Det finns olika områden inom matematik som är extra viktiga att elever behärskar. Aritmetik, som ofta definieras som räknelära, är ett sådant område och inom aritmetiken återfinns räknesätten: addition, subtraktion, multiplikation och division samt deras egenskaper. En av dessa egenskaper om återfinns i räknesätten addition och multiplikation, är kommutativitet. Syftet med litteraturstudien är att kartlägga vad vetenskapliga studier visar om elevers förståelse av kommutativitet som en matematisk egenskap. Syftet besvaras genom följande frågor: Vilken förståelse av kommutativitet har elever innan de fått formell undervisning om det, vilken betydelse har undervisningens form för elevernas förståelse av kommutativitet samt vilken roll har ordet kommutativitet för elevernas förståelse för begreppet kommutativitet. Resultatet har visat på att det krävs undervisning om kommutativitet i multiplikation, men inte i addition samt att undervisningens form faktiskt har betydelse för elevers förståelse. Trots att kommutativitet nämns i läromedel i tidiga årskurser har det framkommit att ordet kommutativitet inte har någon påverkan på elevens begreppsmässiga förståelse och behöver alltså inte kunna ordet för att tillämpa egenskapen. De publikationer som samlats in består främst av vetenskapliga artiklar, men även av en svensk doktorsavhandling. Litteraturen har kvalitetsbedömts och valts ut med hjälp av inklusionskriterier som nämns i litteraturstudien.

Vi ger en överskådlig introduktion till mångfalder, Lie-grupper och deras associerade Lie-algebror. En karaktärisering av Lie-parentesen som naturligt kopplar ihop de vanligast förekommande karaktäriseringarna presenteras (sats 4.4.1). Vi använder idéer från Riemanngeometrin för att inleda en undersökning av vad det betyder för vektorfält på Lie-grupper att vara _mer eller mindre kommutativa_. Vi presenterar ett mått av kommutativitet, diskuterar dess egenskaper och avslutar med några förslag på framtida undersökningar. / We give a comprehensive introduction to manifolds, Lie groups, and their associated Lie algebras. A characterization of the Lie bracket which connects the most commonly seen characterizations in a canonical fashion is presented (thm. 4.4.1). We make use of ideas from Riemannian geometry to begin an investigation of what it means for vector elds on Lie groups to be more or less commutative. We present a measure of commutativity, discuss its properties, and close with a few suggestions for future work.

I denna uppsats studerar vi kommutativitet i polynomringar i en variabel med icke-kommutativ multiplikation över en domän, så kallade Ore-utvidgningar. Vi Ore-utvidgar en polynomring i en variabel med koefficienter tillhörande en kropp. Vi studerar centralisatorer i denna Ore-utvidgning. Centralisatorn av ett icke-konstant element visar sig vara kommutativa och fria moduler. Vi undersöker även när centralisatorerna som en algebra är genererade av ett element. Några nya exempel av sådana centralisatorer presenteras. Vi undersöker också en ny metod för att bestämma om centralisatorn som en algebra är genererad av ett element. / In this thesis, we study commutativity in polynomial rings in one variable with noncommutative multiplication over a domain, which is called Ore extensions. We look at the Ore extension of a polynomial ring in one variable with coefficients belonging to a field. We study centralizers in this Ore extension. The centralizer of a nonconstant element turns out to be commutative and a free module. We also investigate when the centralizers as an algebra are generated by one element. Some new examples of such centralizers are presented. We also look into a new method to determine if the centralizers as an algebra are generated by one element.

Under skolgången ska elever utveckla flera grundläggande kunskaper inom matematiken. En sådan kunskap handlar om de fyra räknesättens olika egenskaper. Kommutativitet är en egenskap hos addition och multiplikation som innebär att termer eller faktorer kan byta plats utan att summan eller produkten förändras, exempelvis att 2+4 är lika mycket som 4+2 och att 3‧2 är lika mycket som 2‧3. Egenskaper räknesätt har sammanfattas i olika räknelagar, de vanligaste är kommutativa-, associativa- och distributiva lagen. Syftet med denna studie är att skapa ny kunskap om hur kommutativa lagen presenteras för elever i matematikläromedel. Studien bygger på en läromedelsgranskning som genomförs med en kvalitativ innehållsanalys och inspireras av variationsteorin. Tre läromedelsserier avsedda för årskurs 1–6 har granskats. I analysen har det framkommit att kommutativitet sällan beskrivs som en fristående egenskap utan ofta presenteras tillsammans med något annat. Främst är det tillsammans med talkamrater, tillsammans med sambandet mellan addition och subtraktion och när elever ska överföra något bildligt till matematiska uttryck som kommutativitet beskrivs. Det går också att urskilja en viss progression av kommutativitetbegreppen i läromedel. / Students should develop several basic skills in mathematics during their school years. For instance, they should develop solid understanding of the properties of the four rules of arithmetic. Commutativity is a property of addition and multiplication that means that terms or factors can change place without changing the sum or the product, for example, that 2 + 4 is equal to 4 + 2 and 3‧2 is equal to 2‧3. The purpose of this study is to expand our understanding about how the commutative law is presented to students in mathematics textbooks. This work is a textbook review which is a qualitative content analysis and is inspired by the theory of variation. Three series of mathematics textbooks for school years 1 through 6 in Sweden have been reviewed. The analysis of the textbooks show that commutativity is rarely described on its own,but is often presented together with something else: Primarily with part-whole relations, along with the connection between addition and subtraction and when students are going to transfer something figuratively to math expressions. A progression of the commutativity concepts in the textbooks can be distinguished.

