Une des applications des équations de réaction-diffusion est leur utilisation pour la génération de motifs, analogues en particulier à ceux sur le pelage de certains animaux. L'utilisation à cette fin de ce type d'équations remontent aux travaux d'Alan Turing dans les années 50. Dans ce mémoire nous considérons un système simple d'équations de réaction-diffusion pour étudier la formation de motifs. Nous approchons ces solutions en utilisant une discrétisation spatiale par éléments finis. Nous montrons comment choisir les paramètres pour atteindre un motif choisi sur un domaine rectangulaire fixe. Après avoir validé les méthodes numériques utilisées dans nos simulations, nous nous intéressons à l'évolution de motifs sur des domaines qui croissent dans le temps. En particulier, nous examinons l'influence de la condition initiale et de la vitesse de croissance du domaine sur les motifs apparaissant au terme de la croissance.

Dans cette thèse, on développe des estimateurs d'erreur a posteriori, pour l'approximation par éléments finis des équations de Maxwell en régime harmonique et des équations de réaction-diffusion. Introduisant d'abord, pour le système de Maxwell, des estimateurs de type résiduel, on étudie la dépendance des constantes intervenant dans les bornes inférieures et supérieures en fonction de la variation des coefficients de l'équation, en les considérant d'abord constants puis constants par morceaux. On construit ensuite un autre type d'estimateur, basé sur des flux équilibrés et la résolution de problèmes locaux, que l'on étudie dans le cadre des équations de réaction-diffusion et du système de Maxwell. Ayant introduit plusieurs estimateurs pour l'équation de Maxwell, on en propose une étude comparative, au travers de tests numériques présentant le comportement de ces estimateurs pour des solutions particulières sur des maillages uniformes ainsi que les maillages obtenus par des procédures de raffinement de maillages adaptatifs. Enfin, dans le cadre des équations de diffusion, on étend la construction des estimateurs équilibrés aux méthodes éléments finis de type Galerkin discontinues.

Mes travaux de recherche portent sur la mécanique des fluides, et plus précisément sur les systèmes de particules, avec plusieurs domaines d'applications : le poumon (aérosol thérapie, pollution, régimes diffusifs), la formation d'opinion (sociophysique), et le couplage entre un fluide et une phase dispersée. La plupart de mes travaux s'appuient sur la théorie cinétique, où apparaissent des équations aux dérivées partielles cinétiques où l'inconnue est une fonction de distribution ayant pour variables non seulement le temps ou l'espace, mais aussi toute autre grandeur physique pertinente décrivant l'état des particules (vitesse, énergie, opinion, etc.).

Les modèles mathématiques et plus spécifiquement les modèles basés sur l'équation de réaction-diffusion ont été utilisés largement dans la littérature pour modéliser la croissance des gliomes cérébraux et des tumeurs en général. De plus la grande littérature de recherche qui concentre sur les expériences biologiques et microscopiques, récemment les modèles ont commencé intégrer l'imagerie médicale dans ses formulations. Incluant la géométrie du cerveau et celle de la tumeur, les structures des différentes tissues et la direction de diffusion, ils ont montré qu'il est possible de simuler la croissance de la tumeur comme c'est observé dans les images médicales. Bien que des modèles génériques ont été proposés, les méthodes pour adapter ces modèles aux images d'un patient reste un domaine inexploré. Dans cette thèse nous nous adressons au problème de 'personnalisation de modèle mathématique de la croissance de tumeurs'. Nous nous focalisons sur les modèles de réaction-diffusion et leurs applications sur la croissance des gliomes cérébrales. Dans la première étape, nous proposons une méthode pour l'identification automatique des paramètres 'patient-spécifiques' du modèle à partir d'une série d'images. En observant la divergence entre la visualisation des gliomes dans les IRMs et les modèles réaction-diffusion, nous déduisons une nouvelle formulation pour