L'origine de ce travail est l'étude d'un problème industriel sur la mise en forme des thermoplastiques par injection. Nous nous sommes concentrés sur la partie remplissage du moule et sur la détermination de la position du front du polymère. Le travail présenté dans cette thèse comprend donc deux parties: => L'étude mathématique et numérique de l'équation en pression qui régit l'écoulement du polymère fondu. A partir de cet exemple nous avons mis en évidence et étudié une famille nouvelle d'équations à double non linéarité. => La détermination de l'interface polymère-air par des méthodes de suivi de lignes de niveau, l'interface étant décrite comme la ligne de niveau zéro d'une inconnue auxiliaire, que nous devons calculer. Nous avons obtenu l'existence d'une solution à l'équation de transport linéaire avec conditions aux limites à laquelle satisfait cette nouvelle inconnue. Puis nous avons mis au point une méthode numérique pour le calcul de l'interface polymère/air, en résolvant par éléments finis / volumes finis l'équation en pression et l'équation de transport du front. Notre méthode présente l'avantage d'une mise en oeuvre relativement aisée, robuste car elle permet de gérer les changements de topologie du front.

Cette thèse est consacrée à l'étude des équations de réaction diffusion non-locale du type $u_(t)-(\int_(\R)J(x-y)[u(y)-u(x)]dy)=f(u)$. Ces équations non-linéaires apparaissent naturellement en physique et en biologie. On s'intéresse plus particulièrement aux propriétés (existence, unicité, monotonie) des solutions du type front progressif. Trois classes de non-linéarités $f$ (bistable, ignition, monostable) sont étudiées. L'existence dans les cas bistable et ignition est obtenue via une technique d'homotopie. Le cas monostable nécessite une autre approche. L'existence est obtenue via une approximation des équations sur des semi-intervales infinis $(-r,+\infty)$. L'unicité et la monotonie des solutions sont quand elles obtenues par méthode de glissement. Le comportement asymptotique ainsi que des formules pour les vitesses sont aussi établis.

Ce travail porte sur les problèmes de régularités en optimisation de forme. Précisément nous étudions la régularité d'un ouvert qui minimise l'énergie du problème de Dirichlet pour le Laplacien parmi tous les ouverts de mesure fixée inclus dans un grand ouvert (par exemple l'espace tout entier). La première étape consiste à regarder la régularité de la fonction d'état optimale (la solution du problème de Dirichlet sur l'ouvert minimal): on montre que, là où elle garde un signe constant, elle est localement lipschitzienne (dans tout l'espace et pas seulement dans l'ouvert optimal). La deuxième étape consiste à étudier la régularité du bord de l'ouvert optimal. Si la fonction d'état est lipschitzienne, on montre que cet ouvert est à périmètre fini. On peut également montré que, là où le terme source est positif, le Laplacien de la fonction d'état est égal, sur le bord de l'ouvert optimal, à une constante multipliée par la mesure de Hausdorff du bord. Cette constante est un multiplicateur de Lagrange dans une équation d'Euler-Lagrange. De manière formelle, cela signifie que la dérivée normale de la fonction d'état est constante sur le bord. Ceci est bien le résultat attendu: si on suppose que l'ouvert optimal est régulier, on le retrouve facilement. On peut enfin déduire de cela que, loin du support du terme source, la frontière de l'ouvert optimal est, en dehors d'un ensemble négligeable, une hypersurface analytique.

Nous étudions des équations aux dérivées partielles non linéaires du type McKean-Vlasov. Nous leur associons des systèmes de particules en interaction de type champ moyen pour lesquels nous établissons des inégalités de Sobolev logarithmiques à temps fini. Grâce à un résultat supplémentaire de propagation du chaos, nous déduisons, dans certains cas, le comportement en temps long de l'équation non linéaire en fonction de celui du système de particules. Enfin, nous établissons des intervalles de confiance exacts pour la convergence de méthodes de Monte-Carlo pour les schémas d'Euler explicites et implicites associés à des processus de diffusion. Ces résultats s'appliquent notamment pour les systèmes de particules cités plus haut.

