Les solveurs de calcul en mécanique des fluides numérique (solveurs CFD) ont atteint leur maturité en termes de précision et d'efficacité de calcul. Toutefois, des progrès restent à faire pour les écoulements instationnaires surtout lorsqu'ils sont régis par de grandes structures cohérentes. Pour ces écoulements, les solveurs CFD actuels n'apportent pas de solutions assez précises à moins d'utiliser des maillages très fins. De plus, la haute précision est une caractéristique cruciale pour l'application des stratégies avancées de simulation de turbulence, comme la Simulation des Grandes Echelles (LES). Afin d'appliquer les méthodes d'ordre élevé pour les écoulements instationnaires complexes plusieurs points doivent être abordés dont la robustesse numérique et la capacité à gérer des géométries complexes.Dans cette thèse, nous étudions une famille d'approximations compactes qui offrent une grande précision non pour chaque dérivée spatiale traitée séparement mais pour le résidu r complet, c'est à dire la somme de tous les termes des équations considérées. Pour des problèmes stationnaires résolus par avancement temporelle, r est le résidu à l'état stationnaire ne comprenant que des dérivées spatiales; pour des problèmes instationnaires r comprend également la dérivée temporelle. Ce type de schémas sont appelés schémas Compacts Basés sur le Résidu (RBC). Plus précisément, nous développons des schémas RBC d'ordre élevé pour des écoulements instationnaires compressibles, et menons une étude approfondie de leurs propriétés de dissipation. Nous analysons ensuite les erreurs de dissipation et la dispersion introduites par les schémas RBC afin de quantifier leur capacité à résoudre une longueur d'onde donnée en utilisant un nombre minimal de points de maillage. Les capacités de la dissipation de RBC à drainer seulement l'énergie aux petites échelles sous-résolues sont également examinées en vue de l'application des schémas RBC pour des simulations LES implicites (ILES). Enfin, les schémas RBC sont étendus à la formulation de type volumes finis (FV) afin de gérer des géométries complexes. Une formulation FV des schémas RBC d'ordre trois préservant une précision d'ordre élevé sur des maillages irréguliers est présentée et analysée. Des applications numériques, dont la simulation d'écoulements instationnaires complexes de turbomachines régis par les équations de Navier-Stokes moyennées et des simulations ILES d'écoulements turbulents dominés par des structures cohérentes dynamiques ou en décroissance, confirment les résultats théoriques. / Computational Fluid Dynamics (CFD) solvers have reached maturity in terms of solution accuracy as well as computational efficiency. However, progress remains to be done for unsteady flows especially when governed by large, coherent structures. For these flows, current CFD solvers do not provide accurate solutions unless very fine mesh are used. Moreover, high-accuracy is a crucial feature for the application of advanced turbulence simulation strategies, like Large Eddy Simulation (LES). In order to apply high-order methods to complex unsteady flows several issues needs to be addressed among which numerical robustness and the capability of handling complex geometries.In the present work, we study a family of compact approximations that provide high accuracy not for each space derivative treated apart but for the complete residual r, i.e. the sum of all of the terms in the governing equations. For steady problems solved by time marching, r is the residual at steady state and it involves space derivatives only; for unsteady problems, r also includes the time derivative. Schemes of this type are referred-to as Residual-Based Compact (RBC). Precisely, we design high-order finite difference RBC schemes for unsteady compressible flows, and provide a comprehensive study of their dissipation properties. The dissipation and dispersion errors introduced by RBC schemes are investigated to quantify their capability of resolving a given wave length using a minimal number of grid-points. The capabilities of RBC dissipation to drain energy only at small, ill-resolved scales are also discussed in view of the application of RBC schemes to implicit LES (ILES) simulations. Finally, RBC schemes are extended to the Finite Volume (FV) framework in order to handle complex geometries. A high-order accuracy preserving FV formulation of the third-order RBC scheme for general irregular grids is presented and analysed. Numerical applications, including complex Reynolds-Averaged Navier-Stokes unsteady simulation of turbomachinery flows and ILES simulations of turbulent flows dominated by coherent structure dynamics or decay, support the theoretical results.

