Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

La thèse étudie la prise en compte du principe décimal de la numération lors de l'introduction des nombres supérieurs à mille, en troisième année d'école primaire. En nous appuyant sur les cadres de la théorie anthropologique du didactique (TAD) et de la théorie des situations didactiques (TSD), nous avons d'abord construit une organisation mathématique de référence et une situation fondamentale de la numération, pour étudier les différentes étapes de la transposition didactique. Un premier résultat est le constat d'un manque de prise en compte du principe décimal de la numération de position dans les manuels et programmes actuels ainsi que dans les pratiques. Notre étude se poursuit par la détermination de conditions que devrait vérifier une ressource qui aiderait les enseignants à améliorer la prise en compte de ce principe. Pour cela nous utilisons la méthodologie d'ingénierie didactique pour le développement d'une ressource : élaborer une première version, analyser son utilisation par des enseignants, l'adapter en une seconde version, etc. (cycles conception-usage). Les résultats de l'étude concernent la pertinence des situations (mises en scène de la situation fondamentale) et de leur description aux enseignants. Ils permettent d'envisager des modifications possibles pour une ressource plus efficace. L'étude permet aussi de préciser les difficultés des élèves et de recueillir des informations sur les pratiques ordinaires des enseignants.

Notre contexte pratique — nous enseignons à des élèves doués de cinquième année suivant le programme international — a grandement influencé la présente recherche. En effet, le Programme primaire international (Organisation du Baccalauréat International, 2007) propose un enseignement par thèmes transdisciplinaires, dont un s’intitulant Où nous nous situons dans l’espace et le temps. Aussi, nos élèves sont tenus de suivre le Programme de formation de l’école québécoise (MÉLS Ministère de l'Éducation du Loisir et du Sport, 2001) avec le développement, notamment, de la compétence Résoudre une situation-problème et l’introduction d’une nouveauté : les repères culturels. Après une revue de la littérature, l’histoire des mathématiques nous semble tout indiquée. Toutefois, il existe peu de ressources pédagogiques pour les enseignants du primaire. Nous proposons donc d’en créer, nous appuyant sur l’approche constructiviste, approche prônée par nos deux programmes d’études (OBI et MÉLS). Nous relevons donc les avantages à intégrer l’histoire des mathématiques pour les élèves (intérêt et motivation accrus, changement dans leur façon de percevoir les mathématiques et amélioration de leurs apprentissages et de leur compréhension des mathématiques). Nous soulignons également les difficultés à introduire une approche historique à l’enseignement des mathématiques et proposons diverses façons de le faire. Puis, les concepts mathématiques à l’étude, à savoir l’arithmétique, et la numération, sont définis et nous voyons leur importance dans le programme de mathématiques du primaire. Nous décrivons ensuite les six systèmes de numération retenus (sumérien, égyptien, babylonien, chinois, romain et maya) ainsi que notre système actuel : le système indo-arabe. Enfin, nous abordons les difficultés que certaines pratiques des enseignants ou des manuels scolaires posent aux élèves en numération. Nous situons ensuite notre étude au sein de la recherche en sciences de l’éducation en nous attardant à la recherche appliquée ou dite pédagogique et plus particulièrement aux apports des recherches menées par des praticiens (un rapprochement entre la recherche et la pratique, une amélioration de l’enseignement et/ou de l’apprentissage, une réflexion de l’intérieur sur la pratique enseignante et une meilleure connaissance du milieu). Aussi, nous exposons les risques de biais qu’il est possible de rencontrer dans une recherche pédagogique, et ce, pour mieux les éviter. Nous enchaînons avec une description de nos outils de collecte de données et rappelons les exigences de la rigueur scientifique. Ce n’est qu’ensuite que nous décrivons notre séquence d’enseignement/apprentissage en détaillant chacune des activités. Ces activités consistent notamment à découvrir comment différents systèmes de numération fonctionnent (à l’aide de feuilles de travail et de notations anciennes), puis comment ces mêmes peuples effectuaient leurs additions et leurs soustractions et finalement, comment ils effectuaient les multiplications et les divisions. Enfin, nous analysons nos données à partir de notre journal de bord quotidien bonifié par les enregistrements vidéo, les affiches des élèves, les réponses aux tests de compréhension et au questionnaire d’appréciation. Notre étude nous amène à conclure à la pertinence