En esta tesis se estudian álgebras autoinyectivas. Una subfamilia muy importante de las mismas la constituyen las llamadas álgebras Frobenius, que fueron introducidas por F. G. Frobenius en 1903. En el presente trabajo se establece un paralelismo entre este desarrollo clásico y el actual. Este enfoque nos permitió dar demostraciones alternativas de caracterizaciones conocidas para álgebras Frobenius y simétricas. Se presentan aquí las nociones de automorfismo de Nakayama, funtor de Nakayama y permutación de Nakayama, estableciendo la relación existente entre ellas. El carcaj de la extensión trivial T(A) de un álgebra de dimensión finita A = kQ=I fue descripto por Fernández y Platzeck en [FP]. En este trabajo describimos las relaciones de T(A) cuando A es un álgebra monomial, con lo que se obtiene una presentación de T(A) como cociente del álgebra de caminos de un carcaj por un ideal admisible de relaciones. Cuando A es además un álgebra gentil resolvemos el problema recíproco: dada un álgebra B = kQB=IB, determinar si B es la extensión trivial de un álgebra gentil. Caracterizamos tales álgebras B en base a propiedades de sus ciclos y mostramos cómo encontrar todas las álgebras gentiles A tales que T(A) _= B. Demostramos que las extensiones triviales de álgebras gentiles coinciden con las álgebras de grafo de Brauer con multiplicidad 1 en todos sus vértices, resultado obtenido por S. Schroll en [S] con otros métodos. / In this thesis we study selfinjective algebras. An important subfamily of this class of algebras consists of the so called Frobenius algebras, which were introduced by Frobenius in 1903. We establish here a parallel between the classical development and the present one. With this approach we were able to give alternative proofs of known characterizations of Frobenius and symmetric algebras. We recall the notions of Nakayama automorphism, Nakayama functor and Nakayama permutation and study the relationship between them. The quiver of the trivial extension T(A) of a finite dimensional algebra A = kQ=I was described by Fernández and Platzeck in [FP]. In this work we describe the ideal of relations for T(A) in case A is a monomial algebra. Thus we obtain a presentation for T(A) as a quotient of the path algebra of a quiver by an admissible ideal of relations. When A is, moreover, a gentle algebra, we solve the converse problem: given an algebra B = kQB=IB, determine whether B is the trivial extension of a gentle algebra. We characterize such algebras B through properties of the cycles of their quiver, and show how to obtain all gentle algebras A such that T(A) -= B. We prove that trivial extensions of gentle algebras coincide with Brauer graph algebras with multiplicity one in all vertices in the associated Brauer graph, result proven by S. Schroll in [S].

En esta tesis estudiamos una variedad particular de semirretículos con un concepto de distributividad. Dichas estructuras fueron estudiadas por Cornish y Hickman en [29] y [35], donde en este último artículo Hickman las llama supremo álgebras distributivas. Otros autores han llamado a éstas álgebras de diferentes maneras. A lo largo de esta memoria, y para mayor simplicidad, las llamaremos DN-álgebras. Nuestro primer objetivo es obtener una representación topológica a través de ciertos espacios sober con una base distinguida de subconjuntos abiertos, compactos y dualmente compactos satisfaciendo una condición adicional. A dichos espacios los hemos llamados DN-espacios. Extendemos esta representación a una dualidad probando que la categoría cuyos objetos son DN-álgebras y morfismos V-semi-homomorfismos es dualmente equivalente a la categoría que tiene como objetos DN-espacios y como morfismos ciertas relaciones binarias. También extendemos esta dualidad a la categoría de las DN-álgebras con homomorfismos. Nuestro segundo objetivo es aplicar dicha dualidad para interpretar topológicamente algunos conceptos algebraicos. Caracterizamos los homomorfiosmos inyectivos y sobreyectivos, los retículos de los filtros, filtros finitamente generados, subálgebras y congruencias. También desarrollamos un nuevo enfoque sobre la existencia de la extensión libre de una DN-álgebra sobre la variedad de los retículos distributivos acotados. Siguiendo la representación dual de los homomorfismos sobreyectivos, presentamos una caracterización de las imágenes homomorfas de una DN-álgebra a través de ciertas familias de subconjuntos saturados básicos irreducibles de su espacio dual dotadas de la menor topología Vietoris. Por otro lado, introducimos una definición alternativa de aniquilador relativo y presentamos algunas nuevas equivalencias de la distributividad. Definimos las clases de las DN-álgebras normales y DN-álgebras p-lineales y estudiamos sus estructuras en término de aniquiladores. Por último, analizamos una clase particular de función entre DN-álgebras para luego estudiar la clase de las DN-álgebras dotadas con un operador modal de necesidad. Obtenemos una representación y dualidad topológica y mostramos algunas aplicaciones. / In this thesis we study a particular variety of semilattices with a concept of distributivity. Such structures were studied