La production industrielle d'aluminium met en jeu plusieurs aspects physiques, à la fois chimiques, thermiques et magnétohydrodynamiques (MHD). L'une de ses particularités est la coexistence dans une cuve de deux fluides non miscibles, ce qui conduit à la présence d'une interface libre. Ce procédé consomme près de 2% de l'électricité mondiale, la moitié étant perdue par effet Joule. L'enjeu est de réduire ce coût sans déstabiliser le procédé: il s'agit typiquement d'un problème de contrôle optimal, que nous traitons en considérant une modélisation MHD de la cuve. Deux approches sont utilisées pour effectuer cette optimisation, à savoir considérer une contrainte d'état non linéaire basée sur un couplage entre les équations de Maxwell et de Navier-Stokes multifluides, et une contrainte d'état linéaire résultant d'une approximation shallow water de la précédente. Après une courte introduction à la modélisation du procédé et aux concepts du contrôle optimal basé sur le principe de Pontryagin, nous décrivons dans un premier temps le contrôle de l'évolution de l'interface modélisée par l'approximation shallow water. S'ensuivent un travail de parallèlisation du logiciel de simulation du procédé dans le cadre non linéaire et la recherche numérique d'actionneurs acceptables pour son contrôle. Enfin, un algorithme d'optimisation de la forme de l'interface est proposé sous une contrainte d'état non linéaire simplifiée, à savoir les équations de Navier-Stokes bifluides en dimension deux.

Le contrôle actif nécessite un modèle numérique représentatif de la structure réelle dont on souhaite diminuer les vibrations. Les méthodes de recalage sont les plus efficaces pour obtenir ce modèle. Les plus répandues se basent sur la minimisation d'une fonction objectif construite à partir de la solution d'Équations aux Dérivées Partielles (EDP) paramétrées. Le coût d'évaluation de cette fonction peut vite exploser lorsque les modèles sont trop complexes ou trop nombreux, ce qui arrive quand on souhaite une grande famille de structures similaires ou une structure dont le comportement varie à cause d'un vieillissement ou de phénomènes aléatoires. On parle alors de recalage multimodèle. Afin de construire une approximation de la fonction coût, nous introduisons une nouvelle méthode de résolution des EDP paramétrées, la Méthode Éléments Finis sur Algèbre Polynomiale (MÉFAP). Elle présente l'avantage d'introduire les variabilités paramétriques dans le modèle numérique sans changer la base éléments finis. Ceci est réalisé grâce à un anneau de polynômes multivariable. Nous mettons en œuvre la MÉFAP afin d'obtenir une approximation de l'erreur en relation de comportement modifiée, qui est un estimateur de la qualité d'un modèle numérique vis-à-vis de résultats expérimentaux. Nous traitons des cas de recalage simple puis du recalage multimodèle. Les exemples présentés sont représentatifs d'un ensembles de cartes électroniques. Ils comprennent des cas 1D ou 2D, piézoélectriques ou purement mécaniques, des structures virtuelles ou réelles, des modèles déterministes ou stochastiques.

Nous présentons le modèle de gaz de cercles (GDC) qui permet de décrire un ensemble de cercles de rayon approximativement fixe. Il est fondé sur la théorie récente des contours actifs d'ordre supérieur (CAOS). Pour certains paramètres, le modèle favorise la création de cercles stables de rayon approximativement fixe au lieu de créer des réseaux. Nous montrons dans cette thèse comment déterminer ces paramètres. Le modèle général de GDC peut être appliqué dans des domaines variés, mais souffre d'un inconvénient: les minima locaux correspondant aux cercles peuvent piéger l'algorithme de descente de gradient, produisant ainsi des cercles `fantômes'. Nous résolvons ce problème en calculant, via le développement de Taylor de l'énergie, les paramètres qui permettent de positionner les cercles sur les points d'inflexion plutôt que sur les minima. Il est possible de créer une autre formulation pour les modèles CAOS, fondée sur les champs de phase. Nous abordons le problème d'extraction de houppiers par la construction d'un modèle de champs de phase de GDC. Les images utilisées sont des images couleur-infrarouge (CIR) et panchromatiques. Nous introduisons deux modèles d'attache aux données. Le premier décrit l'utilisation d'une seule bande parmi les trois disponibles et est fondé sur le gradient de l'image et sur les distributions gaussiennes. Le deuxième utilise les trois bandes spectrales des images CIR. Ces modèles permettent d'avoir des résultats plus précis que par des modèles plus traditionnels. Ces modèles peuvent être appliqués pour la détection d'autres objets circulaires.

