coupled to spatio- temporal dispersion laws in the regime of optical wavelengths. While analytical solutions can be derived for a small number of problems, this is typically not possible for real-world devices, which often feature complicated geometries and material compositions. Following a rigorous analysis of the physical and mathematical properties of the original continuous model, we propose a high order finite element type method for discretizing the continuous model in space and time. Discontinuous Galerkin (DG) methods are well established for the spatial discretization of Maxwell’s equations. This thesis extends previous work on the coupled systems of Maxwell’s equations and spatial dispersion laws. We use explicit high-order Runge-Kutta (RK) methods for the subsequent time discretiz- ation. RK time integration guarantees a high space-time convergence order of the fully-discrete scheme, which is underpinned by a sketch of a convergence proof. Message Passing Interface (MPI) parallelization, curvilinear elements and Perfectly Matched Layers (PMLs) round of implementation aspects and performance assessments in the scope of the Software developed at Inria Sophia Antipolis-Méditerannée (DIOGENeS). The developed method is applied to numerous real-world nanophotonics simulations of devices where observables like re ectance, Cross Section (CS) and Electron Energy Loss Spectroscopy (EELS) are studied. Inter alia, we elaborate a roadmap for a robust experimental calibration of the linearized nonlocal disper- sion model based on the solution of inverse problems and Uncertainty Quanti cation (UQ) of stochastic geometric parameters. We also find improved agreements of nonlocal numerical simulations and exper- imental results for the gap-plasmon resonance of silver nano-cubes. This demonstrates the relevance of accurate nonlocal simulations.

Ce mémoire est un exposé synthétique d'une partie des travaux que j'ai accomplis après la fin de ma thèse. Au cours des dernières années, j'ai été amené à m'intéresser à la discrétisation de problèmes provenant de différentes applications en mécanique des fluides. L'élément commun à tous ces problèmes est la présence de termes diffusifs du second ordre. Pour des raisons différentes, j'ai considéré des discrétisations non conformes, c'est-à-dire, basées sur des espaces discrets non contenus dans l'espace continu naturellement associé à la formulation faible du problème. Plus précisément, dans les travaux présentés dans ce mémoire on retrouve essentiellement deux grandes familles de méthodes : les méthodes dites de Galerkine discontinues et les méthodes volumes finis. Ce document s'organise comme suit. Les Chapitres 1–3 fournissent les renseignements administratifs relatifs au dossier de demande d'habilitation, dont un <EM>curriculum vitæ</EM>, une description succincte de l'ensemble de mes travaux et la liste complète des publications. Les Chapitres 4–5 relatent les efforts entrepris au sujet de la discrétisation de problèmes avec diffusion par des méthodes non conformes. Plus précisément, le Chapitre 4 est consacré aux méthodes de Galerkine discontinues, tandis que le Chapitre 5 traite des méthodes volumes finis. Même si l'accent est généralement mis sur les motivations des travaux et sur le développement de la ligne de pensée, des détails sont fournis quand cela s'avère nécessaire pour apporter un complément d'information par rapport aux publications, ou bien pour indiquer des pistes de recherche futures. Le rapport contient aussi une annexe contenant les résumés des thèses actuellement en cours. Dans la dernière partie de ce mémoire on peut trouver le texte intégral des publications. Pour faciliter la lecture, mes publications sont citées dans le texte avec un numéro progressif, tandis que les articles de la bibliographie générale sont cités avec les initiales des auteurs.

Cette thèse vise à étudier le couplage entre méthodes de Galerkine discontinue (DG) et méthodes de différences finies (DF) en maillages hybrides non structuré / cartésien, en vue d'applications en aéroacoustique numérique. L'idée d'une telle approche consiste à pouvoir tirer profit localement des avantages respectifs de ces méthodes, soit, en d'autres termes, à pouvoir prendre en compte la présence de géométries complexes par une méthode DG en maillage non structuré, et les zones qui en sont suffisamment éloignées par une méthode DF en maillage cartésien, moins coûteuse. Plus précisément, il s'agit de concevoir un algorithme d'hybridation de ces deux types de schémas pour l'approximation des équations d'Euler linéarisées, puis d'évaluer avec attention le comportement numérique des solutions qui en sont issues. De par le fait qu'aucun résultat théorique ne semble actuellement atteignable dans un cas général, cette étude est principalement fondée sur une démarche d'expérimentation numérique. Par ailleurs, l'intérêt d'une telle hybridation est illustré par son application à un calcul de propagation acoustique dans un cas réaliste