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Zugl.: Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 1982.

In this thesis, anisotropic Heisenberg magnets with arbitrary spin are investigated within the second-order Green-function theory. Three models are considered. First, the second-order Green-fuction theory for one-dimensional and two-dimensional Heisenberg ferromagnets with arbitrary spin S in a magnetic field is developed. For the determination of the introduced vertex parameters sum rules, higher-derivative sum rules, and regularity conditions are derived, and the equality of the isothermal and the longitudinal uniform static Kubo susceptibilities is required. Thermodynamic quantities, such as the specific heat, magnetic susceptibility, transverse and longitudinal correlation lengths are calculated. Empirical formulas describing the dependence of the position and height of the susceptibility maximum on the magnetic field are given. An anomal behavior of the longitudinal correlation length is observed. The appearance of two maxima in the temperature dependence of the specific heat is discussed. Further, as an example of a system with an anisotropy in the spin space, the S=1 ferromagnetic chain with easy-axis single-ion anisotropy is studied. Justified by the up-down symmetry of the model with respect to $S_i^z -> -S_i^z$, $\\langle S_i^z \\rangle=0$ is set. Two different ways of the determination of the introduced vertex parameters are presented. The transverse nearest-neighbor correlation function, spin-wave spectrum and longitudinal correlation length are analyzed. The effects of the single-ion anisotropy on the transverse and longitudinal uniform static susceptibilities as well as on the appearance of two maxima in the temperature dependence of the specific heat are examined. Finally, as examples of spatial anisotropic spin systems,layered Heisenberg ferromagnets and antiferromagnets with arbitrary spin are studied within the rotation-invariant Green-function theory. The long-range order is described by the condensation term, which is determined from the requirement that in the ordered state the static susceptibility has to diverge at the ordering wave vector. For determination of the introduced vertex parameters, the sum rule and the isotropy condition are used and also assumptions regarding the temperature dependence of some parameters are made. The main focus is put on the calculation of the specific heat, the Curie temperature, and the Néel temperature in dependence on the interlayer coupling and the spin-quantum number. Empirical formulas describing the dependence of the transition temperatures on the ratio of interlayer and intralayer couplings are given. For all three models, the results of the Green-function theory are compared to available results of exact approaches (Quantum Monte Carlo, exact diagonalization, Bethe-ansatz method) and to available experimental data.

In this thesis, anisotropic Heisenberg magnets with arbitrary spin are investigated within the second-order Green-function theory. Three models are considered. First, the second-order Green-fuction theory for one-dimensional and two-dimensional Heisenberg ferromagnets with arbitrary spin S in a magnetic field is developed. For the determination of the introduced vertex parameters sum rules, higher-derivative sum rules, and regularity conditions are derived, and the equality of the isothermal and the longitudinal uniform static Kubo susceptibilities is required. Thermodynamic quantities, such as the specific heat, magnetic susceptibility, transverse and longitudinal correlation lengths are calculated. Empirical formulas describing the dependence of the position and height of the susceptibility maximum on the magnetic field are given. An anomal behavior of the longitudinal correlation length is observed. The appearance of two maxima in the temperature dependence of the specific heat is discussed. Further, as an example of a system with an anisotropy in the spin space, the S=1 ferromagnetic chain with easy-axis single-ion anisotropy is studied. Justified by the up-down symmetry of the model with respect to $S_i^z -> -S_i^z$, $\\langle S_i^z \\rangle=0$ is set. Two different ways of the determination of the introduced vertex parameters are presented. The transverse nearest-neighbor correlation function, spin-wave spectrum and longitudinal correlation length are analyzed. The effects of the single-ion anisotropy on the transverse and longitudinal uniform static susceptibilities as well as on the appearance of two maxima in the temperature dependence of the specific heat are examined. Finally, as examples of spatial anisotropic spin systems,layered Heisenberg ferromagnets and antiferromagnets with arbitrary spin are studied within the rotation-invariant Green-function theory. The long-range order is described by the condensation term, which is determined from the requirement that in the ordered state the static susceptibility has to diverge at the ordering wave vector. For determination of the introduced vertex parameters, the sum rule and the isotropy condition are used and also assumptions regarding the temperature dependence of some parameters are made. The main focus is put on the calculation of the specific heat, the Curie temperature, and the Néel temperature in dependence on the interlayer coupling and the spin-quantum number. Empirical formulas describing the dependence of the transition temperatures on the ratio of interlayer and intralayer couplings are given. For all three models, the results of the Green-function theory are compared to available results of exact approaches (Quantum Monte Carlo, exact diagonalization, Bethe-ansatz method) and to available experimental data.

