L'objet principal de cette thèse est de généraliser un certain nombre de résultats bien connus de la géométrie algébrique au cas k"{a}hlerien non nécessairement projectif. On généralise d'abord le théorème d'annulation de Nadel au cas k"{a}hlerien arbitraire. On obtient aussi un cas particulier du théorème d'annulation de Kawamata-Viehweg pour les variétés qui admettent une fibration vers un tore dont la fibre générique est projective. En utilisant ce résultat, on étudie le problème de déformation pour les variétés k"{a}hlériennes compactes sous une hypothèse portant sur les fibrés canoniques. On étudie enfin les variétés à fibré anticonique nef. On montre que si le fibré anticanonique est nef, alors le fibré tangent est à pentes semi-positif relative à la filtration de Harder-Narasimhan pour la polarization $omega_X ^{n-1}$. Comme application, on donne une preuve simple de la surjectivité de l'application d'Albanese, et on étudie aussi la trivialité locale de l'application d'Albanese. / The aim of this thesis is to generalize a certain number of results of algebraic geometry to K"{a}hler geometry. We first generalize the Nadel vanishing theorem to arbitrary compact K"{a}hler manifolds. We prove also a particular version of the Kawamata-Viehweg vanishing theorem for manifolds admitting a fibration to a torus such that the generic fiber is projective. Using this result, we study the theory of deformations of compact Kähler manifolds under certain assumptions on their canonical bundles. Finally, we study varieties with nef anticanonical bundles. We prove that the slopes of the Harder-Narasimhan filtration of the tangent bundles with respect to a polarization of the form $omega_X^{n-1}$ are semi-positive. As an application, we give a simple proof of the surjectivity of the Albanese map, and we investigate also the local triviality of the Albanese map.

Sur une variété kählérienne compacte connexe de dimension 2m, ! étant la forme de Kähler, ­ une forme volume donnée dans [!]m et k un entier 1 < k < m, on cherche à résoudre de façon unique dans [!] l'équation ˜ !k ^!m−k = ­ en utilisant une notion de k-positivité pour ˜ ! 2 [!] (les cas extrêmes sont résolus : k = m par Yau, k = 1 trivialement). Nous résolvons par la méthode de continuité l'équation hessienne d'ordre k complexe elliptique correspondante sous l'hypothèse que la variété est à courbure bisectionelle holomorphe non-négative, ici requise seulement pour établir un pincement a priori de valeurs propres.

Ce travail de thèse s'intéresse à la résolution d'équations de Monge-Ampère complexes et à ses applications sur certains types de variétés non compactes. Ce mémoire décrit plus précisément deux situations distinctes dans lesquelles on résout des équations de Monge-Ampère, avant de tirer les conséquences de ces résolutions. Dans une première partie, on travaille sur le complémentaire d'un diviseur à croisements normaux dans une variété kählérienne compacte. On fixe sur le complémentaire du diviseur une classe de métriques kählériennes à singularités cusp le long du diviseur. Pour construire des géodésiques entre métriques de cette classe, on résout une équation de Monge-Ampère homogène, sur le produit de notre ouvert de Zariski par une surface de Riemann à bord. On applique cette construction à un résultat d'unicité de métriques à courbure scalaire constante dans la classe considérée ; on résout encore pour cela une équation de Monge-Ampère avec second membre sur le complémentaire du diviseur. On exhibe enfin des obstructions topologiques à l'existence de métriques à courbure scalaire constante au sein des classes de métriques kählériennes singulières envisagées. La seconde partie du mémoire traite d'une construction analytique d'instantons gravitationnels ALF, ou variétés complètes de dimension 4, hyperkählériennes, à croissance cubique du volume. On donne la construction d'instantons diédraux ; on considère plus exactement des résolutions de singularités kleiniennes diédrales. Le traitement d'une équation de Monge-Ampère, donné pour des variétés kählériennes ALF assez générales, nous permet sur nos exemples de corriger un prototype simple pour obtenir la métrique hyperkählérienne recherchée.