expliquer l'évolution de la délinéation de la tumeur. Ce modèle 'Eikonal anistropique modifié' est utilisé plus tard pour l'estimation des paramètres à partir des images. Nous avons théoriquement analysé la méthode proposée à l'aide d'un base donne synthétique et nous avons montré la capacité de la méthode et aussi sa limitation. En plus, les résultats préliminaires, sur les cas réels montrent des potentiels prometteurs de la méthode d'estimation des paramètres et du modèle de réaction-diffusion pour la quantification de la croissance de tumeur et aussi pour la prédiction de l'évolution futur de la tumeur. En suivant la personnalisation, nous nous concentrons sur les applications cliniques des modèles 'patient-spécifiques'. Spécifiquement, nous nous attaquons au problème de la visualisation limitée d'infiltration de gliome dans l'IRM. En effet, les images ne montrent qu'une partie de la tumeur et masquent l'infiltration basse-densité. Cette information absente est cruciale pour la radiothérapie et aussi pour d'autre type de traitements. Dans ce travail, nous proposons pour ce problème une formulation basée sur les modèles 'patient-spécifiques'. Dans l'analyse de cette méthode nous montrons également les bénéfices potentiels pour la planification de la radiothérapie. La dernière étape de cette thèse se concentre sur les méthodes numériques de l'équation 'Eikonal anisotropique'. Ce type d'équation est utilisé dans beaucoup de problèmes différents tel que la modélisation, le traitement d'image, la vision par ordinateur et l'optique géométrique. Ici nous proposons une méthode numérique rapide et efficace pour résoudre l'équation Eikonal anisotropique. En la comparant avec une autre méthode état-de-l'art nous démontrons les avantages de la technique proposée.

Cette thèse porte sur différents modèles de propagation en épidémiologie évolutive. L'objectif est d'en faire une analyse mathématique rigoureuse puis d'en tirer des enseignements biologiques. Dans un premier temps nous envisageons le cas d'une population d'hôtes répartis de manière homogène dans un espace linéaire, dans laquelle se propage un pathogène pouvant muter entre deux phénotypes plus ou moins virulents. Ce phénomène de mutation est à l'origine d'une interaction entre les dynamiques évolutive et épidémiologique du pathogène. Nous étudions la vitesse de propagation de l'épidémie et l'existence de fronts progressifs, ainsi que l'influence sur la vitesse de différents facteurs biologiques, comme des effets stochastiques liés à la taille de la population d'hôtes (explorations numériques). Dans un deuxième temps nous envisageons une hétérogénéité spatiale périodique dans la population d'hôtes, et l'existence de fronts pulsatoires pour le système de réaction-diffusion (non-coopératif) associé. Enfin nous considérons un pathogène pouvant muter vers un grand nombre de phénotypes différents et étudions l'existence de fronts potentiellement singuliers, modélisant ainsi une concentration sur un trait optimal. / In this thesis we consider several models of propagation arising in evolutionary epidemiology. We aim at performing a rigorous mathematical analysis leading to new biological insights. At first we investigate the spread of an epidemic in a population of homogeneously distributed hosts on a straight line. An underlying mutation process can shift the virulence of the pathogen between two values, causing an interaction between epidemiology and evolution. We study the propagation speed of the epidemic and the influence of some biologically relevant quantities, like the effects of stochasticity caused by the hosts' finite population size (numerical explorations), on this speed. In a second part we take into account a periodic heterogeneity in the hosts' population and study the propagation speed and the existence of pulsating fronts for the associated (non-cooperative) reaction-diffusion system. Finally, we consider a model in which the pathogen is allowed to shift between a large number of different phenotypes, and construct possibly singular traveling waves for the associated nonlocal equation, thus modelling concentration on an optimal trait.

