GERALDO, A. Propriedades de Jordan em anéis de grupo. 2019. Dissertação (Mestrado) - Insti- tuto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2019. Neste trabalho estudamos alguns resultados a respeito do conjunto dos elementos que são simétricos sobre uma involução, orientada ou não, de um anel de grupo. Dado um anel de grupo RG, onde R é comutativo e com elemento identidade 1, e uma involução orientada # ; apre- sentamos as condições necessárias e suficientes sobre R e G para que o subconjunto (RG) + = { RG # = } seja anticomutativo, ou equivalentemente, o produto de Jordan seja trivial em (RG) + . Além disso, estudamos um caso de nilpotência de Jordan no anel de grupo RG e no seu subconjunto (RG) + , para o caso onde a involução não possui orientação. / In this work we study some results regarding the set of elements that are symmetrical about an involution, oriented or not, in a group ring. Given a group ring RG, where R is commutative and with identity element 1, and an oriented involution # we present the necessary and sufficient conditions on R and G so that the set (RG) + = { RG # = } is anticomutative, or equivalently, the Jordan product is trivial in (RG) + . In addition we study a case of Jordans nilpotency in the group RG and its subset (RG) + , for the case where involution has no orientation.

In his thesis we are concerned with certain numerical invariants of homotopy type akin to the Lusternik-Schnirelmann category and cocategory. In a series of papers I. Bernstein, T. Ganea, and P.J. Hilton developed the concepts of the category and weak category of a topological space. They also considered the related concepts of conilpotency and cup product length of a space and the weak category of a map. Later T. Ganea gave another definition of category and weak category (which we shall write as G-cat and G-wcat) in terms of vibrations and cofibrations and hence this dualizes easily in the sense of Eckmann-Hilton. We find the relationships between these invariants and then find various examples of spaces which show that the invariants are all different except cat and G-cat. The results are contained in the following theorem. The map $e:B -> OmegaSigma B$ is the natural embedding. All the invariants are normalized so as to take the value 0 on contractible spaces. THEOREM Let B have the homotopy type of a simply connected CW-complex, then $cat B = G-cat B geq G-wcat B geq wcat B geq wcat e geq conil B geq cup-long B$ and furthermore all the inequalities can occur. All the examples are spaces of the form $B = S^qcup_alpha e^n$ where $alphain pi_{n-1} (S^q)$. When B is of this form, we obtain conditions for the category and the weak categories of B to be less than or equal to one of the terms of Hopf invariants of $alpha$. We use these conditions to prove the examples. We then prove the dual theorem concerning the relationships between the invariants cocategory, weak cocategory, nilpotency and Whitehead product length. THEOREM Let A be countable CW-complex, then $cocat A geq wcocat A geq nil A geq W-long A$ and furthermore all the inequalities can occur. The proof is not dual to the first theorem, though the examples we use to show that the inequalities can exist are all spaces with two non-zero homotopy groups. The most interesting of these examples is the space A with 2 non-zero homotopy groups, $mathbb Z$ in dimension 2 and ${mathbb Z}_4$ in dimension 7 with k-invariant $u^4 in H^8(mathbb Z, 2; {mathbb Z}_4)$. This space is not an H-space, but has weak cocategory 1. The condition $wcocat A leq 1$ is equivalent to the fact that d is homotopic to 0 in the fibration $D -d-> A -e-> OmegaSigma A$. In order to show that wcocat A = 1 we have to calculate to cohomology ring of $OmegaSigma K(mathbb Z,2)$. The method we use to do this is the same as that used to calculate the cohomology ring of $OmegaSigma S^{n+1}$ using James' reduced product construction. Finally we show that for the above space A the fibration $Omega A -g-> A^S -f-> A$ has a retraction $ ho$ such that $ hocirc g$ is homotopic to 1 even though A is not an H-space.

Motivated by Carriazo, Fernández and Núñez’s article [3], the main goal of this work is to discuss ways of associating algebra and graphs, in order to obtain information of algebras, in particular non-associative algebras, in graph theory language. This work presents an analysis of the results presented in [3], generalizing it, and proposes new results involving the concepts of solubility and nilpotency. / Motivada pelo trabalho de Carriazo, Fernández e Núñez [3], o principal objetivo desta dissertação é discorrer sobre formas de associar álgebras e grafos, com o objetivo de obter informações inerentes das álgebras, em especial álgebras não associativas, na linguagem de teoria dos grafos. Este trabalho apresenta uma análise dos resultados presentes em [3], generalizando-os, e propõe novos resultados envolvendo os conceitos de solubilidade e nilpotência.