Die verlässliche Vorhersage der Wärmeentzugsleistungen als auch der Soletemperaturen in den Sonden sind wichtig für deren Auslegung und Betriebsoptimierung. Es ist ebenso wichtig für die Auslegung und Optimierung der Anlagen im versorgten Gebäude. In der vorliegenden Dissertation wurde versucht, durch eine mathematische Weiterentwicklung von Greenschen Funktionen (g-Funktionen) eine präzisere Lösung für Temperaturverteilung im Erdreich infolge des von einer oder mehreren Sonden verursachten Wärmeentzuges mit verschiedenen Randbedingungen im geologischen Untergrund zu erreichen. Hierzu wurden sechs „neue“ g-Funktionen entwickelt, die vertikal variable Wärmeentzüge einzelner Sonden und Sondenfelder, eine Asymmetrie des Wärmeentzuges der Sonde, den Einfluss einer zusätzlichen Grundwasserströmung und den realen, geschichteten Untergrund berücksichtigen. Die mathematischen Modelle des Erdreichs wurden mit Modellen für die Soleströmung und Wärmeübergabe in der Hinterfüllung der Sonde gekoppelt und anschließend auf ein praktisches Betriebsbeispiel angewendet. Die Arbeit enthält ebenfalls umfangreiche Sichtung existierender Modelle sowie deren Anwendung und vergleichende Bewertung der teilweise komplexen Modellansätze.:Formelzeichen und Abkürzungen 1 Einführung 2 Energiequellen und Aufbau der Erdwärmeübertrager 2.1 Quellen der geothermalen Energie 2.2 Aufbau der Erdwärmeübertrager 2.3 Betriebsverhalten von Erdwärmesonden 2.4 Auslegung der Sonden 3 Vorhandene Modelle 3.1 Soleströmung 3.2 Wärmeübergang in den Rohren der Sonde 3.3 Wärmeleitung in der Hinterfüllung 3.4 Erdreichmodellierung – numerisch 3.5 Erdreichmodellierung mit g-Funktionen 4 Weiterentwicklung der analytischen Modelle 5 Anwendungsbeispiele 185 5.1 Ein praktisches Beispiel 5.2 Auswirkung auf die Jahresarbeitszahl 6 Zusammenfassung Literatur A Ableitung der Bohrlochwiderstände B Ableitung der Funktionen für Randbedingungen C Eidesstattliche Erklärung / The design of the ground heat exchangers (GHE) systems demands the precise prediction of their heat output and the brine temperature. The same information is needed for design and optimization of the HVAC systems coupled to GHEs. In the thesis at hand the Green’s functions (g-Functions) have been used to develop the more accurate solutions for the temperature distribution in soil resulting from the heat extraction from one GHE or a field of GHEs. These solutions consist of six novel g-functions that take account of the vertical variation of the extracted heat flux in one GHE or field of GHEs, of the horizontal ground water flow and of the horizontal variation of the soil properties. The models for prediction of the soil temperature have been coupled with models for brine flow and heat transfer in the GHE’s grout and eventually applied to the simulation of the real world object. Additionally, the thesis contains broad review of the known models and their applications as well as the comparative analysis of the complex modelling assumptions.:Formelzeichen und Abkürzungen 1 Einführung 2 Energiequellen und Aufbau der Erdwärmeübertrager 2.1 Quellen der geothermalen Energie 2.2 Aufbau der Erdwärmeübertrager 2.3 Betriebsverhalten von Erdwärmesonden 2.4 Auslegung der Sonden 3 Vorhandene Modelle 3.1 Soleströmung 3.2 Wärmeübergang in den Rohren der Sonde 3.3 Wärmeleitung in der Hinterfüllung 3.4 Erdreichmodellierung – numerisch 3.5 Erdreichmodellierung mit g-Funktionen 4 Weiterentwicklung der analytischen Modelle 5 Anwendungsbeispiele 185 5.1 Ein praktisches Beispiel 5.2 Auswirkung auf die Jahresarbeitszahl 6 Zusammenfassung Literatur A Ableitung der Bohrlochwiderstände B Ableitung der Funktionen für Randbedingungen C Eidesstattliche Erklärung

Eine wichtige Invariante von Modulkurven ist die arithmetische Selbstschnittzahl der relativ dualisierenden Garbe. Auf dem minimalen regulären Modell von X(N) ist diese Selbstschnittzahl durch den gewöhnlichen Schnitt einiger ausgezeichneter vertikaler Divisoren (dem geometrischen Beitrag) und durch die Auswertung der kanonischen Greenschen Funktion an einigen Spitzen (dem analytischen Beitrag) vollständig festgelegt. Das Ziel dieser Arbeit ist es, jeden dieser Beiträge in Abhängigkeit von der Stufe N zu bestimmen und das asymptotische Verhalten der Selbstschnittzahl zu studieren, wenn die Stufe N gegen unendlich geht. / An important invariant of modular curves is the arithmetic self-intersection of the relative dualizing sheaf. On the minimal regular model of X(N) this self-intersection is completely described by the usual intersection of some distinguished vertical divisors (geometric contribution) and the evaluation of the canonical Green’s function at certain cusps (analytic contribution). The aim of this thesis is to determine each of these contributions in terms of the level N and study the asymptotic behaviour of the self-intersection as N tends to infinity.