Cette thèse est consacrée à l'étude de phénomènes de propagation dans des modèles d’EDP venant de la biologie. On étudie des équations cinétiques inspirées par le déplacement de colonies de bactéries ainsi que des équations de réaction-diffusion importantes en écologie afin de reproduire plusieurs phénomènes de dynamique et d'évolution des populations. La première partie étudie des phénomènes de propagation pour des équations cinétiques. Nous étudions l'existence et la stabilité d'ondes progressives pour des modèles ou la dispersion est donnée par un opérateur hyperbolique et non par une diffusion. Cela fait entrer en jeu un ensemble de vitesses admissibles, et selon cet ensemble, divers résultats sont obtenus. Dans le cas d'un ensemble de vitesses borné, nous construisons des fronts qui se propagent à une vitesse déterminée par une relation de dispersion. Dans le cas d'un ensemble de vitesses non borné, on prouve un phénomène de propagation accélérée dont on précise la loi d'échelle. On adapte ensuite à des équations cinétiques une méthode basée sur les équations de Hamilton-Jacobi pour décrire des phénomènes de propagation. On montre alors comment déterminer un Hamiltonien effectif à partir de l'équation cinétique initiale, et prouvons des théorèmes de convergence.La seconde partie concerne l'étude de modèles de populations structurées en espace et en phénotype. Ces modèles sont importants pour comprendre l'interaction entre invasion et évolution. On y construit d'abord des ondes progressives que l'on étudie qualitativement pour montrer l'impact de la variabilité phénotypique sur la vitesse et la distribution des phénotypes à l'avant du front. On met aussi en place le formalisme Hamilton-Jacobi pour l'étude de la propagation dans ces équations de réaction-diffusion non locales.Deux annexes complètent le travail, l'une étant un travail en cours sur la dispersion cinétique en domaine non-borné, l'autre étant plus numérique et illustre l’introduction. / This thesis is devoted to the study of propagation phenomena in PDE models arising from biology. We study kinetic equations coming from the modeling of the movement of colonies of bacteria, but also reaction-diffusion equations which are of great interest in ecology to reproduce several features of dynamics and evolution of populations. The first part studies propagation phenomena for kinetic equations. We study existence and stability of travelling wave solutions for models where the dispersal part is given by an hyperbolic operator rather than by a diffusion. A set of admissible velocities comes into the game and we obtain various types of results depending on this set. In the case of a bounded set of velocities, we construct travelling fronts that propagate according to a speed given by a dispersion relation. When the velocity set is unbounded, we prove an accelerating propagation phenomena, for which we give the spreading rate. Then, we adapt to kinetic equations the Hamilton-Jacobi approach to front propagation. We show how to derive an effective Hamiltonian from the original kinetic equation, and prove some convergence results.The second part is devoted to studying models for populations structured by space and phenotypical trait. These models are important to understand interactions between invasion and evolution. We first construct travelling waves that we study qualitatively to show the influence of the genetical variability on the speed and the distribution of phenotypes at the edge of the front. We also perform the Hamilton-Jacobi approach for these non-local reaction-diffusion equations.Two appendices complete this work, one deals with the study of kinetic dispersal in unbounded domains, the other one being numerical aspects of competition models.

Cette thèse porte sur l'analyse mathématique de modèles de réaction-dispersion de la forme [delta]tu=D(u) +f(x,u). L'objectif est de comprendre l'influence du terme de réaction f, de l'opérateur de dispersion D, et de la donnée initiale u0 sur la propagation des solutions de ces équations. Nous nous sommes intéressés principalement à deux types d'équations de réaction-dispersion : les équations de réaction-diffusion où l'opérateur de dispersion différentielle est D=[delta]2z et les équations intégro-différentielles pour lesquelles D est un opérateur de convolution, D(u)=J* u-u. Dans le cadre des équations de réaction-diffusion en milieu homogène, nous proposons une nouvelle approche plus intuitive concernant les notions de fronts progressifs tirés et poussés. Cette nouvelle caractérisation nous a permis de mieux comprendre d'une part les mécanismes de propagation des fronts et d'autre part l'influence de l'effet Allee, correspondant à une diminution de la fertilité à faible densité, lors d'une colonisation. Ces résultats ont des conséquences importantes en génétique des populations. Dans le cadre des équations de réaction-diffusion en milieu hétérogène, nous avons montré sur un exemple précis comment la fragmentation du milieu modifie la vitesse de propagation des solutions. Enfin, dans le cadre des équations intégro-différentielles, nous avons montré que la nature sur- ou sous-exponentielle du noyau de dispersion J modifie totalement la vitesse de propagation. / This thesis deals with the mathematical analysis of reaction-dispersion models of the form [delta]tu=D(u) +f(x,u). We investigate the influence of the reaction term f, the dispersal operator D and the initial datum u0 on the propagation of the solutions of these reaction-dispersion equations. We mainly focus on two types of equations: reaction-diffusion equations (D=[delta]2z and integro-differential equations (D is a convolution operator, D(u)=J* u-u). We first investigate the homogeneous reaction-diffusion equations. We provide a new and intuitive explanation of the notions of pushed and pulled traveling waves. This approach allows us to understand the inside dynamics the traveling fronts and the impact of the Allee effect, that is a low fertility at low density, during a colonisation. Our results also have important consequences in population genetics. In the more general and realistic framework of heterogeneous reaction-diffusion equations, we exhibit examples where the fragmentation of the media modifies the spreading speed of the solution. Finally, we investigate integro-differential equations and prove that emph{fat-tailed} dispersal kernels J, that is kernels which decay slower than any exponentially decaying function at infinity, lead to acceleration of the level sets of the solution u.