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2016-08-01T15:47:42Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Matheus Dantas e Lima - 2015.pdf: 704663 bytes, checksum: d5208ed461f05826e6138ead557fb633 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2016-08-01T15:49:19Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Matheus Dantas e Lima - 2015.pdf: 704663 bytes, checksum: d5208ed461f05826e6138ead557fb633 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2016-08-01T15:49:19Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Matheus Dantas e Lima - 2015.pdf: 704663 bytes, checksum: d5208ed461f05826e6138ead557fb633 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2015-07-29 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / (Sem resumo) / Sobre condições para que uma propriedade de grupos seja fechada via formação do produto tensorial não abeliano de grupos.

Submitted by Jaqueline Silva (jtas29@gmail.com) on 2016-09-12T21:09:34Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Daniel dos Santos Araújo - 2016.pdf: 1529885 bytes, checksum: 8ed172afb4beaab8a7bf1c612425044f (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Jaqueline Silva (jtas29@gmail.com) on 2016-09-12T21:09:45Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Daniel dos Santos Araújo - 2016.pdf: 1529885 bytes, checksum: 8ed172afb4beaab8a7bf1c612425044f (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2016-09-12T21:09:45Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Daniel dos Santos Araújo - 2016.pdf: 1529885 bytes, checksum: 8ed172afb4beaab8a7bf1c612425044f (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2016-05-13 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / If a Zn-graded Lie ring L admits a fixed point free automorphism of order n, then L is soluble and the derived length of L is bounded in function only on n. In this work, we study some results about the derived length of the Zn-graded Lie rings and in the particular case that n = 6, we also study properties to the nilpotency class of the lower central series of L. For this, we introduce some basic results of Lie algebras theory and Lie rings, as well preliminary concepts of modules and tensor product. Finally, we study a Lie ring associated to a group once many problems in group theory can be treated by linear methods about Lie algebras and Lie rings. / Um anel de Lie Zn-graduado L, que admite um automorfismo livre de pontos fixos de ordem n é solúvel e tem comprimento derivado limitado apenas em função de n. Estudamos neste trabalho resultados relacionados ao comprimento derivado do anel de Lie Zn-graduado L, onde para o caso de n = 6, vemos também um limite para a classe de nilpotência de um termo da série central inferior de L. Para esse fim, fazemos um estudo introdutório sobre álgebras de Lie e anéis de Lie, como também conceitos preliminares sobre módulos e produto tensorial. Apresentamos também um anel de Lie associado a um grupo, pois muitos problemas em Teoria de Grupos podem ser tratados via métodos lineares para anéis e álgebras de Lie.

Sejam $F$ um corpo de característica diferente de $2$ e $G$ um grupo. A partir da involução clássica, que envia cada elemento em seu inverso, e uma orientação do grupo $G$ é possível definir uma involução clássica orientada na álgebra de grupo $FG$. O objetivo desta tese é estudar propriedades de Lie do conjunto dos elementos simétricos $(FG)^+$ e, em alguns casos, do conjunto dos elementos anti-simétricos $(FG)^-$. Primeiro, abordamos o caso quando $G$ não tem elementos de ordem $2$. Aqui, mostramos que se $(FG)^+$ (ou $(FG)^-$) é Lie nilpotente ou Lie $n$-Engel, então $FG$ também é Lie nilpotente ou Lie $m$-Engel, respectivamente. Depois, consideramos o caso quando $G$ contém uma cópia do grupo quatérnio de ordem $8$. Neste caso, caracterizamos completamente as álgebras de grupo tais que $(FG)^+$ é fortemente Lie nilpotente, Lie nilpotente e Lie $n$-Engel. Como consequência, provamos que o conjunto das unidades simétricas deste tipo de grupos é nilpotente. Estudamos também o caso em que quando $G$ não contém uma cópia do grupo quatérnio de ordem $8$. Em particular, apresentamos um exemplo que mostra que os resultados obtidos em pesquisas anteriores, com a involução clássica, não devem ser esperados ao trabalhar com involuções clássicas orientadas. Não entanto, damos alguns casos especiais de grupos nos quais esses resultados são obtidos. Finalmente, estudamos o índice de Lie nilpotência de $(FG)^+$. Estabelecemos uma condição necessária e suficiente, para que o índice de Lie nilpotência de $(FG)^+$ e a classe de nilpotência das unidades simétricas de uma álgebra de grupo Lie nilpotente sejam o maior possível. Além disso, consideramos a situação em que o grupo $G$ contém uma cópia de $Q_8$. / Let $F$ be a field of characteristic different from $2$ and $G$ a group. From the classical involution, which sends each element in its inverse and an orientation of $G$, it is possible to define an oriented classical involution on the group algebra $FG$. The goal of this thesis is to study Lie properties of the set of symmetric elements $(FG)^+$ and, in some cases, of the set of skew-symmetric elements $(FG)^-$. We first deal with the case when $G$ does not have elements of order $2$. In this situation, we show that if $(FG)^+$ (or $(FG)^-$) is Lie nilpotent or Lie $n$-Engel, then the whole group algebra $FG$ satisfies the same property. Later we consider the case when $G$ contains a copy of the quaternion group of order $8$. In this instance, we give a complete description of the group algebras such that $(FG)^+$ is strongly Lie nilpotent, Lie nilpotent and Lie $n$-Engel. As a consequence, we get that the set of symmetric units of this kind of groups is nilpotent. Furthermore, we study the case when $G$ does not contain a copy of the quaternion group of order $8$. Here, we present an example that shows that the previews results obtained in former works, with the classical involution, may not hold with an oriented classical involution. However, we give some kinds of groups for which those results are achieved. Finally, we study the Lie nilpotency index of $(FG)^+$. It is given a necessary and sufficient condition to the Lie nilpotency index of $(FG)^+$ and the nilpotency class of the symmetric units to be maximal, in a Lie nilpotent group algebra. In addition, we consider the situation when $G$ contains a copy of the quaternion group of order $8$.

