Es wird die Twistorgleichung auf Lorentz-Spin-Mannigfaltigkeiten untersucht. Bekanntermaßen existieren Lösungen der Twistorgleichung auf den pp-Mannigfaltigkeiten, den Lorentz-Einstein-Sasaki Mannigfaltigkeiten und den Fefferman-Räumen. Es wird gezeigt, dass in den kleinen Dimensionen 3,4 und 5 Twistor-Spinoren ohne 'Singularitäten' nur für diese genannten Lorentz-Geometrien vorkommen. Von besonderem Interesse sind Lösungen der Twistorgleichung mit Nullstellen. Es wird die Gestalt der Nullstellenmenge von konformen Vektorfeldern und Twistor-Spinoren beschrieben. Weiterhin wird die Twistorgleichung im Kontext der konformen Cartan-Geometrie formuliert. Als Anwendung werden konform-flache semi-Riemannsche Spin-Mannigfaltigkeiten mit Twistor-Spinoren unter Zuhilfenahme der Holonomiedarstellung der ersten Fundamentalgruppe charakterisiert. Abschließend wird eine Anwendung des Twistorraumes einer Lorentz-4-Mannigfaltigkeit in der Flächentheorie diskutiert. Dabei zeigen wir eine Korrespondenz zwischen holomorphen Kurven im Twistorraum und raumartig immergierten Flächen mit lichtartigem mittlerem Krümmungsvektor. Beispielhaft werden solche Flächen in den Lorentzschen Raumformen der Dimension 4 konstruiert. / The twistor equation on Lorentzian spin manifolds is investigated. Known solutions of the twistor equation exist on the pp-manifolds, the Lorentz-Einstein-Sasaki manifolds and the Fefferman spaces. It is shown that in the low dimensions 3,4 and 5 twistor spinors without 'singularities' appear only for these mentioned Lorentzian spin geometries. Solutions of the twistor equation with zeros are of particular interest. The shape of the zero set of conformal vector fields and twistor spinors is described. Moreover, the twistor equation is formulated in the context of conformal Cartan geometry. As an application the conformally flat semi-Riemannian spin spaces with twistor spinors are characterized by the holonomy representation of the first fundamental group. Finally, we discuss an application of the twistor space of a Lorentzian 4-manifold in surface theory. Thereby, we prove a correspondence between holomorphic curves in the twistor space and spacelike immersed surfaces with lightlike mean curvature vector. Exemplary, such surfaces are constructed in the Lorentzian space forms of dimension 4.

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In den letzten beiden Jahrzehnten hat sich N=4 Super Yang-Mills Theorie (SYM) als vergleichsweise einfache wechselwirkende Quantenfeldtheorie etabliert. Es konnte gezeigt werden, dass N=4 SYM im sogenannten planaren Limes eine integrable konforme Feldtheorie ist. Diese Erkenntnis wurde im Rahmen der Lösung des Spektralproblems gewonnen, das als die Diagonalisierung des Dilatationsoperators definiert ist. Dieser Operator ist der Teil der konformen Algebra, der Skalentransformationen erzeugt. In jüngerer Zeit wurde vorgeschlagen, dass verwandte Theorien, die man kollektiv als stark getwistete N=4 SYM bezeichnet, tatsächlich einfacher wären. Wir untersuchen das Spektralproblem dieser Theorien und bestimmen die Eigenwerte des Dilatationsoperators. Dabei ist unsere Analyse auf Einschleifenordnung beschränkt. Wir leiten zunächst den Einschleifendilatationsoperator der stark getwisteten Modelle her. Bemerkenswerterweise ist der Dilatationsoperator nicht diagonalisierbar, da die stark getwisteten Theorien nicht unitär sind. Wir definieren den Begriff des eklektischen Feldinhalts von lokalen zusammengesetzten Operatoren. Eine endliche Potenz des Dilatationsoperators bildet die entsprechenden Operatoren mit eklektischem Feldinhalt auf null ab. Die Herleitung unterschiedlicher Bethe Ansätze wird präsentiert um die Eigenzustände des Dilatationsoperators zu finden. Wir stellen die Lösungen der Bethe Gleichungen vor, wobei wir Sektor für Sektor vorgehen. Wir konstruieren auch einige der auftretenden Jordan Blöcke. Des Weiteren diskutieren wir den Einfluss, den die Jordan Blöcke auf die Zweipunktfunktionen der Theorie haben. In einer nicht unitären Theorie ist die Klassifikation der lokal