Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-08-11T13:56:37Z No. of bitstreams: 1 ARTHUR CAVALCANTE CUNHA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2016..pdf: 692790 bytes, checksum: 9fd509ffd6fe53d10e8c45aff210cdab (MD5) / Made available in DSpace on 2018-08-11T13:56:37Z (GMT). No. of bitstreams: 1 ARTHUR CAVALCANTE CUNHA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2016..pdf: 692790 bytes, checksum: 9fd509ffd6fe53d10e8c45aff210cdab (MD5) Previous issue date: 2016-06 / Capes / Para ler o resumo deste trabalho recomendamos o download do arquivo, uma vez que o mesmo possui fórmulas e caracteres matemáticos que não foram possíveis trascreve-los aqui. / To read the summary of this work we recommend downloading the file, since it has formulas and mathematical characters that were not possible to transcribe them here.

Este estudo tem como objetivo avaliar os sistemas de gestão ambiental em cinco indústrias petroquímicas no Estado do Rio de Janeiro, com foco no gerenciamento de resíduos sólidos e líquidos, gerados no processo produtivo, considerando-se a legislação brasileira aplicada ao meio ambiente. Acompanhando a evolução do sistema de gestão ambiental adotado pelos diferentes segmentos produtivos, observa-se cada vez mais a importância da adequação do processo a condições que permitam a sustentabilidade ambiental. As indústrias em questão são consideradas como referência no setror petroquímico de transformação, com atividades altamente impactantes ao meio ambiente. O objetivo geral deste estudo é conhecer a metodologia empregada por cada uma destas indústrias, na busca da melhoria contínua de gestão, face aos desafios de utilização de recursos renováveis e não renováveis, tratamentos de seus resíduos sólidos e líquidos, em compatibilidade com melhores e mais eficientes resultados de produção, bem como, a sustentabilidade do negócio. Para o desenvolvimento deste trabalho procedeu-se à Pesquisa Aplicada e em seguida ao Estudo de Caso. Primeiramente foram realizadas visitas às indústrias, utilizando-se um questionário para avaliar questões relativas ao gerenciamento de resíduos sólidos e líquidos do processo produtivo. Como Estudo de Caso selecionou-se uma das indústrias, que não possui todas as certificações relativas às normas ambientais e também não apresenta estação de tratamento de água e de efluentes na sua unidade industrial. Esta empresa foi comparada ás demais como referência para a identificação das iniciativas que as indústrias petroquímicas vem adotando, relacionadas com a preservação dos recursos naturais e minimização da geração de resíduos. Esta análise comparativa permitiu incluir neste estudo recomendações para implementação ou melhoria em aspectos do processo considerados impactantes ao meio ambiente e que, porventura, ainda não se encontravam em conformidade com atendimento às leis ambientais, e/ou, que não tenham atingido um nível de minimização de resíduos de forma a promover sua sustentabilidade ambiental. / This research has the aim of evaluating environmental management systems of five petrochemical industries in the State of Rio de Janeiro. This studys main focus is on the management of solid and liquid wastes which are generated during producing processes and the commitment with Brazilian laws applied to environmental protection. Following the development on environmental management systems used by different producing market segments, it is noticed that more and more importance is given to adapt a production process to limits and conditions that allows its environmental sustainability. The five above-mentioned studied industries are reference in the transformation sector, with productive activities which may cause critical impacts on the environment. The general target of this study is to give a closer look on the methodology used by each of those industries on their efforts for continuous management improvement, facing the challenges of the use of renewable and not renewable resources, solid and liquid waste treatment, in agreement with more efficient production results, as well as the business sustainability. For the development of this study it was divided in two parts: Applied Research and Case Study. First, the industries were visited and the questionnaire was applied to evaluate issues concerning management of solid and liquid waste generated during the process. One of the five industries was selected as Case Sudy, once it does not have all the certifications complying environmental norms and also it does not have wastewater treatment at its facility. This industry was compared to the others as a reference to identify the efforts that are being followed by petrochemical industries, concerning natural resources preservation and residues minimization. This comparative analysis allowed recommendations to improve process steps considered highly harmful to the environment, and, by the way are not still accomplishing to Brazilian environmental laws, and/or that have not yet achieved an accepted waste minimization level in order to assure its environmental sustainability.