Este trabalho enfoca os procedimentos de modelagem por elementos finitos determinísticos e estocásticos de sistemas estruturais do tipo placas finas sujeitas a não linearidades distribuídas e discretas na presença de incertezas. Neste caso, o método de Newmark não linear combinado com o método de Newton-Raphson foi utilizado para resolução direta das equações do movimento e obtenção dos envelopes das respostas no tempo dos sistemas não lineares. Com o objetivo de reduzir o esforço computacional requerido para resolver os problemas não lineares, especialmente para os casos envolvendo a presença de incertezas, foi proposto o método modal enriquecido e o método das aproximações combinadas melhorado. No que diz respeito à consideração da inserção de incertezas no modelo determinístico optou-se pela construção de um modelo estocásticos do sistema com não linearidades distribuídas, utilizando-se para isto da técnica de discretização de campos aleatórios de Karhunen-Loève para sistemas bi-dimensionais. Já, para a obtenção das respostas dinâmicas aleatórias, foi utilizado o método de simulação Hyper-Cubo-Latino. Através dos vários exemplos de simulações com estruturas do tipo placas finas não amortecidas e amortecidas sujeitas a diferentes níveis de força e condições de contorno, pode-se ilustrar os desenvolvimentos abordados ao longo deste trabalho. Em particular, pode-se concluir sobre a eficiência e necessidade da utilização de métodos de redução para a avaliação dinâmica de sistemas não lineares, principalmente para sistemas não lineares mais complexos ou na presença de incertezas. Por fim, deve-se salientar a importância de se considerar as incertezas na análise e no projeto de sistemas não lineares para lidar com situações mais realísticas de interesse prático / This work is devoted to the deterministic and stochastic finite element modeling of thin flat plates under large displacements and subjected to geometric and discrete non-linearities. In order to solve the resulting non-linear equations of motion in the time-domain, the non-linear Newmark strategy combined with the Newton-Raphson method has been used herein. With the aim of reducing the computational cost required to solve the non-linear problems, especially for the cases in which the uncertainties are considered, the modal method based on the construction of an enriched reduction basis and an improved version of the combined approximations technique have been retained in the present study. With regard to the insertion of uncertainties in the deterministic model opted by the construction of a stochastic model of the system with no distributed linearity, using for this the Karhunen-Loève expansion technique in bi-dimensional form. In order to generate the envelopes of the dynamic responses of the non-linear systems in time-domain, it has been used the so-called Hyper-Cube-Latino. Based on the numerical simulations with plate structures subjected to various levels of excitation and boundary conditions it is possible to illustrate the methodology presented in this work. In particular, it can be concluded about the efficiency and necessity of performing efficient and accurate model reduction methods to deal with non-linear systems. Finally, it is also important to discuss about the interest in considering uncertainties in the analysis and design of non-linear systems in order to deal with more realistic non-linear situations / Tese (Doutorado)

Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Minas Gerais / This work focuses on the finite element modeling procedure and the robust-optimal design of composite structures containing piezoelectric elements to be coupled with the so-named shunt circuits with the aim of passive vibration attenuation. The work is organized into two main parts as follows: the first is devoted to the use of the first order shear deformation theory (FSDT) in conjunction with the single equivalent layer theory for the modeling of the mechanical problem composed by a thin rectangular composite plate structure. At this step, the mixed theory, in which the single layer equivalent theory is combined with the discrete theory to model electromechanical system (composite structure with piezoelectric elements), is also employed. Emphasis is also placed on the parameterization strategy of the design variables such as the layer s thicknesses, the directions of the fibers and the parameters of the shunt circuits. It must be emphasized that the