by Cornish and Hickman in [29] and [35], in this last article Hickman called them distributive join algebras. Others authors have called these algebras in different ways. Throughout this report, and for simplicity, we will call them DN-algebras. Our first objective is to obtain a topological representation through certain sober spaces with distinguished open, compact and dually compact subsets satisfying an additional condition. We have named these spaces DN-spaces. We extend this representation to a duality proving that the category whose objects are DN-algebras and whose morphisms are _-semi-homomorphisms is dually equivalent to the category whose objects are DN-spaces and whose morphisms are certain binary relations. We also extend this duality to the category of DN-algebras with homomorphisms. Our second objective is to apply this duality to topologically interpreting some algebraic concepts. We characterize injective and surjective homomorphisms, the lattices of filters, fionitely generated filters, subalgebras and congruences. We also develop a new approach to the existence of the free extension of a DN-algebra on the variety of bounded distributive lattices. Following the dual representation of surjective homomorphisms, we present a characterization of homomorphic images of a DN-algebra through certain families of irreducible basic saturated subsets from its dual space which have been equipped with the lower Vietoris topology. On the other hand, we introduce an alternative definition of relative annihilator and we present some new equivalences of the distributivity. We define the classes of normal DN-algebras and p-linear DN-algebras and we study their structures in terms of annihilators. Finally, we analyze a particular kind of function between DN-algebras and then we study the class of DN-algebras equipped with a modal operator of necessity. We get a representation and a topological duality and show some applications.

En esta tesis se presenta un estudio de los vínculos de Dirac asociados a una teoría de campos desde el punto de vista de sistemas diferenciales exteriores (EDS).Con este fin en mente, se estudió una clase mayor de problemas variacionales, deno-minadosproblemas variacionales no estándar, que permiten tratar en pie de igualdad tanto sistemas mecánicos como teorías de campos. Para ello se recurrió al concepto de problema variacional Lepage equivalente (tal como se define en [Got91b]), a través del cual fue posible representar las ecuaciones para las extremales del problema original como un sistema diferencial exterior ZH-C. Este sistema diferencial exterior resulta ser un objeto central en la búsqueda de los vínculos de Dirac de la teoría: introduciendo una descomposi-ción del espacio de campos en hojas de tiempo constante, se muestra que ZH-C permite dar dos versiones equivalentes para dichos vínculos, la usual, en término de funciones sobre un espacio de fases de dimensión infinita, y la novedosa, que los representa como un conjunto de generadores de un siste-ma diferencial exterior asociado a IH-C y la foliación introduci-da.Se aplicó el esquema desarrollado al estudio de una serie de ejemplos, algunos físicamente motivados, como el campo electromagnético, el campo de Yang-Mills y el sistema Toda, como así también para el cálculo de las consecuencias dife-renciales de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales. Además fue posible construir un ejemplo de juguete en el cual el método de Dirac falla en alcanzar su culminación, permitién-donos entender fenómenos presentes en teorías de campo más realistas [Got]. / In this thesis, a study of the Dirac constraints arising in the canonical treatment of a field theory, from exterior differential system (EDS) viewpoint, is presented.Keeping this in mind, a bigger class of variational problems, the so called non standard variational problems, was studied, allowing us to deal with both mechanical systems and field theories. In order to achieve this task, it was necessary to use Lepage-equiva-lent variational problems, as defined by [Got91b], permitting us to give a representation of the equations for the extremals in terms of an exterior differential system IH-C.This exterior differential system then becomes a central object in searching the Dirac constraints of the field theory: in fact, by intro-ducing a decomposition of the field space into constant-time slices, it is shown here that IH-C gives two equivalent ver-sions for these constraints, namely,the usual, written in terms of functions on an infinite-dimensional phase space, and the new one, where they are represented as generators of an exterior differential system closely related with IH-C and the slicing. This scheme was applied in a number of examples, some of them physically motivated, such as the electromag-netic field, the Yang-Mills field and the Toda system, and also for the calculation of the differential consequences of a system of partial differential equations. Moreover, it was possible to formulate a toy model where the Dirac method fails in reaching a successful termination, in order to improve our understanding of more realistic field theories [Got].