Wellenleiter Quantenelektrodynamik (Wellenleiter QED) ist ein wichtiger Baustein in vielen zukünftigen, auf Quantenmechanik basierenden Technologien wie z.B. Quantencomputer. Ein typisches Modellsystem besteht aus einem Zwei-Niveau-System (two level system, TLS), das an einen eindimensionalen Wellenleiter gekoppelt wurde. Der Wellenleiter ist dabei durch eine Dispersionsrelation charakterisiert und kann unter anderem Bandkanten enthalten. Wir haben in der Dissertation einen neuartigen Zugang zur Wellenleiter QED präsentiert. Dieser Zugang basiert auf der Quantenfeldtheorie und ermöglicht die Berechnung Greenscher Funktionen im ein- und zwei-Anregungs Unterraum. Diese Greenschen Funktionen wurden benutzt um die Streumatrix und die spektrale Dichte in beiden Unterräumen zu berechnen. Desweiteren konnten wir mit Hilfe von Feynman-Diagrammen die physikalischen Prozesse in der Störungsreihe der Greenschen Funktionen identifizieren. Dies war besonders im zwei-Anregungs-Unterraum von Nutzen. In diesem Fall verhält sich das System nichtlinear, da das TLS nur eine Anregung absorbieren kann. Dadurch werden Effekte induziert wie photon bunching und die effiziente Anregung eines gebundenen Atom-Photon Zustandes. Es war uns möglich diese Effekte in der Störungsreihe der Greenschen Funktion wieder zu finden. Desweiteren haben wir die Greenschen Funktionen im Orts-Zeit-Raum benutzt um ein- und zwei-Photon-Wellenpakete zu propagieren. Es hat sich herausgestellt dass das Verhältnis von Pulsbreite zur spontanten Emissions-zeit sowohl das Streuverhalten als auch die maximale Anregung des TLS bestimmt. Letztendlich haben wir den Einfluss von Unordnung im Wellenleiter auf das Zerfallsverhalten des TLS untersucht. Wir haben entdeckt dass der gebundene Atom-Photon Zustand instabil wird sobald die Unordnung einen kritischen Wert erreicht. Darüberhinaus haben wir eine spezielle Klasse Feynman Diagramme identifiziert, die dem Zerfall eine nichtmarkovsche Dynamik verleihen. / Waveguide quantum electrodynamics (waveguide QED) can be considered as a building block for many prospective technologies like quantum computing. A prototypical system consists of a two-level system (TLS) coupled to a one-dimensional waveguide. The waveguide is characterized by its dispersion relation and can also feature a band edge/slow-light regime. In this thesis we have presented a new theoretical framework for waveguide QED, based on quantum field theory. The framework provides the Green''s functions of the system in the single- and two-excitation sectors for an arbitrary dispersion relation. We have calculated the scattering matrix and the spectral density in both sectors. Furthermore, we have also represented the Green''s functions in the form of Feynman diagrams, from which we can identify the underlying physical processes. A special property of the system is that it behaves nonlinear in the case of two or more photons. This is rooted in the structure of the TLS, which can at most absorb one excitation. The nonlinearity leads to two effects: photon bunching and the efficient excitation of an atom-photon bound state. We have found both effects within our framework and we were able to assign them individual terms in the perturbation series of the Green''s function. Furthermore, we have used the Green''s function in space-time domain to propagate Gaussian one- and two-photon wavepackets. Here, we have identified the ratio of the pulsewidth and the spontaneous emission time as the parameter which governs both the scattering behavior of the photons and the maximal TLS excitation. Eventually, we have investigated the effects of disorder in the waveguide on the decay properties of the TLS. We have found here that the atom-photon bound state is stable for small disorder, but breaks down at sufficiently strong disorder. Furthermore, we have identified a special class of diagrams which render the system non-Markovian even for energies far away from the band edge.

