Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / Based on the article “Hyperbolic Main Cycles on Hypersurface of R4”, Garcia, see [4], we will study the bending lines in the vicinity of a main loop, closed bending line, a hypersurface immersed in R4. For this, we will define the Poincaré transformation associated with the cycle and calculate its derivative. With this analysis, we show under what conditions we can become hyperbolic, with a small deformation in the immersion, a major cycle given. Finally, we will build an example of a hypersurface containing a hyperbolic primary cycle, based on the article “Surfaces Around Closed Main Curvature Lines, an Inverse Problem." Garcia, Mello and Sotomayor, see [5]. / Tomando como base o artigo “Hyperbolic Principal Cycles on Hyper-surface of R4", de Garcia, ver [4], estudaremos as linhas de curvatura na vizinhança de um ciclo principal, linha de curvatura fechada, de uma hipersuperfície imersa no R4. Para isso, definiremos a transformação de Poincaré associada ao ciclo e calcularemos a sua derivada. Com essa análise, mostraremos sob quais condições podemos tornar hiperbólico, com uma pequena deformação na imersão, um ciclo principal dado. E por fim, construiremos um exemplo de uma hipersuperfície contendo um ciclo principal hiperbólico, baseando-nos no artigo “Surfaces Around Closed Principal Curvature Lines, an Inverse Problem." de Garcia, Mello e Sotomayor, ver [5].

La thèse présente une description géométrique d’un germe de famille générique déployant un champ de vecteurs réel analytique avec un foyer faible à l’origine et son complexifié : le feuilletage holomorphe singulier associé. On montre que deux germes de telles familles sont orbitalement analytiquement équivalents si et seulement si les germes de familles de difféomorphismes déployant la complexification de leurs fonctions de retour de Poincaré sont conjuguées par une conjugaison analytique réelle. Le “caractère réel” de la famille correspond à sa Z2-équivariance dans R^4, et cela s’exprime comme l’invariance du plan réel sous le flot du système laquelle, à son tour, entraîne que l’expansion asymptotique de la fonction de Poincaré est réelle quand le paramètre est réel. Le pullback du plan réel après éclatement par la projection monoidal standard intersecte le feuilletage en une bande de Möbius réelle. La technique d’éclatement des singularités permet aussi de donner une réponse à la question de la “réalisation” d’un germe de famille déployant un germe de difféomorphisme avec un point fixe de multiplicateur égal à −1 et de codimension un comme application de semi-monodromie d’une famille générique déployant un foyer faible d’ordre un. Afin d’étudier l’espace des orbites de l’application de Poincaré, nous utilisons le point de vue de Glutsyuk, puisque la dynamique est linéarisable auprès des points singuliers : pour les valeurs réels du paramètre, notre démarche, classique, utilise une méthode géométrique, soit un changement de coordonée (coordonée “déroulante”) dans lequel la dynamique devient beaucoup plus simple. Mais le prix à payer est que la géométrie locale du plan complexe ambiante devient une surface de Riemann, sur laquelle deux notions de translation sont définies. Après avoir pris le quotient par le relèvement de la dynamique nous obtenons l’espace des orbites, ce qui s’avère être l’union de trois tores complexes plus les points singuliers (l’espace résultant est non-Hausdorff). Les translations, le caractère réel de l’application de Poincaré et le fait que cette application est un carré relient les différentes composantes du “module de Glutsyuk”. Cette propriété implique donc le fait qu’une seule composante de l’invariant Glutsyuk est indépendante. / The thesis gives a geometric description for the germ of the singular holomorphic foliation associated with the complexification of a germ of generic analytic family unfolding a real analytic vector field with a weak focus at the origin. We show that two such germs of families are orbitally analytically equivalent if and only if the germs of families of diffeomorphisms unfolding the complexified Poincaré map of the singularities are conjugate by a real analytic conjugacy. The Z2-equivariance of the family of real vector fields in R^4 is called the “real character” of the system. It is expressed by the invariance of the real plane under the flow of the system which, in turn, carries the real asymptotic expansion of the Poincaré map when the parameter is real. After blowing up the singularity, the pullback of the real plane by the standard monoidal map intersects the foliation in a real Möbius strip. The blow up technique allows to “realize” a germ of generic family unfolding a germ of diffeomorphism of codimension one and multiplier −1 at the origin as the semi-monodromy of a generic family unfolding an order one weak focus. In order to study the orbit space of the Poincaré map, we perform a trade-off between geometry and dynamics under the Glutsyuk point of view (where the dynamics is linearizable near the singular points): in the resulting “unwrapping coordinate” the dynamics becomes much simpler, but the price we pay is that the local geometry of the ambient complex plane turns into a much more involved Riemann surface. Over the latter, two notions of translations are defined. After taking the quotient by the lifted dynamics we get the orbit space, which turns out to be the union of three complex tori and the singular points (this space is non- Hausdorff). The Glutsyuk invariant is then defined over annular-like regions on the tori. The translations, the real character and the fact that the Poincaré map is the square of the semi-monodromy map, relate the different components of the Glutsyuk modulus. That property yields only one independent component of the Glutsyuk invariant.

