The purpose of the senses of animals (and humans) is to translate information available in the external environment into internal information that can be processed by the brain. In the case of the olfactory sense -- the sense of smell -- this is information about the type and concentration of odourants. In the last 15 years major progress has been made in the experimental understanding of the first two stages of the olfactory sense: the signal transduction inside the cilia of the olfactory receptor neurons and the first 'relay station' in the brain, the olfactory bulb, as well as the connection between these two. Theoretical studies that classify the experimentally achieved knowledge or help in testing different biological hypotheses are only starting to be developed. The present work aims to contribute to the theoretical understanding of the first two stages of the olfactory sense. The first processing of the olfactory information, the olfactory signal transduction, is accomplished by a complex chemical network in the sensory cells with the task of coding the available information reliably over a wide range of stimulus strength. In the present work, methods from nonlinear dynamics combined with network theory (namely stoichiometric network analysis) are used to identify a specific negative feedback mechanism that accounts for a number of recently measured experimental results, e.g. oscillations in calcium concentration or the adaptation of the cell towards strong stimuli. This feedback is an experimentally well-established inhibition of cationic channels by the calcium-loaded form of the protein calmodulin. The results of the set of coupled nonlinear deterministic differential equations describing these dynamics agree quantitatively with experimental data. A bifurcation analysis of the system considered shows the robustness of the oscillatory solution against changes in parameters used. It also gives predictions that could serve as an experimental test of the proposed mechanism. Further abstraction and simplification of this specific signal transduction unit leads to a stochastic two-level system with negative feedback, that can not only be found in signalling systems but also in other branches of cell biology, e.g. regulated enzyme activity or in transcription dynamics. Whereas the description outlined above is fully deterministic, here the model system is intrinsically noisy. The influence of the feedback on the intrinsic noise as well as on the signalling properties of the module are analysed in detail by computing mean values, correlation and response functions of the two dynamical system variables using different analytical approaches. Common to all of them is that the intrinsic noise of the system is calculated from its dynamics rather than being introduced by hand. A master equation is used to get generally valid expressions for the mean values. Correlation and response functions for weak feedback are calculated within a path-integral description, and an easier self-consistent method with restricted validity is developed for future extensions of the module such as, e.g., the inclusion of diffusion. The results of the analytical methods are compared to each other and to the results of extended numerical simulations. The considered quantities allow for statements regarding the quality of the signal transduction properties of this module and the positive and negative effects of feedback on it. Going one step up in the information processing in the olfactory sense, another system is found that shows interesting dynamics during development and is influenced by stochastic effects: the formation of the neural map on the surface of the olfactory bulb -- stage two in the olfactory system. The dynamics of this very complex biological pattern formation process is studied mostly numerically focusing on three different aspects of axonal growth. Possible chemical guidance cues and the reaction of axonal growth cones to them are described using different levels of detail. There is strong experimental evidence for interactions among growing axons which is implemented in different ways into models. Finally, axon turnover is considered and used in the most promising simulation approach, where many axons grow as interacting directed random walkers. For each of these aspects, qualitative features of respective experiments are reproduced. / Die Sinne der Tiere (und Menschen) dienen dazu, Informationen über die Aussenwelt in neuronale, ' interne' Information zu 'übersetzen'. Im Falle des Geruchssinns sind dies Informationen über die Art und Konzentration von Geruchsstoffen. In den letzten 15 Jahren wurden grosse Fortschritte im experimentellen Verständnis der ersten beiden Stufen des Geruchssinns gemacht, sowohl was die Signaltransduktion in den Zilien der Geruchszellen betrifft, als auch bezüglich der ersten 'Schaltstelle' im Gehirn, dem olfaktorischen Bulbus (sowie in der Verbindung dieser beiden Stufen). Die Entwicklung theoretischer Studien, die die experimentell gewonnenen Daten klassifizieren können, befindet sich dagegen erst am Anfang. Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, zum theoretischen Verständnis dieser ersten beiden Stufen beizutragen. Die erste Verarbeitung der olfaktorischen Information, die olfaktorische Signaltransduktion, wird durch ein komplexes chemisches Netzwerk in den Sinneszellen bewerkstelligt. In dieser Dissertation werden Methoden der nichtlinearen Dynamik, kombiniert mit Netzwerktheorie (stöchiometrische Netzwerkanalyse) benutzt, um einen negativen Rückkopplungsmechanismus zu identifizieren, der einige in neuerer Zeit gewonnene experimentelle Ergebnisse erklären kann, u.a. Oszillationen der Kalziumkonzentration oder die Anpassung der Zelle an starke Reize. Bei dieser Rückkopplung handelt es sich um eine experimentell gut bestätigte Hemmung eines Kationenkanals durch den Kalziumkomplex des Proteins Calmodulin. Das Ergebnis der vier gekoppelten nichtlinearen deterministischen Differenzialgleichungen, die das dynamische Verhalten des Systems beschreiben, stimmt quantitativ mit experimentellen Daten überein. Eine Bifurkationsanalyse zeigt die Robustheit der oszillierenden Lösung gegenüber Veränderungen der verwendeten Parameter und macht Vorhersagen möglich, die als experimentelle Tests des vorgeschlagenen Mechanismus dienen können. Eine weitere Abstrahierung der oben beschriebenen Signaltransduktionseinheit führt zu einem stochastischen Zweiniveausystem mit negativer Rückkopplung, das nicht nur in Signalsystemen gefunden werden kann, sondern auch in anderen Bereichen der Zellbiologie. Im Gegensatz zu der oben beschriebenen, komplett deterministischen Beschreibung zeigt das hier betrachtete Modellsystem intrinsisches Rauschen. Der Einfluss der Rückkopplung auf das Rauschen sowie auf die Signalübertragungseigenschaften des Moduls werden detailliert analysiert, indem mit Hilfe verschiedener analytischer Methoden Mittelwerte, Korrelations- und Antwortfunktionen des Systems ausgerechnet werden. Diese Methoden habe alle gemein, dass das intrinsische Rauschen des Systems aus der Dynamik selbst berechnet wird und nicht ' von Hand' eingefügt wird. Um allgemeingültige Ausdrücke für die Mittelwerte zu bekommen, wird eine Mastergleichung aufgestellt und gelöst. Die Korrelations- und Antwortfunktionen werden für schwache Rückkopplung mit Hilfe einer Pfadintegralmethode ausgerechnet, und eine einfachere, selbstkonsistente Methode begrenzter Gültigkeit wird für mögliche Erweiterungen des Systems, z.B. die Berücksichtigung von Diffusion, entwickelt. Die Ergebnisse der verschiedenen analytischen Methoden werden miteinander und mit den Ergebnissen ausführlicher numerischer Simulationen verglichen. Die betrachteten Grössen ermöglichen Aussagen über die Qualität der Signaltransduktion dieses Moduls sowie über die positiven und negativen Effekte der Rückkopplung auf diese. Ein weiteres Beispiel für interessante und von stochastischen Effekten beeinflusste Dynamik findet man einen Schritt weiter in der olfaktorischen Signalverarbeitung: Die während der Entwicklung stattfindende Ausbildung der neuronalen Karte auf der Oberfläche des olfaktorischen Bulbus, der zweiten Stufe des olfaktorischen Systems. Die Dynamik dieser sehr komplexen biologischen Musterbildung wird mittels numerischer Simulationen untersucht, wobei der Schwerpunkt auf drei verschiedene Aspekte axonalen Wachstums gesetzt wird. Die Reaktion axonaler Wachstumskegel auf mögliche chemische Signalstoffe wird verschieden detailliert beschrieben. Es gibt deutliche experimentelle Hinweise auf Wechselwirkung zwischen Axonen, was in den Modellen auf verschiedene Arten implementiert wird. Schliesslich wird die Erneuerung der Axone betrachtet und im vielversprechendsten Modell, in dem viele Axone als wechselwirkende gerichtete random walkers simuliert werden, berücksichtigt und analysiert. Für jeden dieser drei Aspekte können entsprechende experimentelle Ergebnisse qualitativ reproduziert werden.