de cette séquence pour notre milieu : l’intérêt et la motivation suscités, la perception des mathématiques et les apprentissages réalisés. Nous revenons également sur le constructivisme et une dimension non prévue : le développement de la communication mathématique. / Our practical context -we teach gifted fifth grade students in an International School- has greatly influenced this research. Indeed, the International Primary Years Programme (International Baccalaureate Organization, 2007) fosters transdisciplinary themes, including one intitled Where we are in place and time. Our students are also expected to follow the Quebec education program schools (Ministry of Education, Recreation and Sport, 2001) with the development of competencies such as: To solve situational problem and the introduction of a novelty: the Cultural References. After the literature review, the history of mathematics seems very appropriate. However, there are few educational resources for primary teachers. This is the reason why we propose creating the resources by drawing upon the constructivist approach, an approach recommended by our two curricula (OBI and MELS). We bring to light the advantages of integrating the history of mathematics for students (increased interest and motivation, change in their perception of mathematics and improvement in learning and understanding mathematics). We also highlight the difficulties in introducing a historical approach to teaching mathematics and suggest various ways to explore it. Then we define the mathematical concepts of the study: arithmetic and counting and we remark their importance in the Primary Mathematics Curriculum. We then describe the six selected number systems (Sumerian, Egyptian, Babylonian, Chinese, Roman and Mayan) as well as our current system: the Indo-Arabic system. Finally, we discuss the difficulties students may encounter due to some teaching practices or textbooks on counting. We situate our study in the research of science of education especially on applied research and the contributions of the teacher research reconciliation between research and practice, the improvement of teaching and / or learning and a reflection within the teaching practice). Also, we reveal the possible biases that can be encountered in a pedagogical research and thus, to better avoid them. Finally, we describe the tools used to collect our data and look at the requirements for scientific rigor. Next, we describe our teaching sequence activities in details. These activities include the discovery of how the different number systems work (using worksheets and old notations) and how the people using the same systems do their additions and subtractions and how they do their multiplications and divisions. Finally, we analyze our data from a daily diary supported by video recordings, students’ posters, the comprehension tests and the evaluation questionnaire. Our study leads us to conclude the relevance of this sequence in our context: interest and motivation, perception of mathematics and learning achieved. We also discuss constructivism and a dimension not provided: the development of mathematical communication.

Notre contexte pratique — nous enseignons à des élèves doués de cinquième année suivant le programme international — a grandement influencé la présente recherche. En effet, le Programme primaire international (Organisation du Baccalauréat International, 2007) propose un enseignement par thèmes transdisciplinaires, dont un s’intitulant Où nous nous situons dans l’espace et le temps. Aussi, nos élèves sont tenus de suivre le Programme de formation de l’école québécoise (MÉLS Ministère de l'Éducation du Loisir et du Sport, 2001) avec le développement, notamment, de la compétence Résoudre une situation-problème et l’introduction d’une nouveauté : les repères culturels. Après une revue de la littérature, l’histoire des mathématiques nous semble tout indiquée. Toutefois, il existe peu de ressources pédagogiques pour les enseignants du primaire. Nous proposons donc d’en créer, nous appuyant sur l’approche constructiviste, approche prônée par nos deux programmes d’études (OBI et MÉLS). Nous relevons donc les avantages à intégrer l’histoire des mathématiques pour les élèves (intérêt et motivation accrus, changement dans leur façon de percevoir les mathématiques et amélioration de leurs apprentissages et de leur compréhension des mathématiques). Nous soulignons également les difficultés à introduire une approche historique à l’enseignement des mathématiques et proposons diverses façons de le faire. Puis, les concepts mathématiques à l’étude, à savoir l’arithmétique, et la numération, sont définis et nous voyons leur importance dans le programme de mathématiques du primaire. Nous décrivons ensuite les six systèmes de numération retenus (sumérien, égyptien, babylonien, chinois, romain et maya) ainsi que notre système actuel : le système indo-arabe. Enfin, nous abordons les difficultés que certaines pratiques des enseignants ou des manuels scolaires posent aux élèves en numération. Nous situons ensuite notre étude au sein de la recherche en sciences de l’éducation en nous attardant à la recherche appliquée ou dite pédagogique et plus particulièrement aux apports des recherches menées par des praticiens (un rapprochement entre la recherche et la pratique, une amélioration de l’enseignement et/ou de l’apprentissage, une réflexion de l’intérieur sur la pratique enseignante et une meilleure connaissance du milieu). Aussi, nous exposons les risques de biais qu’il est possible de rencontrer dans une recherche pédagogique, et ce, pour mieux les éviter. Nous enchaînons avec une description de nos outils de collecte de données et rappelons les exigences de la rigueur scientifique. Ce n’est qu’ensuite que nous décrivons notre séquence d’enseignement/apprentissage en détaillant chacune des activités. Ces activités consistent notamment à découvrir comment différents systèmes de numération fonctionnent (à l’aide de feuilles de travail et de notations anciennes), puis comment ces mêmes peuples effectuaient leurs additions et leurs soustractions et finalement, comment ils effectuaient les multiplications et les divisions. Enfin, nous analysons nos données à partir de notre journal de bord quotidien bonifié par les enregistrements vidéo, les affiches des élèves, les réponses aux tests de compréhension et au questionnaire d’appréciation. Notre étude nous amène à conclure à la pertinence de cette séquence pour notre milieu : l’intérêt et la motivation suscités, la perception des mathématiques et les apprentissages réalisés. Nous revenons également sur le constructivisme et une dimension non prévue : le développement de la communication mathématique. / Our practical context -we teach gifted fifth grade students in an International School- has greatly influenced this research. Indeed, the International Primary Years Programme (International Baccalaureate Organization, 2007) fosters transdisciplinary themes, including one intitled Where we are in place and time. Our students are also expected to follow the Quebec education program schools (Ministry of Education, Recreation and Sport, 2001) with the development of competencies such as: To solve situational problem and the introduction of a novelty: the Cultural References. After the literature review, the history of mathematics seems very appropriate. However, there are few educational resources for primary teachers. This is the reason why we propose creating the resources by drawing upon the constructivist approach, an approach recommended by our two curricula (OBI and MELS). We bring to light the advantages of integrating the history of mathematics for students (increased interest and motivation, change in their perception of mathematics and improvement in learning and understanding mathematics). We also highlight the difficulties in introducing a historical approach to teaching mathematics and suggest various ways to explore it. Then we define the mathematical concepts of the study: arithmetic and counting and we remark their importance in the Primary Mathematics Curriculum. We then describe the six selected number systems (Sumerian, Egyptian, Babylonian, Chinese, Roman and Mayan) as well as our current system: the Indo-Arabic system. Finally, we discuss the difficulties students may encounter due to some teaching practices or textbooks on counting. We situate our study in the research of science of education especially on applied research and the contributions of the teacher research reconciliation between research and practice, the improvement of teaching and / or learning and a reflection within the teaching practice). Also, we reveal the possible biases that can be encountered in a pedagogical research and thus, to better avoid them. Finally, we describe the tools used to collect our data and look at the requirements for scientific rigor. Next, we describe our teaching sequence activities in details. These activities include the discovery of how the different number systems work (using worksheets and old notations) and how the people using the same systems do their additions and subtractions and how they do their multiplications and divisions. Finally, we analyze our data from a daily diary supported by video recordings, students’ posters, the comprehension tests and the evaluation questionnaire. Our study leads us to conclude the relevance of this sequence in our context: interest and motivation, perception of mathematics and learning achieved. We also discuss constructivism and a dimension not provided: the development of mathematical communication.