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:00:54Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissKES.pdf: 879729 bytes, checksum: 2dcd7a8440cd57e6f8cdff1aae4b8311 (MD5) Previous issue date: 2005-02-28 / The majority of the Brazilian universities don t have systematic waste minimization program, especially for chemical laboratory wastes. However, the industries, due to legal responsibilities, economical factors and in order to use waste management as marketing, have been developed waste minimization procedures. This work presents a study of waste prioritization methods to be minimized and applied a industrial method and mathematical model developed by CERCAL (2000), which was adapted to teaching and research chemical laboratories waste of the Chemical Department (DQ) of Universidade Federal de São Carlos. The CERCAL s method covers three type of analysis: economical value, risk and waste minimization capacity. The economical value analysis won t be applied because the University doesn t have cost/benefit control sufficient for the application. The other two analysis were applied using questionnaire answered by technicians, teachers and researchers, where were determined the waste risk and minimization capacity and consequently, its prioritization. Thirteen DQ s laboratories were researched resulting in 107 answers, each one corresponding to one research or teach practice breeder of waste. The wastes were identified and grouped following the place they came from and its chemical likeness, in 27 groups. Among the 27 groups, 12 were classified by the application of the CERCAL s method as essentially priority to be minimized. / A grande maioria das universidades brasileiras não tem programas sistemáticos de minimização de seus resíduos, principalmente resíduos de laboratórios químicos. No entanto, as indústrias, por responsabilidades legais, por fatores econômicos e para utilizar como seu marketing, têm desenvolvido cada dia mais, técnicas de minimização de resíduos. Este trabalho fez um estudo de métodos de priorização de resíduos a serem minimizados e aplicou um método e modelo matemático de priorização de minimização de resíduos industriais desenvolvido por CERCAL (2000), os quais foram adaptados para os resíduos dos laboratórios químicos de ensino e pesquisa do Departamento de Química (DQ) da Universidade Federal de São Carlos. O método de CERCAL abrange três tipos de análises: análise do resíduo por valor econômico; análise por risco ambiental/saúde humana e análise por facilidade de minimização. A análise por valor não pode ser aplicada na Universidade devido a dificuldades de obtenção de dados de custos e valor de produtos e resíduos. Já as outras duas análises foram aplicadas sobre questionários respondidos por técnicos, docentes e pesquisadores, a partir dos quais puderam ser determinados o risco e a facilidade de minimização dos resíduos e consequentemente, a sua priorização. Foram pesquisados treze laboratórios do DQ, resultando em 107 questionários respondidos, cada um correspondente a uma prática de ensino ou pesquisa geradora de resíduos. Os resíduos foram identificados e agrupados, segundo seu local de geração e suas semelhanças químicas, em 27 grupos. Destes, 12 grupos foram classificados através da aplicação do método de CERCAL como essencialmente prioritários para fins de minimização.

Submitted by Maike Costa (maiksebas@gmail.com) on 2016-03-31T13:04:57Z No. of bitstreams: 1 arquivo total.pdf: 1303363 bytes, checksum: ab5b7fb3a9fd956428d4b499afd3b94c (MD5) / Made available in DSpace on 2016-03-31T13:04:57Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivo total.pdf: 1303363 bytes, checksum: ab5b7fb3a9fd956428d4b499afd3b94c (MD5) Previous issue date: 2015-10-14 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / In this work we present an abstract version of the concentration compactness principle by Lions, extending it to Hilbert spaces. To do so, we include the concept of dislocation space, the pair (H;D) formed by a separable Hilbert space H (being H1(RN) the model case, N 3) and a set D of linear limited operators on H; as well as the concept of the D-weak convergence. The main result of this theory is, in a sense, a generalization of the famous theorem of Banach-Bourbaki-Alaoglu. Another important consequence of the theory is the equivalence of D-weak convergence in H1(RN);N 3 and strong convergence in Lp; for p 2 (2; 2 ) and D appropriate. With this version, we prove existence of solution for some classes of elliptic problem on unbounded domains, via constrained minimization method. / Neste trabalho apresentamos uma versão abstrata do princípio de concentração de compacidade de Lions, estendo-o para espaços de Hilbert. Para tanto, incluímos o conceito de espaço de deslocamento, o par (H;D); formado por um espaço de Hilbert H separável (sendo H1(RN) o caso modelo, N 3) e um conjunto D de operadores lineares limitados em H; além do conceito de convergência D-fraca. O principal resultado desta teoria é, em certo sentido, uma generalização do célebre Teorema de Banach- Alaoglu-Bourbaki. Outra importante consequência da teoria é a equivalência entre convergência D-fraca em H1(RN); N 3; e convergência forte em Lp; para p 2 (2; 2 ) e D adequado. Com esta versão, provamos existência de solução para algumas classes de problema elípticos em domínios ilimitados, via método de minimização com vínculo.