L'objet de cette thèse est d'étudier le comportement en temps long de solutions d'équations d'évolution non locales ainsi que la limite singulière d'équations et de systèmes d'équations aux dérivées partielles, où intervient un petit paramètre epsilon. Au Chapitre 1, nous considérons une équation de réaction-diffusion non locale avec conservation au cours du temps de l'intégrale en espace de la solution; cette équation a été initialement proposée par Rubinstein et Sternberg pour modéliser la séparation de phase dans un mélange binaire. Le problème de Neumann associé possède une fonctionnelle de Lyapunov, c'est-à-dire une fonctionnelle qui décroit selon les orbites. Après avoir prouvé que la solution est confinée dans une région invariante, nous étudions son comportement en temps long. Nous nous appuyons sur une inégalité de Lojasiewicz pour montrer qu'elle converge vers une solution stationnaire quand t tend vers l'infini. Nous évaluons également le taux de la convergence et calculons précisément la solution stationnaire limite en dimension un d'espace. Le Chapitre 2 est consacré à l'étude de l'équation différentielle non locale que l'on obtient en négligeant le terme de diffusion dans l'équation d'Allen-Cahn non locale étudiée au Chapitre 1. Sans le terme de diffusion, la solution ne peut pas être plus régulière que la fonction initiale. C'est la raison pour laquelle on ne peut pas appliquer la méthode du Chapitre 1 pour l'étude du comportement en temps long de la solution. Nous présentons une nouvelle méthode basée sur la théorie des réarrangements et sur l'étude du profil de la solution. Nous montrons que la solution est stable pour les temps grands et présentons une caractérisation détaillée de sa limite asymptotique quand t tend vers l'infini. Plus précisément, la fonction limite est une fonction en escalier, qui prend au plus deux valeurs, qui coïncident avec les points stables d'une équation différentielle associée. Nous montrons aussi par un contre-exemple non trivial que, quand une hypothèse sur la fonction initiale n'est pas satisfaite, la fonction limite peut prendre trois valeurs, qui correspondent aux points instable et stables de l'équation différentielle associée. Nous étudions au Chapitre 3 une équation différentielle ordinaire non locale qui a éte proposée par M. Nagayama. Une difficulté essentielle est que le dénominateur dans le terme de réaction non local peut s'annuler. Nous appliquons un théorème de point fixe lié a une application contractante pour démontrer que le problème à valeur initiale correspondant possède une solution unique qui reste connée dans un ensemble invariant. Ce problème possède une fonctionnelle de Lyapunov, qui est un ingrédient essentiel pour démontrer que la solution converge vers une solution stationnaire constante par morceaux quand t tend vers l'infini. Au Chapitre 4, nous considérons un modèle d'interface diffuse pour la croissance de tumeurs, où intervient une équation d'ordre quatre de type Cahn Hilliard. Après avoir introduit un modèle de champ de phase associé, on étudie formellement la limite singulière de la solution quand le coefficient du terme de réaction tend vers l'infini. Plus précisément, nous montrons que la solution converge vers la solution d'un problème à frontière libre. AMS subject classifications. 35K57, 35K50, 35K20, 35R35, 35R37, 35B40, 35B25.

