Les systèmes intégrables toriques sont des systèmes intégrables dont toutes les composantes de l'application moment sont périodiques de même période. Il s'agit donc de variétés symplectiques munies d'actions Hamiltoniennes de tores. Au début des années 80, Atiyah-Guillemin-Sternberg ont démontré que l'image de l'application moment était un polytope convexe à face rationnelles. Peu de temps après, Delzant a démontré que dans le cas intégrable qui nous intéresse, ce polytope caractérisait entièrement le système : la variété symplectique comme l'action du tore. Le champs d'étude s'est ensuite élargi aux systèmes dits semi-toriques. Ce sont des systèmes intégrables dont toutes les composantes de l'application moment sauf une sont périodiques de même période. En outre, pour simplifier l'étude de ces systèmes, on demande que tous les points critiques du systèmes soient non-dégénérés, et sans composante hyperbolique pour la hessienne. En revanche les points critiques des systèmes semi-toriques peuvent comporter des composantes dites "foyer-foyer". Celles-ci ont une dynamique plus riche que les singularités elliptiques, mais conservent certaines propriétés qui rendent leur analyse plus aisée que les singularités hyperboliques. San Vu-Ngoc et Alvaro Pelayo ont réussi à étendre pour ces systèmes semi-toriques les résultats d'Atiyah-Guillemin-Sternberg et Delzant en dimension 2. L'objectif de cette thèse est de proposer une extension de ces résultats en dimension quelconque, à commencer par la dimension 3. Les techniques utilisées relèvent de l'analyse comme de la géométrie symplectique, ainsi que de la théorie de Morse dans des espaces différentiels stratifiés. / Semi-toric integrable systems are integrable systems whose every component of the moment map are periodic of the same period. They are symplectic manifolds endowed with a Hamiltonian torus actions. At the beginning of the 80's, Atiyah-Guillemin-Sternberg proved that the image of the moment map was a polytope with rational faces. A bit after that, Delzant showed that in the integrable case that matters to us, this polytope characterized entirely the system, that is, the symplectic manifold as well as the torus action. Next, field of study widened to semi-toric systems. They are integrable systems whose all components except one are periodic with the same period. Moreover, to simplify their study, we ask that these systems have only non-degenerate critical points without hyperbolic components. On the other hand, critical points of semi-toric systems can have so-called ''focus-focus'' components. They have a richer dynamic than elliptic singularities, but it retains some properties that makes them easier to study than hyperbolic singularities. San Vu-Ngoc and Alvaro Pelayo have managed to extend to these semi-toric systems the results of Atiyah-Guillemin-Sternberg and Delzant in dimension 2. The objective of this thesis is to propose an extension of these results to any dimension, starting with dimension 3. Techniques involved are analysis as well as symplectic geometry, and Morse theory in stratified differential spaces.

Generic Hamiltonian systems have a mixed phase space, where classically disjoint regions of regular and chaotic motion coexist. For many applications it is useful to approximate the regular dynamics of such a mixed system H by an integrable approximation Hreg. We present a new, iterative method to construct such integrable approximations. The method is based on the construction of an integrable approximation in action representation which is then improved in phase space by iterative applications of canonical transformations. In contrast to other known approaches, our method remains applicable to strongly non-integrable systems H. We present its application to 2D maps and 2D billiards. Based on the obtained integrable approximations we finally discuss the theoretical description of dynamical tunneling in mixed systems. / Typische Hamiltonsche Systeme haben einen gemischten Phasenraum, in dem disjunkte Bereiche klassisch regulärer und chaotischer Dynamik koexistieren. Für viele Anwendungen ist es zweckmäßig, die reguläre Dynamik eines solchen gemischten Systems H durch eine integrable Näherung Hreg zu beschreiben. Wir stellen eine neue, iterative Methode vor, um solche integrablen Näherungen zu konstruieren. Diese Methode basiert auf der Konstruktion einer integrablen Näherung in Winkel-Wirkungs-Variablen, die im Phasenraum durch iterative Anwendungen kanonischer Transformationen verbessert wird. Im Gegensatz zu bisher bekannten Verfahren bleibt unsere Methode auch auf stark nichtintegrable Systeme H anwendbar. Wir demonstrieren sie anhand von 2D-Abbildungen und 2D-Billards. Mit den gewonnenen integrablen Näherungen diskutieren wir schließlich die theoretische Beschreibung von dynamischem Tunneln in gemischten Systemen.