Submitted by JULIANA DE FÁTIMA FRANCISCANI null (ifsp.juliana@gmail.com) on 2016-10-28T18:39:46Z No. of bitstreams: 1 Juliana de Fátima Franciscani.pdf: 3657600 bytes, checksum: dfdbe82d43ba74271de101385cdbbf6e (MD5) / Approved for entry into archive by Felipe Augusto Arakaki (arakaki@reitoria.unesp.br) on 2016-11-03T19:07:45Z (GMT) No. of bitstreams: 1 franciscani_jf_me_ilha.pdf: 3638504 bytes, checksum: 6ca7f15a8be8ef019afd3f8e0ecc1e52 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-11-03T19:07:45Z (GMT). No. of bitstreams: 1 franciscani_jf_me_ilha.pdf: 3638504 bytes, checksum: 6ca7f15a8be8ef019afd3f8e0ecc1e52 (MD5) Previous issue date: 2016-08-31 / Com a evolução e difusão do desenvolvimento de equipamentos utilizando microtecnologia e nanotecnologia, circuitos cada vez menores, mais eficientes e que consomem menos energia, são necessários. Os métodos de minimização de funções booleanas tornam-se relevantes por possibilitarem a otimização de circuitos lógicos, através da geração de circuitos que possuam a mesma funcionalidade, porém, minimizados. Estudos na área de minimização de funções booleanas são realizados há muito tempo, e estão sendo adaptados às novas tecnologias. A geração de implicantes primos de uma função booleana é um dos passos para a cobertura dos mintermos da função e, consequentemente, para a obtenção da função de custo mínimo. Neste trabalho, a Primeira Fase do Método de Quine-McCluskey para Funções Booleanas com Múltiplas Saídas (QMM) foi implementada para posterior comparação com os Métodos Propostos GPMultiplo e MultiGeraPlex (baseados na filosofia do algoritmo GeraPlex). Os métodos propostos geram os implicantes primos de uma função booleana com múltiplas saídas e utilizam a operação de consenso iterativo para comparar dois termos. Os resultados obtidos, através da comparação do GPMultiplo, MultiGeraPlex e da Primeira Fase do Método de QMM, puderam comprovar que a aplicação dos métodos propostos torna-se mais viável e vantajosa por permitir menor tempo de execução e uso de memória, menor quantidade de implicantes gerados e de comparações entre os termos. / With the evolution and spread of the development of equipment using microtechnology and nanotechnology, circuits in need are smaller, more efficient and consume less power. Methods of Minimizing Boolean Functions become important as they allow optimization of logic circuits by generating circuits having the same functionality, but minimized. Studies in Minimizing Boolean Functions area are carried out long ago, and are being adapted to new technologies. The generation of prime implicants of a Boolean function is one of the steps for covering the function of the minterms, and consequently to obtain the minimum cost function. In this work, the first phase of the Quine-McCluskey Method for Booleans Functions with Multiple Output (QMM) was implemented for comparison with Proposed Methods GPMultiplo and MultiGeraPlex (based on the philosophy of GeraPlex algorithm). The proposed methods generates the prime implicants of a Boolean Function with Multiple Output and using the iterative consensus operation to compare two terms. The results obtained by comparing the GPMultiplo, MultiGeraPlex and the first phase of the QMM Method, were able to prove that the application of the proposed methods becomes more feasible and advantageous, by allowing smaller execution time, number of implicants and number of comparisons.