Let us consider the singularly perturbed model problem Lu := -epsilon laplace u-bu_x+cu = f with homogeneous Dirichlet boundary conditions on the unit-square (0,1)^2. Assuming that b > 0 is of order one, the small perturbation parameter 0 < epsilon << 1 causes boundary layers in the solution. In order to solve above problem numerically, it is beneficial to resolve these layers. On properly layer-adapted meshes we can apply finite element methods and observe convergence. We will consider standard Galerkin and stabilised FEM applied to above problem. Therein the polynomial order p will be usually greater then two, i.e. we will consider higher-order methods. Most of the analysis presented here is done in the standard energy norm. Nevertheless, the question arises: Is this the right norm for this kind of problem, especially if characteristic layers occur? We will address this question by looking into a balanced norm. Finally, a-posteriori error analysis is an important tool to construct adapted meshes iteratively by solving discrete problems, estimating the error and adjusting the mesh accordingly. We will present estimates on the Green’s function associated with L, that can be used to derive pointwise error estimators.

Let us consider the singularly perturbed model problem Lu := -epsilon laplace u-bu_x+cu = f with homogeneous Dirichlet boundary conditions on the unit-square (0,1)^2. Assuming that b > 0 is of order one, the small perturbation parameter 0 < epsilon << 1 causes boundary layers in the solution. In order to solve above problem numerically, it is beneficial to resolve these layers. On properly layer-adapted meshes we can apply finite element methods and observe convergence. We will consider standard Galerkin and stabilised FEM applied to above problem. Therein the polynomial order p will be usually greater then two, i.e. we will consider higher-order methods. Most of the analysis presented here is done in the standard energy norm. Nevertheless, the question arises: Is this the right norm for this kind of problem, especially if characteristic layers occur? We will address this question by looking into a balanced norm. Finally, a-posteriori error analysis is an important tool to construct adapted meshes iteratively by solving discrete problems, estimating the error and adjusting the mesh accordingly. We will present estimates on the Green’s function associated with L, that can be used to derive pointwise error estimators.