Sejam $F$ um corpo de característica diferente de $2$ e $G$ um grupo. A partir da involução clássica, que envia cada elemento em seu inverso, e uma orientação do grupo $G$ é possível definir uma involução clássica orientada na álgebra de grupo $FG$. O objetivo desta tese é estudar propriedades de Lie do conjunto dos elementos simétricos $(FG)^+$ e, em alguns casos, do conjunto dos elementos anti-simétricos $(FG)^-$. Primeiro, abordamos o caso quando $G$ não tem elementos de ordem $2$. Aqui, mostramos que se $(FG)^+$ (ou $(FG)^-$) é Lie nilpotente ou Lie $n$-Engel, então $FG$ também é Lie nilpotente ou Lie $m$-Engel, respectivamente. Depois, consideramos o caso quando $G$ contém uma cópia do grupo quatérnio de ordem $8$. Neste caso, caracterizamos completamente as álgebras de grupo tais que $(FG)^+$ é fortemente Lie nilpotente, Lie nilpotente e Lie $n$-Engel. Como consequência, provamos que o conjunto das unidades simétricas deste tipo de grupos é nilpotente. Estudamos também o caso em que quando $G$ não contém uma cópia do grupo quatérnio de ordem $8$. Em particular, apresentamos um exemplo que mostra que os resultados obtidos em pesquisas anteriores, com a involução clássica, não devem ser esperados ao trabalhar com involuções clássicas orientadas. Não entanto, damos alguns casos especiais de grupos nos quais esses resultados são obtidos. Finalmente, estudamos o índice de Lie nilpotência de $(FG)^+$. Estabelecemos uma condição necessária e suficiente, para que o índice de Lie nilpotência de $(FG)^+$ e a classe de nilpotência das unidades simétricas de uma álgebra de grupo Lie nilpotente sejam o maior possível. Além disso, consideramos a situação em que o grupo $G$ contém uma cópia de $Q_8$. / Let $F$ be a field of characteristic different from $2$ and $G$ a group. From the classical involution, which sends each element in its inverse and an orientation of $G$, it is possible to define an oriented classical involution on the group algebra $FG$. The goal of this thesis is to study Lie properties of the set of symmetric elements $(FG)^+$ and, in some cases, of the set of skew-symmetric elements $(FG)^-$. We first deal with the case when $G$ does not have elements of order $2$. In this situation, we show that if $(FG)^+$ (or $(FG)^-$) is Lie nilpotent or Lie $n$-Engel, then the whole group algebra $FG$ satisfies the same property. Later we consider the case when $G$ contains a copy of the quaternion group of order $8$. In this instance, we give a complete description of the group algebras such that $(FG)^+$ is strongly Lie nilpotent, Lie nilpotent and Lie $n$-Engel. As a consequence, we get that the set of symmetric units of this kind of groups is nilpotent. Furthermore, we study the case when $G$ does not contain a copy of the quaternion group of order $8$. Here, we present an example that shows that the previews results obtained in former works, with the classical involution, may not hold with an oriented classical involution. However, we give some kinds of groups for which those results are achieved. Finally, we study the Lie nilpotency index of $(FG)^+$. It is given a necessary and sufficient condition to the Lie nilpotency index of $(FG)^+$ and the nilpotency class of the symmetric units to be maximal, in a Lie nilpotent group algebra. In addition, we consider the situation when $G$ contains a copy of the quaternion group of order $8$.