Le travail présenté ici avait pour but le développement d'un schéma de type Galerkin discontinu (GD) d'ordre élevé pour la résolution des équations de la dynamique des gaz écrites dans un formalisme Lagrangien total, sur des maillages bi-dimensionnels totalement déstructurés. À cette fin, une méthode progressive a été utilisée afin d'étudier étape par étape les difficultés numériques inhérentes à la discrétisation Galerkin discontinue ainsi qu'aux équations de la dynamique des gaz Lagrangienne. Par conséquent, nous avons développé dans un premier temps des schémas de type Galerkin discontinu jusqu'à l'ordre trois pour la résolution des lois de conservation scalaires mono-dimensionnelles et bi-dimensionnelles sur des maillages déstructurés. La particularité principale de la discrétisation GD présentée est l'utilisation des bases polynomiales de Taylor. Ces dernières permettent, dans le cadre de maillages bi-dimensionnels déstructurés, une prise en compte globale et unifiée des différentes géométries. Une procédure de limitation hiérarchique, basée aux noeuds et préservant les extrema réguliers a été mise en place, ainsi qu'une forme générale des flux numériques assurant une stabilité globale L_2 de la solution. Ensuite, nous avons tâché d'appliquer la discrétisation Galerkin discontinue développée aux systèmes mono-dimensionnels de lois de conservation comme celui de l'acoustique, de Saint-Venant et de la dynamique des gaz Lagrangienne. Nous avons noté au cours de cette étude que l'application directe de la limitation mise en place dans le cadre des lois de conservation scalaires, aux variables physiques des systèmes mono-dimensionnels étudiés provoquait l'apparition d'oscillations parasites. En conséquence, une procédure de limitation basée sur les variables caractéristiques a été développée. Dans le cas de la dynamique des gaz, les flux numériques ont été construits afin que le système satisfasse une inégalité entropique globale. Fort de l'expérience acquise, nous avons appliqué la discrétisation GD mise en place aux équations bi-dimensionnelles de la dynamique des gaz, écrites dans un formalisme Lagrangien total. Dans ce cadre, le domaine de référence est fixe. Cependant, il est nécessaire de suivre l'évolution temporelle de la matrice jacobienne associée à la transformation Lagrange-Euler de l'écoulement, à savoir le tenseur gradient de déformation. Dans le travail présent, la transformation résultant de l'écoulement est discrétisée de manière continue à l'aide d'une base Éléments Finis. Cela permet une approximation du tenseur gradient de déformation vérifiant l'identité essentielle de Piola. La discrétisation des lois de conservation physiques sur le volume spécifique, le moment et l'énergie totale repose sur une méthode Galerkin discontinu. Le schéma est construit de sorte à satisfaire de manière exacte la loi de conservation géométrique (GCL). Dans le cas du schéma d'ordre trois, le champ de vitesse étant quadratique, la géométrie doit pouvoir se courber. Pour ce faire, des courbes de Bézier sont utilisées pour la paramétrisation des bords des cellules du maillage. Nous illustrons la robustesse et la précision des schémas mis en place à l'aide d'un grand nombre de cas tests pertinents, ainsi que par une étude de taux de convergence. / The intent of the present work was the development of a high-order discontinuous Galerkin scheme for solving the gas dynamics equations written under total Lagrangian form on two-dimensional unstructured grids. To achieve this goal, a progressive approach has been used to study the inherent numerical difficulties step by step. Thus, discontinuous Galerkin schemes up to the third order of accuracy have firstly been implemented for the one-dimensional and two-dimensional scalar conservation laws on unstructured grids. The main feature of the presented DG scheme lies on the use of a polynomial Taylor basis. This particular choice allows in the two-dimensional case to take into general unstructured grids account in a unified framework. In this frame, a vertex-based hierarchical limitation which preserves smooth extrema has been implemented. A generic form of numerical fluxes ensuring the global stability of our semi-discrete discretization in the $L_2$ norm has also been designed. Then, this DG discretization has been applied to the one-dimensional system ofconservation laws such as the acoustic system, the shallow-water one and the gas dynamics equations system written in the Lagrangian form. Noticing that the application of the limiting procedure, developed for scalar equations, to the physical variables leads to spurious oscillations, we have described a limiting procedure based on the characteristic variables. In the case of the one-dimensional gas dynamics case, numerical fluxes have been designed so that our semi-discrete DG scheme satisfies a global entropy inequality. Finally, we have applied all the knowledge gathered to the case of the two-dimensional gas dynamics equation written under total Lagrangian form. In this framework, the computational grid is fixed, however one has to follow the time evolution of the Jacobian matrix associated to the Lagrange-Euler flow map, namely the gradient deformation tensor. In the present work, the flow map is discretized by means of continuous mapping, using a finite element basis. This provides an approximation of the deformation gradient tensor which satisfies the important Piola identity. The discretization of the physical conservation laws for specific volume, momentum and total energy relies on a discontinuous Galerkin method. The scheme is built to satisfying exactly the Geometric Conservation Law (GCL). In the case of the third-order scheme, the velocity field being quadratic we allow the geometry to curve. To do so, a Bezier representation is employed to define the mesh edges. We illustrate the robustness and the accuracy of the implemented schemes using several relevant test cases and performing rate convergences analysis.

