A commonly used tool in data analysis is to compute a sample mean. Assuming a uni-modal distribution, its mean provides valuable information about which value is typically found in an observation. Also, it is one of the simplest and therefore very robust statistics to compute and suffers much less from sampling effects of tails of the distribution than estimates of higher moments. In the context of a time series, the sample mean is a time average. Due to correla- tions among successive data points, the information stored in a time series might be much less than the information stored in a sample of independently drawn data points of equal size, since correlation always implies redundancy. Hence, the issue of how close the sample estimate of a time average is to the true mean value of the process depends on correlations in data. In this thesis, we will study the proba- bility that a single time average deviates by more than some threshold value from the true process mean. This will be called the Large Deviation Probability (LDP), and it will be a function of the time interval over which the average is taken: The longer the time interval, the smaller will this probability be. However, it is the precise functional form of this decay which will be in the focus of this thesis. The LDP is proven to decay exponentially for identically independently distributed data. On the other hand we will see in this thesis that this result does not apply to long-range correlated data. The LDP is found to decay slower than exponential for such data. It will be shown that for intermittent series this exponential decay breaks down severely and the LDP is a power law. These findings are outlined in the methodological explanations in chapter 3, after an overview of the theoretical background in chapter 2. In chapter 4, the theoretical and numerical results for the studied models in chapter 3 are compared to two types of empirical data sets which are both known to be long- range correlated in the literature. The earth surface temperature of two stations of two climatic zones are modelled and the error bars for the finite time averages are estimated. Knowing that the data is long-range correlated by estimating the scaling exponent of the so called fluctuation function, the LDP estimation leads to noticeably enlarged error bars of time averages, based on the results in chapter 3. The same analysis is applied on heart inter-beat data in chapter 5. The contra- diction to the classical large deviation principle is even more severe in this case, induced by the long-range correlations and additional inherent non-stationarity. It will be shown that the inter-beat intervals can be well modeled by bounded fractional Brownian motion. The theoretical and numerical LDP, both for the model and the data, surprisingly indicates no clear decay of LDP for the time scales under study.

An important task in brain modeling is that of estimating model parameters and quantifying their uncertainty. In this thesis we tackle this problem from a Bayesian perspective: we use experimental data to update the prior information about model parameters, in order to obtain their posterior distribution. Uncertainty quantification via a direct computation of the posterior has a prohibitive computational cost in high dimensions. An alternative to a direct computation is offered by Markov chain Monte Carlo (MCMC) methods. The aim of this project is to analyse some of the methods within this class and improve their convergence. In this thesis we describe the following MCMC methods: Metropolis-Hastings (MH) algorithm, Metropolis adjusted Langevin algorithm (MALA), simplified manifold MALA (smMALA) and Approximate Bayesian Computation MCMC (ABCMCMC). SmMALA is further analysed in Paper A, where we propose an algorithm to approximate a key component of this algorithm (the Fisher Information) when applied to ODE models, with the purpose of reducing the computational cost of the method. A theoretical analysis of MCMC methods is carried out in Paper B and relies on tools from the theory of large deviations. In particular, we analyse the convergence of the MH algorithm by stating and proving a large deviation principle (LDP) for the empirical measures produced by the algorithm. Some of the methods analysed in this thesis are implemented in an R package, available on GitHub as “icpm-kth/uqsa” and presented in Paper C, and are applied to subcellular pathway models within neurons in the context of uncertainty quantification of the model parameters. / En viktig uppgift inom hjärnmodellering är att uppskatta parametrar i modellen och kvantifiera deras osäkerhet. I denna avhandling hanterar vi detta problem från ett Bayesianskt perspektiv: vi använder experimentell data för att uppdatera a priori kunskap av modellparametrar, för att erhålla deras posteriori-fördelning. Osäkerhetskvantifiering (UQ) via direkt beräkning av posteriorfördelningen har en hög beräkningskostnad vid höga dimensioner. Ett alternativ till direkt beräkning ges av Markov chain Monte Carlo (MCMC) metoder. Syftet med det här projektet är att analysera några MCMC metoder och förbättra deras konvergens. I denna avhandling beskriver vi följande MCMC algoritmer: “Metropolis-Hastings” (MH), “Metropolis adjusted Langevin” (MALA), “Simplified Manifold MALA” (smMALA) och “Approximate Bayesian Computation MCMC” (ABCMCMC). SmMALA analyseras i artikel A. Där presenterar vi en algoritm för att approximera en nyckelkomponent av denna algoritm (Fisher informationen) när den tillämpas på ODE modeller i syfte att minska metodens beräkningskostnad. En teoretisk analys av MCMC metoder behandlas i artikel B och bygger på verktyg från teorin av stora avvikelser. Mer specifikt, vi analyserar MH algoritmens konvergens genom att formulera och bevisa en stora avvikelser princip (LDP) för de empiriska mått som produceras av algoritmen. Några av metoderna analyserade i den här avhandlingen har implementerats i ett R paket som finns på GitHub som “icpm-kth/uqsa” och presenteras i artikel C. Metoderna tillämpas på subcellulära vägmodeller inom neuroner i sammanhanget av osäkerhetskvantifieringen av modellparametrar. / <p>QC 2023-08-21</p>