In diese Dissertation werden lineare retardierte Differentialgleichungen (DDEs) und deren Lösungsoperatoren untersucht. Wir stellen eine neue Methode vor, mit der die Lösungsoperatoren für autonome und nicht-autonome DDEs bestimmt werden. Die neue Methode basiert auf dem Pfadintegralformalismus, der aus der Quantenmechanik und von der Analyse stochastischer Differentialgleichungen bekannt ist. Es zeigt sich, dass die Lösung eines Delaysystems zum Zeitpunkt t durch die Integration aller möglicher Pfade von der Anfangsbedingung bis zur Zeit t gebildet werden kann. Die Pfade bestehen dabei aus verschiedenen Schritten unterschiedlicher Längen und Gewichte. Für skalare autonome DDEs können analytische Ausdrücke des Lösungsoperators in der Literatur gefunden werden, allerdings existieren keine für nicht-autonome oder höherdimensionale DDEs. Mithilfe der neuen Methode werden wir die Lösungsoperatoren der genannten DDEs aufstellen und zusätzlich auf Delaysysteme mit mehreren Delaytermen erweitern. Dabei bestätigen wir unsere Ergebnisse sowohl analytisch wie auch numerisch. Die gewonnenen Lösungsoperatoren verwenden wir anschließend zur Stabilitätsanalyse periodischer Delaysysteme. Es werden zwei neue Verfahren präsentiert, die mithilfe des Lösungsoperators den transformierten Monodromieoperator des Delaysystems nähern und daraus die Stabilität bestimmen können. Beide neue Verfahren sind spektrale Methoden für autonome sowie nicht-autonome Delaysysteme und haben keine Einschränkungen wie bei der bekannten Chebyshev-Kollokationsmethode oder der Chebyshev-Polynomentwicklung. Die beiden bisherigen Verfahren beschränken sich auf Delaysysteme mit rationalem Verhältnis zwischen Periode und Delay. Außerdem werden wir eine bereits bekannte Methode erweitern und zu einer spektralen Methode für periodische nicht-autonome Delaysysteme entwickeln. Wir bestätigen alle drei neue Verfahren numerisch. Damit werden in dieser Dissertation drei neue spektrale Verfahren zur Stabilitätsanalyse periodischer Delaysysteme vorgestellt. / In this thesis linear delay differential equations (DDEs) and its solutions operators are studied. We present a new method to calculate the solution operators for autonomous and non-autonomous DDEs. The new method is related to the path integral formalism, which is known from quantum mechanics and the analysis of stochastic differential equations. It will be shown that the solution of a time delay system at time t can be constructed by integrating over all paths from the initial condition to time t. The paths consist of several steps with different lengths and weights. Analytic expressions for the solution operator for scalar autonomous DDEs can be found in the literature but no results exist for non-autonomous or high dimensional DDEs. With the help of the new method we can calculate the solution operators for such DDEs and for time delay systems with several delay terms. We verify our results analytically and numerically. We use the obtained solution operators for the stability analysis of periodic time delay systems. Two new methods will be presented to approximate the transformed monodromy operator with the help of the solution operator and to get the stability. Both new methods are spectral methods for autonomous and non-autonomous delay systems and have no limitations like the known Chebyshev collocation method or Chebyshev polynomial expansion. Both previously known methods are limited to time delay systems with a rational relation between period and delay. Furthermore we will extend a known method to a spectral method for non-autonomous time delay systems. We verify all three new methods numerically. Hence, in this thesis three new spectral methods for the stability analysis of periodic time delay systems are presented.

The purpose of the senses of animals (and humans) is to translate information available in the external environment into internal information that can be processed by the brain. In the case of the olfactory sense -- the sense of smell -- this is information about the type and concentration of odourants. In the last 15 years major progress has been made in the experimental understanding of the first two stages of the olfactory sense: the signal transduction inside the cilia of the olfactory receptor neurons and the first 'relay station' in the brain, the olfactory bulb, as well as the connection between these two. Theoretical studies that classify the experimentally achieved knowledge or help in testing different biological hypotheses are only starting to be developed. The present work aims to contribute to the theoretical understanding of the first two stages of the olfactory sense. The first processing of the olfactory information, the olfactory signal transduction, is accomplished by a complex chemical network in the sensory cells with the task of