This study examined the idea that each mathematical operation (addition, subtraction, multiplication and division) is mainly linked to one of the components of working memory as proposed by Baddeley. The phonological loop, visual-spatial sketchpad and central executive have been studied using a dual-task methodology with 7 different secondary tasks. 35 undergraduate and graduate students were timed in their response time for mental calculation and error rates were calculated. Results show clear differences of operations and of number pairs. Interaction between conditions and operations was just approaching significance. Results did not give support to the idea that operations can be linked to a certain working memory component. Several factors, such as language, problem size, lack for detail in the working memory model, difficulty of the secondary tasks, and internal validity problems are discussed with regard to the results and mental arithmetic.

Ein bedeutender Effekt der numerischen Kognition, der Operational Momentum Effekt, beschreibt die Beobachtung, dass Proband*innen das Ergebnis von Additionen überschätzen und das Ergebnis von Subtraktionen unterschätzen. Diverse theoretische Modelle wurden vorgebracht, um diesen Effekt zu erklären. Diese Modelle unterscheiden sich in Bezug darauf, ob sie räumliche Prozesse während des Kopfrechnens annehmen. Einige Studien haben seitdem Belege für eine Verknüpfung zwischen räumlicher Verarbeitung und Kopfrechnen liefern können. Die vorliegende Dissertation zielt darauf ab, räumliche Aufmerksamkeitsverschiebungen beim Kopfrechnen in drei Studien (Studie 1, Studie 3, Studie 4) und einer Kontrollstudie (Studie 2) vertieft zu untersuchen. Studie 1 zeigt, dass zwei-stellige Additionen mit Aufmerksamkeitsverschiebungen nach rechts assoziiert sind, während zwei-stellige Subtraktionen nicht mit Verschiebungen nach links einhergehen. Studie 3 liefert Hinweise für Aufmerksamkeitsverschiebungen in der Antwortphase von approximativen Rechenprozessen. Jedoch wurden ich dieser Studie keine Verschiebungen im Zeitfenster zwischen der Aufgabenpräsentation und der Antwortselektion gefunden. In Studie 4 wurden mittels steady-state visuell evozierten Potenzialen keinerlei räumliche Verschiebungen, sowohl im arithmetischen Kontext als auch in der Kontrollaufgabe gefunden. Die Kontrollstudie (Studie 2) untersuchte den Einfluss von kognitiver Belastung auf räumliche Aufmerksamkeit, wobei jedoch kein solcher Einfluss nachweisbar war. Zusammen unterstützen die Ergebnisse der vorliegenden Dissertation die Hypothese, dass räumliche und arithmetische Verarbeitung funktionell assoziiert sind (Studie 1, Studie 3). Andere Ergebnisse sind jedoch nicht so einfach mit den bestehenden Theorien vereinbar. Die Nulleffekte von Studie 2 und 4 betonen die Rolle methodischer Aspekte bei der Untersuchung räumlicher Aufmerksamkeitsverschiebungen, wie zum Beispiel die Wahl geeigneter Baseline-Aufgaben. / A hallmark effect of numerical cognition, the operational momentum effect, describes the finding that participants tend to overestimate the result of addition problems and underestimate the result of subtraction problems. Several theoretical accounts proposed to explain that effect differ with regard to whether they assume spatial contributions to mental arithmetic. Several studies have since then provided evidence for an association between spatial processing and mental arithmetic. The present dissertation aimed at further enlarging upon this knowledge by investigating spatial biases in mental arithmetic via several behavioural and neurophysiological experimental paradigms. This thesis comprises three studies (Study 1, Study 3, Study 4) and a control study (Study 2). Study 1 demonstrated that spatial biases to the right can be observed in the context of two-digit addition processing, while no biases to the left were observed for two-digit subtraction processing. Study 3 provided evidence for spatial biases during the response stage of approximate arithmetic processing. Yet, no biases were observed in the time window between the task presentation and response selection. In Study 4, no biases could be measured via steady-state visually evoked potentials, neither in an arithmetic context nor in a control task. The control study (Study 2) investigated the impact of cognitive load on spatial biases. Still, no such impact could be shown in Study 2. Together, the results of the present dissertation provide support for the notion of a functional association between spatial and arithmetic processing (Study 1, Study 3). Nevertheless, several other findings are difficult to reconcile with the existing theoretical accounts. This implies that other mechanisms might be involved. Finally, the null effects of Study 2 and 4 highlighted the role of methodological aspects, like the choice of appropriate baseline tasks, when investigating attentional biases.