finite element models were developed and implemented in MATLAB® environment; the second part of the work is dedicated to the quantification of the parametric uncertainties related to the resistance and inductance of the resonant shunt circuit and the thickness of the piezoelectric element. In order to create the probabilistic models the Maximum Entropy Method (MME) is retained and the resulting stochastic model is solved by using the so-called Monte Carlo method. The interest is to generate the limits of dispersion and the number of random simulations required to be used in the robust multi-objective optimization process of the shunt circuits by taking into account during the simulations the vulnerability functions to be optimized at the same time as the original objective functions. / Este trabalho enfoca os procedimentos de modelagem por elementos finitos e o projeto ótimo-robusto de estruturas compostas contendo elementos piezelétricos acoplados a circuitos elétricos shunt para fins de controle passivo de vibrações. O estudo será dividido em duas partes, a saber: a primeira é dedicada ao emprego da teoria cisalhante de primeira ordem (First-order Shear Deformation Theory FSDT) em conjunto com a teoria da camada equivalente única para a modelagem do problema mecânico formado por uma placa composta plana. Nesta fase, também será utilizada a teoria mista que combina as teorias da camada equivalente única com a discreta para a modelagem do sistema acoplado eletromecânico (estrutura composta com pastilhas piezelétricas). Ênfase é dada à parametrização das variáveis mais influentes que são as espessuras das camadas, as direções das fibras e os parâmetros do circuito shunt. Todos os modelos foram desenvolvidos e implementados em ambiente MATLAB® de programação. Na segunda parte, será apresentado um estudo sobre a quantificação das incertezas nos parâmetros de resistência e indutância do circuito shunt ressonante e na espessura do elemento piezelétrico. Para a geração dos modelos probabilísticos, será empregado o Método da Máxima Entropia (MME) e para a resolução do problema estocástico será utilizado o método de Monte Carlo. Serão estabelecidos os limites de dispersão e o número de tiragens aleatórias a serem utilizados na otimização multiobjetivo robusta dos circuitos shunt via emprego de funções de vulnerabilidade a serem otimizadas ao mesmo tempo em que as funções objetivo originais. / Mestre em Engenharia Mecânica

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico

O fenômeno de fadiga é uma das principais considerações quando se verifica a integridade de estruturas sujeitas a carregamentos cíclicos. Para analisar o problema, devem-se considerar os efeitos da significativa dispersão observada nos dados estatísticos das variáveis relacionadas à fadiga. Para contemplar tais incertezas, métodos de confiabilidade são particularmente recomendados. Nesse sentido, quando utilizada uma técnica baseada em simulações, procuram-se métodos de análise estrutural que minimizem o tempo de processamento para viabilizar a análise de confiabilidade. Este trabalho apresenta uma formulação geral para a análise de fadiga de pórticos planos baseada na Mecânica do Dano Concentrado (LDM) considerando as incertezas associadas. A abordagem proposta é verificada através da comparação dos resultados obtidos com as curvas S-N disponíveis em diversas normas. Exemplos de estruturas mais complexas são apresentados posteriormente. / Fatigue analysis is one of the main tasks when assessing the integrity of structures under cyclic loading. In order to properly approach the fatigue process, the effects of the great scatter observed in statistical data of fatigue variables must be considered. Facing such uncertainties, reliability methods are particularly recommended. If a sampling-based technique is to be used, one of the critical points is the huge number of analyses required for computing failure probabilities. Consequently, those methods of structural analysis that minimize the processing time are highly convenient to make the analysis feasible without significant loss of accuracy. This work presents a general formulation for probabilistic structural fatigue analysis of frames, based on Lumped Damage Mechanics (LDM). The proposed approach is first validated comparing the number of cycles to failure with the S-N curves found in building codes. Further examples of more complex structures, represented as plane frames, are also presented.