Desenvolvemos as ideias centrais da Homologia Simplicial e provamos a invariância topológica dos grupos de homologia para espaços homeomorfos. Discutimos também a invariância topológica da característica de Euler-Poincaré mostrando a sua relação com os grupos de homologia através dos números de Betti. Adicionalmente apresentamos conceitos da Álgebra Abstrata, especificamente da teoria de Grupos, importantes para o entendimento formal da álgebra homológica. Ao final, propomos atividades didáticas com objetivo de trazer as ideias de triangulação e invariância topológica ao contexto da sala de aula. / We develop central ideas of Simplicial Homology and prove the topological invariance of homology groups for homeomorphic spaces. We also discuss topological invariance of Euler- Poincaré characteristic showing its relation with the homology groups through Betti numbers. In addition, we present concepts of abstract algebra, specifically of group theory, which are important to formal understanding of homological algebra. In the end, we propose didactic activities in order to bring the ideas of triangulation and topological invariance to context of math classes on basic education.

Neste trabalho apresentamos uma versão do Teorema de Poincaré-Bendixson para campos vetoriais contínuos na garrafa de Klein. Como conseqüência, mostramos que a garrafa de Klein não possui campo vetorial contínuo com trajetória injetiva recorrente / We present a version of the Poincaré-Bendixson Theorem on the Klein bottle for continuous vector fields. As a consequence, we obtain the fact that the Klein bottle does not admit continuous vector fields having a recurrent injective trajectory

Este trabalho apresenta a modelagem de um problema representado por um pêndulo elástico com excitação paramétrica vertical do suporte e a análise de estabilidade do sistema pendular que se obtém desconsiderando a elasticidade do pêndulo. A modelagem dos pêndulos e a obtenção das equações do movimento são feitas a partir da equação de Lagrange, utilizando as leis de Newton e para a análise de estabilidade do sistema pendular são apresentados os diagramas de bifurcações, multiplicadores de Floquet, mapas e seções de Poincaré e expoentes de Lyapunov. O comportamento do sistema pendular com excitação paramétrica vertical do suporte é investigado através de simulação computacional e apresentam-se resultados para diferentes faixas de valores da amplitude de excitação externa. / This work presents the modeling of an elastic pendulum with parametric excitation of the support and the analysis of the stability of the pendulum that one obtains disregarding the elasticity of the pendulum. The modeling of the pendulum and the equation of motions are obtained from the Lagrange\'s equations, using Newton\'s law. The concepts of bifurcation, Floquet\'s multipliers, Poincaré maps and sections and Lyapunov exponent are presented for the analysis of stability. The behavior of the pendulum with parametric excitation of the suport is investigated through computational simulation and results for different intervals of values of the external excitation amplitude are presented.