Ce travail de thèse porte sur le simulation d’écoulements diphasiques compressibles, visqueux et conductifs, à l’aide de schémas numériques aux différences finies centrées d’ordre élevé. Pour cela, les équation utilisées sont les équations de Navier-Stokes complétées de deux équations d’advection décrivant l’interface et d’une équation permettant d’estimer la température au sein d’un liquide et d’un gaz. Elles sont résolues à l’aide de méthodes numériques conservatives précédemment développées pour l’aéroacoustique, adaptées dans la présente étude à la simulation d’écoulements diphasiques. Les choix des équations et des méthodes numériques sont validés à l’aide de divers cas test monodimensionnels proposés dans la littérature. Les résultats obtenus sont en accord avec les solutions analytiques ou de référence. Deux écoulements 2D composés de deux gaz sont ensuite considérés. Le premier cas concerne l’instabilité de Richtmyer-Meshkov qui se développe à l’interface entre de l’air et du SF6. Le second cas porte sur une bulle cylindrique remplie d’hélium ou de R22 impactée par une onde de choc plane se propageant dans l’air. Pour ces deux écoulements, une étude de convergence de maillage est effectuée et les solutions numériques sont comparables aux données expérimentales de la littérature. L’influence du nombre de Reynolds sur la déformation de l’interface de la bulle d’hélium est également montrée. Enfin, l’implosion d’une bulle d’air dans l’eau est étudiée. Dans un premier temps, l’implosion sphérique de la bulle suite à son interaction avec une onde de pression convergente est simulée. Les résultats sont en bon accord avec les solutions prédites par le modèle de Rayleigh-Plesset. L’influence de l’épaisseur initiale de l’interface et de la conductivité thermique est montrée. Dans un second temps, l’implosion non sphérique d’une bulle proche d’un mur et impactée par une onde de choc plane est considérée. La pression imposée sur le mur et la température au sein de l’écoulement sont quantifiées. Enfin, une étude de l’effet de la distance initiale entre le mur et la bulle sur l’implosion est menée. / This PhD work concerns the simulation of compressible, viscous and conductive two-phase flows, using high-order centered finite-difference schemes. The equations governing two-phase flows are the Navier-Stokes equations in conjunction with two advection equations governing the interface and one equation allowing to estimate the temperature within a liquid and a gas. These are solved using conservative numerical methods which are validated from the resolution of various 1D test cases taken from the literature. The results obtained are in good agreement with the analytical or reference solutions. Then, two 2-D flows composed of two gases are considered. The first case concerns the Richtmyer-Meshkov instability developping at the interface between air and SF6. The second case deals with a cylindrical bubble filled with helium or R22 which is hit by a plane shock wave travelling through air. For these two flows, a grid convergence study is conducted and the numerical solutions compare well with the experimental data of the literature. The effect of the Reynolds number on the deformation of the bubble interface is also shown. Finally, the collpase of an air bubble in water is studied. Firstly, the spherical collapse of the bubble due to its interaction with a spherical converging shock wave is simulated. The results are in good agreement with the solutions predicted by the Rayleigh-Plesset model. The effect of the initial interface thickness and the thermal conductivity on the collapse is investigated. Secondly, the non-spherical collapse of a bubble near a wall impacted by a plane shock wave is considered. The pressure imposed on the wall and the temperature within the flow are quantified. Finally, the influence of the initial stand-off distance between the wall and the bubble is examined.

La prévention des risques industriels nécessite de simuler la dispersion turbulente de polluants. Cependant, les outils majoritairement utilisés à ce jour ne permettent pas de traiter les champs proches dans le cas de géométries complexes, et il est nécessaire d'utiliser les outils de CFD (“ Computational Fluid Dynamics ”) plus adaptés, mais plus coûteux. Afin de simuler les écoulements atmosphériques avec dispersion de polluants, les modèles CFD doivent modéliser correctement d'une part, les effets de flottabilité, et d'autre part les effets de la turbulence. Plusieurs approches existent, notamment dans la prise en compte des effets de flottabilité et la modélisation de la turbulence, et nécessitent des méthodes numériques adaptées aux spécificités mathématiques de chacune d'entre elles, ainsi que des schémas numériques précis pour ne pas polluer la modélisation. Une formulation d'ordre élevé en volumes finis, sur maillages non structurés, parallélisée, est proposée pour simuler les écoulements atmosphériques avec dispersion de polluants. L'utilisation de schémas d'ordre élevé doit permettre d'une part de réduire le nombre de cellules et diminuer les temps de simulation pour atteindre une précision donnée, et d'autre part de mieux contrôler la viscosité numérique des schémas en vue de simulations LES (Large Eddy Simulation), pour lesquelles la viscosité numérique des schémas peut masquer les effets de la modélisation. Deux schémas d'ordre élevé ont été étudiés et implémentés dans un solveur 3D Navier Stokes incompressible sur des maillages volumes finis non structurés. Nous avons développé un premier schéma d'ordre élevé, correspondant à un schéma Padé volumes finis, et nous avons étendu