El objeto de estudio de esta tesis son los sistemas \termo-mec anicos", sistemas que admiten una descripci on termodin amica y una mec anica, en primera instancia, luego de introducir un contexto adecuado, se procede a introducir estos sistemas en un lenguaje físico v a la descripci on, pensando en experimentos plausibles, de ejemplos elementales que involucran fen omenos disipativos. Luego se proceder a a plantear las ecuaciones de evoluci on temporal, de los observables involucrados, a partir de un principio variacional, desde la perspectiva de los sistemas no-hol onomos generalizados (SNHG). En los últimos tres capítulos, se continua con la descripción de dichos sistemas, ahora en el contexto de la geometría simpléctica y de contacto, describiendo la parte mecánica y termodinámica respectivamente. Mostraremos los ejemplos ya presentados bajo estas dos perspectivas geométricas para finalmente optar por un formalismo simpléctico que unifica ambas descripciones. / The object of study in this thesis are \thermo-mechanical" systems, systems which admits a thermodynamical and a mechanical description. At the beginning, after setting the convenient context, we will proceed to introduce these systems in a physical language, via the description of elementary examples that takes into account dissipative phenomena, also experimentally factible. Then the equations of temporal evolution of the observables will be written, considering a variational principle from the perspective of the generalized non-holonomic systems (GNHS). In the last three chapters we will continue with the description of these systems, now in the context of symplectic and contact geometry, describing the mechanic and thermodynamic parts respectively. The already seen examples will be shown under both geometric perspectives. Finally, a symplectic view will be kept for a unified description

Un algoritmo basado en región de confianza es considerado para el problema de optimización multiobjetivo no convexo sin restricciones. Éste es una generalización del algoritmo propuesto por Fliege, Graña Drummond y Svaiter en 2009 para problemas convexos. En forma similar al caso escalar en cada iteración se resuelve un subproblema y se evalua el paso. Las nociones de condiciones de decrecimiento predicho es adaptada al caso vectorial. Se introduce una regla para adaptar el radio de la regi´on de confianza. Bajo hipótesis de diferenciabilidad, el algoritmo converge a puntos que satisfacen una condición necesaria para ser Pareto y en el caso convexo a puntos Pareto optimales. En el caso convexo la sucesión generada por el algoritmo converge a un punto Pareto que satisface, como el algoritmo de Fliege y sus colaboradores, condiciones necesarias y suficientes. Bajo hipótesis locales estándares el algoritmo converge con velocidad q-cuadrática. / A trust-region-based algorithm for the non convex unconstrained multiobjective optimization problem is considered. It is a generalization of the algorithms proposed by Fliege, Gra˜na Drummond and Svaiter, 2009 for the convex problem. Similarly to the scalar case, at each iteration a subproblem is solved and the step needs to be evaluated. The notions of decrease condition and of predicted reduction are adapted to the vector case. A rule to update the trust region radius is introduced. Under differentiability assumptions, the algorithm converges to points satisfying a necessary condition for Pareto optimal and in the convex case to a Pareto solution, satisfying necessary and sufficient conditions, like in the procedure proposed by the cited authors. Under standard local assumptions the convergence results to be q-quadratic.