L'objectif de cette thèse consiste en l'étude du revêtement universel des variétés kählériennes compactes, de leurs systèmes pluricanoniques et des liens qui les unissent. Dans un premier temps, nous étudions la $\Gamma$-réduction d'une variété kählérienne compacte vue comme quotient de Remmert biméromorphe de son revêtement universel. La dimension de l'espace quotient est par définition la $\Gamma$-dimension d'une telle variété. Les grandes lignes de l'étude de cet invariant sont les suivantes : lien avec l'existence de formes holomorphes $L^2$ sur le revêtement universel, comportement de la $\Gamma$-dimension dans les fibrations, place de la $\Gamma$-réduction dans la théorie de la classification, structure des variétés de type $\pi_1$-général (au moins en petite dimension). La fin de cette première partie est consacrée à l'étude de l'invariance par déformation de la $\Gamma$-dimension en dimension 3. Cette propriété est établie dans diverses situations, par exemple dans les cas des familles de variétés kählériennes qui ne sont pas de type général. La deuxième partie porte sur la méthode One-Tower d'extension de formes pluricanoniques. Nous mettons en effet cette partie à profit pour montrer comment adapter cette méthode dans différentes situations. Ainsi, après quelques rappels sur les différentes notions de positivité des fibrés en droites et sur les idéaux multiplicateurs, nous établissons des résultats d'extension de sections pluricanoniques dans les contextes suivants : famille projective de variétés (avec fibré canonique tordu par un fibré en droites pseudo-effectif), hypersurface d'une variété projective, fibre générale de la $\Gamma$-réduction pour les variétés de type général et famille des revêtements universels.

Dans cette thèse nous introduisons la notion de fibré tt* (E,D,S), de fibré tt* métrique (E,D,S,g) et de fibré tt* symplectique (E,D,S,w) sur un fibré vectoriel E au-dessus d'une variété complexe, dans le langage de la géométrie différentielle réelle. Grâce à cette notion on obtient une correspondance entre des fibrés tt* métriques et des applications pluriharmoniques admissibles de (M,J) dans l'espace symétrique pseudo-Riemannien GL(r,R)/O(p,q), avec (p,q) la signature de la métrique g. En utilisant ce résultat on obtient dans le cas où M est compact Kählérienne, un résultat de rigidité, puis un cas particulier du théorème de Lu. <br />De plus nous étudions des fibrés tt* sur le fibré tangent TM et caractérisons une classe spéciale qui contient les variétés spéciales complexes et les variétés nearly Kählériennes plates, et la sous-classe qui admet un fibré tt* métrique ou symplectique. En outre on analyse les fibrés tt* qui proviennent de variations de structures de Hodge (VHS) et de fibrés harmoniques. Pour les fibrés harmoniques, la correspondance permet de généraliser un résultat de Simpson. L'application pluriharmonique associée à une variété spécialement Kählérienne reliée à l'application de Gauß duale, et celle associée à une VHS de poids impair est l'application de périodes. Si la structure complexe n'est pas intégrable, on doit généraliser la notion de pluriharmonicité. <br />Hors la rigidité ces résultats sont généralisés au cas para-complexe.

Nous présentons trois résultats dans cette thèse. Dans le chapitre 2 nous montrons l’existence d’un zéro-cycle cx sur une hypersurface X de type Calabi–Yau dans une varieté homogène projective complexe. Plus précisement, nous montrons que l’intersection de n diviseurs sur X, où n = dim X, est proportionnelle à la classe d’un point supporté sur une courbe rationnelle dans X. Dans le chapitre 3 nous donnons une nouvelle preuve du théorème de Beauville et Voisin portant sur la décomposition de la petite diagonale d’une surface K3 notée S. La preuve que nous donnons est explicite et utilise le plongement de degré 2g-2 de S dans l’espace projectif de la dimension g. Elle est différente de celle donnée par Beauville et Voisin, qui repose sur l’existence d’une famille à un paramètre de courbes elliptiques. Le chapitre 4 est consacré à l’étude des similitudes entre la variété de Fano des droites d’une cubique de dimension 4, qui est une variété hyper-Kählerienne étudiée par Beauville et Donagi, et la variété hyper-Kählerienne de dimension 4 construite par Debarre et Voisin dans [11]. Nous introduisons un analogue de la notion de triangle pour ces variétés et prouvons que la variété des triangles, qui est de dimension 6, est une sous-variété Lagrangienne du cube de la variété hyper-Kählerienne construite par Debarre et Voisin. / We present in this thesis three results. In Chapter 2 we prove the existence of a canonical zero-cycle cX on a Calabi–Yau hypersurfacee X in a complex projective homogeneous variety. Namely, we show that the intersection of any n divisors on X , n = dim X is proportional to the class of a point on a rational curve in X. In Chapter 3 we give a new proof of the theorem of Beauville and Voisin about the decomposition of the small diagonal of a K3 surface S. Our proof is explicit and uses the degree 2g-2 embedding of S in projective space of dimension g. It is different from the one used by Beauville and Voisin, which employed the existence of one-parameters familie of elliptic curves. Chapter 4 is devoted to the study of similarities between the Fano varieties of lines on a cubic fourfold, a hyper-Kähler fourfold studied by Beauville and Donagi, and the hyper-Kähler fourfold constructed by Debarre and Voisin in [11]. We exhibit an analog of the notion of "triangle" for these varieties and prove that the 6-dimensional variety of "triangles" is a Lagrangian subvariety in the cube of the constructed hyper-Kähler fourfold.