Le sujet principal de ce mémoire est l'étude de la distribution asymptotique de la fonction f_m qui compte le nombre de diviseurs premiers distincts parmi les nombres premiers $p_1,...,p_m$. Au premier chapitre, nous présentons les sept résultats qui seront démontrés au chapitre 4. Parmi ceux-ci figurent l'analogue du théorème d'Erdos-Kac et un résultat sur les grandes déviations. Au second chapitre, nous définissons les espaces de probabilités qui serviront à calculer les probabilités asymptotiques des événements considérés, et éventuellement à calculer les densités qui leur correspondent. Le troisième chapitre est la partie centrale du mémoire. On y définit la promenade aléatoire qui, une fois normalisée, convergera vers le mouvement brownien. De là, découleront les résultats qui formeront la base des démonstrations de ceux chapitre 1. / The main topic of this masters thesis is the study of the asymptotic distribution of the fonction f_m which counts the number of distinct prime divisors among the first $m$ prime numbers, i.e. $p_1,...,p_m$. The first chapter provides the seven main results which will later on be proved in chapter 4. Among these we find the analogue of the Erdos-Kac central limit theorem and a result on large deviations. In the following chapter, we define several probability spaces on which we will calculate asymptotic probabilities of specific events. These will become necessary for calculating their corresponding densities. The third chapter is the main part of this masters thesis. In it, we introduce a random walk which, when suitably normalized, will converge to the Brownian motion. We will then obtain results which will form the basis of the proofs of those of chapiter 1.

Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit der Anwendung der Theorie der großen Abweichungen auf verschiedene Fragestellungen der stochastischen Analysis und stochastischen Dynamik von Sprungprozessen. Die erste Fragestellung behandelt die erste Austrittszeit aus einem beschränkten Gebiet für eine bestimmte Klasse von Sprungdiffusionen mit exponentiell leichten Sprüngen. In Abhängigkeit von der Leichtheit des Sprungmaßes wird das asymptotische Verhalten der Verteilung und insbesondere der Erwartung der ersten Austrittszeit bestimmt wenn das Rauschen verschwindet. Dabei folgt die Verteilung der ersten Austrittszeit einem Prinzip der großen Abweichungen im Falle eines superexponentiellen Sprungmaßes. Wohingegen im subexponentiellen Fall die Verteilung einem Prinzip moderater Abweichungen genügt. In beiden Fällen wird die Asymptotik bestimmt durch eine deterministische Größe, die den minimalen Energieaufwand beschreibt, um die Sprungdiffusion einen optimalen Kontrollpfad, der zum Austritt führt, folgen zu lassen. Die zweite Fragestellung widmet sich dem Grenzverhalten gekoppelter Vorwärts-Rückwärtssysteme stochastischer Differentialgleichungen bei kleinem Rauschen. Dazu assoziiert ist eine spezielle Klasse nicht-lokaler partieller Differentialgleichungen, die auch in nicht-lokalen Modellen der Fluiddynamik eine Rolle spielen. Mithilfe eines probabilistischen Ansatzes und der Markovschen Struktur dieser Systeme wird die Konvergenz auf Ebene von Viskositätslösungen untersucht. Dabei wird ein Prinzip der großen Abweichungen für die involvierten Stochastischen Prozesse hergeleitet. / This thesis deals with applications of Large Deviations Theory to different problems of Stochastic Dynamics and Stochastic Analysis concerning Jump Processes. The first problem we address is the first exit time from a fixed bounded domain for a certain class of exponentially light jump diffusions. According to the lightness of the jump measure of the driving process, we derive, when the source of the noise vanishes, the asymptotic behavior of the law and of the expected value of first exit time. In the super-exponential regime the law of the first exit time follows a large deviations scale and in the sub-exponential regime it follows a moderate deviations one. In both regimes the first exit time is comprehended, in the small noise limit, in terms of a deterministic quantity that encodes the minimal energy the jump diffusion needs to spend in order to follow an optimal controlled path that leads to the exit. The second problem that we analyze is the small noise limit of a certain class of coupled forward-backward systems of Stochastic Differential Equations. Associated to these stochastic objects are some nonlinear nonlocal Partial Differential Equations that arise as nonlocal toy-models of Fluid Dynamics. Using a probabilistic approach and the Markov nature of these systems we study the convergence at the level of viscosity solutions and we derive a large deviations principles for the laws of the stochastic processes that are involved.