Made available in DSpace on 2016-12-12T20:15:50Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Alex Kraisch.pdf: 2282404 bytes, checksum: 128e624fc8b71f2bc7d95efb2b375527 (MD5) Previous issue date: 2013-03-21 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / There is a relevant potential for multilayered films in many areas of technological interest once they may combine in just one sample convenient mechanical, optical, electrical and magnetic properties, resulting in an upgrade of the original monolayer films. However, it is quite important to take into account that its production evolves chemical and crystallographic compatibility of the materials and a correct understanding of the stresses and deformations that result from the contact between different materials with quite different characteristics. The objective of this work is to build a three-dimensional model that may describe the relation between the stress in a multilayered film deposed on a thick substrate and the curvature of the sample. It is used the minimization of the deformation energy of the sample in elastic regime. This method is quite simple which is a advantage when compared with tensor procedures, allowing an easier identification of the terms as well as the reduction of the complexity of the calculations. The work starts by the motivation for the study of the stress in monolayer and multilayered films, followed by a presentation of the theoretical and experimental implications of the theme. Then, a more complete description of the methodology used and of the model itself is presented, including the identification of the corrections terms for the well-known Stoney equation. Finally, it is presented a validation of the model, by means of a comparison between its results and the values obtained by other theoretical models, taking as standard results obtained by finite element simulation that favors the model presented in this work. / Filmes compostos por múltiplas camadas de diferentes materiais possuem um potencial considerável para aplicações de interesse tecnológico, na medida em que a combinação dos materiais pode produzir coberturas com propriedades mecânicas, ópticas ou magnéticas superiores às obtidas com uma única camada de um único material. Também é evidente que sua produção envolve questões importantes como a compatibilidade cristalográfica e química, bem como uma correta caracterização das tensões e deformações em cada camada, evitando assim fissuras e delaminação entre as camadas. O objetivo desse trabalho é a construção de um modelo tridimensional que descreva a relação entre tensões e deformações em filmes finos depositados em multicamadas sobre substratos espessos. O método utilizado é o da minimização de energia de deformação da amostra em regime elástico. Esse método possui como vantagem significativa sua maior simplicidade em relação a abordagem tensorial, o que reduz a complexidade dos cálculos e permite uma mais fácil identificação dos termos envolvidos. Após a apresentação da motivação ao estudo do problema, bem como das diversas questões que envolvem a análise experimental e teórica do mesmo, é feita uma descrição mais completa da metodologia utilizada e do modelo teórico que é o foco deste trabalho. A seguir, é feita aplicação do modelo para amostras que se deformam como uma casca esférica e cilíndrica, com a identificação dos termos de correção à equação de Stoney. Finalmente, é feita uma comparação entre os valores obtidos pelo modelo e outros modelos teóricos, tomando-se como padrão os valores obtidos segundo uma simulação por elementos finitos, com um resultado favorável ao modelo proposto neste trabalho.