Dans cette thèse, nous prouvons des résultats de théorie spectrale, directe et inverse, dans la limite semi-classique, pour les opérateurs de Toeplitz autoadjoints sur les surfaces. Pour les opérateurs pseudo-différentiels, les résultats en question sont déjà connus, et il est naturel de vouloir les étendre aux opérateurs de Toeplitz. Les conditions de Bohr-Sommerfeld usuelles, qui caractérisent les valeurs propres proches d'une valeur régulière du symbole principal, ont été obtenues il y a quelques années seulement pour les opérateurs de Toeplitz. Notre contribution consiste en l'extension de ces conditions près de valeurs critiques non dégénérées. Nous traitons le cas d'une valeur critique elliptique à l'aide d'une technique de forme normale ; l'opérateur modèle est la réalisation de l'oscillateur harmonique sur l'espace de Bargmann, dont le spectre est bien connu. Dans le cas d'une valeur critique hyperbolique, la forme normale ne suffit plus et nous complétons l'étude en faisant appel à des arguments dus à Colin de Verdière et Parisse, à qui l'on doit le résultat analogue dans le cas pseudo-différentiel. Enfin, nous établissons un résultat de théorie spectrale inverse pour les opérateurs de Toeplitz autoadjoints sur les surfaces ; plus précisément, nous montrons que sous certaines hypothèses génériques, la connaissance du spectre à l'ordre deux dans la limite semi-classique permet de retrouver le symbole principal à symplectomorphisme près. Ce résultat s'appuie en grande partie sur l'écriture des règles de Bohr-Sommerfeld. / In this thesis, we prove some direct and inverse spectral results, in the semiclassical limit, for self-adjoint Toeplitz operators on surfaces. For pseudodifferential operators, these results are already known, and it is natural to expect their extension to the Toeplitz setting. The usual Bohr-Sommerfeld conditions, characterizing the eigenvalues close to a regular value of the principal symbol, have been obtained a few years ago for Toeplitz operators. Our contribution consists in extending these conditions near nondegenerate critical values. We handle the case of an elliptic value thanks to a normal form technique; the model operator is the realization of the harmonic oscillator in the Bargmann space, whose spectrum is well-known. In the case of a hyperbolic value, the normal form is no longer sufficient and we conclude by using additional arguments due to Colin de Verdière and Parisse, who derived the analogous result for pseudodifferential operators. Finally, we write an inverse spectral result for self-adjoint Toeplitz operators on surfaces; more precisely, we show that under some generic hypotheses, the knowledge of the spectrum up to order two in the semiclassical limit allows to recover the principal symbol up to symplectomorphism. This result essentially relies on Bohr-Sommerfeld rules.

L'objet principal de cette thèse est de généraliser un certain nombre de résultats bien connus de la géométrie algébrique au cas kählerien non nécessairement projectif. On généralise d'abord le théorème d'annulation de Nadel au cas kählerien arbitraire. On obtient aussi un cas particulier du théorème d'annulation de Kawamata-Viehweg pour les variétés qui admettent une fibration vers un tore dont la fibre générique est projective. En utilisant ce résultat, on étudie le problème de déformation pour les variétés kählériennes compactes sous une hypothèse portant sur leurs fibrés canoniques. On étudie enfin les variétés à fibré anticonique nef. On montre que si le fibré anticanonique est nef, alors le fibré tangent est à pentes semi-positif relative à la filtration de Harder-Narasimhan pour la polarization $\omega_X ^{n-1}$. Comme application, on donne une preuve simple de la surjectivité de l'application d'Albanese, et on étudie aussi la trivialité locale de l'application d'Albanese.