Dans cette thèse on s'intéresse au temps local d'auto-intersections de marches aléatoires. Cette quantité est définie comme la norme-p à la puissance p du temps local de la marche. Elle regarde dans quelle mesure la trajectoire de la marche aléatoire s'intersecte. Le temps local d'auto-intersections est lié à différents modèles physiques comme les modèles de polymères ou les problèmes d'écoulements de flux en milieux stratifiés mais aussi au modèle mathématiques des marches aléatoires en paysages aléatoires. Nous nous sommes pour notre part intéressés en particulier aux grandes déviations du temps local d'auto-intersections, c'est à dire que nous regardons la probabilité que la quantité d'intersections de la marche aléatoire soit plus grande que sa moyenne. Cette question qui a été très étudiée au cours des années 2000 fait apparaitre trois cas distincts, le cas sous-critique, le cas critique et le cas sur-critique. Nous améliorons la connaissance sur cette question au travers de deux résultats complets et d'un résultat partiel. D'abord nous prouvons un principe de grandes déviations dans les cas critique et sur-critique des marches alpha-stables, puis nous améliorons les échelles de déviations au cas sous-critique tout entier de la marche simple, enfin nous sommes en train d'étendre ce dernier résultat aux marches alpha-stables. Par ailleurs les trois preuves sont basées sur l'utilisation d'une version due à Eisenbaum d'un théorème d'isomorphisme de Dynkin. Cette méthode d'abord introduite par Castell dans le cas critique est donc ici étendue aux autres cas. Nous avons donc réussi à unifier les différentes méthodes de preuves au travers ce théorème d'isomorphisme. / In this thesis we are interested in the self-intersection local times of random walks. This quantity is defined as the p-norm to the power of p of the local times of the random walk. It measures how much the trajectory of the random walk intersects itself. The self-intersection local times is connected with various physical models as polymer models or problems of anomalous dispersion in layered random flows, but it is also linked with the mathematical model of random walks in random sceneries. More precisely, we are interested in the large deviations of the self-intersection local times, i.e. we work on the probability for the intersections to be larger than expected. This question that has been studied a lot during the 2000's is divided in three cases, the subcritical one, the critical one and the super critical one. We improve the knowledge about this question by two complete results and a partial one. First, we have proved a large deviation principle in the critical and super critical cases of alpha-stable random walks, then we have improved the deviations' scales to the entire subcritical case of simple random walk, finally we are extending this last result to the alpha-stable random walks. The three proofs are based on a version due to Eisenbaum of a Dynkin isomorphism theorem. This method which has been first introduced by Castell in the critical case, is extended here to the others cases. Thus, we have succeeded to unify the methods of proof by this isomorphism theorem.