Made available in DSpace on 2014-07-29T16:02:17Z (GMT). No. of bitstreams: 1 EMERSON FERREIRA DE MELO.pdf: 459851 bytes, checksum: b6bbc846b2c7808e954127d464c634e5 (MD5) Previous issue date: 2011-02-28 / In this work we present a study on Lie rings and algebras admitting an automorphism of finite order. We emphasize questions on nilpotency. We prove important results of this theory, for example the Higman, Kreknin and Kostrikin s Theorem. Furthermore, let L be a finite dimensional Lie algebra over an algebraically closed field of characteristic 0. Suppose that L admits a nilpotent Lie algebra D with n weights in L, and let m be the dimension of the Fitting null component with respect to D. Then L is almost nilpotent, namely, L contains a nilpotent subalgebra N of {m,n}-bounded codimension and of nbounded nilpotency class. If m = 0, then L is nilpotent of bounded class by a function of n. This theorem was published by E. I. Khukhro and P. Shumyatsky in the paper entitled Lie Algebras with Almost Constant-Free Derivations . / Nesta dissertação apresentamos um estudo sobre anéis e álgebras de Lie admitindo um automorfismo de ordem finita, com ênfase em questões sobre nilpotência. Demonstramos resultados importantes desta teoria, como por exemplo o Teorema de Higman, Kreknin e Kostrikin. Além disso, considere L uma álgebra de Lie de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado de característica 0. Suponha que L admita uma álgebra de derivações nilpotente D com n pesos em L, e seja m a dimensão da componente nula de Fitting com respeito a D. Então L é quase nilpotente, ou seja, L contém uma subálgebra N de codimensão {m,n}-limitada e classe de nilpotência n-limitada. Se m = 0, então L é nilpotente de classe limitada por uma função de n. Este teorema foi publicado por E. I. Khukhro e P. Shumyatsky num artigo intitulado Lie Algebras with almost constant-free derivations .

Made available in DSpace on 2014-07-29T16:02:18Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertacao Agenor Freitas de Andrade.pdf: 1042479 bytes, checksum: 049cc003452cdaee484bef8ab2c371b3 (MD5) Previous issue date: 2011-07-01 / Let G and Gj be isomorphic groups. We study the group V (G) which is an extension of the non-abelian tensor square of a group G, G G. Looking for V (G) as an operator in the class of groups, we observe that this operator preserves some properties of the group G such as finiteness, nilpotency and solubility. For a p-group finite G we find an upper bound for the order of G G. Finally, we verified computationally, for some groups, and that the results and also the bounds for the orders of the groups shown here are actually respected. / Sejam G e Gj grupos isomorfos. Estudaremos o grupo V (G) que é uma extensão de grupo do quadrado tensorial não-abeliano de um grupo G, G G. Olhando para V (G) como um operador na classe de grupos, observamos que este operador preserva algumas propriedades do grupo G, tais como finitude, solubilidade e nilpotência. Ainda para um p-grupo finito G encontramos um limitante para ordem de G G: Por fim, verificamos computacionalmente, para alguns grupos, que os resultados e também os limitantes para as ordens dos grupos aqui apresentados são de fato respeitados.

Made available in DSpace on 2014-07-29T16:02:23Z (GMT). No. of bitstreams: 1 silvio sandro.pdf: 761623 bytes, checksum: 55f280c9ca185766a1ed91423c5edfad (MD5) Previous issue date: 2010-06-28 / The group of weak commutativity for bijection G(H;K;σ) = {H;K|[h;hσ] = 1, for all h H} belongs is defined as the quotient of the free product H * K the normal closure of {[h;hσ] : h belongs to all H} in H * K. In this dissertation, we studied the results obtained in 2009 by Sidka and Oliveira [7] that support the following conjecture: If H,K ~= Zp X...X Zp, then G(H,K,σ)is a p-group. / O grupo de comutatividade fraca por bijeção G(H;K;σ) = {H;K|[h;hσ] = 1, para todo h pertence H} é definido como sendo o quociente do produto livre H * K pelo fecho normal de {[h;hσ] : para todo h pertence H} emH * K. Nessa dissertação, estudamos os resultados obtidos em 2009 por Oliveira e Sidki [7] que suportam a seguinte conjectura: Se H,K ~= Zp X...X Zp, então G(H,K,σ) é um p-grupo.