Les simulations numériques réalistes en électrophysiologie cardiaque ont un coût de calcul extrêmement élevé. Ce coût s’explique en grande partie par la raideur, à la fois en temps et en espace, d’une onde de « potentiel d’action » (PA). Par ailleurs, les phénomènes observés sont très instationnaires et s’étudient en temps long. Une description précise de la dynamique des PA est cruciale pour construire des modèles numériques pertinents d’un point de vue médical ou clinique. Cet aspect fondamental ne peut être contourné dans les études numériques réalistes.La raideur de l’onde de PA ne peut être captée numériquement qu’en ayant recours à des maillages très fins. Ces maillages très fins induisent un coût de calcul très important, et introduisent aussi des erreurs supplémentaires : les systèmes linéaires à résoudre deviennent très mal conditionnés. Au final, les erreurs numériques peuvent être particulièrement grandes dans les simulations alors que leur contrôle est évidemment essentiel pour assurer la fiabilité des résultats. Jusqu’à présent, très peu de résultats sont disponibles pour assurer cette fiabilité. Dans les faits, les erreurs sont la plupart du temps contrôlées par des procédés empiriques. Il existe quelques résultats théoriques étudiant la convergence et la stabilité des schémas numériques associés. En pratique, en plus d'avoir un contrôle de l'erreur sur le potentiel, il est aussi nécessaire d'avoir un contrôle de l’erreur sur des quantités macroscopiques décrivant la dynamique de l’onde de PA : temps d’activation, durée du PA, propriétés de restitution... Ces quantités ont en effet une interprétation physiologique qui permet de caractériser le caractère arythmogène des tissus.Les modèles sont des systèmes d’EDP de réaction-diffusion couplés avec des systèmes d’équations différentielles pouvant être très raides, les modèles ioniques. Ils sont actuellement discrétisés par éléments finis conforme (Lagrange) et par des schémas en temps d’ordre un ou deux. Dans ce travail, nous concevons et évaluons l’intérêt d'utiliser des méthodes d’ordre supérieure pour ces systèmes. Parallèlement nous introduisons d'une part une nouvelle classe de schémas appelé schémas exponentiel Adams Bashforth intégral (IEAB), et d'autre part des schémas Rush Larsen (RL) d'ordre élevé. Ces nouveaux schémas sont des schémas multipas de type exponentiels. Nous montrons qu'ils possèdent des bonnes propriétés de stabilité et permettent de faire face efficacement à la raideur des modèles ioniques. Les schémas que nous proposons sont comparés numériquement (en terme de précision, coût en temps de calcul et stabilité) à plusieurs schémas classiques, ainsi qu'aux schémas exponentiels (RL1, RL2) communément utilisés pour des simulations en électrophysiologie cardiaque. Nous proposons des techniques permettant de calculer avec précision les quantités d’intérêts cliniques (temps d’activation, de récupération, durée du potentiel d’action). Des résultats théoriques de convergence en temps et de convergence globale (espace et temps) sont énoncés et prouvés. Ces résultats sont ensuite illustrés numériquement à travers le modèle monodomaine et les modèles ioniques de Beeler Reuter, de Ten Tusscher et al. L’intérêt d'utiliser des schémas d'ordre élevés est aussi évalué sur des ondes spirales en 2D et 3D. / Realistic numerical simulations in cardiac electrophysiology have a computational cost of extremely high. This cost is largely explained by the stiffness both in time and space, of the action potential (AP) wave. Moreover, the observed phenomena are very unsteady and are studied in long time. A precise description of the dynamic of AP is crucial for constructing relevant numerical models, from a medical or clinical perspective. This fundamental aspect can not be circumvented in realistic numerical studies.The stiffness of AP wave can only be captured numerically, by using very fine meshes. In addition to the high computational cost, these very fine meshes also introduce additional errors : the linear systems to solve become very badly conditioned. In the end, the numerical errors can be particularly large whereas their control is obviously essential to ensure the reliability of the results. So far very few results are available to ensure this reliability. In practice, the errors are mostly controlled by empirical processes. In practice, in addition of having a control of the error on the potential, it is also necessary to have an error control