Située dans le champ de la didactique des mathématiques, la recherche doctorale brosse un portrait des connaissances d'élèves du 2è cycle primaire, précisément, de 3èe année, sur le système de numération de position décimale et procède à une analyse didactique exploratoire des situations d'enseignement qui leur sont proposées. Plusieurs études ont mis en exergue un certain nombre de difficultés et de conceptions erronées des élèves liées à ce savoir (Bednarz et Janvier, 1988, 1986, 1984a, 1984b, 1982; Brun, Giossi et Henriques, 1984; Collet, 2003; Deblais, 1997, 1996, 1995; Fuson, 1988; Giroux, 1991 et 2005; Kamii, 1990; Perret, 1985a, Perret, 1985b, etc.). Certaines de ces études interprètent ces difficultés à l'aune de l'approche par objectifs des programmes d'enseignement et des méthodes d'enseignement en découlant (Bednarz et Janvier; Kamii ...). Or, depuis une dizaine d'années, un nouveau programme inspiré du socio-constructivisme et rompant ainsi avec le paradigme béhavioral de l'ancien programme, a été implanté au Québec (PFÉQ, 2001). L'implantation de l'actuel programme, fondé sur une approche par compétences, a pu donner lieu, dans les classes, à une nouvelle organisation des savoirs et à un renouvellement des situations d'enseignement et de leur gestion par les enseignants. Il est donc possible que ce changement ait pu produire un certain effet sur les connaissances des élèves au regard des résultats d'études antérieures (Bednarz et Janvier, 1988, 1986, 1984a, 1984b). Dans cette perspective, notre étude vise à brosser le portrait actuel des connaissances d'élèves de 3e année primaire sur la numération de position décimale et à procéder à une analyse didactique de situations d'enseignement proposées à cet ordre d'enseignement. Trois études ont été menées pour atteindre les objectifs. La première étude caractérise, sur la base d'une analyse qualitative des conduites des élèves, les connaissances d'un échantillon d'un nombre restreint d'élèves (N=18) mises en œuvre dans la réalisation de deux tâches utilisées par Bednarz et Janvier dans les années 80. Ces connaissances ont été confrontées à celles identifiées par Bednarz et Janvier (1982, 1984 et 1986). Les résultats révèlent que les connaissances des élèves de notre étude sont comparables à celles des élèves instruits sous l'ancien programme. Une seconde étude procède à l'évaluation des connaissances sur la numération de position décimale de 154 élèves de fin de 3e année primaire, provenant de différentes écoles et régions du Québec. L'analyse qualitative engagée permet la caractérisation de cinq profils de performances. Une analyse mixte (quantitative et qualitative) montre que les performances des élèves sont, pour la majorité des tâches, affectées d'effets de type « classe ». Ainsi, pour plusieurs tâches, les performances des élèves varient en fonction non seulement de leurs profils de performances et de la complexité de la tâche mais également en fonction de la classe à laquelle ils appartiennent. Enfin, la troisième étude procède à une analyse qualitative didactique qui permet d'une part de caractériser des situations d'enseignement observées dans 2 classes de 3e année primaire au regard de l'approche du programme actuel et, d'autre part, de formuler des hypothèses explicatives sur les relations entre les situations d'enseignement et les performances des élèves. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : numération de position décimale, opérations, connaissances, contrat didactique, programme de formation, style d'enseignement, profils de performances, effets tâche et classe, méthodologie mixte.