zusammengesetzten Operatoren in Primäroperatoren und Abkömmlinge nicht vollständig und eine dritte Art Operator, nämlich der logarithmische Operator, tritt auf. Die entsprechenden Zweipunktfunktionen enthalten Logarithmen. / Over the last two decades, N=4 Super Yang-Mills theory (SYM) has established a reputation of being the simplest interacting quantum field theory in four dimensions. In the so-called planar limit, N=4 SYM turned out to be an integrable conformal field theory. Integrability was first found when solving the spectral problem, which is defined as diagonalising the dilatation operator. The latter is the part of the conformal algebra generating scaling transformations. Its eigenvalues are the anomalous dimensions. More recently, it was proposed that a certain non-unitary deformation of N=4 SYM, the so-called strongly-twisted theories, are actually simpler. We investigate the spectral problem of these theories at one-loop order. We derive the one-loop dilatation operator of the strongly-twisted models and express it in terms of the one of the untwisted theory. Notably, since the strongly-twisted theories are non-unitary, the dilatation operator turns out to be non-diagonalisable. We define the notion of eclectic field content of local composite operators. A finite number of applications of the dilatation operator annihilates these local composite operators with eclectic field content. A derivation of several different Bethe ansätze to find eigenstates of the dilatation operator is presented. Furthermore, we also propose a short-cut to derive the Bethe equations from those of the unscaled models. We present solutions to the Bethe equations sector by sector, derive the Jordan blocks of the dilatation operator and show their impact on the two-point correlation functions of the theory. The classification of local composite operators into primaries and descendants is no longer complete in a non-unitary theory and a third type of operator, named a logarithmic operator, appears. The corresponding two-point functions contain logarithms.

Integrabilität hat sich als ein mächtiges Werkzeug zur Berechnung von Observablen in der AdS/CFT-Korrespondenz erwiesen. Zunächst für das planare Spektralproblem entdeckt, wurden auch Methoden zur Berechnung von Mehrpunktfunktionen entwickelt. In dieser Arbeit wird diese Korrespondenz für AdS5/CFT4 und AdS3/CFT2 betrachtet mit dem Ziel, den integrablen Formalismus zu erweitern. Teil I behandelt Integrabilität in der N=4 SYM-Theorie, wo der Hexagon-Formalismus die Berechnung von Dreipunktfunktionen ermöglicht. Dazu wird der Korrelator in zwei hexagonale Stücke zerlegt. Die lokalen Operatoren müssen im Spinkettenbild als Bethe-Zustand zerschnitten und ein verschränkter Zustand konstruiert werden. Der Hexagon-Formalismus wird hier auf Sektoren mit höherem Rang erweitert, wobei die operatorartige Struktur erhalten und nur minimale Informationen aus dem geschachtelten Bethe-Ansatz genutzt werden. Weiterhin erlaubt die Betrachtung von Doppelanregungen im Spinkettenbild die Realisierung aller Felder der N=4 SYM-Theorie. Der chirale Yang-Mills-Feldstärketensor wird aus vier Fermionen in führender Ordnung der Kopplung konstruiert, eine Methode zur Einsetzung des Lagrangeoperators im Hexagon-Formalismus wird vorgeschlagen und ein erster Test durchgeführt. Teil II behandelt den Hexagon-Formalismus für Superstrings auf AdS3xS3xT4 Hintergründen mit einer Mischung von Ramond-Ramond und Neveu-Schwarz-Neveu-Schwarz Flüssen. Der Formfaktor wird für Ein- und Zwei-Teilchen-Zustände konstruiert und lässt sich für viele Teilchen unter Nutzung der S Matrix verallgemeinern. Schließlich werden die thermodynamischen Bethe-Ansatz (TBA)-Gleichungen betrachtet, die von Frolov und Sfondrini für das Spektrum von Strings auf reinem Ramond-Ramond AdS3xS3xT4 Hintergrund konstruiert wurden. Bei schwacher Kopplung lassen sich die TBA-Gleichungen erheblich vereinfachen. Der Beitrag zu den anomalen Dimensionen in führender Ordnung ist auf masselose Anregungen zurückzuführen. / Integrability proved to be a powerful tool to