on macroscopic quantities describing the dynamics of the AP wave : activation time, AP duration, properties of restitution ... These quantities have indeed a physiological interpretation which allows to characterize the arrhythmogenic character of the tissues.The models are systems of reaction diffusion PDE coupled with systems of differential equations that can be very stiffs (ionic models). They are currently discretized by conforming finite elements (Lagrange finite elements methods) and by schemes in time of order one or two. In this work, we design and evaluate the interest of using higher order methods for these systems. At the same time, we introduce on the one hand, a new class of schemes called Integral Exponential Adams Bashforth (IEAB) schemes and, on the other hand, high order Rush Larsen (RL) schemes. These new schemes are exponential time-stepping schemes. We show that they have good stability properties and can efficiently cope with the stiffness of ionic models. The schemes we propose are numerically compared (in terms of accuracy, CPU time and stability) with several classical schemes, as well as with the exponential schemes (RL1, RL2), commonly used for cardiac electrophysiology simulations. We propose good techniques for accurately calculating quantities of clinical interest (activation time, recovery time, duration of action potential). Theoretical results of convergence in time and global convergence (in space and time) are stated and proved. These results are then illustrated numerically through the monodomain model and the ionic models of Beeler Reuter, Ten Tusscher et al. The advantage of using high order schemes is also evaluated on spiral waves in 2D and 3D.

Cette thèse porte sur les fronts de transition pour des équations de réaction-diffusion dans différents milieux. Les fronts de transition généralisent les notions habituelles de fronts progressifs ou pulsatoires. Les principaux résultats sont les suivants. Pour des réactions bistables, nous prouvons la monotonie en temps de tous les fronts de transition avec vitesse globale moyenne non nulle. Pour des réactions bistables périodiques en temps ou pour des réactions de type combustion, nous prouvons l’existence et l’unicité de la vitesse globale moyenne d’un front. De plus, nous montrons que les fronts presque plans sont en réalité plans et nous montrons l’existence de fronts de transitions non standard. Pour des réactions bistables périodiques en espace, nous montrons la continuité et la différentiabilité des vitesses et des profils de ces fronts pulsatoires par rapport à la direction e en supposant l’existence de fronts pulsatoires à vitesse non nulle dans toutes les directions $e$. Ensuite, nous prouvons que la vitesse de propagation d’un front de transition quelconque est comprise entre les vitesses minimales et maximales des fronts pulsatoires. Enfin, nous étudions les vitesses globales moyennes des fronts de transition bistables dans des domaines non bornés : domaines extérieurs ou domaines à branches multiples cylindriques. Dans ces deux types de domaines, nous prouvons l’existence et l’unicité de la vitesse globale moyenne de tous les fronts de transition sous certaines hypothèses. / This dissertation is concerned with transition fronts in various media, which generalize the standard notions of traveling fronts. The main results are as following. For bistable reaction, we prove the time monotonicity of all transition fronts with non-zero global mean speed, whatever shape their level sets may have. For time-periodic bistable reaction and combustion-type reaction, we prove the existence and the uniqueness of the global mean speed. Meantime, we show that almost-planar fronts are actually planar and we show the existence of non-standard transitions fronts in $\mathbb{R}^N$. For spatially periodic bistable reaction, we show some continuity and differentiability properties of the front speeds and profiles with respect to the direction $e$ by providing the existence of pulsating fronts with nonzero speed in all directions $e$. Then, we prove that the propagating speed of any transition front is bounded by the minimal speed and the maximal speed of pulsating fronts. Finally, we study the mean speed of bistable transition fronts in unbounded domains: exterior domains and domains with multiple cylindrical branches. In both domains, we prove the existence and uniqueness of the global mean speed of any transition front under some assumptions.