le schéma de reconstruction polynomiale de Carpentier (2000) aux écoulements incompressibles. Les propriétés numériques des différents schémas implémentés dans le même code de calcul sont étudiées sur différents cas tests bi-dimensionnels (calcul de flux convectifs et diffusifs sur une solution a-priori, convection d'une tâche gaussienne, décroissance d'un vortex de Taylor et cavité entraînée) et tri-dimensionnel (écoulement autour d'un obstacle cubique). Une attention particulière a été portée à l'étude de la précision et du traitement des conditions limites. L'implémentation proposée du schéma polynomial permet d'approcher, pour un maillage identique, les temps de simulation obtenus avec un schéma décentré classique d'ordre 2, mais avec une précision supérieure. Le schéma compact donne la meilleure précision. En utilisant une méthode de Jacobi sans calcul implicite de la matrice pour calculer le gradient, le temps de simulation devient intéressant uniquement lorsque la précision requise est importante. Une alternative est la résolution du système linéaire par une méthode multigrille algébrique. Cette méthode diminue considérablement le temps de calcul du gradient et le schéma Padé devient performant même pour des maillages grossiers. Enfin, pour réduire les temps de simulation, la parallélisation des schémas d'ordre élevé est réalisée par une décomposition en sous domaines. L'assemblage des flux s'effectue naturellement et différents solveurs proposés par les librairies PETSC et HYPRE (solveur multigrille algébrique et méthode de Krylov préconditionnée) permettent de résoudre les systèmes linéaires issus de notre problème. Le travail réalisé a consisté à identifier et déterminer les paramètres de résolution qui conduisent aux temps de simulation les plus faibles. Différents tests de speed-up et de scale-up ont permis de déterminer la méthode la plus efficace et ses paramètres optimaux pour la résolution en parallèle des systèmes linéaires issus de notre problème. Les résultats de ce travail ont fait l'objet d'une communication dans un congrès international “ parallel CFD juin 2008 ” et d'un article soumis à “ International Journal for Numerical Methods in Fluids ” (Analysis of high-order finite volume schemes for the incompressible Navier Stokes equations)

La prévention des risques industriels nécessite de simuler la dispersion turbulente de polluants. Cependant, les outils majoritairement utilisés à ce jour ne permettent pas de traiter les champs proches dans le cas de géométries complexes, et il est nécessaire d'utiliser les outils de CFD (" Computational Fluid Dynamics ") plus adaptés, mais plus coûteux. Afin de simuler les écoulements atmosphériques avec dispersion de polluants, les modèles CFD doivent modéliser correctement d'une part, les effets de flottabilité, et d'autre part les effets de la turbulence. Plusieurs approches existent, notamment dans la prise en compte des effets de flottabilité et la modélisation de la turbulence, et nécessitent des méthodes numériques adaptées aux spécificités mathématiques de chacune d'entre elles, ainsi que des schémas numériques précis pour ne pas polluer la modélisation. Une formulation d'ordre élevé en volumes finis, sur maillages non structurés, parallélisée, est proposée pour simuler les écoulements atmosphériques avec dispersion de polluants. L'utilisation de schémas d'ordre élevé doit permettre d'une part de réduire le nombre de cellules et diminuer les temps de simulation pour atteindre une précision donnée, et d'autre part de mieux contrôler la viscosité numérique des schémas en vue de simulations LES (Large Eddy Simulation), pour lesquelles la viscosité numérique des schémas peut masquer les effets de la modélisation. Deux schémas d'ordre élevé ont été étudiés et implémentés dans un solveur 3D Navier Stokes incompressible sur des maillages volumes finis non structurés. Nous avons développé un premier schéma d'ordre élevé, correspondant à un schéma Padé volumes finis, et nous avons étendu le schéma de reconstruction polynomiale de Carpentier (2000) aux écoulements incompressibles. Les propriétés numériques des différents schémas implémentés dans le même code de calcul sont étudiées sur différents cas tests bi-dimensionnels (calcul de flux convectifs et diffusifs sur une solution a-priori, convection d'une tâche gaussienne, décroissance d'un vortex de Taylor et cavité entraînée) et tri-dimensionnel (écoulement autour d'un obstacle cubique). Une attention particulière a été portée à l'étude de la précision et du traitement des conditions limites. L'implémentation proposée du schéma polynomial permet d'approcher, pour un maillage identique, les temps de simulation obtenus avec un schéma décentré classique d'ordre 2, mais avec une précision supérieure. Le schéma compact donne la meilleure précision. En utilisant une méthode de Jacobi sans calcul implicite de la matrice pour calculer le gradient, le temps de simulation devient intéressant uniquement lorsque la précision requise est importante. Une alternative est la résolution du système linéaire par une méthode multigrille algébrique. Cette méthode diminue considérablement le temps de calcul du gradient et le schéma Padé devient performant même pour des maillages grossiers. Enfin, pour réduire les temps de simulation, la parallélisation des schémas d'ordre élevé est réalisée par une décomposition en sous domaines. L'assemblage des flux s'effectue naturellement et différents solveurs proposés par les librairies PETSC et HYPRE (solveur multigrille algébrique et méthode de Krylov préconditionnée) permettent de résoudre les systèmes linéaires issus de notre problème.