calculate observables in the AdS/CFT correspondence. At first discovered in the planar spectral problem, methods have since been devised for calculating higher-point functions as well. In this thesis we will consider two instances of the correspondence, that is AdS5/CFT4 as well as AdS3/CFT2, aiming at extending the integrability framework. In Part I we focus on integrability in N=4 SYM theory, where the hexagon form factor provides a formalism to calculate three-point functions. For this, the correlator is cut into two hexagonal patches. Considering the local operators in the spin chain picture, the Bethe states also need to be cut, resulting in an entangled state. In this thesis, we extend the hexagon formalism to higher-rank sectors, while preserving its operator-like structure and importing a minimum of information from the nested Bethe ansatz. Moreover, considering double excitations in the spin chain picture allows us to accommodate for the full set of fields in N=4 SYM theory. We build the chiral Yang-Mills field strength tensor from four fermions at leading order in the coupling, put forward a Lagrangian insertion method in the hexagon formalism and perform a first test. In Part II we propose a hexagon formalism for superstrings in AdS3×S3×T4 backgrounds with an arbitrary mixture or Ramond-Ramond and Neveu-Schwarz-Neveu-Schwarz fluxes. We bootstrap the hexagon form factor for one- and two-particle states from symmetry and give a proposal for the evaluation of many particle states in terms of the theorie's S matrix. Finally, we consider the thermodynamic Bethe ansatz (TBA) equations constructed by Frolov and Sfondrini for the spectrum of strings on the pure-Ramond-Ramond AdS3×S3×T4 background. Here we study the small tension limit of the mirror TBA equations and find that the equations simplify considerably. We observe that the leading-order contribution to the anomalous dimensions is due to massless excitations.

Konforme Feldtheorien (CFT) spielen eine Schlüsselrolle in der modernen theoretischen Physik. Mit CFT beschreibt man reale physikalische Systeme bei Kritikalität. Dank der AdS/CFT-Korrespondenz spielt sie auch bei der Untersuchung der Quantengravitation eine zentrale Rolle. Auf der Seite der CFT steht die N=4 supersymmetrische Yang-Mills (SYM) Theorie. Diese Arbeit dreht sich hauptsächlich um die supersymmetrische Wilson-Linie und ihre Interpretation als konformer Defekt in N=4 SYM. Insbesondere konzentrieren wir uns auf Anregungen, die auf dem Defekt lokalisiert sind, sogenannte Einfügungen, deren Korrelatoren durch eine eindimensionale CFT beschrieben werden. Das erste Hauptergebnis dieser Arbeit ist ein effizienter Algorithmus zur Berechnung von Mehrpunkt Korrelationsfunktionen von Skalareinfügungen auf der Wilson-Linie bis zur nächsten Ordnung bei schwacher Kopplung kodieren. Es werden verschiedene Berechnungen solcher Vier-, Fünf- und Sechspunkt-Korrelatoren gezeigt und ihre Eigenschaften diskutiert. Darüber hinaus wird am Beispiel der Vierpunkt-Funktion die Leistungsfähigkeit der Ward-Identitäten veranschaulicht, die für die Ableitung eines Ergebnisses nächster, vorletzter und führender Ordnung entscheidend sind. Dank dieser perturbativen Ergebnisse vermuten wir eine Mehrpunkt-Erweiterung der Ward-Identitäten, die von den Vier-Punkt-Funktionen erfüllt werden. Diese nichtperturbativen Beschränkungen erweisen sich als fundamentale Bestandteile des Bootstraps einer Fünfpunkt-Funktion bei starker Kopplung. Zum Abschluss dieser Arbeit definieren wir eine inhärent eindimensionale Mellin-Amplitude auf der nichtperturbativen Ebene mit geeigneten Subtraktionen und analytischen Fortsetzungen. Die Effizienz des 1d-Mellin-Formalismus zeigt sich auf der perturbativen Ebene. Man findet einen Ausdruck in geschlossener Form für die Mellin-Transformation von Kontaktwechselwirkungen führender Ordnung, den man verwendet, um CFT-Daten zu extrahieren. / Conformal field theory (CFT) plays a key role in modern theoretical physics. Through CFT we describe real physical systems at criticality and fixed points of the