Orientador: Alexandre Cesar Rodrigues Silva / Resumo: Com a evolução e difusão do desenvolvimento de equipamentos utilizando microtecnologia e nanotecnologia, circuitos cada vez menores, mais eficientes e que consomem menos energia, são necessários. Os métodos de minimização de funções booleanas tornam-se relevantes por possibilitarem a otimização de circuitos lógicos, através da geração de circuitos que possuam a mesma funcionalidade, porém, minimizados. Estudos na área de minimização de funções booleanas são realizados há muito tempo, e estão sendo adaptados às novas tecnologias. A geração de implicantes primos de uma função booleana é um dos passos para a cobertura dos mintermos da função e, consequentemente, para a obtenção da função de custo mínimo. Neste trabalho, a Primeira Fase do Método de Quine-McCluskey para Funções Booleanas com Múltiplas Saídas (QMM) foi implementada para posterior comparação com os Métodos Propostos GPMultiplo e MultiGeraPlex (baseados na filosofia do algoritmo GeraPlex). Os métodos propostos geram os implicantes primos de uma função booleana com múltiplas saídas e utilizam a operação de consenso iterativo para comparar dois termos. Os resultados obtidos, através da comparação do GPMultiplo, MultiGeraPlex e da Primeira Fase do Método de QMM, puderam comprovar que a aplicação dos métodos propostos torna-se mais viável e vantajosa por permitir menor tempo de execução e uso de memória, menor quantidade de implicantes gerados e de comparações entre os termos. / Mestre

Este estudo tem como objetivo avaliar os sistemas de gestão ambiental em cinco indústrias petroquímicas no Estado do Rio de Janeiro, com foco no gerenciamento de resíduos sólidos e líquidos, gerados no processo produtivo, considerando-se a legislação brasileira aplicada ao meio ambiente. Acompanhando a evolução do sistema de gestão ambiental adotado pelos diferentes segmentos produtivos, observa-se cada vez mais a importância da adequação do processo a condições que permitam a sustentabilidade ambiental. As indústrias em questão são consideradas como referência no setror petroquímico de transformação, com atividades altamente impactantes ao meio ambiente. O objetivo geral deste estudo é conhecer a metodologia empregada por cada uma destas indústrias, na busca da melhoria contínua de gestão, face aos desafios de utilização de recursos renováveis e não renováveis, tratamentos de seus resíduos sólidos e líquidos, em compatibilidade com melhores e mais eficientes resultados de produção, bem como, a sustentabilidade do negócio. Para o desenvolvimento deste trabalho procedeu-se à Pesquisa Aplicada e em seguida ao Estudo de Caso. Primeiramente foram realizadas visitas às indústrias, utilizando-se um questionário para avaliar questões relativas ao gerenciamento de resíduos sólidos e líquidos do processo produtivo. Como Estudo de Caso selecionou-se uma das indústrias, que não possui todas as certificações relativas às normas ambientais e também não apresenta estação de tratamento de água e de efluentes na sua unidade industrial. Esta empresa foi comparada ás demais como referência para a identificação das iniciativas que as indústrias petroquímicas vem adotando, relacionadas com a preservação dos recursos naturais e minimização da geração de resíduos. Esta análise comparativa permitiu incluir neste estudo recomendações para implementação ou melhoria em aspectos do processo considerados impactantes ao meio ambiente e que, porventura, ainda não se encontravam em conformidade com atendimento às leis ambientais, e/ou, que não tenham atingido um nível de minimização de resíduos de forma a promover sua sustentabilidade ambiental. / This research has the aim of evaluating environmental management systems of five petrochemical industries in the State of Rio de Janeiro. This studys main focus is on the management of solid and liquid wastes which are generated during producing processes and the commitment with Brazilian laws applied to environmental protection. Following the development on environmental management systems used by different producing market segments, it is noticed that more and more importance is given to adapt a production process to limits and conditions that allows its environmental sustainability. The five above-mentioned studied industries are reference in the transformation sector, with productive activities which may cause critical impacts on the environment. The general target of this study is to give a closer look on the methodology used by each of those industries on their efforts for continuous management improvement, facing the challenges of the use of renewable and not renewable resources, solid and liquid waste treatment, in agreement with more efficient production results, as well as the business sustainability. For the development of this study it was divided in two parts: Applied Research and Case Study. First, the industries were visited and the questionnaire was applied to evaluate issues concerning management of solid and liquid waste generated during the process. One of the five industries was selected as Case Sudy, once it does not have all the certifications complying environmental norms and also it does not have wastewater treatment at its facility. This industry was compared to the others as a reference to identify the efforts that are being followed by petrochemical industries, concerning natural resources preservation and residues minimization. This comparative analysis allowed recommendations to improve process steps considered highly harmful to the environment, and, by the way are not still accomplishing to Brazilian environmental laws, and/or that have not yet achieved an accepted waste minimization level in order to assure its environmental sustainability.