Dans le cadre du développement récent des schémas numériques compacts d’ordre élevé, tels que la méthode de Galerkin discontinu (discontinuous Galerkin) ou la méthode des différences spectrales (spectral differences), nous nous intéressons aux difficultés liées à l’utilisation de ces méthodes lors de la simulation de solutions discontinues.L’utilisation par ces schémas numériques d’une représentation polynomiale des champs les prédisposent à fournir des solutions fortement oscillantes aux abords des discontinuités. Ces oscillations pouvant aller jusqu’à l’arrêt du processus de simulation, l’utilisation d’un dispositif numérique de détection et de contrôle de ces oscillations est alors un prérequis nécessaire au bon déroulement du calcul. Les processus de limitation les plus courants tels que les algorithmes WENO ou l’utilisation d’une viscosité artificielle ont d’ores et déjà été adaptés aux différentes méthodes compactes d’ordres élevés et ont permis d’appliquer ces méthodes à la classe des écoulements compressibles. Les différences entre les stencils utilisés par ces processus de limitation et les schémas numériques compacts peuvent néanmoins être une source importante de perte de performances. Dans cette thèse nous détaillons les concepts et le cheminement permettant d’aboutir à la définition d’un processus de limitation compact adapté à la description polynomiale des champs. Suite à une étude de configurations monodimensionnels, différentes projections polynomiales sont introduites et permettent la construction d’un processus de limitation préservant l’ordre élevé. Nous présentons ensuite l’extension de cette méthodologie à la simulation d’écoulements compressibles bidimensionnels et tridimensionnels. Nous avons en effet développé les schémas de discrétisation des différences spectrales dans un code CFD non structuré, massivement parallèle et basé historiquement sur une méthodologie volumes finis. Nous présentons en particulier différents résultats obtenus lors de la simulation de l’interaction entre une onde de choc et une couche limite turbulente. / Following the recent development of high order compact schemes such as the discontinuous Galerkin or the spectraldifferences, this thesis investigates the issues encountered with the simulation of discontinuous flows. High order compactschemes use polynomial representations which tends to introduce spurious oscillations around discontinuities that can lead to computational failure. To prevent the emergence of these numerical issues, it is necessary to improve the schemewith an additional procedure that can detect and control its behaviour in the neighbourhood of the discontinuities,usually referred to as a limiting procedure or a limiter. Most usual limiters include either the WENO procedure, TVB schemes or the use of an artificial viscosity. All of these solutions have already been adapted to high order compact schemes but none of these techniques takes a real advantage of the richness offered by the polynomial structure. What’s more, the original compactness of the scheme is generally deteriorated and losses of scalability can occur. This thesis investigates the concept of a compact limiter based on the polynomial structure of the solution. A monodimensional study allows us to define some algebraic projections that can be used as a high-order tool for the limiting procedure. The extension of this methodology is then evaluated thanks to the simulation of different 2D and 3D test cases. Those results have been obtained thanks to the development of a parallel solver which have been based on a existing unstructured finite volume CFD code. The different exposed studies detailed end up to the numerical simulation of the shock turbulent boundary layer.

Les tourbillons sont des structures importantes pour une large gamme d'écoulements de fluides, notamment les sillages, l'interaction fluide-structure, les décollements de couche limite et la turbulence. Cependant, les méthodes numériques classiques n'arrivent généralement pas à donner une représentation précise des tourbillons. Ceci est principalement lié à la dissipation numérique des schémas qui, si elle n'est pas spécifiquement calibrée pour le calcul des écoulements tourbillonnaires, conduit à une diffusion artificielle très rapide des tourbillons dans les calculs. Parmi d'autres approches, la méthode "Vorticity Confinement" (VC) de J. Steinhoff permet de compenser la dissipation des schémas au sein des tourbillons en introduisant une anti-dissipation non-linéaire, mais elle n’est précise qu’au premier ordre. D’autre part, des progrès significatifs ont récemment été accomplis dans le développement de méthodes numériques d’ordre élevé. Celles-ci permettent de réduire ce problème de dissipation excessive, mais la diffusion des tourbillons reste importante pour de nombreuses applications. La présente étude vise à développer des extensions d’ordre élevé de la méthode VC pour réduire cette dissipation excessive des tourbillons, tout en préservant la précision d'ordre élevé des schémas. Tout d'abord, les schémas de confinement sont analysés dans le cas de l'équation de transport linéaire, à partir de discrétisations couplées et découplées en espace et en temps. Une analyse spectrale de ces schémas est effectuée analytiquement et numériquement en raison de leur caractère non linéaire. Elle montre des propriétés dispersives et dissipatives améliorées par rapport aux schémas linéaires de base à tous les ordres de précision. Dans un second temps, des schémas VC précis au troisième et cinquième ordre sont développés pour les équations de Navier-Stokes compressibles. Les termes correctifs restent conservatifs, invariants par rotation et indépendants du schéma de base, comme la formulation originale VC2. Les tests numériques valident l'ordre de précision et la capacité des extensions VC d’ordre élevé à réduire la dissipation dans les tourbillons. Enfin, les schémas avec VC sont appliqués au calcul des écoulements turbulents, dans une approche de simulation de grandes échelles implicite (ILES). Les schémas numériques avec VC présentent une résolvabilité améliorée par rapport à leur version linéaire de base, et montrent leur capacité à décrire de façon cohérente ces écoulements tourbillonnaires complexes. / Vortices are flow structures of primary interest in a wide range of fluid dynamics applications including wakes, fluid-structure interaction, flow separation and turbulence. Albeit their importance, standard Computational Fluid Dynamics (CFD) methods very often fail to provide an accurate representation of vortices. This is primarily related to the schemes’ numerical dissipation which, if inadequately tuned for the calculation of vortical flows, results in the artificial spreading and diffusion of vortices in numerical simulations. Among other approaches, the Vorticity Confinement (VC) method of J. Steinhoff allows balancing the baseline dissipation within vortices by introducing non-linear anti-dissipation in the discretization of the flow equations, but remains at most first-order accurate. At the same time, remarkable progress has recently been made on the development of high-order numerical methods. These allow reducing the problem of excess dissipation, but the diffusion of vortices remains important for many applications. The present study aims at developing high-order extensions of the VC method to reduce the excess dissipation of vortices, while preserving the accuracy of high-order methods. First, the schemes are analyzed in the case of the linear transport equation, based on time-space coupled and uncoupled formulations. A spectral analysis of nonlinear schemes with VC is performed analytically and numerically, due to their nonlinear character. These schemes exhibit improved dispersive and dissipative properties compared to their linear counterparts at all orders of accuracy. In a second step, third- and fifth-order accurate VC schemes are developed for the compressible Navier-Stokes equations. These remain conservative, rotationally invariant and independent of the baseline scheme, as the original VC2 formulation. Numerical tests validate the increased order of accuracy and the capability of high-order VC extensions to balance dissipation within vortices. Finally, schemes with VC are applied to the calculation of turbulent flows, in an implicit Large Eddy Simulation (ILES) approach. In these applications, numerical schemes with VC exhibit improved resolvability compared to their baseline linear version, while they are capable of producing consistent results even in complex vortical flows.