Submitted by Geandra Rodrigues (geandrar@gmail.com) on 2018-01-08T10:33:23Z No. of bitstreams: 1 tiagofayerdejesus.pdf: 1430604 bytes, checksum: 44c933cea80c72bd24709a956ba5c9cd (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2018-01-22T18:34:11Z (GMT) No. of bitstreams: 1 tiagofayerdejesus.pdf: 1430604 bytes, checksum: 44c933cea80c72bd24709a956ba5c9cd (MD5) / Made available in DSpace on 2018-01-22T18:34:11Z (GMT). No. of bitstreams: 1 tiagofayerdejesus.pdf: 1430604 bytes, checksum: 44c933cea80c72bd24709a956ba5c9cd (MD5) Previous issue date: 2017-08-31 / Neste trabalho é proposta uma metodologia para resolução de problemas de planejamento de redes de distribuição de energia elétrica considerando incertezas na demanda. A metodologia é baseada na técnica meta-heurística Sistema Imunológico Artificial. No processo de solução, a matemática intervalar é usada no fluxo de potência, e nele estão modeladas as incertezas da carga. As variáveis intervalares de entrada são as cargas ativas e reativas nas barras do sistema. O resultado esperado é apresentado de maneira intervalar e consiste na minimização dos custos de instalação de cabos, de construção/reforço de subestações mais os custos associados às perdas de energia e operação considerando um horizonte de planejamento. Para isso, restrições como radialidade, conectividade, balanço de potência e capacidades físicas de equipamentos foram utilizadas. Para determinar a melhor topologia de rede, outra metodologia foi adotada para se fazer a comparação dos intervalos. O objetivo principal deste trabalho é avaliar o impacto de se considerar as incertezas da demanda no planejamento de redes de distribuição comparadas com modelos determinísticos tradicionais. O algoritmo proposto é testado em sistemas conhecidos na literatura. / This work proposes a methodology to solve distribution networks planning problems considering demand uncertainties. The methodology is based on the Artificial Immune System metaheuristics. In the solution process, the interval mathematics is implemented within the power flow and inside it, load uncertainties are modeled. The input interval variables are the active and reactive loads in the system buses. The expected result is presented in an interval and consists of minimizing the cable costs installation, construction or reinforcement of substations plus the costs associated with energy losses and operation considering a planning horizon. For this, restrictions such as radiality, connectivity, power balance and physical equipment capacities were used. To determine the best network topology, another methodology was adopted to compare the intervals. The main objective of this work is to evaluate the impact of considering the uncertainties of demand in the planning of distribution networks compared with traditional deterministic models. The proposed algorithm is tested in systems well-known in the literature.

O desenvolvimento industrial e urbano tem causado aumento mundial das emissões de poluentes atmosféricos. Nas áreas metropolitanas o problema da deterioração da qualidade do ar tem se constituído numa das mais graves ameaças à qualidade de vida dos seus habitantes e os veículos automotores contribuem diretamente com o aumento do material particulado (MP). Neste trabalho foram descritas as etapas metodológicas para validar a Tibouchina granulosa como biomonitor ambiental. Assim, foram abordados a caracterização das folhas, categorização do MP, protocolo de remoção de MP e determinação dos EGPs (Pd, Pt e Rh) na deposição seca das folhas. Para tanto foram realizadas quatro coletas anuais (2011-2014) de folhas, entre os meses de agosto e setembro, em pontos específicos. Os resultados da caracterização mostraram que as folhas permanecem residentes nos ramos por até 6 meses e ocorre o desenvolvimento duas novas folhas por nó a cada mês, indicando que o biomonitoramento pode ser realizado com distribuição temporal e espacial. Os caracteres anatômicos foliares mais relevantes são os tricomas, sendo caracterizados quatro tipos (glandular, adpresso-escabro, base ramificada e estrigoso) que adsorvem o MP. No protocolo de remoção da deposição seca, o número de MP variou de acordo com os diferentes reagentes analíticos utilizados, sendo os mais significativos o ALCONOX&reg e a água régia, que apresentaram valores de remoção na faixa de 99-98% e de 94-99%. As estimativas das incertezas analíticas dos EGPs apresentam valores de uCPt=5% (Pt), uCPd=12% (Pd) e uCRh=5% (Rh) e as incertezas de amostragem, os valores de 57% para o Pd, 24% para a Pt e 27% para o Rh. Portanto, a incerteza expandida foi da Pt U=48%, Pd U=86% e Rh U=9%, a incerteza do Rh apresentou valor mais baixo por ser o elemento minoritário. A elevada sensibilidade do método para determinação dos EGPs apresentou limite de detecção de 0,1 pg g-1 para o Pd, 1,3 pg g-1 para Pt e 0,3 pg g-1 para o Rh e acompanhada boa reprodutibilidade. As concentrações dos EGPs encontradas na deposição seca nos vários pontos de coletas indicaram a clara diferença de acúmulo destes elementos entre o ponto de referência e os locais impactados, sugerindo que a liberação dos EGPS pelos catalisadores veiculares pode ser considerada alta. A evidência da presença dos EGPs na deposição seca foi confirmada por meio da análise da distribuição, que mostrou claramente a similaridade com o material de