renormalization group flow. It is also central in the study of quantum gravity, thanks to the AdS/CFT correspondence. This thesis originates in the context of the N=4 supersymmetric Yang-Mills (SYM) theory, which represents the CFT side of this correspondence. This work mainly revolves around the supersymmetric Wilson line and its interpretation as a conformal defect in N=4 SYM. Particularly, we focus on excitations localized on the defect called insertions, whose correlators are described by a one-dimensional CFT. The first main result of this work is an efficient algorithm for computing multipoint correlation functions of scalar insertions on the Wilson line, consisting of recursion relations encoding the possible interactions up to next-to-leading order at weak coupling. We show various computations of such four-, five- and six-point correlators, and discuss their properties. Moreover, we use the four-point function case to illustrate the power of the Ward identities, which are crucial in deriving a next-to-next-to-leading order result. Thanks to these perturbative results, we find a family of differential operators annihilating our correlation functions, which we conjecture to be a multipoint extension of the Ward identities satisfied by the four-point functions. These non-perturbative constraints are shown to be fundamental ingredients in the bootstrap of a five-point function at strong coupling. To conclude this thesis, we define an inherently one-dimensional Mellin amplitude at the non-perturbative level with appropriate subtractions and analytical continuations. The efficiency of the 1d Mellin formalism is manifest at the perturbative level. We find a closed-form expression for the Mellin transform of leading order contact interactions and use it to extract CFT data.

In dieser Dissertation erweitern wir die Ideen des Yangian-Bootstrap-Algorithmus auf Feynman-Diagramme mit massiven Teilchen. Ausgehend von der massiven dual-konformen Symmetrie der N = 4 Super-Yang-Mills Theorie auf dem Coulomb-Zweig konstruieren wir einen Satz von bilokalen Yangian Level-Eins Generatoren und zeigen, dass sie eine unendliche Anzahl von planaren ein- und zwei-Schleifen-Diagrammen vernichten. Wir beschreiben außerdem wie der dual-konforme Level-Eins Impuls-Operator auf eine massive Verallgemeinerung des gewöhnlichen spezial-konformen Generators im Impulsraum abgebildet wird. Als nächstes wenden wir den Yangian-Bootstrap-Algorithmus mit großem Erfolg auf eine Reihe von massiven Ein-Schleifen-Diagrammen mit verallgemeinerten Propagatorexponenten und in beliebiger Anzahl von Raumdimensionen an. Im Spezialfall der dual-konformen Integrale, deren Propagatorexponenten sich zur Raumdimension addieren, finden wir neue sehr einfache Darstellungen durch hypergeometrische Funktionen, die eine natürliche Verallgemeinerung für Diagramme mit beliebig vielen äußeren Punkten erlauben. Außerdem diskutieren wir Aspekte des Yangian-Bootstrap-Algorithmus in Minkowski-Raumzeit am Beispiel des masselosen Box-Integrals. Wir zeigen, dass dessen Yangian-Symmetrie gemeinsam mit seinen diskreten Permutationssymmetrien das Box-Integrals bis auf 12 unbestimmte Konstanten komplett festlegt. Schließlich schlagen wir vor, dass das Auftreten von Yangian-Symmetrie in massiven Fischnetz-Diagrammen mit deren Rolle als Ein-Spur-Streuamplituden in einer massiven Fischnetz-Theorie zusammenhängen könnte. In Analogie mit der masselosen Fischnetz-Theorie zeigen wir, wie diese Theorie als Deformation der N = 4 Super-Yang-Mills Theorie auf dem Coulomb-Zweig definiert werden kann. Wir diskutieren eine bestimmte Klasse von planaren Grenzfällen, in der die off-shell Streuamplituden der Theorie eine massive dual-konforme Symmetrie sowie Yangian-Symmetrie aufweisen. / In this dissertation, we extend the ideas of the Yangian bootstrap algorithm to massive Feynman diagrams. Based on the massive dual-conformal symmetry of Coulomb branch N = 4 super-Yang-Mills theory, we construct a set of bi-local Yangian level-one generators and show that they annihilate infinite classes of massive