Cette thèse a pour objectif la construction de schémas d’ordre élevé et peu diffusifs pour le transport d’un scalaire dans les écoulements à surface libre, en deux ou trois dimensions. On souhaite en particulier obtenir des schémas robustes, qui gardent au niveau discret les propriétés mathématiques de l’équation de transport avec une faible diffusion numérique, et les utiliser sur des cas industriels. Dans ce travail deux méthodes numériques sont envisagées : une méthode aux volumes finis (VF) et une méthode aux résidus distribués (RD). Dans les deux cas, l’équation de transport est résolue avec une approche découplée, qui est la solution la plus avantageuse en termes de précision et de coûts de calcul. Pour ce qui concerne la méthode aux volumes finis, les équations de Saint-Venant couplées à l’équation du transport sont d’abord résolues avec un schéma dit vertex-centred où le flux numérique est approximé avec un solveur de Riemann appelé Harten-Lax-Van Leer-Contact [135]. A partir de cette approche, une formulation découplée est proposée. Cette dernière permet de résoudre l’équation du transport avec un pas de temps plus grand que celui de la formulation couplée. Cette idée a été d’abord proposée pour d’autres schémas dans [13]. Pour augmenter l’ordre de précision en espace, la technique MUSCL [89] est utilisée en combinaison avec l’approche découplée. Finalement, la problématique des zones sèches est abordée. Dans le cas de la méthode aux résidus distribués, les équations de Saint-Venant sont résolues avec une méthode éléments finis, et la méthode RD est utilisée seulement pour discrétiser l’équation du transport, en focalisant l’attention sur les problèmes non stationnaires. L’équation de continuité du fluide discrétisée est employée pour garantir la conservation de la masse et le principe du maximum. Pour obtenir des schémas d’ordre deux dans les problèmes non stationnaires, un schéma prédicteur-correcteur [112] est utilisé, en l’adaptant au cas de concentration moyennée sur la verticale. Une version d’ordre 1 mais peu diffusive, est aussi présentée dans ce travail. De plus, un schéma localement implicite, complètement nouveau, est aussi formulé pour pouvoir traiter le problème des bancs découvrant. Les deux techniques sont validées d’abord sur des cas simples, pour évaluer l’ordre de précision des schémas et ensuite sur des cas plus complexes pour vérifier aussi les autres propriétés numériques. Les résultats montrent que les nouveaux schémas sont à la fois précis et conservatifs, tout en gardant la monotonie comme le prévoient les démonstrations. Un cas d’application industriel est aussi présenté en conclusion. Le schéma prédicteur-correcteur RD est adapté aussi au cas 3D, sans aucun problème théorique nouveau, par rapport au cas 2D. Les propriétés de base des schémas sont validées sur des cas test préliminaires / The purpose of this thesis is to build higher order and less diffusive schemes for pollutant transport in shallow water flows or 3D free surface flows. We want robust schemes which respect the main mathematical properties of the advection equation with relatively low numerical diffusion and apply them to environmental industrial applications. Two techniques are tested in this work: a classical finite volume method and a residual distribution technique combined with a finite element method. For both methods we propose a decoupled approach since it is the most advantageous in terms of accuracy and CPU time. Concerning the first technique, a vertex-centred finite volume method is used to solve the augmented shallow water system where the numerical flux is computed through an Harten-Lax-Van Leer-Contact Riemannsolver [135]. Starting from this solution, a decoupled approach is formulated and is preferred since it allows to compute with a larger time step the advection of a tracer. This idea was inspired by [13]. The Monotonic Upwind Scheme for Conservation Law [89], combined with the decoupled approach, is then used for the second order extension in space. The wetting and drying problem is also analysed and a possible solution is presented. In the second case, the shallow water system is entirely solved using the finite element technique and the residual distribution method is applied to the solution of the tracer equation, focusing on the case of time-dependent problems. However, for consistency reasons the resolution of the continuity equation must be considered in the numerical discretization of the tracer. In order to get second order schemes for unsteady cases a predictor-corrector scheme [112] is used in this work. A first order but less diffusive version of the predictor-corrector scheme is