coding the available information reliably over a wide range of stimulus strength. In the present work, methods from nonlinear dynamics combined with network theory (namely stoichiometric network analysis) are used to identify a specific negative feedback mechanism that accounts for a number of recently measured experimental results, e.g. oscillations in calcium concentration or the adaptation of the cell towards strong stimuli. This feedback is an experimentally well-established inhibition of cationic channels by the calcium-loaded form of the protein calmodulin. The results of the set of coupled nonlinear deterministic differential equations describing these dynamics agree quantitatively with experimental data. A bifurcation analysis of the system considered shows the robustness of the oscillatory solution against changes in parameters used. It also gives predictions that could serve as an experimental test of the proposed mechanism. Further abstraction and simplification of this specific signal transduction unit leads to a stochastic two-level system with negative feedback, that can not only be found in signalling systems but also in other branches of cell biology, e.g. regulated enzyme activity or in transcription dynamics. Whereas the description outlined above is fully deterministic, here the model system is intrinsically noisy. The influence of the feedback on the intrinsic noise as well as on the signalling properties of the module are analysed in detail by computing mean values, correlation and response functions of the two dynamical system variables using different analytical approaches. Common to all of them is that the intrinsic noise of the system is calculated from its dynamics rather than being introduced by hand. A master equation is used to get generally valid expressions for the mean values. Correlation and response functions for weak feedback are calculated within a path-integral description, and an easier self-consistent method with restricted validity is developed for future extensions of the module such as, e.g., the inclusion of diffusion. The results of the analytical methods are compared to each other and to the results of extended numerical simulations. The considered quantities allow for statements regarding the quality of the signal transduction properties of this module and the positive and negative effects of feedback on it. Going one step up in the information processing in the olfactory sense, another system is found that shows interesting dynamics during development and is influenced by stochastic effects: the formation of the neural map on the surface of the olfactory bulb -- stage two in the olfactory system. The dynamics of this very complex biological pattern formation process is studied mostly numerically focusing on three different aspects of axonal growth. Possible chemical guidance cues and the reaction of axonal growth cones to them are described using different levels of detail. There is strong experimental evidence for interactions among growing axons which is implemented in different ways into models. Finally, axon turnover is considered and used in the most promising simulation approach, where many axons grow as interacting directed random walkers. For each of these aspects, qualitative features of respective experiments are reproduced. / Die Sinne der Tiere (und Menschen) dienen dazu, Informationen über die Aussenwelt in neuronale, ' interne' Information zu 'übersetzen'. Im Falle des Geruchssinns sind dies Informationen über die Art und Konzentration von Geruchsstoffen. In den letzten 15 Jahren wurden grosse Fortschritte im experimentellen Verständnis der ersten beiden Stufen des Geruchssinns gemacht, sowohl was die Signaltransduktion in den Zilien der Geruchszellen betrifft, als auch bezüglich der ersten 'Schaltstelle' im Gehirn, dem olfaktorischen Bulbus (sowie in der Verbindung dieser beiden Stufen). Die Entwicklung theoretischer Studien, die die experimentell gewonnenen Daten klassifizieren können, befindet sich dagegen erst am Anfang. Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, zum theoretischen Verständnis dieser ersten beiden Stufen beizutragen. Die erste Verarbeitung der olfaktorischen Information, die olfaktorische Signaltransduktion, wird durch ein komplexes chemisches Netzwerk in den Sinneszellen bewerkstelligt. In dieser Dissertation werden Methoden der nichtlinearen Dynamik, kombiniert mit Netzwerktheorie (stöchiometrische Netzwerkanalyse) benutzt, um einen negativen Rückkopplungsmechanismus zu identifizieren, der einige in neuerer Zeit gewonnene experimentelle Ergebnisse erklären kann, u.a. Oszillationen der Kalziumkonzentration oder die Anpassung der Zelle an starke Reize. Bei dieser Rückkopplung handelt es sich um eine experimentell gut bestätigte Hemmung eines Kationenkanals durch den Kalziumkomplex des