What is in common between the Kepler problem, a Hydrogen atom and a rotating black- hole? These systems are described by different physical theories, but much information about them can be obtained by separating an appropriate Hamilton-Jacobi equation. The separation of variables of the Hamilton-Jacobi equation is an old but still powerful tool for obtaining exact solutions. The goal of this thesis is to present the theory and application of a certain type of conformal Killing tensor (hereafter called concircular tensor) to the separation of variables problem. The application is to spaces of constant curvature, with special attention to spaces with Euclidean and Lorentzian signatures. The theory includes the general applicability of concircular tensors to the separation of variables problem and the application of warped products to studying Killing tensors in general and separable coordinates in particular. Our first main result shows how to use these tensors to construct a special class of separable coordinates (hereafter called Kalnins-Eisenhart-Miller (KEM) coordinates) on a given space. Conversely, the second result generalizes the Kalnins-Miller classification to show that any orthogonal separable coordinates in a space of constant curvature are KEM coordinates. A closely related recursive algorithm is defined which allows one to intrinsically (coordinate independently) search for KEM coordinates which separate a given (natural) Hamilton-Jacobi equation. This algorithm is exhaustive in spaces of constant curvature. Finally, sufficient details are worked out, so that one can apply these procedures in spaces of constant curvature using only (linear) algebraic operations. As an example, we apply the theory to study the separability of the Calogero-Moser system.

Malgré son indéniable succès pour décrire les systèmes physiques à l'équilibre thermodynamique (grâce à la distribution de Boltzmann, reflétant la maximisation de l'entropie, et permettant la construction systématique de potentiels thermodynamiques), la physique statistique n'offre pas de cadre général pour étudier les phénomènes hors d'équilibre, i.e dans lesquels on observe un courant moyen non nul d'une grandeur physique (énergie, charge, particules...).L'objectif de la thèse est de décrire de tels systèmes à l'aide de modèles très simples mais qui retranscrivent néanmoins les principales caractéristiques physiques de ceux-ci. Ces modèles sont constitués de particules se déplacant de manière aléatoire sur un réseau unidimensionnel connecté à des réservoirs et soumises à un principe d'exclusion. L'enjeu est de calculer exactement l'état stationnaire du modèle, notamment le courant de particules, ses fluctuations et plus particulièrement sa fonction de grande déviation (qui pourrait jouer le rôle d'un potentiel thermodynamique hors d'équilibre).Une première partie de la thèse vise à construire des modèles dits intégrables, dans lesquels il est possible de mener à bien des calculs exacts de quantités physiques. De nouveaux modèles hors d'équilibre sont proposés grâce à la résolution dans des cas particuliers de l'équation de Yang-Baxter et de l'équation de réflexion. De nouvelles structures algébriques permettant la construction de ces solutions par une procédure de Baxtérisation sont introduites.Une deuxième partie de la thèse consiste à calculer exactement l'état stationnaire de tels modèles en utilisant l'ansatz matriciel. Les liens entre cette technique et l'intégrabilité du modèle ont été mis en lumière au travers de deux relations clef: la relation de Zamolodchikov-Faddeev et la relation de Ghoshal-Zamolodchikov. L'intégrabilité a aussi été exploitée au travers des equations de Knizhnik-Zamolodchikov quantiques, afin de calculer les fluctuations du courant, mettant en lumière des connexions avec la théorie despolynômes symétriques (polynômes de Koornwinder en particulier).Enfin une dernière partie de la thèse porte sur la limite hydrodynamique des modèles étudiés, i.e lorsque la maille du réseau tend vers zero et que le nombre de constituants du système tend vers l'infini. Les résultats exacts obtenus sur les modèles à taille finie ont permis de vérifier les prédictions de la théorie des fluctuations macroscopiques (concernant les fluctuations du courant et du profil de densité dans l'état stationnaire) et de l'étendre à des modèles comprenant plusieurs espèces de particules. / Although statistical physics