also introduced. Moreover, we also present a new locally semi-implicit version of the residual distribution method which, in addition to good properties in terms of accuracy and stability, has the advantage to cope with dry zones. The two methods are first validated on academical test cases with analytical solution in order to assess the order of the schemes. Then more complex cases are addressed to test the robustness of the schemes and their performance under different flow conditions. Finally a real test case for which real data are available is carried out. An extension of the predictor-corrector residual distribution schemes to the 3D case is presented as final contribution. Even in this case the RD technique is completely compatible with the finite element framework used for the Navier-Stokes equations, thus its extension to the 3D case does not present any extra theoretical problem. The method is tested on preliminary cases

Le bruit de cavité est un phénomène très fréquent dans le domaine des transports aériens.Il survient notamment lors de l'approche à l'atterrissage, où des interactions entre la cellule de l'aéronef et l'écoulement sont à l'origine de fortes émissions tonales. Il devient dès lors une source de pollution acoustique non-négligeable pour les populations résidant à proximité de zones aéroportuaires. Les études numériques et expérimentales décrites jusqu'à présent dans la littérature abordent essentiellement le cas des cavités rectangulaires. Pourtant, les cavités rencontrées en pratique dans l'industrie aéronautique impliquent des géométries souvent plus complexes. Lorsque ces cavités sont soumises à une excitation de nature aérodynamique, leur spécificité géométrique conduit le plus souvent à des réponses acoustiques assez éloignées des estimations issues de modèles académiques construits sur l'observation de cavités rectangulaires. Quelques travaux seulement abordent le cas des cavités cylindriques.Ce travail est consacré à l'étude aéroacoustique des cavités cylindriques, à l'initiative d'Airbus. Il s'inscrit dans le cadre du projet AEROCAV soutenu par la Fondation de Recherche pour l'Aéronautique & l'espace (FRAE). Son objectif est de déterminer les mécanismes impliqués dans les émissions acoustiques intenses et tonales pour les configurations étudiées.Une première partie présente les résultats expérimentaux issus des campagnes de mesures menées dans la soufflerie anéchoïque du Centre Acoustique du LMFA et de l'école Centrale de Lyon. Un modèle semi-empirique, reposant sur l'hypothèse d'une résonance acoustique pilotée par les instabilités présentes dans la couche de cisaillement à l'ouverture de la cavité,est construit à partir du modèle d'Elder (1978). Le modèle permet d'estimer les fréquences susceptibles de dominer l'acoustique rayonnée en champ lointain à partir de la donnée du champ moyen de vitesse longitudinale, que l'on mesure dans le plan de l'écoulement par Vélocimétrie par Imagerie des Particules (PIV).Une seconde partie est destinée au calcul direct du bruit rayonné par un écoulement laminaire ou turbulent affleurant une cavité cylindrique de référence. Il consiste à calculer le champ acoustique directement à partir de la résolution des équations tridimensionnelles de la mécanique des fluides. Le solver Alesia est présenté dans une version modifiée et adaptée à la mise en oeuvre d'une approche multidomaine d'ordre élevé faisant intervenir plusieurs maillages se recouvrant. Des techniques d'interpolation sont spécifiquement développées en vue d'assurer une communication bidirectionnelle entre les différents maillages, malgré des contraintes géométriques fortes. Un modèle d'excitation de l'écoulement est aussi développé afin de disposer de fluctuations dans l'écoulement incident, pour le cas turbulent. Ces deux points font l'originalité des calculs réalisés.Les simulations, menées sur une cavité de rapport d'aspect géométrique égal à 1 et soumise à un écoulement incident à Mach 0.2, montrent que le rayonnement acoustique peut être fidèlement reproduit numériquement. La couche de cisaillement est caractérisée par la présence de deux larges structures tourbillonnaires s'amplifiant lors de leur convection. Leur présence s'accompagne de fortes fluctuations de vitesse à l'origine d'un débit aérodynamique de fluide à l'ouverture qui excite la cavité acoustiquement. Une résonance forcée s'établit dans celle-ci, excitant la couche de mélange au voisinage du point de séparation. Ce couplage auto-entretenu est à l'origine du rayonnement acoustique intense et fortement tonal de la cavité. Il s'établit à une fréquence proche de la fréquence prédite par le modèle semi-empirique développé.