Probamos estimaciones cuantitativas para diferentes operadores clásicos dentro del marco de la teoría de pesos. Concretamente, nos centramos en la búsqueda de estimaciones óptimas respecto a la dependencia de los pesos de tipo Ap. Para el operador integral fraccionario probamos, en el caso extremo de los parámetros (p, q), una acotación Lp(wp) → Lq(wq) con dependencia óptima de la constante del peso A1,q. También probamos la acotación del operador maximal fraccionaria reflejando la dependencia mixta de las constantes del peso. Probamos estimaciones óptimas en lo que se conoce como desigualdades mixtas débiles ya sea para la el operador maximal de Hardy-Littlewood o para operadores de Calderón- Zygmund. Este tipo de desigualdades se encuentra en el marco del Teorema de Sawyer dentro de la teoría de pesos que estima la norma L1,∞(uv) de v−1T(fv). Estudiamos el decaimiento de funciones conjunto de nivel que involucran diversos tipos de operadores y sus operadores tipo maximal de control. Probamos que el decaimiento de estas funciones es de tipo exponencial para algunos pares de operadores y estudiamos el comportamiento de estas funciones cuando se involucra un peso en la clase A∞. / We prove quantitative estimates for different classical operators within the framework of weight theory. Specifically we focus on the search for sharp estimates with respect to the dependency on the Ap weights. For fractional integral operators and in the extreme case of the parameters (p, q), we find an Lp(wp) → Lq(wq) bound with sharp dependency on the A1,q constant. We also exhibit mixed dependency weight constants bounds for fractional maximal operators. We determine sharp estimates for the so-called mixed weak type inequalities, both for the Hardy-Littlewood maximal operator and for Calder´on-Zygmund operators. This type of inequalities are in the spirit of Sawyer’s Theorem estimating the L1,∞(uv) norm of v−1T(fv). We study the decay of level-set functions involving different operators and their control maximal type operators. We show that the decay is of exponential type for some pairs of operators and study the behavior of these level-set functions when the weight involved belongs to the A∞ class.

Hemos de considerar la estructura de multiplicadores y derivaciones en álgebras de operadores. En procura de que el trabajo no se diluya en especificaciones técnicas tratamos en todo caso de situarlo en el contexto general de la teoría de derivaciones en álgebras de Banach. Por ello se citará frecuentemente [35], trabajo que adjuntamos a esta tesis, en el Anexo I. Asimismo, en varias de las secciones de este documento daré los elementos mínimos que permítan al lector una mejor comprensión de los temas abordados. El trabajo está dividido en cuatro capítulos principales, a saber: el Capítulo 1 de carácter introductorio, el Capítulo 2 acerca derivaciones en álgebras nucleares, el Capítulo 3 acerca de B-derivaciones, y el Capítulo 4 sobre ( ; )-derivaciones. Los resultados principales del Capítulo 2, publicados en [36], están en la Sección 2.6. La entidad de este estudio reside en el Teorema 2.5.2, que precisa condiciones fuertemente restrictivas de amenabilidad o super-amenabilidad de álgebras nucleares construídas sobre pares duales de espacios de Banach. Estudiamos entonces la estructura de las derivaciones de tipo Hadamard cuyos resultados principales son Lema 2.6.10, Prop. 2.6.11, Prop. 2.6.12, Prop. 2.6.14, Prop. 2.6.15 y Teo. 2.6.13. Los resultados principales del Capítulo 3, publicados en [38], los tenemos en las Secciones 3.2 y 3.3. Consideramos un teorema de estructura y y la descripción exhaustiva de B- derivaciones sobre l1 (N) en la forma de los teoremas 3.2.1, 3.3.1 y el Corolario 3.3.2. En el Capítulo 4 consideraré dos problemas enunciados por M. Mirzavaziri (cf. [40], 2009) acerca de estructura de ( ; )-derivaciones. La investigación, de carácter algebraica, pudo hacerse en un marco elemental finito-dimensional. Los resultados principales, pu-blicados en [37], los tenemos en los teoremas 4.2.2, 4.2.3 y 4.2.5. / We consider the structure of multipliers and derivations in operator algebras. In order to avoid