planar Feynman integrals at one and two loops. We also describe how the dual-conformal level-one momentum generator maps to a massive deformation of the ordinary momentum space special conformal generator. We then apply the Yangian bootstrap to a set of massive one-loop integrals with generalised propagator powers and in an arbitrary number of space dimensions to great success. In the special case of dual-conformal integrals, whose propagator powers sum to the space dimension, we find very simple novel hypergeometric structures, suggesting a natural generalisation to diagrams with an arbitrary number of external points. In the particular case of the massless box integral we also discuss elements of the Yangian bootstrap in Minkowski space. We show that its Yangian and discrete permutation symmetries constrain it up to 12 undetermined constants. We then derive the values of these constants via analytic continuation from the box integral in the Euclidean region. Finally, we provide evidence that the appearance of Yangian symmetry for massive fishnet diagrams is related to their role as colour-ordered scattering amplitudes in a massive fishnet theory. We show how to construct this theory from Coulomb branch N = 4 super-Yang-Mills theory, paralleling the original construction of the massless fishnet theory. We discuss how a particular class of planar limits leads to the emergence of massive dual-conformal symmetry as well as massive Yangian symmetry for the theory’s off-shell scattering amplitudes.

In dieser Dissertation untersuchen wir unterschiedliche Aspekte im Zusammenhang mit Korrelationsfunktionen in der Fischnetz-Theorie. Zunächst betrachten wir einen der einfachsten Korrelatoren der Fischnetz Theorie, das konforme Box-Integral, in Minkowski Signatur. Während dieses Integral in Euklidischer Signatur eine konforme Symmetrie aufweist, wird diese Symmetrie in Minkowski-Raumzeit subtil gebrochen. Wir beschreiben die Brechung der konformen Symmetrie quantitativ, indem wir die funktionale Form des Box-Integrals in allen kinematischen Regionen untersuchen. Ausserdem untersuchen wir das Ausmass zu dem das Box integral durch seine Yangian-Symmetrie festgelegt ist. Als nächstes widmen wir uns den Basso-Dixon-Graphen, die ebenfalls konforme Vier-Punkt-Integrale sind und Verallgemeinerungen des Box-Integrals zu höheren Schleifenordnungen darstellen. Wir leiten die Yangian-Ward-Identitäten ab, die diese Klasse von Integralen erfüllen. Die Ward-Identitäten sind einhomogene Erweiterungen der partiellen Differentialgleichungen, die im homogenen Fall durch Appell-Hypergeometrische Funktionen gelöst werden. Die Ward-Identitäten können natürlicherweise auf eine Ein-Parameter-Familie von D-dimensionalen Integralen erweitert werden, die Korrelatoren in der verallgemeinerten Fischnetz-Theorie von Kazakov und Olivucci darstellen. Schliesslich untersuchen wir den Dilatationsoperator in einem Drei-Skalar-Sektor der Fischnetztheorie, der auch als Eklektisches Modell bezeichnet wird. In diesem Sektor der Dilatationsoperator nimmt nicht--diagonalisierbare Form an. Das führt dazu, dass die Zwei-Punkt-Korrelationsfunktionen eine logarithmische Abhängigkeit von der Raumzeitseparierung der Operatoren annimmt. Unter Zuhilfenahme von kombinatorischen Argumenten führen wir eine generierende Funktion ein, die das Jordan-Block-Spektrum eines verwandten Modells, der hypereklektischen Spinkette, vollständig charakterisiert. / We study various aspects of correlation functions in fishnet theory. We begin with the study of the simplest correlator in theory theory, represented by the conformal box integral, in Minkowski space. While this integral is conformally invariant in Euclidean space, this symmetry is subtly broken in Minkowski space. We quantify the extent to which conformal symmetry is broken by analysing the functional form of the box in each kinematic region. We propose a new method to calculate the box integral directly in Minkowski space, by introducing a family of configurations with two points at infinity. Furthermore, we investigate the