Les simulations numériques réalistes en électrophysiologie cardiaque ont un coût de calcul extrêmement élevé. Ce coût s’explique en grande partie par la raideur, à la fois en temps et en espace, d’une onde de « potentiel d’action » (PA). Par ailleurs, les phénomènes observés sont très instationnaires et s’étudient en temps long. Une description précise de la dynamique des PA est cruciale pour construire des modèles numériques pertinents d’un point de vue médical ou clinique. Cet aspect fondamental ne peut être contourné dans les études numériques réalistes.La raideur de l’onde de PA ne peut être captée numériquement qu’en ayant recours à des maillages très fins. Ces maillages très fins induisent un coût de calcul très important, et introduisent aussi des erreurs supplémentaires : les systèmes linéaires à résoudre deviennent très mal conditionnés. Au final, les erreurs numériques peuvent être particulièrement grandes dans les simulations alors que leur contrôle est évidemment essentiel pour assurer la fiabilité des résultats. Jusqu’à présent, très peu de résultats sont disponibles pour assurer cette fiabilité. Dans les faits, les erreurs sont la plupart du temps contrôlées par des procédés empiriques. Il existe quelques résultats théoriques étudiant la convergence et la stabilité des schémas numériques associés. En pratique, en plus d'avoir un contrôle de l'erreur sur le potentiel, il est aussi nécessaire d'avoir un contrôle de l’erreur sur des quantités macroscopiques décrivant la dynamique de l’onde de PA : temps d’activation, durée du PA, propriétés de restitution... Ces quantités ont en effet une interprétation physiologique qui permet de caractériser le caractère arythmogène des tissus.Les modèles sont des systèmes d’EDP de réaction-diffusion couplés avec des systèmes d’équations différentielles pouvant être très raides, les modèles ioniques. Ils sont actuellement discrétisés par éléments finis conforme (Lagrange) et par des schémas en temps d’ordre un ou deux. Dans ce travail, nous concevons et évaluons l’intérêt d'utiliser des méthodes d’ordre supérieure pour ces systèmes. Parallèlement nous introduisons d'une part une nouvelle classe de schémas appelé schémas exponentiel Adams Bashforth intégral (IEAB), et d'autre part des schémas Rush Larsen (RL) d'ordre élevé. Ces nouveaux schémas sont des schémas multipas de type exponentiels. Nous montrons qu'ils possèdent des bonnes propriétés de stabilité et permettent de faire face efficacement à la raideur des modèles ioniques. Les schémas que nous proposons sont comparés numériquement (en terme de précision, coût en temps de calcul et stabilité) à plusieurs schémas classiques, ainsi qu'aux schémas exponentiels (RL1, RL2) communément utilisés pour des simulations en électrophysiologie cardiaque. Nous proposons des techniques permettant de calculer avec précision les quantités d’intérêts cliniques (temps d’activation, de récupération, durée du potentiel d’action). Des résultats théoriques de convergence en temps et de convergence globale (espace et temps) sont énoncés et prouvés. Ces résultats sont ensuite illustrés numériquement à travers le modèle monodomaine et les modèles ioniques de Beeler Reuter, de Ten Tusscher et al. L’intérêt d'utiliser des schémas d'ordre élevés est aussi évalué sur des ondes spirales en 2D et 3D. / Realistic numerical simulations in cardiac electrophysiology have a computational cost of extremely high. This cost is largely explained by the stiffness both in time and space, of the action potential (AP) wave. Moreover, the observed phenomena are very unsteady and are studied in long time. A precise description of the dynamic of AP is crucial for constructing relevant numerical models, from a medical or clinical perspective. This fundamental aspect can not be circumvented in realistic numerical studies.The stiffness of AP wave can only be captured numerically, by using very fine meshes. In addition to the high computational cost, these very fine meshes also introduce additional errors : the linear systems to solve become very badly conditioned. In the end, the numerical errors can be particularly large whereas their control is obviously essential to ensure the reliability of the results. So far very few results are available to ensure this reliability. In practice, the errors are mostly controlled by empirical processes. In practice, in addition of having a control of the error on the potential, it is also necessary to have an error control on macroscopic quantities describing the dynamics of the AP wave : activation time, AP duration, properties of restitution ... These quantities have indeed a physiological interpretation which allows to characterize the arrhythmogenic character of the tissues.The models are systems of reaction diffusion PDE coupled with systems of differential equations that can be very stiffs (ionic models). They are currently discretized by conforming finite elements (Lagrange finite elements methods) and by schemes in time of order one or two. In this work, we design and evaluate the interest of using higher order methods for these systems. At the same time, we introduce on the one hand, a new class of schemes called Integral Exponential Adams Bashforth (IEAB) schemes and, on the other hand, high order Rush Larsen (RL) schemes. These new schemes are exponential time-stepping schemes. We show that they have good stability properties and can efficiently cope with the stiffness of ionic models. The schemes we propose are numerically compared (in terms of accuracy, CPU time and stability) with several classical schemes, as well as with the exponential schemes (RL1, RL2), commonly used for cardiac electrophysiology simulations. We propose good techniques for accurately calculating quantities of clinical interest (activation time, recovery time, duration of action potential). Theoretical results of convergence in time and global convergence (in space and time) are stated and proved. These results are then illustrated numerically through the monodomain model and the ionic models of Beeler Reuter, Ten Tusscher et al. The advantage of using high order schemes is also evaluated on spiral waves in 2D and 3D.