a lot of technical specifications and for the sake of clearness we try to put our matter in the general framework of the theory of derivations on Banach algebras. So, I added my undergraduated thesis [35], in the Appendix I, where various aspects of the theory are treated more exhaustively. The work is divided into four main chapters; the Chapter 1 by way of introduction, the Chapter 2 about derivations in nuclear algebras, the Chapter 3 about B-derivations and the Chapter 4 about ( ; )-derivations. The main results of Chapter 2, published in [36], are in Section 2.6. The importance of this study lies in Theorem 2.5.2, that requires highly restrictive conditions of amenabilithy or super-amenabilithy of nuclear algebras built on dual pairs of Banach spaces. Then studied the structure of derivations type Hadamard (Lemma 2.6.10, Prop. 2.6.11, Prop. 2.6.12, Prop. 2.6.14, Prop. 2.6.15 and Teo. 2.6.13). The main results of Chapter 3, published in [38], we have them in Sections 3.2 and 3.3. We consider a structure theorem and the comprehensive description of B--derivations on l1 (N) in the form of Theorems 3.2.1, 3.3.1 and the Corollary 3.3.2. In Chapter 4 solve two problems stated by M. Mirzavaziri (cf. [40], 2009) about the structure of ( ; )-derivations. The research, algebraic in nature, could be done in a basic finitedimensional framework. The main results, reported in [37], are in the Theorems 4.2.2, 4.2.3 and

La presente tesis muestra una propuesta sobre el estudio de matrices de orden m×n, sus operaciones, determinantes y la matriz inversa de matrices cuadradas de orden 2, diseñada aplicando los criterios de la Teoría de la Idoneidad Didáctica en el marco del Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática (EOS), a ser incluida en el sétimo ciclo de la Educación Básica Regular (EBR) del Perú. La pertinencia de este trabajo de investigación radica en las características del currículo: abierto, flexible, integrador y diversificado (ley general de educación–28044, artículo 33º). Estas características permiten, a los docentes, trabajar temas que no se consideran en forma específica en el currículo. Además, creemos que los conocimientos previos que se requieren, para que emerja el objeto matemático matriz, están al alcance de los estudiantes del sétimo ciclo de la EBR. Esta propuesta se presenta a través de cinco tareas. En estas tareas los modelos mediadores entre lo concreto (problemas contextualizados) y lo abstracto (objeto matemático matriz) son grafos dirigidos y tablas (datos numéricos ordenados en forma tabular). El docente a través de los diversos ítemes de las tareas dará la oportunidad guiada a los estudiantes de “construir” el objeto matemático matriz y sus operaciones. Una vez que los estudiantes se encuentren familiarizados con las matrices y sus operaciones, usaremos algunos problemas de codificación y de decodificación de mensajes de textos para hacer emerger el determinante de una matriz cuadrada y la inversa de una matriz cuadrada de orden 2 (si existiese). Las tareas han sido diseñadas (planificadas) de tal manera que, sean cercanas al estudiante; es decir, puedan imaginarlas, conteniendo un lenguaje adecuado y una dificultad manejable (respetando sus conocimientos previos). Estas tareas permitirán problematizar al estudiante –que el desarrollo no sea siempre rutinario o algorítmico–, manejar diferentes modos de expresión matemática como verbal, gráfica y simbólica pudiendo transitar de un modo de expresión a otro para poder interpretar, generalizar y justificar sus soluciones. También las tareas se presentan secuencialmente, de modo tal que, los estudiantes vayan acoplando y enlazando los nuevos conocimientos con sus conocimientos previos logrando así que los estudiantes valoren el conocimiento matemático y puedan aplicarlos en la vida cotidiana. De esta manera pretendemos impulsar algunos de los principios de la educación peruana, como la equidad, la inclusión, la calidad, la creatividad y la innovación para favorecer a la EBR. Otro aspecto importante de esta tesis es dejar en evidencia la brecha que existe entre la educación secundaria y la educación superior. Esto se percibe al tomar el objeto matemático matriz, que solo se estudia en la educación superior, de manera que pueda ser estudiado en el sétimo ciclo de la EBR desde un punto de vista innovador (cambiando su configuración epistémica en diversos contextos). A la vez mostramos que al planificar unas “buenas matemáticas” contribuimos a articular de manera coherente la educación secundaria y la educación superior logrando disminuir la brecha existente entre ellas. / Tesis