has been very successful to describe physical systems at thermal equilibrium (thanks to the Boltzmann distribution, which reflects the maximization of the entropy, and allows one to construct in a systematic way thermodynamic potentials), it remains elusive to provide an efficient framework to study phenomena that are out-of-equilibrium, i.e displaying non vanishing current of physical quantities (energy, charge, particles...).The goal of the thesis is to describe such systems with very simple models which retain nevertheless their main physical features. The models consist in particles evolving randomly on a one dimensional lattice connected to reservoirs and subject to hard-core repulsion. The challenge lies in computing exactly the stationary state of the model, especially the particle current, its fluctuations and more precisely its large deviation function (which is expected to play the role of an out-of-equilibrium thermodynamic potential).In the first part of the thesis we construct models, called integrable, in which we can perform exact computations of physical quantities. We introduce several new out-of-equilibrium models that are obtained by solving, in specific cases, the Yang-Baxter equation and the reflection equation. We provide new algebraic structures which allow us to construct the solutions through a Baxterisation procedure.In the second part of the thesis we compute exactly the stationary state of these models using a matrix ansatz. We shed light on the connection between this technique and the integrability of the model by pointing out two key relations: the Zamolodchikov-Faddeev relation and the Ghoshal-Zamolodchikov relation. The integrability is also exploited, through the quantum Knizhnik-Zamolodchikov equations, to compute the fluctuations of the particles current, unrevealing connections with the theory of symmetric polynomials (the Koornwinder polynomials in particular).Finally the last part of the thesis deals with the hydrodynamic limit of the models, i.e when the lattice spacing tends to $0$ and the number of particles tends to infinity. The exact results obtained for a finite size system allow us to check the validity of the predictions of the macroscopic fluctuations theory (concerning the fluctuations of the current and the density profile in the stationary state) and to extend the theory to systems with several species of particles.

Nesta tese estudamos os sistemas integráveis definidos em superfícies compactas possuindo uma integral primeira que é uma função Morse-Bott a valores em R. Estes sistemas são aqui chamados de sistemas integráveis Morse-Bott. Classificamos as curvas fechadas e oitos associados a pontos de selas imersos em superfícies compactas. Essa classificação é aplicada ao estudo das folheações Morse-Bott em superfícies e nos permite definir um invariante topológico completo para a classificação topológica global destas folheações. Como uma aplicação desse estudo obtemos a classificação dos sistemas Morse-Bott assim como a classificação topológica das funções Morse-Bott em superfícies compactas e orientáveis. Demonstramos ainda um teorema da realização baseado em duas transformações e numa folheação geradora. Para o caso das funções Morse-Bott também obtivemos um teorema de realização. Finalmente, investigamos a generalização de alguns dos resultados anteriores para sistemas definidos em superfícies não orientáveis. / In this thesis we study integrable systems on compact surfaces with a first integral as a Morse-Bott function with target R. These systems are called here integrable Morse-Bott systems. Initially we present the classification of closed curves and eights associated to saddle points on compact surfaces. This classification is applied to the study of Morse- Bott foliations on surfaces allowing us to define a complete topological invariant for the global topological classification of these foliations. Then as an application of this study we obtain the classification of integrable Morse-Bott systems as well as the topological classification of Morse-Bott functions on compact and orientable surfaces. We also prove a realization theorem based on two transformation and a generating foliation (the foliation on the sphere with two centers). In the case of Morse-Bott functions we also obtain a realization theorem. Finally we investigate generalizations of previous results for systems defined on non-orientable surfaces.