Nous exposons en introduction quelques généralités sur les solutions fortes et les solutions faibles d'équations aux dérivées partielles. Le chapitre 2 est consacré à l'étude des multiplicateurs et des paramultiplicateurs entre espaces de Sobolev. Si l'opérateur de multiplication ponctuelle par une fonction est borné d'un espace de Sobolev dans un autre, on dit que cette fonction est un multiplicateur entre ces espaces. On définit de même les paramultiplicateurs par le caractère borné de l'opérateur de paraproduit de Bony. Nous prouvons une caractérisation presque complète des espaces de multiplicateurs et de paramultiplicateurs. Cette caractérisation est appliquée dans le chapitre 3 au problème de l'unicité fort-faible pour l'équation de Navier-Stokes en dimension d > ou = 3. Elle nous permet de prouver un théorème d'unicité fort-faible généralisant presque tous les résultats connus. Nous nous intéressons dans le chapitre 4 aux solutions d'énergie inféie de l'équation de Navier-Stokes en dimension 2. Un théorème de Gallagher et Planchon affirme qu'une solution globale existe si la donnée initiale appartient à un espace de Besov critique ; nous étendons ce théorème au cas où u0 appartient @BMO, qui semble optimal. Nous prouvons dans le chapitre 5 des résultats d'existence globale pour l'équation des ondes semi-linéaire critique (avec non-linéarité polynomiale), pour une donnée initiale d'énergie infinie et de norme arbitrairement grande. Deux méthodes d'interpolation non-linéaire sont employées : la méthode de Calderon et la méthode de Bourgain ; elles donnent des résultats complémentaires. Le chapitre 6 est consacré à des rappels, et nous mentionnons dans le chapitre 7 quelques perspectives possibles.

La protection des structures, matériels et personnels contre les agressions thermiques violentes est une problématique incontournable dans le secteur militaire. Dans ce contexte, les revêtements intumescents, qui ont la propriété de gonfler lorsqu'ils sont soumis à un flux thermique intense, peuvent s'intégrer efficacement parmi les dispositifs de protections traditionnels. Cette étude, menée pour le ministère de la Défense, propose dans un premier temps une étude du comportement des peintures intumescentes et des principales agressions thermiques rencontrées sur le champ de bataille. Leurs effets sur des échantillons revêtus de peinture intumescente sont testés grâce à un moyen d'essai original : le Four Solaire Principal de la Délégation Générale de l'Armement. Dans un second temps, un modèle mathématique 1D basé sur un système d'équations aux dérivées partielles est développé pour décrire le comportement thermique et le gonflement de revêtements intumescents soumis à un flux radiatif. Une analyse de sensibilité est effectuée afin de désigner les paramètres "clés" du modèle (dont les incertitudes influencent particulièrement les résultats). Par la suite, les protocoles d'identification mis en oeuvre pour déterminer ces paramètres sont présentés. Des méthodes inverses basées sur des signaux thermiques périodiques sont utilisées pour identifier la diffusivité thermique des couches vierges et charbonneuse de peinture. En outre, la méthode des gradients conjugués est mise en oeuvre pour l'identification de la conductivité thermique non linéaire de la couche réactive. Enfin, les résultats obtenus sont discutés et les perspectives de l'étude sont présentées.

Cette thèse est consacrée à l'étude de plusieurs problèmes d'équations aux dérivées partielles non-linéaires. La première partie (chapitres 1-2-3) traite d'un problème trouvant son origine en biologie mathématique, à savoir l'étude de la survie à long terme d'une population dont l'évolution est gouvernée par une équation parabolique non-linéaire. Dans le modèle considéré, le mécanisme de diffusion est contrôlé par le p-Laplacien, la non-linéarité est de type logistique et fait intervenir un poids m pouvant changer de signe, et les conditions aux limites sont de flux nul. Le poids m correspond à une répartition des ressources devant permettre la survie de la population. Dans le chapitre 1, nous déterminons entre autres un critère de survie à long terme faisant intervenir la valeur propre principale du p-Laplacien avec poids m. Cette valeur propre apparait, plus précisément, comme la valeur limite d'un paramètre en-dessous de laquelle toute solution positive de l'équation converge vers zéro lorsque t tend vers l'infini. Ceci nous conduit naturellement au problème de minimiser la valeur propre en question lorsque m varie dans une classe adéquate de poids. Dans le chapitre 2, nous prouvons l'existence de minimiseurs et montrons que ces derniers satisfont une propriété de type “bang-bang”. Plusieurs propriétés de montonie sont aussi étudiées dans des situations géométriques particulières, et une caractérisation complète est donnée en dimension 1. Le chapitre 3 est consacré à l'élaboration de simulations numériques, où l'algorithme utilisé combine un méthode de plus grande pente avec une représentation de certains ensembles comme ensembles de niveaux. La deuxième sujet de cette thèse (chapitre 4) est un problème elliptique faisant intervenir l'opérateur de courbure moyenne. Nous nous intéressons à l'existence et à la multiplicité de solutions nodales de ce problème. Nous montrons que, si un certain paramètre de l'équation est suffisamment grand, il existe une solution nodale qui change de signe exactement deux fois. Nous établissons également l'existence d'un nombre arbitrairement grand de solutions nodales. Enfin, dans le cas particulier où le domaine est une boule, un résultat de brisure de symétrie est obtenu, résultat qui induit l'existence d'au moins deux solutions à deux domaines nodaux.