Proteins Calmodulin. Das Ergebnis der vier gekoppelten nichtlinearen deterministischen Differenzialgleichungen, die das dynamische Verhalten des Systems beschreiben, stimmt quantitativ mit experimentellen Daten überein. Eine Bifurkationsanalyse zeigt die Robustheit der oszillierenden Lösung gegenüber Veränderungen der verwendeten Parameter und macht Vorhersagen möglich, die als experimentelle Tests des vorgeschlagenen Mechanismus dienen können. Eine weitere Abstrahierung der oben beschriebenen Signaltransduktionseinheit führt zu einem stochastischen Zweiniveausystem mit negativer Rückkopplung, das nicht nur in Signalsystemen gefunden werden kann, sondern auch in anderen Bereichen der Zellbiologie. Im Gegensatz zu der oben beschriebenen, komplett deterministischen Beschreibung zeigt das hier betrachtete Modellsystem intrinsisches Rauschen. Der Einfluss der Rückkopplung auf das Rauschen sowie auf die Signalübertragungseigenschaften des Moduls werden detailliert analysiert, indem mit Hilfe verschiedener analytischer Methoden Mittelwerte, Korrelations- und Antwortfunktionen des Systems ausgerechnet werden. Diese Methoden habe alle gemein, dass das intrinsische Rauschen des Systems aus der Dynamik selbst berechnet wird und nicht ' von Hand' eingefügt wird. Um allgemeingültige Ausdrücke für die Mittelwerte zu bekommen, wird eine Mastergleichung aufgestellt und gelöst. Die Korrelations- und Antwortfunktionen werden für schwache Rückkopplung mit Hilfe einer Pfadintegralmethode ausgerechnet, und eine einfachere, selbstkonsistente Methode begrenzter Gültigkeit wird für mögliche Erweiterungen des Systems, z.B. die Berücksichtigung von Diffusion, entwickelt. Die Ergebnisse der verschiedenen analytischen Methoden werden miteinander und mit den Ergebnissen ausführlicher numerischer Simulationen verglichen. Die betrachteten Grössen ermöglichen Aussagen über die Qualität der Signaltransduktion dieses Moduls sowie über die positiven und negativen Effekte der Rückkopplung auf diese. Ein weiteres Beispiel für interessante und von stochastischen Effekten beeinflusste Dynamik findet man einen Schritt weiter in der olfaktorischen Signalverarbeitung: Die während der Entwicklung stattfindende Ausbildung der neuronalen Karte auf der Oberfläche des olfaktorischen Bulbus, der zweiten Stufe des olfaktorischen Systems. Die Dynamik dieser sehr komplexen biologischen Musterbildung wird mittels numerischer Simulationen untersucht, wobei der Schwerpunkt auf drei verschiedene Aspekte axonalen Wachstums gesetzt wird. Die Reaktion axonaler Wachstumskegel auf mögliche chemische Signalstoffe wird verschieden detailliert beschrieben. Es gibt deutliche experimentelle Hinweise auf Wechselwirkung zwischen Axonen, was in den Modellen auf verschiedene Arten implementiert wird. Schliesslich wird die Erneuerung der Axone betrachtet und im vielversprechendsten Modell, in dem viele Axone als wechselwirkende gerichtete random walkers simuliert werden, berücksichtigt und analysiert. Für jeden dieser drei Aspekte können entsprechende experimentelle Ergebnisse qualitativ reproduziert werden.

In this thesis a new frequency domain approach for the analysis of time delay systems is presented. After linearization of a nonlinear delay differential equation (DDE) with constant distributed delay around a constant or periodic reference solution the so-called Hill-Floquet method can be used for the analysis of the resulting linear DDE. In addition, systems with fast or slowly time-varying delays, systems with variable transport delays originating from a transport with variable velocity, and the corresponding spatially extended systems are presented, which can be also analyzed with the presented method. The newly introduced Hill-Floquet method is based on the Hill’s infinite determinant method and enables the transformation of a system with periodic coefficients to an autonomous system with constant coefficients. This makes the usage of a variety of existing methods for autonomous systems available for the analysis of periodic systems, which implies that the typical calculation of the monodromy matrix for the time evolution of the solution over the principle period is no longer required. In this thesis, the Chebyshev collocation method is used for the analysis of the autonomous systems. Specifically, in this case the periodic part of the solution is expanded in a Fourier series and the exponential behavior of the solution is approximated by the discrete values of the Fourier coefficients at the Chebyshev nodes, whereas in classical spectral or pseudo-spectral methods for the analysis of linear periodic DDEs the complete solution is expanded in terms of basis functions. In the last part of this thesis, new results for three applications with time delay effects are presented, which were analyzed with the presented methods. On the one