Der Beitrag unterteilt sich in zwei Teile: Teil 1 (vgl. Informationen/07; 1976,05) und Teil 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Teil 1 enthält eine Einleitung und Grenzwertsätze für unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen und die Übertragung der betrachteten Grenzwertsätze auf den Fall der Existenz einseitiger Momente. Teil 2 enthält Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen für Summen unabhängiger nichtidentisch verteilter Zufallsgrößen (Serienschema) und eine Diskussion der erhaltenen Ergebnisse und schließlich einige Literaturangaben. Sei F_n(x) die Verteilungsfunktion der Summe X_1+X_2+...+X_n, wobei X_1, X_2, ...,X_n unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen mit Erwartungswert 0 und Streuung 1 und endlichen absoluten Momenten c_m, m>2, sind, und sei Phi die standardisierte Normalverteilungsfunktion. Es werden absolute Konstanten L_i derart berechnet, dass wir Fehlerabschätzungen im unleichmäßigen zentralen Grenzwertsätzen in verschiedenen Fällen angeben können, wobei sich der Index i in L_i auf folgende fünf Fälle bezieht: kleine x, mittlere Abweichungen für x, große Abweichungen für x, kleine n und große n. Im Fall der Existenz einseitiger Momente werden obere Schanken für 1-F_n(x) angegeben für x>D_m*n^(1/2)*ln(n) bzw. x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2), womit Ergebnisse von S.V.NAGAEV(1965) präzisiert werden. / The paper is divided in two parts: part 1 (cp. Informationen/07; 1976,05) and part 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Part 1 contains an introduction and limit theorems for iid random variables and the transfer of the considered limit theorems to the case of the existence of onesided moments. Part 2 contains limit theorems of moderate deviations for sums of series of non iid random variables and a discussion of all obtained results in part 1 and 2 and finally some references. Let F_n(x) be the cdf of X_1+X_2+...+X_n, where X_1, X_2, ...,X_n are iid random variables with mean 0 and variance 1 and with m-th absolute moment c_m, m>2, and Phi the cdf of the unit normal law. Explicit universal constants L_i are computed such that we have an error estimate in the nonuniform central limit theorem with the L_i, where i corresponds to the five cases considered: small x, moderate deviations for x, large deviations for x, small n , large n. Additional upper bounds for 1-F_n(x) are obtained if the one-sided moments of order m, m>2, are finite and if x>D_m*n^(1/2)*ln(n) and x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2) respectively improving results by S.V.NAGAEV (1965).

Der Beitrag unterteilt sich in zwei Teile: Teil 1 (vgl. Informationen/07; 1976,05) und Teil 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Teil 1 enthält eine Einleitung und Grenzwertsätze für unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen und die Übertragung der betrachteten Grenzwertsätze auf den Fall der Existenz einseitiger Momente. Teil 2 enthält Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen für Summen unabhängiger nichtidentisch verteilter Zufallsgrößen (Serienschema) und eine Diskussion der erhaltenen Ergebnisse und schließlich einige Literaturangaben. Sei F_n(x) die Verteilungsfunktion der Summe X_1+X_2+...+X_n, wobei X_1, X_2, ...,X_n unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen mit Erwartungswert 0 und Streuung 1 und endlichen absoluten Momenten c_m, m>2, sind, und sei Phi die standardisierte Normalverteilungsfunktion. Es werden absolute Konstanten L_i derart berechnet, dass wir Fehlerabschätzungen im unleichmäßigen zentralen Grenzwertsätzen in verschiedenen Fällen angeben können, wobei sich der Index i in L_i auf folgende fünf Fälle bezieht: kleine x, mittlere Abweichungen für x, große Abweichungen für x, kleine n und große n. Im Fall der Existenz einseitiger Momente werden obere Schanken für 1-F_n(x) angegeben für x>D_m*n^(1/2)*ln(n) bzw. x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2), womit Ergebnisse von S.V.NAGAEV(1965) präzisiert werden. Der Beitrag unterteilt sich in zwei Teile: Teil 1 (vgl. Informationen/07; 1976,05) und Teil 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Teil 1 enthält eine Einleitung und Grenzwertsätze für unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen und die Übertragung der betrachteten Grenzwertsätze auf den Fall der Existenz einseitiger Momente. Teil 2 enthält Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen für Summen unabhängiger nichtidentisch verteilter Zufallsgrößen (Serienschema) und eine Diskussion der erhaltenen Ergebnisse und schließlich einige Literaturangaben. Sei F_n(x) die Verteilungsfunktion der Summe X_1+X_2+...+X_n, wobei X_1, X_2, ...,X_n unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen mit Erwartungswert 0 und Streuung 1 und endlichen absoluten Momenten c_m, m>2, sind, und sei Phi die standardisierte Normalverteilungsfunktion. Es werden absolute Konstanten L_i derart berechnet, dass wir Fehlerabschätzungen im unleichmäßigen zentralen Grenzwertsätzen in verschiedenen Fällen angeben können, wobei sich der Index i in L_i auf folgende fünf Fälle bezieht: kleine x, mittlere Abweichungen für x, große Abweichungen für x, kleine n und große n. Im Fall der Existenz einseitiger Momente werden obere Schanken für 1-F_n(x) angegeben für x>D_m*n^(1/2)*ln(n) bzw. x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2), womit Ergebnisse von S.V.NAGAEV(1965) präzisiert werden. / The paper is divided in two parts: part 1 (cp. Informationen/07; 1976,05) and part 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Part 1 contains an introduction and limit theorems for iid random variables and the transfer of the considered limit theorems to the case of the existence of onesided moments. Part 2 contains limit theorems of moderate deviations for sums of series of non iid random variables and a discussion of all obtained results in part 1 and 2 and finally some references. Let F_n(x) be the cdf of X_1+X_2+...+X_n, where X_1, X_2, ...,X_n are iid random variables with mean 0 and variance 1 and with m-th absolute moment c_m, m>2, and Phi the cdf of the unit normal law. Explicit universal constants L_i are computed such that we have an error estimate in the nonuniform central limit theorem with the L_i, where i corresponds to the five cases considered: small x, moderate deviations for x, large deviations for x, small n , large n. Additional upper bounds for 1-F_n(x) are obtained if the one-sided moments of order m, m>2, are finite and if x>D_m*n^(1/2)*ln(n) and x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2) respectively improving results by S.V.NAGAEV (1965).