Dans cette thèse, nous prouvons des résultats de théorie spectrale, directe et inverse, dans la limite semi-classique, pour les opérateurs de Toeplitz autoadjoints sur les surfaces. Pour les opérateurs pseudo-différentiels, les résultats en question sont déjà connus, et il est naturel de vouloir les étendre aux opérateurs de Toeplitz. Les conditions de Bohr-Sommerfeld usuelles, qui caractérisent les valeurs propres proches d'une valeur régulière du symbole principal, ont été obtenues il y a quelques années seulement pour les opérateurs de Toeplitz. Notre contribution consiste en l'extension de ces conditions près de valeurs critiques non dégénérées. Nous traitons le cas d'une valeur critique elliptique à l'aide d'une technique de forme normale ; l'opérateur modèle est la réalisation de l'oscillateur harmonique sur l'espace de Bargmann, dont le spectre est bien connu. Dans le cas d'une valeur critique hyperbolique, la forme normale ne suffit plus et nous complétons l'étude en faisant appel à des arguments dus à Colin de Verdière et Parisse, à qui l'on doit le résultat analogue dans le cas pseudo-différentiel. Enfin, nous établissons un résultat de théorie spectrale inverse pour les opérateurs de Toeplitz autoadjoints sur les surfaces ; plus précisément, nous montrons que sous certaines hypothèses génériques, la connaissance du spectre à l'ordre deux dans la limite semi-classique permet de retrouver le symbole principal à symplectomorphisme près. Ce résultat s'appuie en grande partie sur l'écriture des règles de Bohr-Sommerfeld.

L'objet de cette thèse est l'étude de certaines classes de variétés complexes compactes non kählériennes. On regarde d'abord la classe des surfaces de Kato. Étant donnés une surface de Kato minimale S, D le diviseur maximal de S formé des courbes rationnelles de S et ϖ : Š ͢ S le revêtement universel de S, on démontre que Š \ϖ-1 (D) est une variété de Stein. Les variétés LVMB sont la seconde classe de variétés non kählériennes étudiées. Ces variétés complexes sont obtenues en quotientant un ouvert U de Pn par un sous-groupe de Lie fermé G de (C*)n de dimension m. On reformule ce procédé en remplaçant U par la donnée d'un sous-éventail de celui de Pn et G par un sous-espace vectoriel de Rn convenable. On construit ensuite de nouvelles variétés complexes compactes non kählériennes en combinant une méthode due à Sankaran et celle donnant les variétés LVMB. Sankaran considère un ouvert U d'une variété torique dont le quotient par un groupe W discret est une variété compacte. Ici, on munit une certaine variété torique Y de l'action d'un sous-groupe de Lie G de (C*)n de sorte que le quotient X de Y par G soit une variété, puis on quotiente un ouvert de X par un groupe discret W analogue à celui de Sankaran.Enfin, on étudie les variétés OT, une autre classe de variétés non kählériennes, dont on démontre que leur dimension algébrique est nulle. Ces variétés sont obtenues comme quotient d'un ouvert de Cm par le produit semi-direct du réseau des entiers d'une extension de corps finie K de Q et d'un sous-groupe des unités de K bien choisi. / In this thesis we study certain classes of complex compact non-Kähler manifolds. We first look at the class of Kato surfaces. Given a minimal Kato surface S, D the divisor consisting of all rational curves of S and ϖ : Š ͢ S the universal covering of S, we show that Š \ϖ-1 (D) is a Stein manifold. LVMB manifolds are the second class of non-Kähler manifolds that we study here. These complex compact manifolds are obtained as quotient of an open subset U of Pn by a closed Lie subgroup G of (C*)n of dimension m. We reformulate this procedure by replacing U by the choice of a subfan of the fan of Pn and G by a suitable vector subspace of R^{n}. We then build new complex compact non Kähler manifolds by combining a method of Sankaran and the one giving LVMB manifolds. Sankaran considers an open subset U of a toric manifold whose quotient by a discrete group W is a compact manifold. Here, we endow some toric manifold Y with the action of a Lie subgroup G of (C^{*})^{n} such that the quotient X of Y by G is a manifold, and we take the quotient of an open subset of X by a discrete group W similar to Sankaran's one.Finally, we consider OT manifolds, another class of non-Kähler manifolds, and we show that their algebraic dimension is 0. These manifolds are obtained as quotient of an open subset of C^{m} by the semi-direct product of the lattice of integers of a finite field extension K over Q and a subgroup of units of K well-chosen.