referência certificado Used Auto Catalystc-2557. As distribuições espaciais dos EGPs foram semelhantes para a Coleta 2, indicando os hot points da RMSP. As concentrações do EGPs foram ordenadas em Pt>Pd>Rh e foram mais baixas no ponto de coleta para controle das amostragens em comparação com os outros locais amostrados. Pode ser concluído que as folhas de T. granulosa foram validadas como biomonitor passivo dos EGPs constituintes de catalisadores veiculares. / Industrial and urban development has caused worldwide increase in emissions air pollutants. In metropolitan areas, the problem of deterioration air quality has been one the most serious threats to quality life its inhabitants, motor vehicles contribute directly increase pollutants. This work describes the methodological steps to validate Tibouchina granulosa as environmental biomonitor, which involved the characterization the leaves, PM categorization, PM removal protocol and determination PGEs in dry deposition, for which four annual collections (2011-2014) were performed between August and September of each year. The of results leaf characters showed that leaves in the branches remain for up to 6 months and the development two new leaf occurs every month. The most relevant foliar characters anatomical are trichomes, being characterized five types. The highest particle concentrations adsorbed to stray trichomes and star-based trichomes. In dry deposition removal protocol, MP number varied according to different analytical reagents used, the most significant being ALCONOX&reg and aqua regia, which presented range removal values of 99-98% and 94-99%, respectively. The estimates analytical uncertainties PGEs show de uCPt=5% (Pt), uCPd=12% (Pd) e uCRh=5% (Rh) and sampling uncertainties values were 57% (Pd), 24% (Pt) and 27% (Rh). Therefore, the expanded uncertainty was Pt u=48%, Pd u=86% e Rh u=9%, in case Rh the uncertainties should be reevaluated by presenting minority values. The high sensitivity of the method for determination of PGEs showed a detection limit of 0.1 pg g-1 for Pd, 1.3 pg g-1 for Pt and 0.3 pg g-1 for Rh and good reproducibility of the results. The concentrations PGEs found in dry deposition in various collection points indicated the clear difference accumulation these elements between reference point and impacted sites, suggesting that release PGEs by the vehicle catalysts can be considered high. Confirming this evidence, through the ternary graphs, which clearly showed similar distributions in the environmental samples and equality with MRC (Used Auto Catalysts). The spatial distributions of Pt, Pd and Rh are similar for Collection 2. Concentrations of the PGEs were ordered in Pt>Pd>Rh and were lower at the collection points for control samplings compared to other sites sampled. In view of the above, it can be concluded that the leaves of T. granulosa can be used as environmental biomonitor of vehicular emissions of PGEs constituent of vehicular catalysts.

Made available in DSpace on 2016-08-17T14:52:56Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Juan Moises Mauricio Villanueva.pdf: 944458 bytes, checksum: 0b17f88c59a4149e61f4f3fa0969445e (MD5) Previous issue date: 2005-03-03 / In several applications in electronics, the generation of nonlinear function values using low-cost embedded systems is a problem. The nonlinear functions cannot be directly implemented due to restrictions of fixed-point calculations and limited resolution that are characteristics of the architecture of the processor employed. In this work, a procedure for determining piecewise linear approximation of nonlinear functions for a low-cost embedded system is presented. In order to solve this problem, a hierarchical evolutionary algorithm has been developed for determining the position and the minimal number of breakpoints and the minimal size of the look-up table for storing these breakpoints, for generating the approximated function values. The nonlinear function can be approximated using piecewise linear functions from the obtained breakpoints. The developed algorithm is tested using the case of approximating the first quadrant of a sine function, and the obtained results are presented for different resolutions for the input and output values generation. / Em diversas aplicações em eletrônica existe o problema de gerar valores de funções não lineares utilizando-se sistemas embarcados de baixo custo. Essas funções não lineares não podem ser implementadas diretamente devido às restrições de cálculo em ponto fixo e resolução limitada, características de arquitetura do processador empregado. Nesta dissertação, apresenta-se um procedimento para a determinação de aproximação linear por partes de funções não lineares para sistemas embarcados de baixo custo. Para resolver este problema, desenvolveu-se um algoritmo hierárquico evolutivo que determinará a posição e número mínimo de pontos de quebra e tamanho mínimo da tabela de equivalência para armazenar esses pontos de quebra, para gerar os valores da função aproximada. A função não linear pode então ser aproximada por funções lineares a partir dos valores dos pontos de quebra encontrados. O algoritmo desenvolvido é testado para o caso de aproximação da função seno no primeiro quadrante, e os resultados obtidos são apresentados para diversas resoluções de entrada e de geração dos valores de saída.