Made available in DSpace on 2016-01-26T12:51:30Z (GMT). No. of bitstreams: 1 margaretearticobaptista_tese.pdf: 3014770 bytes, checksum: a4b4de19204259991aae1ec3ae61a0aa (MD5) Previous issue date: 2011-10-07 / In the last 30 years, the increasing health care expenditures resulted in an outburst of studies aimed at new proposals on the methodological evaluation of health services. With the aid of computing, several studies have been developed with the purpose of analyzing nonlinear and complex systems. The most outstanding among those methods was the Recurrence Plot, first described by Erickman et al. (1987).Objectives: To analyze the temporal behavior of the weekly amount of admissions by some nosologic groups (Appendix Diseases, Bacterial Diseases, Neoplastic Disease, and Acute Coronary Syndrome), which has occurred over a decade, through Recurrence Plots and Poincaré Recurrence Plots, as well as checking whether the systems are presenting a periodic, chaotic, or random behavior pattern. Material and Methods: The database containing all hospitalizations recorded at the Hospital de Base Regional Medical School Foundation (FUNFARME) of Sao Jose do Rio Preto, a teaching hospital, from January 1, 1998 to December 31, 2007 was peered into a microscope. As a reference to classify all these admissions, the International Statistical Classification of Diseases and Related Health Problems, 10th Revision (ICD-10) was used. The Microsoft Office Excel 2003® was the software used to arrange the data into columns. The admissions were systematically set to the right array, such as day, month, and year. They were arranged into columns according to the uniform criteria of identification of the epidemiological weeks. The recurrence graphs and the respective quantitative analyses of recurrence were developed with the aid of the Visual Recurrence Analysis (VRA) software, which is freely available on the Internet. To perform the comparison among the behavior patterns, mathematical models of time series for random behavior pattern, series time for chaotic behavior pattern, series times for periodic behavior pattern, and series time for linear behavior pattern were constructed. And it has also been performed a comparison between the Recurrence Plots and the Quantitative Analysis of Recurrence with clinical cases of specific groups (young, adult, child, premature newborn, and brain death).Results: It has become clear that the number of weekly admissions for diseases of the appendix has had a tendency over the years from a random behavior pattern. In hospitalizations due to bacterial diseases, there was a chaotic behavior pattern and the neoplastic diseases showed a chaotic behavior pattern tending to a linear behavior pattern. Hospitalizations because of Acute Coronary Syndrome presented a predominantly linear behavior pattern. Conclusions: The visual aspects of Recurrence Plot and Poincaré Recurrence plot exhibited different patterns when comparing quantities of admissions of certain nosologic groups over a decade. The quantitative analysis of recurrence that was useful in classifying the behavior pattern of the quantities of admissions is likely to constitute a useful tool of evaluation and decision making regarding hospital administration. / Nos últimos trinta anos, o crescimento dos gastos com a atenção médica resultou numa expansão dos estudos voltados para novas propostas metodológicas sobre avaliação dos serviços de saúde. Com a utilização da informática, vários estudos têm sido desenvolvidos para análise de sistemas complexos e não lineares, destacando-se, entre esses métodos, os gráficos de recorrência, descritos pela primeira vez por Erickman et al. (1987). Objetivos: Analisar o comportamento temporal da quantidade semanal de internações por alguns grupos nosológicos (Doenças do Apêndice, Doenças Bacterianas, Doenças Neoplásicas e por Síndrome Coronária Aguda) ocorridas ao longo de uma década, por meio de Gráficos de Recorrência e Gráficos de Poincaré e verificar se são sistemas que apresentam comportamentos periódicos, aleatórios ou caóticos. Material e Método: Foi avaliado o banco de dados contendo todas as internações no Hospital de Base da Fundação Faculdade Regional de Medicina de São José do Rio Preto, no período de 01 de janeiro de 1998 a 31 de dezembro de 2007. Como referência para classificação dessas internações, utilizou-se a Décima Revisão da Classificação Internacional de Doenças e de Problemas Relacionados à Saúde (CID 10). Foi utilizado o programa Microsoft Office Excel 2003 para a tabulação dos dados. As internações foram ordenadas em dia, mês, ano e tabuladas, seguindo o critério uniforme de identificação das semanas epidemiológicas. Os gráficos de recorrência e respectiva análise quantitativa foram construídos com o auxílio do software Visual Recurrence Analysis (VRA), disponível gratuitamente na Internet. Para realizar a comparação de padrões de comportamentos foram construídos modelos matemáticos de séries temporais aleatória, caótica, periódica e linear. E também foi realizada comparação entre Gráficos de Recorrência e Análise Quantitativa da Recorrência com casos clínicos de grupos específicos (jovem adulto, criança, Recém- nascido prematuro e morte cerebral). Resultados: Evidenciou-se que a quantidade de internações semanal por doenças do apêndice tiveram uma tendência ao longo dos anos de comportamento aleatório. Nas internações por doenças bacterianas houve comportamento caótico e as internações por doenças neoplásicas apresentaram um comportamento caótico tendendo a linear. As internações por Síndrome Coronária Aguda apresentaram predominantemente comportamento linear, Conclusões: Os aspectos visuais dos Gráficos de Recorrência e de Poincaré exibiram padrões diferentes na comparação entre quantidades de internações de determinados grupos nosológicos ao longo de uma década. A análise quantitativa da recorrência que auxiliou na classificação do comportamento das quantidades de internações e pode constituir-se em ferramenta útil de avaliação e tomada de decisão em administração hospitalar.