Ce travail est consacré à l'étude de systèmes de Lyndon (pour la relation d'ordre alterné) et àla dynamique symbolique des développements des nombres en base négative. Pour un réel ß > 1fixé, nous construisons un code préfixe récurrent positif permettant non seulement de montrerl'intrinsèque ergodicité du —ß-shift mais aussi de déterminer la fonction zêta qui lui est associée.Nous étudions les conditions pour lesquelles le —ß-shift possède la spécification.En outre, lorsque ß est strictement plus petit que le nombre d'or, le langage du —ß-shift admet desmots intransitifs. Cet état de fait engendre dans le système dynamique des cylindres négligeablespar rapport à la mesure d'entropie maximale. Ces cylindres génèrent sur Iß=[—ß/(ß+1),1/(ß+1)[ depetits intervalles de mesure nulle (la mesure considérée étant l'unique mesure ergodique sur Iß).Nous en faisons une étude détaillée, en particulier nous déterminons ces intervalles "trous".Par ailleurs, nous étudions l'unicité des systèmes de numération des entiers relatifs en base négative et nous montrons qu'à chaque mot de Lyndon correspond un tel système. / This work deals with the study of the Lyndon systems (for alternate order) and the symbolicdynamics of the expansions of real numbers in negative base. For a given real ß > 1, we showthe intrinsic ergodicity of the —ß-shift using a positive recurring prefix code and we determine theassociated zeta function. We study the conditions for which the —ß-shift admits the specificationproperty.Moreover, when ß is less than golden ratio, the language of the —ß-shift contains intransitive words.These words lead to some cylinders negligible with respect to the measure with maximal entropy.In the interval Iß=[—ß/(ß+1),1/(ß+1)[, these cylinders correspond to some gaps: small interval withmeasure zero (with respect to the unique ergodic measure on Iß). We make a detailed study ofthese gaps.Otherwise, we study the uniqueness of the number systems of integers in negative base and weshow that to each Lyndon word corresponds to a such system.

Pour cette recherche en didactique des mathématiques, les observations se sont déroulées dans un centre d'animation scientifique et technique qui reçoit des scolaires du cycle 3 du primaire. Dans ce centre, l'enjeu est de fabriquer et d'étudier des objets scientifiques. Pour étudier le cas des mathématiques – c'est-à-dire la fabrication et l'étude d'objets mathématiques – notre choix s'est porté sur les instruments à calculer (le boulier chinois, les bâtons à multiplier de Néper et de Genaille-Lucas, et la règle à calcul). Nous montrons que la fabrication des instruments avec les animateurs du centre est une phase importante où chaque enfant produit une œuvre matérielle. Aussi, nous proposons l'étude des instruments avec les professeurs en posant directement aux enfants la question de leur fonctionnement. Nous analysons ce type d'activité comme situation de recherche qui nécessite la mobilisation de savoirs notionnels et de savoirs transversaux en mathématiques. Ainsi, l'étude des instruments permet de créer des œuvres du savoir. C'est de cette manière – en créant des œuvres – que nous avons construit le partenariat entre l'animation socioculturelle et l'institution scolaire. Les savoirs notionnels concernés ici sont la numération positionnelle, les algorithmes de calcul et en particulier la notion de retenue qui est indissociable de la numération positionnelle. En effet, la compréhension mathématique de la retenue a été une condition nécessaire pour mécaniser les instruments à calculer. Enfin, nous montrons que définir la retenue est une question mathématique, riche de sens autant pour les élèves que pour la formation des enseignants.

En 150 ans, des bouleversements profonds ont affecté les relations entre grandeurs et nombres dans les mathématiques savantes et enseignées, et dans la vie courante. Nous voulons comprendre le statut actuel de ces relations à l'école primaire française et envisageons d'autres statuts pour demain. Notre cadre théorique de référence est la théorie anthropologique du didactique.<br />Nous avons approfondi l'étude de l'enseignement du système métrique, de la numération de position des entiers et de l'articulation entre les deux ; et entamé celle des relations entre opérations (sens, technique, types de nombres) et grandeurs (notamment la longueur et les représentations utilisant des schémas cotés).<br />Notre étude se développe selon trois axes qui se répondent :<br />- les liens entre grandeurs, nombres, opérations et pratiques pour la vie courante avant la réforme des mathématiques modernes ; les ruptures qu'elle a provoquées dans ces liens. Notre corpus est constitué par des textes du 20e siècle : programmes, manuels scolaires du CE (2P et 3P) ;<br />- les savoirs savants. Il s'agit d'une part de repérer les savoirs transposés à différentes époques, d'autre part d'identifier des conditions pour des théories mathématiques (éventuellement à formuler) susceptibles de servir de référence pour l'enseignement des grandeurs, nombres et opérations. Pour cela, nous prenons en compte des besoins mathématiques et didactiques : notamment tâches, discours justificatifs destinés aux élèves, cohérence des savoirs, continuité des apprentissages ;<br />- les connaissances des élèves actuels (277 en 5P). Il s'agit de mieux cerner d'éventuels ruptures et manques apparus avec l'étude des liens et des savoirs savants.