Ett av grundskolans uppdrag är att elever ska utveckla kunskap om de fyra räknesättens olika egenskaper. En sådan egenskap är kommutativitet för räknesättet addition, vilket innebär att termers rumsliga placering inte har betydelse för summan. Inom kunskapsområdet aritmetik och algebra är kunskap om den kommutativa egenskapen av vikt. I denna studie intervjuades tio elever i årskurs 2. Intervjuerna var semistrukturerade, vilket bland annat innebar att en intervjuguide följdes. Syftet var att kvalitativt beskriva hur elever resonerar kring operationer med tydlig kommutativitet genom att också använda operationer utan kommutativa egenskaper. Analysen visar att eleverna kan fokusera på olika aspekter av kommutativitet, de kan fokusera på summan, på termerna eller på operationen. Studien visar också att det förekommer elever som övergeneraliserar den kommutativa egenskapen till att gälla vid uttryck med subtraktion. / According to the curriculum, students in elementary school should develop their understanding of the different properties of addition, subtraction, multiplication and division. One property is commutativity for addition. Which means that the terms’ spatial position does not change the sum. A solid understanding of the commutative property is of importance in arithmetic but also in algebra. This qualitative study is based on interviews with ten students in second grade. The purpose of the study is to investigate how students reason when they meet sequences with commutative and non-commutative expressions. The result is that students tend to describe commutativity by focusing on either the sum, the terms or the operation. Students in the study also overgeneralize the commutative property to expression with subtraction.

Ett område inom matematik som elever arbetar mycket med i skolan är aritmetik, vilket innebär hur de fyra räknesätten fungerar och kan användas. Dessa räknesätt har olika egenskaper, en av dessa egenskaper, som innehas av addition och mutliplikation, är kommutativitet. Denna egenskap innebär att termers rumsliga placering inte har betydelse för summan. För att eleverna ska utveckla goda kunskaper inom aritmetik och algebra är det därför av vikt att de lär sig om den kommutativa egenskapen. För att kunna skapa goda förutsättningar för elever behöver vi som lärare veta mer om hur elever förstår kommutativitet. Syftet med studien är därför att utforska hur elever i lågstadieåldern resonerar om och använder kommutativitet. I den här studien har elever i förskoleklassen upp till årskurs 3 intervjuats. Intervjuerna var semistrukturerade och individuella. Resultatet visar att när elever resonerar om kommutativitet, har några fokus på summan och några har fokus på termerna. I studien har det även framkommit att flertalet av eleverna övergeneraliserar kommutativitet och tillämpar egenskapen vid subtraktion, vilket överensstämmer väl med vad man sett i tidigare forskning. Elever använder olika beskrivningar när de resonerar om kommutativitet, där framförallt fyra var tydligt framträdande i studien: det spelar ingen roll vilken plats talen står på, de har bytt plats, de har vänt på siffrorna och de har bytt håll. Slutsatsen i studien är att förståelsen för kommutativitet är viktig för att tillförskaffa sig effektiva och användbara strategier i aritmetik. / One area of mathematics that students learn in school is arithmetic, where the four operations are found. These operations have different properties. One of those properties, valid for addition and multiplication, is commutativity. For addition, commutativity means that the terms’ spatial position does not change the sum. For example, 5+2 is equal to 2+5. For students to develop their knowledge of arithmetic, it is important that they also learn about commutativity.  Therefore, the aim of the study is to explore how student in primary school discuss and use commutativity in addition. Interviews have been made with student in the preschool class to grade 3. The interviews were semi-structured and individual. It was found that the students reason about commutativity in different ways, some focusing on the sum and some focusing on the terms. The study also shows that most students overgeneralize commutativity and apply it in subtraction which is in argument with findings from previous research. Students used different explanations when they described commutativity: the numbers spatial position doesn’t matter, they have changed place, the numbers are turned around and they have changed direction. The conclusion of the study is that understanding commutativity is important in providing effective and useful strategies in arithmetic.