We consider a simple one-dimensional random dynamical system with two driving vector fields and random switchings between them. We show that this system satisfies a one force - one solution principle and compute its unique invariant density explicitly. We study the limiting behavior of the invariant density as the switching rate approaches zero and infinity and derive analogues of classical probabilistic results such as the central limit theorem and large deviations principle.

We describe the large-time moment asymptotics for the parabolic Anderson model where the speed of the diffusion is coupled with time, inducing an acceleration or deceleration. We find a lower critical scale, below which the mass flow gets stuck. On this scale, a new interesting variational problem arises in the description of the asymptotics. Furthermore, we find an upper critical scale above which the potential enters the asymptotics only via some average, but not via its extreme values. We make out altogether five phases, three of which can be described by results that are qualitatively similar to those from the constant-speed parabolic Anderson model in earlier work by various authors. Our proofs consist of adaptations and refinements of their methods, as well as a variational convergence method borrowed from finite elements theory.

Le sujet principal de ce mémoire est l'étude de la distribution asymptotique de la fonction f_m qui compte le nombre de diviseurs premiers distincts parmi les nombres premiers $p_1,...,p_m$. Au premier chapitre, nous présentons les sept résultats qui seront démontrés au chapitre 4. Parmi ceux-ci figurent l'analogue du théorème d'Erdos-Kac et un résultat sur les grandes déviations. Au second chapitre, nous définissons les espaces de probabilités qui serviront à calculer les probabilités asymptotiques des événements considérés, et éventuellement à calculer les densités qui leur correspondent. Le troisième chapitre est la partie centrale du mémoire. On y définit la promenade aléatoire qui, une fois normalisée, convergera vers le mouvement brownien. De là, découleront les résultats qui formeront la base des démonstrations de ceux chapitre 1. / The main topic of this masters thesis is the study of the asymptotic distribution of the fonction f_m which counts the number of distinct prime divisors among the first $m$ prime numbers, i.e. $p_1,...,p_m$. The first chapter provides the seven main results which will later on be proved in chapter 4. Among these we find the analogue of the Erdos-Kac central limit theorem and a result on large deviations. In the following chapter, we define several probability spaces on which we will calculate asymptotic probabilities of specific events. These will become necessary for calculating their corresponding densities. The third chapter is the main part of this masters thesis. In it, we introduce a random walk which, when suitably normalized, will converge to the Brownian motion. We will then obtain results which will form the basis of the proofs of those of chapiter 1.