Dans ma thèse, j’étudie les représentations mentales et les processus cognitifs qui sous-tendent le calcul mental sur le marché. Cette thèse contribue à la recherche de prix psychologique en décrivant de nouveaux facteurs qui influencent les jugements de prix des consommateurs. En particulier, je découvre facteurs qui rendent les consommateurs plus ou moins susceptibles d’arrondir les prix vers le bas (Essai 1) et les facteurs qui déterminent leur tendance à se fixer sur les différences de pourcentage (Essai 3). En outre, cette recherche fournit de nouvelles perspectives à la littérature de budgétisation mentale en identifiant des stratégies de calcul mental qui conduisent à des estimations panier de prix plus précis (Essay 2). Dans l'ensemble, ma recherche va contribuer à notre compréhension des jugements de prix des consommateurs et proposer des contextes et des stratégies conduisant à des évaluations de prix plus précis. / In my dissertation I look at mental representations and cognitive processes that underlie mental arithmetic in the marketplace. This research contributes to behavioral pricing literature by outlining novel factors that influence consumers’ price difference judgments. Particularly, I uncover factors that make consumers more or less likely to fall prey to the left-digit anchoring bias (Essay 1) and factors that determine their tendency to rely on relative thinking in price difference evaluations (Essay 3). Further, this research provides new insights to the mental budgeting literature by identifying mental computation strategies that lead to more accurate basket price estimates (Essay 2). Overall, I expect my research to contribute to our understanding of consumers’ price judgments and suggest contexts and strategies leading to more accurate price evaluations.

Das Kernsystem zur approximativen Verarbeitung numerischer Informationen - das approximative Mengensystem (AMS) - ist, ebenso wie Systeme zur Verarbeitung räumlicher Informationen, im parietalen Cortex (PC) implementiert. Hier integriere ich 9 experimentelle Studien in vier Teilen und zeige, wie abstrakte mathematische Fähigkeiten mit dem AMS zusammenhängen. Die Hypothese ist, dass die mathematischen Leistungen des Menschen auf grundlegenden Konzepten (Raum, Zahl) aufbauen indem sie kortikale Areale ko-optieren, deren ursprüngliche Organisation für die neuen kulturellen Bedürfnisse geeignet erscheinen. Teil eins zeigt mittels des Operationalen Momentum Effekts, dass (nicht-)symbolisches Rechnen auf das AMS zurückgreift und Kopfrechnen evolutionär alte Strukturen im PC ko-optiert: Durch Anwendung multivariater Lernalgorithmen auf funktionelle Gehirnaktivierungen im posterioren PC während basaler perzeptueller Aufgaben (Sakkaden) konnte ich später ausgeführter Additionen von Subtraktionen unterscheiden. Dies ist ein Hinweis auf das kulturelle Recycling kortikaler Karten für kulturell bedingte kognitive Funktionen. Teil zwei untersucht die Folgen der Implementierung numerischer Informationen im PC. Die Verarbeitung numerischer Informationen konnte auch unter Crowding-Bedingungen nachgewiesen werden, was auf einen bevorzugten, nicht-bewusst vermittelten Zugang numerischer Informationen zum kognitiven System deuten könnte, wie sie bereits für andere visuelle Informationen, die im PC verarbeitet werden gezeigt wurde. Auch die Interferenz zwischen räumlichen und numerischen Informationen kann als Konsequenz der kortikalen und repräsentationalen Überlappung verstanden werden. In Teil drei und vier argumentiere ich, dass Kopfrechenfähigkeiten durch die Befähigung, Ordinalität zu verarbeiten, im AMS verankert sind und zeige technische, Stimulus-inhärente Faktoren auf, die problematisch bei der Unterscheidung zwischen approximativem und exaktem Rechnen sein können. / A plethora of evidence supports the idea of a core system in the parietal cortex (PC) of the human brain that enables us to approximately process numerical information, the approximate number system (ANS). By synthesizing nine experimental studies in four parts, I argue how abstract mathematical competencies are linked to the ANS and PC. The hypothesis is that human mathematics builds from foundational concepts (space, number) by progressively co-opting cortical areas whose prior organization fits with the cultural need. In part one the operational momentum effect demonstrates that (non-)symbolic approximate calculation partly relies on the ANS, and that mental arithmetic co-opts evolutionarily older cortical systems in PC. Low-level perceptual processes such as saccades lead to spatial patterns of activation in posterior parts of PC that are predictive of patterns during abstract approximate calculation processes. This is interpreted in terms of cultural recycling of cortical maps for cognitive purposes that go beyond the evolutionary scope of a given region. Part two investigates the consequences of the parietal implementation of numerical magnitude information. Akin to other visual properties that are processed in PC this may favour a privileged, non-conscious access of numerical information to the cognitive system even under a crowding regime. Also, the interference between spatial and numerical information can be interpreted as a consequence of a representational and cortical overlap. Part three elucidates the grounding of mental arithmetic abilities in the ANS and argues for a mediation of the association between ANS and symbolic arithmetic via numerical ordering abilities, which in turn rely on neural circuits in right-hemispheric prefrontal cortex. In part four I will argue that the involvement of approximate calculation in high-level symbolic calculation remains elusive due to a number of technical issues with stimulus-inherent numerical features.