extent to which the box integral is constrained by Yangian symmetry. We constrain the functional form of the box integral in all kinematic regions up to twelve undetermined constants, which we fix by three separate analytic continuations from the Euclidean region. Next, we study the Basso-Dixon graphs, which represent higher-loop versions of the box integral. We derive and study Yangian Ward identities for this class of integrals. These take the form of inhomogeneous extensions of the partial differential equations defining the Appell hypergeometric functions. The Ward identities naturally generalise to a one-parameter family of D dimensional integrals representing correlators in a generalised fishnet theory. Finally, we study the dilatation operator in a particular three scalar sector of the fishnet theory, which has been dubbed the eclectic model. This dilatation operator is non-diagonalisable in this sector. This leads to logarithmic spacetime dependence in the corresponding two-point functions. Using combinatorial arguments, we introduce a generating function which fully characterises the Jordan block spectrum of a related model: the hypereclectic spin chain. This function is found by purely combinatorial means and can be expressed in terms of the q-binomial coefficient.

Effiziente und zuverlässige a posteriori Fehlerabschätzungen sind eine Hauptzutat für die effiziente numerische Berechnung von Lösungen zu Variationsungleichungen durch die Finite-Elemente-Methode. Die vorliegende Arbeit untersucht zuverlässige und effiziente Fehlerabschätzungen für beliebige Finite-Elemente-Methoden und drei Variationsungleichungen, nämlich dem Hindernisproblem, dem Signorini Problem und dem Bingham Problem in zwei Raumdimensionen. Die Fehlerabschätzungen hängen vom zum Problem gehörenden Lagrange Multiplikator ab, der eine Verbindung zwischen der Variationsungleichung und dem zugehörigen linearen Problem darstellt. Effizienz und Zuverlässigkeit werden bezüglich eines totalen Fehlers gezeigt. Die Fehleranschätzungen fordern minimale Regularität. Die Approximation der exakten Lösung erfüllt die Dirichlet Randbedingungen und die Approximation des Lagrange Multiplikators ist nicht-positiv im Falle des Hindernis- und Signoriniproblems, und hat Betrag kleiner gleich 1 für das Bingham Problem. Dieses allgemeine Vorgehen ermöglicht das Einbinden nicht-exakter diskreter Lösungen, welche im Kontext dieser Ungleichungen auftreten. Aus dem Blickwinkel der Anwendungen ist Effizienz und Zuverlässigkeit im Bezug auf den Fehler der primalen Variablen in der Energienorm von großem Interesse. Solche Abschätzungen hängen von der Wahl eines effizienten diskreten Lagrange Multiplikators ab. Im Falle des Hindernis- und Signorini Problems werden postive Beispiele für drei Finite-Elemente Methoden, der konformen Courant Methode, der nicht-konformen Crouzeix-Raviart Methode und der gemischten Raviart-Thomas Methode niedrigster Ordnung hergeleitet. Partielle Resultate liegen im Fall des Bingham Problems vor. Numerischer Experimente heben die theoretischen Ergebnisse hervor und zeigen Effizienz und Zuverlässigkeit. Die numerischen Tests legen nahe, dass der aus den Abschätzungen resultierende adaptive Algorithmus mit optimaler Konvergenzrate konvergiert. / Efficient and reliable a posteriori error estimates are a key ingredient for the efficient numerical computation of solutions for variational inequalities by the finite element method. This thesis studies such reliable and efficient error estimates for arbitrary finite element methods and three representative variational inequalities, namely the obstacle problem, the Signorini problem, and the Bingham problem in two space dimensions. The error estimates rely on a problem connected Lagrange multiplier, which presents a connection between the variational inequality and the corresponding linear problem. Reliability and efficiency are shown with respect to some total error. Reliability and efficiency are shown under minimal regularity assumptions. The approximation to the exact solution satisfies the