Um novo critério, proposto por Jorge Navaza a partir de considerações teóricas para resolver o problema das fases, é avaliado numericamente. Este critério se baseia na propriedade de atomicidade da função densidade eletrônica, generalizando resultados obtidos por Goedkoop. O problema das fases é resolvido teoricamente pela minimização de uma função, R, que é formada pela soma dos menores autovalores de uma matriz, Q, construída a partir de todos os fatores de estrutura observados. O conjunto de fases procurado é aquele que minimiza R. Como a matriz Q depende em forma relativamente complexa do grupo de simetria espacial do cristal, teoria dos grupos é utilizada para reduzir a ordem desta matriz. O algoritmo e a implantação computacional do cálculo da função R, juntamente com testes numéricos que demonstram a utilidade do critério de Navaza, são descritos em detalhe. Como corolário, que pode talvez resultar de grande importância prática, é mostrado que a função R pode ser utilizada como uma nova figura de mérito nos métodos diretos por multissolução clássicos. Finalmente, é desenvolvida a álgebra correspondente ao cálculo do gradiente da função R, indicando a direção de trabalhos futuros / A new criterion, proposed by Jorge Navaza from theoretical considerations to solve the Phase Problem, is numerically tested. The criterion is based on the atomicity property of the electron density function, generalizing previous results by Goedkoop. The Phase Problem is theoretically solved by the minimization of a function, R, which is formed from the sum of the smallest eigenvalues of a matrix Q, constructed from the set of all observed structure factors. The sought set of phases is that which minimizes R. Because the matrix Q depends in a relatively complex fashion on the space group of the crystal, group theory is employed to reduce the order of Q. The algorithm and computational implementation for the calculation of R, together with numerical tests which demonstrate the usefulness of Navaza´s criterion, are described in detail. As a corollary, that might turn out to be of a practical importance, it is shown that the minimum value of the function R can be used as a novel Figure of Merit in the classical Multisolution Direct Methods. Finally, the rather complex algebra necessary for the calculation of the gradient of the function R is developed, indicating also the possible trends for future work

Submitted by Marlene Santos (marlene.bc.ufg@gmail.com) on 2018-06-29T19:43:37Z No. of bitstreams: 2 Tese - Kaye Oliveira da Silva - 2015.pdf: 3763230 bytes, checksum: 2a51ab65a386fdff2c014712b4f5a7fd (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2018-07-03T15:21:01Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Tese - Kaye Oliveira da Silva - 2015.pdf: 3763230 bytes, checksum: 2a51ab65a386fdff2c014712b4f5a7fd (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-03T15:21:01Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Tese - Kaye Oliveira da Silva - 2015.pdf: 3763230 bytes, checksum: 2a51ab65a386fdff2c014712b4f5a7fd (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2015-07-03 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work, we study two problems in partial differential equations. The first one is a nonlinear eigenvalue problem given by: ( 􀀀div( (jruj)ru) = f(x; u) em , u = 0 em @ , where the nonlinearity f is oscilatory. By using Orlicz-Sobolev spaces and techniques of minimization, degree theory, lower and upper solutions and regularization of solutions, we show that for each sufficiently big, there is a family of solutions, which is finite when f oscillates a finite number of times (with respect to the second variable) and it is infinite when f oscillates infinitely many times. On the second problem, we use the shooting method, to show that the problem: ( 􀀀(r (ju0(r)j)u0(r))0 = r f(u(r)); 0 < r < R; u(R) = u0(0) = 0; has for each sufficiently small, a family fukg1k =1 of solutions, where for each positive integer k, uk has exactly k roots in the interval (0;R). / Neste trabalho estudamos dois problemas de equações diferenciais parciais. O primeiro é um problema não linear de autovalores da forma: ( 􀀀div( (jruj)ru) = f(x; u) em , u = 0 em @ , cuja não linearidade f é oscilatória. Utilizando os espaços de Orlicz-Sobolev e técnicas de minimização, teoria do grau, sub e super soluções e regularização de soluções, mostramos que para cada suficientemente grande, existe uma família de soluções, que é finita no caso de f oscilar um número finito de vezes (com relação a segunda variável) e infinita no caso de f oscilar um número infinito de vezes. No segundo problema, usamos o método de shooting, para mostrar que o problema ( 􀀀(r (ju0(r)j)u0(r))0 = r f(u(r)); 0 < r < R; u(R) = u0(0) = 0; possui para cada > 0 suficientemente pequeno, uma família fukg1k =1 de soluções, onde para cada k inteiro positivo, uk tem exatamente k raízes no intervalo (0;R).