Les objets considérés dans cette thèse sont les empilements de sphères égales, principalement de $R^n$, et les beta-entiers, pour lesquels on utilise indifféremment le langage des empilements de sphères ou celui des ensembles uniformément discrets pour les décrire. Nous nous sommes concentrés sur les problèmes suivants : (i) aspects métriques et topologiques de l'espace des empilements de sphères pour lequels nous prouvons un théorème de compacité qui généralise le Théorème de Sélection de Mahler relatif aux réseaux, (ii) les relations entre trous profonds et la densité par la constante de Delone ainsi que la structure interne asymptotique, en couches, des empilements les plus denses, (iii) les empilements autosimilaires de type fini pour lesquels nous montrons, pour chacun, l'existence d'un schéma de coupe-et-projection associé à un entier algébrique (l'autosimilarité) dont le degré divise le rang de l'empilement, dans le contexte des quasicristaux mathématiques, (iv) les empilements de sphères sur beta-réseaux, dont l'étude a surtout consisté à comprendre l'ensemble discret localement fini $Z_\beta$ des beta-entiers et à proposer une classification des nombres algébriques qui complémente celle de Bertrand-Mathis, reportée dans un article de Blanchard, et où la mesure de Mahler de beta intervient naturellement.

Cette grammaire du tanimuka, langue tucano d’Amazonie colombienne, s’organise en quatre parties. La première partie, ‘le tanimuka : la langue et ses locuteurs’, est divisée en trois chapitres (1 à 3), qui établissent le profil sociolinguistique de la langue, et décrivent les conditions d’enquête de terrain. La deuxième partie, divisée en deux chapitres (5 et 6), présente une description de la phonologie et morphophonologie de la langue, avec une description du phénomène d’épenthèse syllabique dans le verbe. La troisième partie (chapitres 7 et 8) présente d’abord une étude générale de la grammaire au niveau morphosyntaxique et syntaxique, puis une étude thématique approfondie des systèmes de classification nominale : genre et classificateurs numéraux. La quatrième partie, divisée en trois chapitres (9 à 11), se concentre sur le domaine de l’expression spatiale, omniprésente dans la langue. Le premier chapitre présente l’inventaire de tous les éléments de l’expression spatiale de la langue. Le deuxième décrit le fonctionnement des verbes de postures et des positionnels dans les constructions locatives de base de prédicats de base simple ou complexe (séries verbales). Le troisième est dédié à l’étude de l’expression de la trajectoire. La thèse se termine par trois annexes : une présentation des stimuli visuels créés pour les enquêtes sur les verbes locatifs de posture et les positionnels, une étude sur le système de numération traditionnel du tanimuka, et la transcription d’une histoire de tradition orale ‘La tortue de terre Parekika’, glosée et traduite. / This grammar of Tanimuka, a Tucanoan language of the Colombian Amazonian area, is organized in four parts. The first part, ‘Tanimuka : the language and its speakers’, is divided into three chapters (1 to 3), which establish the sociolinguistic profile of the language and describe the fieldwork conditions. The second part, divided into two chapters (5 and 6), presents a description of the phonology and morphophonology of the language, with a study of the phenomenon of syllabic epenthesis in the verb. The third part (chapters 7 and 8) begins with a general study of the morphosyntactic and syntactic levels, followed by an in-depth study of the noun classification systems: gender and numeral classifier. The fourth part (chapters 9 to 11) focuses on the expression of space, omnipresent in the language. The first chapter presents an inventory of all the elements that express the domain of space in the language. The second provides a detailed analysis of postures and positional verbs in basic locative construction of simple or complex predicates (serial verb constructions). The final chapter is dedicated to the study of the expression of the Trajectory category. The dissertation ends with three annexes, which present, in turn, the visual stimuli created for the investigation of locative verbs of posture and position, a study of the traditional system of numeration and the transcription of a history of oral tradition: 'The tortoise Parekika', glossed and translated.