Nesta dissertação são investigados os sistemas diferenciais com integral primeira do tipo Morse-Bott definidos em superfícies compactas e orientáveis. A cada sistema, nas condições acima descritas, associa-se um grafo de modo que a correspondência entre os grafos e as classes de equivalência topologica orbital dos campos investigados seja bijetiva. Portanto, apresenta-se um invariante completo, chamado aqui de grafo de Bott, para essa classe de sistemas. Essa abordagem surgiu como uma iniciativa de generalizar o estudo realizado para sistemas Hamiltonianos com um grau de liberdade com integral primeira do tipo Morse definidos em superfícies 2-dimensionais compactas, onde os conceitos de átomos e fluxos gradiente foram aplicados por A.V. Bolsinov em [4] / In this dissertation are studied differential systems with a Morse-Bott first integral defined on compact orientable surfaces. For each system, under the conditions described above, is associated a graph so that the correspondence between graphs and the orbital topological equivalence classes of the systems are bijective. Therefore, we present a complete invariant, called here Bott graph for this class of systems. This approach has emerged as an initiative to generalize the study to systems Hamiltonian with one degree of freedom having a Morse first integral in 2-dimensional compact surfaces, where the concepts of atoms and gradient flows were applied by A.V. Bolsinov in [4]

Le réseau de Toeplitz est un système hamiltonien dont la structure de Poisson est connue. Dans cette thèse, nous donnons l'origine de cette structure de Poisson et nous en déduisons des équations de Lax associées au réseau de Toeplitz. Nous construisons tout d'abord une sous-variété de Poisson Hn de GLn(C), ce dernier étant vu comme un groupe de Lie-Poisson réel ou complexe dont la structure de Poisson provient d'un R-crochet quadratique sur gln(C) pour une R-matrice fixée. L'existence d'hamiltoniens associés au réseau de Toeplitz pour la structure de Poisson sur Hn ainsi que les propriétés du R-crochet quadratique permettent alors d'expliciter des équations de Lax du système. On en déduit alors l'intégrabilité au sens de Liouville du réseau de Toeplitz. Dans le point de vue réel, nous pouvons ensuite construire une sous-variété de Poisson Han du groupe Un qui est lui-même une sous-variété de Poisson-Dirac de GLR n(C). Nous construisons alors un hamiltonien, pour la structure de Poisson induite sur Han, correspondant à un autre système déduit du réseau de Toeplitz : le réseau de Schur modifié. Grâce aux propriétés des sous-variétés de Poisson-Dirac, nous explicitons une équation de Lax pour ce nouveau système et nous en déduisons une équation de Lax pour le réseau de Schur. On en déduit également l'intégrabilité au sens de Liouville du réseau de Schur modifié. / The Toeplitz lattice is a Hamiltonian system whose Poisson structure is known. In this thesis, we reveil the origins of this Poisson structure and we derive from it the associated Lax equations for this lattice. We first construct a Poisson subvariety Hn of GLn(C), which we view as a real or complex Poisson-Lie group whose Poisson structure comes from a quadratic R-bracket on gln(C) for a fixed R-matrix. The existence of Hamiltonians, associated to the Toeplitz lattice for the Poisson structure on Hn, combined with the properties of the quadratic R-bracket allow us to give explicit formulas for the Lax equation. Then, we derive from it the integrability in the sense of Liouville of the Toeplitz lattice. When we view the lattice as being defined over R, we can construct a Poisson subvariety Han of Un which is itself a Poisson-Dirac subvariety of GLR n(C). We then construct a Hamiltonian for the Poisson structure induced on Han, corresponding to another system which derives from the Toeplitz lattice : the modified Schur lattice. Thanks to the properties of Poisson-Dirac subvarieties, we give an explicit Lax equation for the new system and derive from it a Lax equation for the Schur lattice. We also deduce the integrability in the sense of Liouville of the modified Schur lattice.