hand, the occurrence of diffusion-driven instabilities in reaction-diffusion systems with delay is investigated. It is shown that wave instabilities are possible already for single-species reaction diffusion systems with distributed or time-varying delay. On the other hand, the stability of metal cutting vibrations at machine tools is analyzed. In particular, parallel orthogonal turning processes with multiple discrete delays and turning processes with a time-varying delay due to a spindle speed variation are studied. Finally, the stability of the synchronized solution in networks with heterogeneous coupling delays is studied. In particular, the eigenmode expansion for synchronized periodic orbits is derived, which includes an extension of the classical master stability function to networks with heterogeneous coupling delays. Numerical results are shown for a network of Hodgkin-Huxley neurons with two delays in the coupling.:1. Introduction 2. System definition and equivalent systems 3. Analysis of nonlinear time delay systems 4. Analytical solution of linear time delay systems 5. Frequency domain approach 6. Hill-Floquet method 7. Applications 8. Concluding remarks A Appendix / In dieser Dissertation wird ein neues Verfahren zur Analyse von Systemen mit Totzeiten im Frequenzraum vorgestellt. Nach Linearisierung einer nichtlinearen retardierten Differentialgleichung (DDE) mit konstanter verteilter Totzeit um eine konstante oder periodische Referenzlösung kann die sogenannte Hill-Floquet Methode für die Analyse der resultierende linearen DDE angewendet werden. Darüber hinaus werden Systeme mit schnell oder langsam variierender Totzeit, Systeme mit einer variablen Totzeit, resultierend aus einem Transport mit variabler Geschwindigkeit, und entsprechende räumlich ausgedehnte Systeme vorgestellt, welche ebenfalls mit der vorgestellten Methode analysiert werden können. Die neu eingeführte Hill-Floquet Methode basiert auf der Hillschen unendlichen Determinante und ermöglicht die Transformation eines Systems mit periodischen Koeffizienten auf ein autonomes System mit konstanten Koeffizienten. Dadurch können zur Analyse periodischer Systeme auch eine Vielzahl existierender Methoden für autonome Systeme genutzt werden und die Berechnung der Monodromie-Matrix für die Lösung des Systems über eine Periode entfällt. In dieser Arbeit wird zur Analyse des autonomen Systems die Tschebyscheff-Kollokationsmethode verwendet. Im Speziellen wird bei diesem Verfahren der periodische Teil der Lösung in einer Fourierreihe entwickelt und das exponentielle Verhalten durch die Werte der Fourierkoeffizienten an den Tschebyscheff Knoten approximiert, wohingegen bei klassischen spektralen Verfahren die komplette Lösung in bestimmten Basisfunktionen entwickelt wird. Im Anwendungsteil der Arbeit werden neue Ergebnisse für drei Beispielsysteme präsentiert, welche mit den vorgestellten Methoden analysiert wurden. Es wird gezeigt, dass Welleninstabilitäten schon bei Einkomponenten-Reaktionsdiffusionsgleichungen mit verteilter oder variabler Totzeit auftreten können. In einem zweiten Beispiel werden Schwingungen an Werkzeugmaschinen betrachtet, wobei speziell simultane Drehbearbeitungsprozesse und Prozesse mit Drehzahlvariationen genauer untersucht werden. Am Ende wird die Synchronisation in Netzwerken mit heterogenen Totzeiten in den Kopplungstermen untersucht, wobei die Zerlegung in Netzwerk-Eigenmoden für synchrone periodische Orbits hergeleitet wird und konkrete numerische Ergebnisse für ein Netzwerk aus Hodgkin-Huxley Neuronen gezeigt werden.:1. Introduction 2. System definition and equivalent systems 3. Analysis of nonlinear time delay systems 4. Analytical solution of linear time delay systems 5. Frequency domain approach 6. Hill-Floquet method 7. Applications 8. Concluding remarks A Appendix

Dynamische Systeme mit Gedächtnis spielen in verschiedensten Anwendungen und Forschungsgebieten eine wesentliche Rolle. Gedächtnis bedeutet dabei, dass das zukünftige Systemverhalten nicht nur durch den aktuellen Zustand festgelegt wird, sondern im Allgemeinen auch durch vergangenen Zustände. Ein prominenter Vertreter für dieses Verhalten ist die Hysterese. Aufgrund der unterschiedlichen Mechanismen, welche zum Auftreten von Hysterese führen können, haben sich eine Vielzahl an Modellen etabliert, um diese zu beschreiben und zu modellieren. Zwei häufig verwendete Modelle sind dabei das Random Field Ising-Model und das Preisach-Model. Beide Modelle unterscheiden sich grundlegend in der Art, wie es zu Hysterese kommt. Während beim Random Field Ising-Model Hysterese aufgrund der Wechselwirkung benachbarter Spins auftritt, benutzt das Preisach-Model hingegen eine Vielzahl an elementaren bistabilen Relais, um komplexes hysteretisches Verhalten abzubilden. Trotz dieser Unterschiedlichkeit zeigen beide Modelle ähnliche