Dirichlet boundary conditions, and an approximation of the Lagrange multiplier is non-positive in the case of the obstacle and Signorini problem and has an absolute value smaller than 1 for the Bingham flow problem. These general assumptions allow for reliable and efficient a posteriori error analysis even in the presence of inexact solve, which naturally occurs in the context of variational inequalities. From the point of view of the applications, reliability and efficiency with respect to the error of the primal variable in the energy norm is of great interest. Such estimates depend on the efficient design of a discrete Lagrange multiplier. Affirmative examples of discrete Lagrange multipliers are presented for the obstacle and Signorini problem and three different first-order finite element methods, namely the conforming Courant, the non-conforming Crouzeix-Raviart, and the mixed Raviart-Thomas FEM. Partial results exist for the Bingham flow problem. Numerical experiments highlight the theoretical results, and show efficiency and reliability. The numerical tests suggest that the resulting adaptive algorithms converge with optimal convergence rates.

In den letzten Jahren hat die Erforschung von Branen zu vielen neuen Einsichten in String- und M-Theorie geführt. Ein Großteil dieser Forschung behandelte den Fall großen Volumens, wo geometrische Methoden zuverlässige Informationen liefern. Die Extrapolation in den Bereich, wo die endliche Ausdehnung des Strings wichtig wird (`stringy regime'), erfordert gewöhnlich neue Methoden aus der konformen Feldtheorie mit Randbedingungen. Branen auf Gruppenmannigfaltigkeiten ermöglichen einen guten Zugang zu diesem Problem. Obwohl sie nichttriviale Hintergründe beschreiben, was zu vielen interessanten Effekten führt, sind sie immer noch gut beherrschbar. Sie dienen auch als Bausteine bei den Restklassen- und Orbifoldkonstruktionen von im Wesentlichen allen bekannten konformen Modellen. Die vorliegende Arbeit untersucht die Dynamik von Branen auf Gruppenmannigfaltigkeiten und Restklassenmodellen. In einem bestimmten Grenzfall wird die Dynamik von nichtkommutativen Eichtheorien regiert. Viele der Prozesse lassen sich in den Bereich extrapolieren, wo Stringeffekte eine Rolle spielen. Sie äußern sich als Renormierungsgruppenflüsse auf den zweidimensionalen Weltflächentheorien mit Rändern. Solche Flüsse sind auch von Interesse in der Festkörpertheorie, wo sie Randphänomene in eindimensionalen Systemen beschreiben. Wesentliche Daten über diese dynamischen Prozesse sind in Ladungen von D-Branen kodiert. Wir werden die Resultate, die wir über Prozesse zwischen verschiedenen Brankonfigurationen erhalten, mit der Vermutung vergleichen, dass die Ladungen Werte in getwisteten K-Gruppen annehmen. / In recent years, the study of branes has led to many new insights into string and M-theory. Much of this study was done in the large-volume regime where geometric techniques provide reliable information. The extrapolation into the stringy regime usually requires new methods from boundary conformal field theory. Branes on group manifolds give us a good handle on this issue. Although they describe non-trivial backgrounds leading to many interesting effects, they are still tractable. They also serve as building blocks in the coset and orbifold constructions of essentially all known conformal models. The present thesis investigates the dynamics of branes on group manifolds and coset models. In some limiting regime, the dynamics are governed by non-commuta\-tive gauge theories. Many of the processes can be extrapolated to the stringy regime. They manifest themselves as renormalization group flows on the two-dimensional worldsheet theories with boundaries. Such flows are of interest also in condensed matter theory where they describe boundary phenomena in one-dimensional systems. Essential data on these dynamical processes are encoded in D-brane charges. We will compare the obtained results on processes between brane configurations with the conjecture that the charges take their values in twisted K-groups.