Cette thèse présente plusieurs aspects de la croissance stochastique des interfaces, par lebiais de son modèle le plus étudié, l'équation de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ). Bien qued'expression très simple, cette équation recèle une grande richesse phénoménologiqueet est l'objet d'une recherche intensive depuis des dizaines d'années. Cela a conduit àl'émergence d'une nouvelle classe d'universalité, contenant des modèles de croissanceparmi les plus courants, tels que le Eden model ou encore le Polynuclear Growth Model.L'équation KPZ est également reliée à des problèmes d'optimisation en présence dedésordre (le Polymère Dirigé), ou encore à la turbulence des uides (l'équation de Burger), renforçant son intérêt. Cependant, les limites de cette classe d'universalitésont encore mal comprises. L'objet de cette thèse est, après avoir présenté les progrèsles plus récents dans le domaine, de tester les limites de cette classe d'universalité. Lathèse s'articule en quatre parties :i) Dans un premier temps, nous présentons des outils théoriques qui permettent decaractériser finement l'évolution de l'interface. Ces outils montrent une grande flexibilité, que nous illustrons en considérant le cas d'une géométrie confinée (une interfacecroissant le long d'une paroi).ii) Nous nous penchons ensuite sur l'influence du désordre, et plus particulièrementl'importance des évènements extrêmes dans la mécanique de croissance. Les largesfluctuations du désordre déforment l'interface et conduisent à une modification notabledes exposants de scaling. Nous portons une attention particulière aux conséquencesd'un tel désordre sur les stratégies d'optimisation en milieu désordonné.iii) La présence de corrélations dans le désordre est d'un intérêt expérimentalimmédiat. Bien qu'elles ne modifient pas la classe d'universalité, elles influent grandement sur la vitesse de croissance moyenne de l'interface. Cette partie est dédiée àl'étude de cette vitesse moyenne, souvent négligée car délicate à définir, et à l'existenced'un optimum de croissance intimement lié à la compétition entre exploration et exploitation.iv) Enfin, nous considérons un exemple expérimental de croissance stochastique (quin'appartient toutefois pas à la classe KPZ) et développons un formalisme phénoménologiquepour modéliser la propagation d'une interface chimique dans un milieu poreux désordonné.Tout au long du manuscrit, les conséquences des phénomènes observées dans desdomaines variés, tels que les stratégies d'optimisation, la dynamique des populations,la turbulence ou la finance, sont détaillées. / This Thesis presents several aspects of the stochastic growth, through its most paradig-matic model, the Kardar-Parisi-Zhang equation (KPZ). Albeit very simple, this equa-tion shows a rich behaviour and has been extensively studied for decades. The existenceof a new universality class is now well established, containing numerous growth modelslike the Eden model or the Polynuclear Growth Model. The KPZ equation is closelyrelated to optimisation problems (the Directed Polymer) or turbulence of uids (theBurgers equation), a feature that underlines its importance. Nonetheless, the bound-aries of this universality class are still vague. The focus of this Thesis is to probe thoselimits through various modifications of the models. It is divided in four chapters:i) First, we present theoretical tools, borrowed from integrable systems, that allowto characterize in great details the evolution of the interface. Those tools exhibitconsiderable exibility due to the large corpus of work on integrable systems, and weillustrate it by tackling the case of confined geometry (growth close to a hard wall).ii) We investigate the inuence of the disorder distribution, and more specificallythe importance of large events, with heavy-tailed distributions. Those extreme eventsstretch the interface and notably modify the main scaling exponents. The consequenceson optimization strategies in disorder landscapes are emphasized.iii) The presence of correlations in the disorder is of natural experimental interest.Although they do not impact the KPZ class, they greatly inuence the average speed ofgrowth. The latter quantity is often overlooked because it is non-universal and ratherill-defined. Nonetheless, we show that a generic optimal average speed exists in presenceof time correlations, due to a competition between exploration and exploitation.iv) Finally, we consider a set of experiments about chemical front growth in porousmedium. While this growth process is not related to KPZ in an immediate way, wepresent different tools that effciently reproduce the observations.Along that work, the consequences of each Chapter in various domains, like opti-misation strategies, turbulence, population dynamics or finance, are detailed.