Eigenschaften wie return point memory und wipe-out. Wir wollen in dieser Arbeit das dynamische Verhalten eines einfachen harmonischen Oszillators untersuchen, welcher mithilfe eines Feedback-Loops an ein hysteretisches Spinsystem gekoppelt wird. Es soll das Verhalten dieses Hybrid-Systems, das sowohl aus kontinuierlichen als auch aus diskreten Variablen besteht, für verschieden große Spinsysteme untersucht werden. Wir konzentrieren uns dabei auf drei vereinfachte Spinkonfigurationen. Dies ermöglicht uns, unter Verwendung der Preisach-Theorie, den Limes eines unendlich großen Spinsystems analytisch zu beschreiben. Wir zeigen, dass sich das Verhalten von dynamischen Systemen gekoppelt an ein endliches Spinsystem im Allgemeinen von Systemen gekoppelt an ein unendliches Spinsystem unterscheidet. Im Zuge dessen werden wir eine Methode vorstellen, um Lyapunov Spektren für dynamische Systeme mit preisachartiger Hysterese und glatter Dichte zu bestimmen. Wir zeigen weiterhin, dass bestimmte relevante Größen wie fraktale Dimension und Magnetisierung im Allgemeinen kein selbstmittelndes Verhalten aufweisen. Diese Resultate können erhebliche Auswirkungen auf die Vergleichbarkeit und Interpretation von Theorie und Experiment bei dynamischen Systemen mit Hysterese haben. / Dynamical systems with memory play a huge role in technical applications as well as in different research fields. In general memory means, the systems' behavior is not only determined by its last state, but also by the history of previous states. One prominent example of such behavior is the hysteresis. Caused by the many reasons for hysteretic behavior, multiple models for hysteresis have been developed over the past hundred years. Two commonly used models are the Random Field Ising Model and the Preisach model. Both models differ in the way, how the memory is build into the system. Whereas, the Random Field Ising Model shows hysteresis because of the interaction between nearby spins, the complex hysteresis of the Preisach model is build by a superposition of elementary bi-stable relays. Besides these differences, both models show similar hysteric behavior like return point memory and wipe-out. In this work, we want to investigate the dynamical behavior of a simple harmonic oscillator coupled to Ising spins in a closed loop way, showing hysteresis. The system consists of discrete and continuous degrees of freedom, and therefore it has a hybrid character. Concentrating on three simplified spin interactions, on one hand we investigate the dynamical properties of the system for a varying finite number of spins and on the other hand we use the Preisach model to calculate the limit of an infinite number of spins. We find, that dynamical systems coupled to a finite and infinite number of spins, respectively, in general behave differently. Thereby, we develop a method to determine the whole Lyapunov spectrum for systems with Preisach like hysteresis and a smooth density. Furthermore, we show that some dynamical properties like the fractal dimension and the magnetization in general do not show self-averaging. These findings could have a huge impact on the comparability and interpretation of theoretical and experimental results in the context of dynamical systems with hysteresis.

Synchonisation ist ein universelles Phänomen welches in den Natur- und Ingenieurwissenschaften, aber auch in Sozialsystemen vorkommt. Verschiedene Modellsysteme wurden zur Beschreibung von Synchronisation vorgeschlagen, wobei das Kuramoto-Modell das am weitesten verbreitete ist. Das Kuramoto-Modell zweiter Ordnung beschreibt eigenständige Phasenoszillatoren mit heterogenen Eigenfrequenzen, die durch den Sinus ihrer Phasendifferenzen gekoppelt sind, und wird benutzt um nichtlineare Dynamiken in Stromnetzen, Josephson-Kontakten und vielen anderen Systemen zu analysieren. Im Laufe der letzten Jahre wurden insbesondere Netzwerke von Kuramoto-Oszillatoren studiert, da sie einfach genug für eine analytische Beschreibung und denoch reich an vielfältigen Phänomenen sind. Eines dieser Phänomene, explosive synchronization, entsteht in skalenfreien Netzwerken wenn eine Korrelation zwischen den Eigenfrequenzen der Oszillatoren und der Netzwerktopolgie besteht. Im ersten Teil dieser Dissertation wird ein Kuramoto-Netzwerk zweiter Ordnung mit einer Korrelation zwischen den Eigenfrequenzen der Oszillatoren und dem Netzwerkgrad untersucht. Die Theorie im Kontinuumslimit und für unkorrelierte Netzwerke wird für das Modell mit asymmetrischer Eigenfrequenzverteilung entwickelt. Dabei zeigt sich, dass Cluster von Knoten mit demselben Grad nacheinander synchronisieren, beginnend mit dem kleinsten Grad. Dieses neue Phänomen wird als cluster explosive synchronization bezeichnet. Numerische Untersuchungen zeigen, dass dieses Phänomen auch durch die Zusammensetzung der Netzwerkgrade