La presente tesis tiene como objetivo general analizar y valorar el proceso de instrucción de una clase dado por un profesor de matemática con estudiantes de segundo grado de secundaria cuando se imparte el objeto matemático función afín. Para tal propósito, nos fundamentamos en las herramientas del Enfoque Ontosemiotico de la Instrucción Matemática (EOS) las cuales presenta a las configuración epistémica y componentes e indicadores de los criterios de idoneidad didáctica (epistémica, cognitiva, mediacional, afectiva, interaccional, ecológica). Como la investigación es cualitativa, tomaremos el método de estudio de caso debido a que este método permite comprender, describir y analizar la actividad llevada a cabo por el profesor de secundaria. Para llevar a cabo esta investigación nos propusimos tres objetivos específicos. Primero se realizará un significado de referencia de referencia de la función afín utilizando los sistemas de prácticas y configuración epistémica que propone el EOS. Posteriormente se construirá indicadores específicos de idoneidad epistémica. Finalmente, valorar el proceso de instrucción dado por el profesor de matemática. En base a los resultados, se observa que dicho proceso tiene una mayor idoneidad en la parte afectiva. Por otro lado, considerando los indicadores del aspecto epistémico y cognitivo se evidencia algunos errores y ambigüedades. En el aspecto ecológico el proceso se rige en base a los lineamientos curriculares

El objetivo principal de esta tesis doctoral es estudiar el tipo de Arte que hemos denominado "Escultura Matemática", y clasificar ésta de forma tan exhaustiva y completa como sea posible. No existe en la literatura científica ningún estudio que haya conseguido clasificar desde el punto de vista matemático este tipo de escultura. Esto nos llevó a elegir el desarrollo de esta taxonomía como objetivo fundamental de esta investigación. Además, ello le confiere la característica de innovación que se exige a todas las tesis doctorales. Empezamos por investigar de forma general los antecedentes históricos de las relaciones entre las Matemáticas y el Arte, y en particular entre la Escultura y las Matemáticas. Para lograrlo hemos efectuado un análisis histórico sistemático. A continuación y para desarrollar la taxonomía de un conjunto de elementos el primer paso es definir los objetos que se incluyen. Para este fin hemos tenido que definir el término,"Escultura Matemática". Pertenecen a esta tipología todos aquellos trabajos escultóricos en los que en su concepción, diseño, desarrollo o ejecución resulta necesaria la utilización de las Matemáticas. Estas características pueden variar desde las relacionadas con la geometría más sencilla, hasta la geometría no euclidiana o la topología más compleja. Por otro lado, creemos que el mejor criterio para realizar una estructura de la clasificación de la Escultura Matemática será plantear como grupos principales, diferentes áreas de las Matemáticas, y subdividir éstos, a su vez, según los conceptos matemáticos más importantes utilizados en los diferentes tipos de diseño de obras escultóricas. Los grupos principales que hemos establecido son: Escultura Geométrica, Escultura con Conceptos de Cálculo, Escultura con Conceptos de Álgebra, Escultura Topológica y Escultura con Conceptos Matemáticos Varios. El principal interés de esta investigación es ayudar a formalizar el estudio de la Escultura Matemática, lo que creemos que fomenta / Zalaya Baez, R. (2005). Escultura matemática: definición, antecedentes en la historia del arte, desarrollo, perspectivas de evolución y clasificación por conceptos matemáticos [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/2661