Neste trabalho foi proposta uma estratégia de modelagem hidrológica para a transformação chuva vazão da Bacia do Ribeirão da Onça (B.R.O) utilizando-se técnicas de auto calibração com análise de incertezas e de ponderação de modelos. Foi utilizado o modelo hidrológico Soil and Water Assessment Tool (SWAT), por ser um modelo que possui uma descrição física e de maneira distribuída dos processos hidrológicos da bacia. Foram propostas cinco diferentes séries de precipitação e esquemas de interpolação espacial a serem utilizados como dados de entrada para o modelo SWAT. Em seguida, utilizou-se o método semiautomático Sequential Uncertainty Fitting ver.-2 (SUFI-2) para a auto calibração e análise de incertezas dos parâmetros do modelo e produção de respostas com intervalos de incerteza para cada uma das séries de precipitação utilizadas. Por fim, foi utilizado o método de ponderação bayesiana de modelos (BMA) para o pós-processamento estocástico das respostas. Os resultados da análise de incerteza dos parâmetros do modelo SWAT indicam uma não adequação do método Soil Conservation Service (SCS) para simulação da geração do escoamento superficial, juntamente com uma necessidade de maior investigação das propriedades físicas do solo da bacia. A análise da precisão e acurácia dos resultados das séries de precipitação em comparação com a resposta combinada pelo método BMA sugerem a última como a mais adequada para a simulação chuva-vazão na B.R.O. / This study proposed an approach to the hydrological modeling of the Ribeirão da Onças Basin (B.R.O) based on automatic calibration and uncertainty analysis methods, together with model averaging. The Soil and Water Assessment Tool (SWAT) was used due to its distributed nature and physical description of hydrologic processes. An ensemble, composed by five different precipitation schemes, based on different sources and spatial interpolation methods was used. The Sequential Uncertainty Fitting ver-2 (SUFI-2) procedure was used for automatic calibration and uncertainty analysis of the SWAT model parameters, together with generation of streamflow simulations with uncertainty intervals. Following, the Bayesian Model Averaging (BMA) was used to merge the different responses into a single probabilistic forecast. The results of the uncertainty analysis for the SWAT parameters show that the Soil Conservation Service (SCS) model for surface runoff prediction may not be suitable for the B.R.O, and that more investigations about the soil physical properties at the Basin are recommended. An analysis of the accuracy and precision of the simulations produced by the precipitation ensemble members against the BMA simulation supports the use of the latter as a suitable framework for streamflow simulations at the B.R.O.

Submitted by isabela.moljf@hotmail.com (isabela.moljf@hotmail.com) on 2016-08-12T12:40:39Z No. of bitstreams: 1 biancamariacostaaraujo.pdf: 4585632 bytes, checksum: 78f37e18164b9b5f82a0867bf14ee884 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2016-08-15T13:32:18Z (GMT) No. of bitstreams: 1 biancamariacostaaraujo.pdf: 4585632 bytes, checksum: 78f37e18164b9b5f82a0867bf14ee884 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-08-15T13:32:18Z (GMT). No. of bitstreams: 1 biancamariacostaaraujo.pdf: 4585632 bytes, checksum: 78f37e18164b9b5f82a0867bf14ee884 (MD5) Previous issue date: 2016-02-03 / Estudos de fluxo de potência são tipicamente utilizados para determinar as condições de operação em estado permanente de um sistema de energia elétrica, avaliadas para um determinado conjunto de valores de geração e carga. Quando os dados de entrada são incertos, vários cenários precisam ser analisados para cobrir a faixa de incerteza. Sob tais condições, torna-se necessária a utilização de algoritmos que incorporem o efeito da incerteza dos dados de geração e carga na análise do fluxo de potência. Como uma alternativa para este problema, um novo metódo de solução é proposto com base na utilização da aritmética afim, que é um modelo melhorado para análise numérica de auto-validação. Nesta aritmética, as quantidades de interesse são representadas como combinações afim de certas variáveis primitivas, que representam as fontes de incerteza nos dados ou aproximações feitas durante o cálculo. Esta técnica é incorporada ao fluxo de potência expresso em termos das equações de injeção de corrente, com as tensões escritas na forma retangular. Posteriomente, os resultados obtidos aplicando-se a aritmética intervalar e a Simulação de Monte Carlo na resolução do problema de incertezas no fluxo de potência em redes de energia elétrica são comparados. / Power flow analysis typically uses a given set of generation and loading profiles to determine steady state operating conditions of electric power systems. When the input data are imprecise, several scenarios need to be analysed to cover the range of uncertainties. Under these conditions, it is necessary to utilise algorithms to incorporate the effect of the uncertainties within the power flow analysis. As an alternative solution to this issue, a new method has been proposed, based on the use of affine arithmetic. This alternative technique has been developed to improve the self-validated numerical analysis. Within affine arithmetic, the quantities of interest are represented by affine combinations of certain primitive variables. The affine combinations can signify both the source of the uncertainties in the data and the approximations during calculations. This technique is incorporated at the power flow which is expressed in terms of current injection equations, with the voltages represented in the rectangular form. The proposed results are later compared with the Monte Carlo Simulation and interval arithmetic, both of which solve the same issue: uncertainties in the power flow analysis of electric power grids.