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der „First-Principles“ atomskaligen Modellierung der HfO2-basierten high-k-Gate-Isolatorschichten der Metalloxid-Halbleiter-Feldeffekttransistoren. Die theoretischen Untersuchungen basieren auf Dichtefunktionaltheorie und Nichtgleichgewicht-Greensche-Funktion-Formalismen. Eine der wichtigsten Eigenschaften eines Gate-Isolators ist der Wert seiner Bandlücke. Die Bandlücke eines gemischten Festkörpers aus SiO2 und ZrO2 oder HfO2 wird auf der Grundlage der „Generalized Quasi-Chemical“ Approximation in Kombination mit dem „Cluster Expansion“ Ansatz berechnet. Zu diesem Zweck wurde Dichtefunktionaltheorie für die Berechnung der Eigenschaften verschiedener Konfigurationen möglicher Elementarzellen durchgeführt. Es wurde ein fast linearer Verlauf für die Bandlücke eines aus SiO2 und HfO2 gemischten Festkörpers berechnet. Im Vergleich zu dem üblichen SiO2 Gate-Isolator, haben die high-k-Gate-Isolatoren eine höhere Defektdichte, die hauptsächlich aus Sauerstoffleerstellen bestehen. Dies führt zu mehreren Problemen, wie zum Beispiel höherer Leckstrom, Schwellenspannungsverschiebung und Degradation des Gateoxids. Daher wurde eine umfassende Untersuchung der verschiedenen Eigenschaften von Sauerstofffehlstellen in HfO2 durchgeführt, indem wichtige Parameter wie zum Beispiel die Formationsenergien und die Lage der Defektniveaus in der Bandlücke berechnet wurden. Es wurde durch die theoretischen Berechnungen gezeigt, dass die schädlichen Auswirkungen von Sauerstofffehlstellen durch die Einführung von Lanthan-Atomen in dem HfO2 Kristallgitter teilweise zu verringern sind. Energetisch gesehen bevorzugen die Lanthan-Atome die Hf-Gitterplätze in der Nachbarschaft einer Sauerstofffehlstelle und führen dadurch zu der Passivierung durch Sauerstoffleerstelle induzierten Defektniveaus. Die high-k-Isolatorschicht in den heutigen Transistoren besteht aus drei Schichten: einem Metallgate, einer HfO2-Schicht als Haupt-Gate-Isolator und einer sehr dünnen SiO2 Übergangsschicht zwischen Gateoxid und Si. Die Einführung eines Metallgates führt zu einigen Problemen bei der Einstellung einer geeigneten Schwellenspannung in den Transistoren. Theoretische Berechnungen in einer komplexen Modellstruktur von der Si/SiO2/HfO2-Grenzfläche zeigen, dass die dotierten Lanthan-Atome energetisch die SiO2/HfO2-Grenzfläche bevorzugen, was wiederum ein Dipolmoment an der Grenzfläche erzeugt. Dieses Dipolmoment kann verwendet werden, um die richtige Schwellenspannung wieder einzustellen. Schließlich wird in den experimentellen Messungen festgestelltes progressives Degradationsverhalten von high-k-Gate-Isolatoren mit einem theoretischen Modell erklärt. Dieses Modell basiert auf ab-initio-Berechnungen und zeigt, wie die Erzeugung geladener Sauerstoffleerstellen und deren Migration unter der angelegten Gatespannung zu einer progressiven Erhöhung des Leckstroms und folglich zu einer Degradation der Isolatorschicht führt.:List of Figures 7 List of Tables 9 List of Symbols 10 List of Abbreviations 11 Chapter 1: Introduction 12 Chapter 2: Theory of Atomic-Scale First-Principles Calculations 15 2.1 Theoretical methods 15 2.2 Density functional theory 17 2.3 Non-equilibrium Green’s function formalism 23 Chapter 3: Calculations for Bulk High-k Materials 27 3.1 Bulk high-k materials 27 3.2 Crystalline insulators 27 3.3 Solid solutions 29 3.3.1 Cluster expansion approach 30 3.3.2 Band gap and bowing parameter 33 3.3.3 Calculation of internal stress 40 3.4 Leakage current 41 Chapter 4: Defects in Bulk High-k Materials 43 4.1 Defects in high-k gate dielectrics 43 4.2 Oxygen vacancies in monoclinic HfO2 44 4.2.1 Neutral oxygen vacancies 44 4.2.2 Charged oxygen vacancies 46 4.3 Hybrid functional 50 4.4 Double oxygen vacancies 56 4.5 Interaction of oxygen vacancies with La-doping 61 4.5.1 La doping in m-HfO2 61 4.5.2 Complex LaHfVO defects 64 Chapter 5: Interface Properties of High-k Gate Stack 72 5.1 high-k gate-stack 72 5.1.1 Atomic-scale model structure for a high-k gate-stack 72 5.1.2 Electronic structure 74 5.1.3 Leakage current 76 5.2 Band offset 80 5.3 Threshold voltage engineering with La doping 84 Chapter 6: Degradation of the High-k Gate Stack 90 6.1 Reliability issues in high-k gate-stack 90 6.2 Calculations and experimental methods 91 6.3 Leakage