beeinflusst wird. Zum Beispiel entstehen unstetige Übergänge nicht nur in disassortativen, sondern auch in stark assortativen Netzwerken, im Gegensatz zum Kuramoto-Modell erster Ordnung.Unstetige Phasenübergänge lassen sich anhand eines Ordnungsparameters und der Hysterese auf unterschiedliche Anfangsbedingungen zurückführen. Unter starken Störungen kann das System von wünschenswerten in nicht gewünschte Zustände übergehen. Diese Art der Stabilität unter starken Störungen kann mit dem Konzept der basin stability quantifiziert werden. Im zweiten Teil dieser Dissertation wird die basin stability der Synchronisation im Kuramoto-Modell zweiter Ordnung untersucht, wobei die Knoten separat gestört werden. Dabei wurde ein neues Phänomen mit zwei nacheinander auftretenden Übergängen erster Art entdeckt: Eine \emph{onset transition} von einer globalen Stabilität zu einer lokalen Instabilität, und eine suffusing transition von lokaler zu globaler Stabilität. Diese Abfolge wird als onset and suffusing transition bezeichnet.Die Stabilität von Netzwerknoten kann durch die lokale Netzwerktopologie beeinflusst werden, zum Beispiel haben Knoten neben Netzwerk-Endpunkten eine geringe basin stability. Daraus folgend wird ein neues Konzept der partiellen basin stability vorgeschlagen, insbesondere für cluster synchronization, um die wechselseitigen Stabilitätseinflüsse von Clustern zu quantifizieren.Dieses Konzept wird auf zwei wichtige reale Beispiele angewandt: Neuronale Netzwerke und das nordeuropäische Stromnetzwerk. Die neue Methode erlaubt es instabile und stabile Cluster in neuronalen Netzwerken zu identifizieren und erklärt wie Netzwerk-Endpunkte die Stabilität gefährden. / Synchronization phenomena are ubiquitous in the natural sciences and engineering, but also in social systems. Among the many models that have been proposed for a description of synchronization, the Kuramoto model is most popular. It describes self-sustained phase oscillators rotating at heterogeneous intrinsic frequencies that are coupled through the sine of their phase differences. The second-order Kuramoto model has been used to investigate power grids, Josephson junctions, and other systems.The study of Kuramoto models on networks has recently been boosted because it is simple enough to allow for a mathematical treatment and yet complex enough to exhibit rich phenomena. In particular, explosive synchronization emerges in scale-free networks in the presence of a correlation between the natural frequencies and the network topology. The first main part of this thesis is devoted to study the networked second-order Kuramoto model in the presence of a correlation between the oscillators'' natural frequencies and the network''s degree. The theoretical framework in the continuum limit and for uncorrelated networks is provided for the model with an asymmetrical natural frequency distribution. It is observed that clusters of nodes with the same degree join the synchronous component successively, starting with small degrees. This novel phenomenon is named cluster explosive synchronization. Moreover, this phenomenon is also influenced by the degree mixing in the network connection as shown numerically. In particular, discontinuous transitions emerge not just in disassortative but also in strong assortative networks, in contrast to the first-order model. Discontinuous phase transitions indicated by the order parameter and hysteresis emerge due to different initial conditions. For very large perturbations, the system could move from a desirable state to an undesirable state. Basin stability was proposed to quantify the stability of a system to stay in the desirable state after being subjected to strong perturbations. In the second main part of this thesis, the basin stability of the synchronization of the second-order Kuramoto model is investigated via perturbing nodes separately. As a novel phenomenon uncovered by basin stability it is demonstrated that two first-order transitions occur successively in complex networks: an onset transition from a global instability to a local stability and a suffusing transition from a local to a global stability. This sequence is called onset and suffusing transition.Different nodes could have a different stability influence from or to other nodes. For example, nodes adjacent to dead ends have a low basin stability. To quantify the stability influence between clusters, in particular for cluster synchronization, a new concept of partial basin stability is proposed. The concept is implemented on two important real examples: neural networks and the northern European power grid. The new concept allows to identify unstable and stable clusters in neural networks and also explains how dead ends undermine the network stability of power grids.

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