Diese Dissertation verallgemeinert die nichtkonformen Finite-Elemente-Methoden (FEMn) nach Morley und Crouzeix und Raviart durch neue gemischte Formulierungen für das Poisson-Problem, die Stokes-Gleichungen, die Navier-Lamé-Gleichungen der linearen Elastizität und m-Laplace-Gleichungen der Form $(-1)^m\Delta^m u=f$ für beliebiges m=1,2,3,... Diese Formulierungen beruhen auf Helmholtz-Zerlegungen. Die neuen Formulierungen gestatten die Verwendung von Ansatzräumen beliebigen Polynomgrades und ihre Diskretisierungen stimmen für den niedrigsten Polynomgrad mit den genannten nicht-konformen FEMn überein. Auch für höhere Polynomgrade ergeben sich robuste Diskretisierungen für fast-inkompressible Materialien und Approximationen für die Lösungen der Stokes-Gleichungen, die punktweise die Masse erhalten. Dieser Ansatz erlaubt außerdem eine Verallgemeinerung der nichtkonformen FEMn von der Poisson- und der biharmonischen Gleichung auf m-Laplace-Gleichungen für beliebiges m>2. Ermöglicht wird dies durch eine neue Helmholtz-Zerlegung für tensorwertige Funktionen. Die neuen Diskretisierungen lassen sich nicht nur für beliebiges m einheitlich implementieren, sondern sie erlauben auch Ansatzräume niedrigster Ordnung, z.B. stückweise affine Polynome für beliebiges m. Hat eine Lösung der betrachteten Probleme Singularitäten, so beeinträchtigt dies in der Regel die Konvergenz so stark, dass höhere Polynomgrade in den Ansatzräumen auf uniformen Gittern dieselbe Konvergenzrate zeigen wie niedrigere Polynomgrade. Deshalb sind gerade für höhere Polynomgrade in den Ansatzräumen adaptiv generierte Gitter unabdingbar. Neben der A-priori- und der A-posteriori-Analysis werden in dieser Dissertation optimale Konvergenzraten für adaptive Algorithmen für die neuen Diskretisierungen des Poisson-Problems, der Stokes-Gleichungen und der m-Laplace-Gleichung bewiesen. Diese werden auch in den numerischen Beispielen dieser Dissertation empirisch nachgewiesen. / This thesis generalizes the non-conforming finite element methods (FEMs) of Morley and Crouzeix and Raviart by novel mixed formulations for the Poisson problem, the Stokes equations, the Navier-Lamé equations of linear elasticity, and mth-Laplace equations of the form $(-1)^m\Delta^m u=f$ for arbitrary m=1,2,3,... These formulations are based on Helmholtz decompositions. The new formulations allow for ansatz spaces of arbitrary polynomial degree and its discretizations coincide with the mentioned non-conforming FEMs for the lowest polynomial degree. Also for higher polynomial degrees, this results in robust discretizations for almost incompressible materials and approximations of the solution of the Stokes equations with pointwise mass conservation. Furthermore this approach also allows for a generalization of the non-conforming FEMs for the Poisson problem and the biharmonic equation to mth-Laplace equations for arbitrary m>2. A new Helmholtz decomposition for tensor-valued functions enables this. The new discretizations allow not only for a uniform implementation for arbitrary m, but they also allow for lowest-order ansatz spaces, e.g., piecewise affine polynomials for arbitrary m. The presence of singularities usually affects the convergence such that higher polynomial degrees in the ansatz spaces show the same convergence rate on uniform meshes as lower polynomial degrees. Therefore adaptive mesh-generation is indispensable especially for ansatz spaces of higher polynomial degree. Besides the a priori and a posteriori analysis, this thesis proves optimal convergence rates for adaptive algorithms for the new discretizations of the Poisson problem, the Stokes equations, and mth-Laplace equations. This is also demonstrated in the numerical experiments of this thesis.