Submitted by Geandra Rodrigues (geandrar@gmail.com) on 2018-09-25T13:33:58Z No. of bitstreams: 1 laurademesquitaquintanilha.pdf: 5886814 bytes, checksum: 7bcc03d59c68d5b4124de87183557234 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2018-10-01T18:13:33Z (GMT) No. of bitstreams: 1 laurademesquitaquintanilha.pdf: 5886814 bytes, checksum: 7bcc03d59c68d5b4124de87183557234 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-10-01T18:13:34Z (GMT). No. of bitstreams: 1 laurademesquitaquintanilha.pdf: 5886814 bytes, checksum: 7bcc03d59c68d5b4124de87183557234 (MD5) Previous issue date: 2018-07-20 / A análise de fluxo de potência visa calcular as tensões nas barras e as correntes nos ramos, para um dado cenário pré-estabelecido de geração e carga. É uma ferramenta essencial na operação e no controle dos sistemas elétricos de potência. Na análise tradicional, os parâmetros são tratados como quantidades determinísticas. Contudo, na prática, esses parâmetros podem apresentar incertezas associadas à medição ou à variação inerente ao longo do tempo. Em adição, o crescimento da participação de fontes intermitentes, como eólica e solar, em redes elétricas, aumenta o grau de incerteza e, portanto, estudos específicos de fluxo de potência devem ser desenvolvidos no sentido de tratar esta possível variabilidade de dados. Neste contexto, este trabalho investiga um método, publicado na literatura, que modela o fluxo de potência sujeito a incertezas associadas às cargas ativa e reativa das barras. A idéia básica deste método é proceder a expansão completa, em termos da série de Taylor, das equações de potência expressas em coordenadas retangulares das tensões nas barras. O método é implementado em MATLAB, considerando diferentes incertezas aplicadas aos sistemas IEEE 57 barras e brasileiro de 107 barras. Os resultados são, então, comparados com aqueles gerados pela matemática intervalar e pela simulação de Monte Carlo. De forma geral, a qualidade dos intervalos gerados pelo método em estudo é melhor que aquela apresentada pela matemática intervalar. / The power flow analysis aims to calculate bus voltage and current in branches, for a given pre-established scenario of generation and load. It is an essential tool in electrical power systems operation and control In traditional analysis, the parameters are treated as deterministic values. However, in practice, these parameters may present uncertainties associated with measurement as well as their inherent variation over the time. In addition, the growth of intermittent sources participation, such as wind and solar, into power grids has increased the uncertainties level, which demands the development of specific power flow studies in order to deal with data variability. In this context, this work investigates a method published in literature, that models the power flow subject to uncertainties associated with active and reactive bus loads. The basic idea of this method is to carry out the complete expansion of power equations, in terms of Taylor series, expressed in rectangular coordinates of bus voltages. The method is implemented in MATLAB, considering different uncertainties applied to IEEE 57 bus and Brazilian 107 bus. The results are then compared with those generated by interval mathematics and Monte Carlo simulation. In general, the quality of this method generated intervals is better than that presented by interval mathematics.