There is a worldwide development, better to say a non-development: We teach paper & pencil skills in primary schools almost like we did 30 or 50 or 100 years ago. Till today the primary school teachers spend up to more than 100 hours in the class room to teach and to train old fashioned algorithms though in daily life situations and for business purposes everybody uses a calculator. Why do we waste so much time of our children to teach them things which later on they will not need? We see an emotional dichotomy. Despite the research results from many research projects in many countries there still is the fear that the use of calculators in primary grades will harm mental arithmetic and estimation skills. To explain and to overcome that fear we will reflect the nature of number sense and of paper&pencil skills more carefully. We realize that the development of number sense is an intuitive and unconscious mental process while the ability to get an exact calculation result is trained logically and consciously. To overcome the above dichotomy we must solve the hidden dichotomy number sense versus precise calculation result. We need a new balance. Different types of examples will be given how we can further the development of number sense in a technology dominated curriculum.

There is a worldwide development, better to say a non-development: We teach paper & pencil skills in primary schools almost like we did 30 or 50 or 100 years ago. Till today the primary school teachers spend up to more than 100 hours in the class room to teach and to train old fashioned algorithms though in daily life situations and for business purposes everybody uses a calculator. Why do we waste so much time of our children to teach them things which later on they will not need? We see an emotional dichotomy. Despite the research results from many research projects in many countries there still is the fear that the use of calculators in primary grades will harm mental arithmetic and estimation skills. To explain and to overcome that fear we will reflect the nature of number sense and of paper&pencil skills more carefully. We realize that the development of number sense is an intuitive and unconscious mental process while the ability to get an exact calculation result is trained logically and consciously. To overcome the above dichotomy we must solve the hidden dichotomy number sense versus precise calculation result. We need a new balance. Different types of examples will be given how we can further the development of number sense in a technology dominated curriculum.

Zweck - Von Piloten werden u.a. die sogenannten "Manual Flying Skills" gefordert. Dabei muss der Pilot in der Lage sein (ohne Autopiloten) nach grundlegenden Instrumenten zu fliegen. Dafür sind neben Geschick auch Faustformeln erforderlich. Die Faustformeln müssen dafür verlässlich sein. Der Inhalt dieser Arbeit beschäftigt sich exemplarisch mit einer Faustformel zur Umrechnung der kalibrierten Fluggeschwindigkeit (Calibrated Airspeed, CAS) in die wahre Fluggeschwindigkeit (True Airspeed, TAS). --- Methodik - In Excel und Matlab werden die Ergebnisse aus den Berechnungen der Faustformel mit dem Ergebnis einer exakten Berechnungsweise anhand flugmechanischer Formeln verglichen. Dabei wird die Flughöhe und Fluggeschwindigkeit variiert. Es werden die Abweichungen ermittelt und in Diagrammen zwei- und dreidimensional visualisiert. --- Ergebnisse - Die zu prüfende Faustformel liefert in dem für Sie vorgesehen Anwendungsbereich hinreichend genaue Ergebnisse mit Abweichungen unter 5 %. Dabei nehmen die Abweichung zu, umso weiter die Parameter (Höhe und Geschwindigkeit) von typischen Reiseflugbedingungen entfernt sind. --- Bedeutung in der Praxis - Piloten können bedenkenlos auf die in dieser Arbeit geprüfte Faustformel zurückgreifen und kommen so mit überschaubarem Kopfrechenaufwand auf relativ genaue Ergebnisse. --- Wert - Diese Arbeit zeigt, wie mit mäßigem Zeitaufwand in Excel eine Faustformel über einen gesamten Bereich geprüft werden kann. Das Vorgehen kann auf weitere Faustformeln übertragen werden, sodass sich ein Pilot sein "Kniebrett" mit verifizierten Faustformeln füllen kann.