Ce travail est consacré à l'étude de l'équation de Novikov-Veselov, un analogue ( 2 + 1 )-dimensionnel de l'équation renommée de Korteweg-de Vries, intégrable via la transformée de la diffusion inverse pour l'équation de Schrödinger stationnaire en dimension 2 à énergie fixe. Nous commençons par étudier une classe spéciale de solutions rationnelles non singulières de l'équation de Novikov-Veselov à énergie positive, construites par Grinevich et Zakharov, et nous démontrons que ces solutions sont multisolitons. Les solutions de Grinevich-Zakharov sont localisées comme $ O( | x |^{ -2 } ) $, $ | x | \to \infty $, et dans le travail présent, nous prouvons que cette localisation est presque la plus forte possible pour les solitons de l'équation de Novikov-Veselov: nous montrons que l'équation de Novikov-Veselov à énergie non nulle ne possède pas de solitons localisés plus fort que $ O ( | x |^{ - 3 } ) $, $ | x | \to \infty $. Pour le cas d'énergie zéro, nous montrons que si les solitons de l'équation de Novikov-Veselov appartiennent à l'image des solutions de l'équation de Novikov-Veselov modifiée sous la transformation de Miura, dans ce cas, la localisation plus forte que $ O( | x |^{ -2 } ) $ n'est pas possible. Dans le travail présent, nous étudions également la question du comportement asymptotique des solutions du problème de Cauchy pour l'équation de Novikov-Veselov à énergie non nulle (pour le cas d'énergie positive, les solutions transparentes ou " reflectionless " sont considérées). Sous l'hypothèse de non singularité des données de diffusion des solutions nous obtenons que ces solutions décroissent avec le temps de façon uniforme comme $ O( t^{ -1 } ) $, $ t \to +\infty $, dans le cas d'énergie positive et comme $ O( t^{ -3/4 } ) $, $ t \to +\infty $, dans le cas d'énergie négative; dans ce dernier cas, nous démontrons également que l'estimation obtenue est optimale.

The central objective of this thesis is to suggest and develop one simple, unified method for communication over optical fiber networks, valid for all values of dispersion and nonlinearity parameters, and for a single-user channel or a multiple-user network. The method is based on the nonlinear Fourier transform (NFT), a powerful tool in soliton theory and exactly solvable models for solving integrable partial differential equations governing wave propagation in certain nonlinear media. The NFT decorrelates signal degrees of freedom in such models, in much the same way that the Fourier transform does for linear systems. In this thesis, this observation is exploited for data transmission over integrable channels such as optical fibers, where pulse propagation is governed by the nonlinear Schr\"odinger (NLS) equation. In this transmission scheme, which can be viewed as a nonlinear analogue of orthogonal frequency-division multiplexing commonly used in linear channels, information is encoded in the nonlinear spectrum of the signal. Just as the (ordinary) Fourier transform converts a linear convolutional channel into a number of parallel scalar channels, the nonlinear Fourier transform converts a nonlinear dispersive channel described by a \emph{Lax convolution} into a number of parallel scalar channels. Since, in the spectral coordinates the NLS equation is multiplicative, users of a network can operate in independent nonlinear frequency bands with no deterministic inter-channel interference. Unlike most other fiber-optic transmission schemes, this technique deals with both dispersion and nonlinearity directly and unconditionally without the need for dispersion or nonlinearity compensation methods. This thesis lays the foundations of such a nonlinear frequency-division multiplexing system.