current 92 6.4 Defect generation 100 6.5 Explaining progressive SILC in high-k dielectrics 102 Chapter 7: Conclusions 104 Bibliography 106 Selbständigkeitserklärung 119 Danksagung 120 Lebenslauf 121 Veröffentlichungen 122 / This thesis deals with the first-principles atomic-scale modeling of the HfO2-based high-k gate-insulator layer of the metal-oxide-semiconductor field-effect transistors. The theoretical investigations are based on density functional theory and non-equilibrium Green's function formalisms. One of the important properties of the gate insulator is the value of its band gap. The band gap of amorphous solid mixtures of SiO2 and ZrO2 or HfO2 is calculated based on generalized quasi-chemical approximation combined with a cluster expansion approach, by performing density functional calculations on different configurations of possible unit cells. An almost linear variation of the band gap is obtained for solid mixtures of SiO2 and HfO2. One drawback of the high-k gate-insulator, comparing to the standard SiO2, is high density of defects, particularly oxygen vacancies, which leads to several problems such as enhancement of the leakage current, threshold voltage instability, and degradation of the gate-oxide. A comprehensive investigation of different properties of oxygen vacancies in HfO2 is conducted by the calculation of formation energies and induced trap levels. It is shown based on theoretical calculations that the harmful effects of oxygen vacancies can be partially healed by introducing lanthanum atoms into the defected HfO2 crystal. Lanthanum atoms energetically prefer to occupy Hf lattice sites close to the oxygen vacancies and passivate the induced defect levels. The state-of-the-art high-k gate-stacks consist of a metal-gate on a HfO2 layer, as the main part of the gate insulator, and a very thin SiO2 intermediate layer between high-k material and Si. The introduction of a metal-gate raises some problem in the adjustment of an appropriate threshold voltage. Theoretical calculations in a complex model structure of the Si/SiO2/HfO2 interface reveals that the lanthanum atoms energetically prefer to stay at the SiO2/HfO2 interface, which in turn results in a dipole moment. This dipole moment can be employed to adjust the threshold voltage in high-k/metal-gate stacks. Finally, a theoretical model, which can quiet well explain the experimental measurements, is introduced for the progressive degradation of the high-k gate-insulators. This model is based on ab-initio calculations and shows how the generation of charged vacancies and their migration under the applied gate voltage leads to the progressive enhancement of the leakage current and consequently to the degradation of the insulator layer.:List of Figures 7 List of Tables 9 List of Symbols 10 List of Abbreviations 11 Chapter 1: Introduction 12 Chapter 2: Theory of Atomic-Scale First-Principles Calculations 15 2.1 Theoretical methods 15 2.2 Density functional theory 17 2.3 Non-equilibrium Green’s function formalism 23 Chapter 3: Calculations for Bulk High-k Materials 27 3.1 Bulk high-k materials 27 3.2 Crystalline insulators 27 3.3 Solid solutions 29 3.3.1 Cluster expansion approach 30 3.3.2 Band gap and bowing parameter 33 3.3.3 Calculation of internal stress 40 3.4 Leakage current 41 Chapter 4: Defects in Bulk High-k Materials 43 4.1 Defects in high-k gate dielectrics 43 4.2 Oxygen vacancies in monoclinic HfO2 44 4.2.1 Neutral oxygen vacancies 44 4.2.2 Charged oxygen vacancies 46 4.3 Hybrid functional 50 4.4 Double oxygen vacancies 56 4.5 Interaction of oxygen vacancies with La-doping 61 4.5.1 La doping in m-HfO2 61 4.5.2 Complex LaHfVO defects 64 Chapter 5: Interface Properties of High-k Gate Stack 72 5.1 high-k gate-stack 72 5.1.1 Atomic-scale model structure for a high-k gate-stack 72 5.1.2 Electronic structure 74 5.1.3 Leakage current 76 5.2 Band offset 80 5.3 Threshold voltage engineering with La doping 84 Chapter 6: Degradation of the High-k Gate Stack 90 6.1 Reliability issues in high-k gate-stack 90 6.2 Calculations and experimental methods 91 6.3 Leakage current 92 6.4 Defect generation 100 6.5 Explaining progressive SILC in high-k dielectrics 102 Chapter 7: Conclusions 104 Bibliography 106 Selbständigkeitserklärung 119 Danksagung 120 Lebenslauf 121 Veröffentlichungen 122