Neste trabalho consideramos um processo de Markov a tempo contínuo com espaço de estados finito em um meio aleatório, a saber, a dinâmica de Metropolis para o Modelo de Energia Aleatória Generalizado (GREM) com um número de níveis finito e discutimos o comportamento do seu tempo de chegada ao equilíbrio, o qual é dado pelo inverso da lacuna espectral de sua matriz de probabilidades de transição. No principal resultado desta tese provamos que o quociente entre o volume do sistema e o logaritmo do inverso da lacuna é quase sempre limitado, por cima, por uma função da temperatura, que também é a que descreve a energia livre do GREM sob o regime de temperaturas baixas. Como um estudo adicional, também é discutido um correspondente limitante inferior em um caso particular do GREM com 2 níveis. / In this work we consider a finite state continuous-time Markov process in a random environment, namely, the Metropolis dynamics for the Generalized Random Energy Model (GREM) with a finite number of levels, and we discuss the behavior of its reaching time to equilibrium which is given by inverse of the spectral gap of its transition probability matrix. On the main result of this thesis, we prove the division between the system volume and the logarithm of the inverse of the gap is almost surely upper bounded by a function of the temperature that it is also the function that describe the free energy of the GREM at low temperature. As an additional study, it is also discuss the corresponding limiting lower in a particular case of the 2-level GREM.

Diversos estudos foram realizados para detecção de patologias na laringe. Essas patologias causam alteração na frequência, amplitude e formato de onda do sinal de voz e podem ser estudadas através dos parâmetros convencionais de análise como jitter e shimmer, ou sob o enfoque da dinâmica não linear. Essas técnicas são não invasivas e servem de apoio ao especialista da área de fonoaudiologia para o diagnóstico de patologias nas pregas vocais. As técnicas de análise acústica baseiam-se no formato de onda vocal no domínio do tempo e domínio da frequência, enquanto que a técnica de análise não linear utilizada nesse trabalho baseia-se no atrator reconstruído do sinal de voz. O objetivo dessa tese é diferenciar vozes normais e patológicas e entre patologias usando a técnica de análise não linear conhecida como Seção de Poincaré. Foram analisados 48 sinais de vozes humanas, divididos em 3 grupos (16 normais, 16 com nódulo e 16 com edema de Reinke). Em seguida foram selecionados 3 trechos de 500 ms nos intervalos 0.5s-1.0s, 2.0s-2.5s e 4.0s-4.5s chamado de primeiro critério e um trecho 500ms no trecho de maior variação de pitch, chamado de segundo critério. Em seguida, o atrator foi reconstruído em 3 dimensões, determinado o atrator médio, e de cada ponto do atrator médio foi extraída a seção de Poincaré. De cada seção de Poincaré foi calculada a dispersão dos pontos do atrator no plano através da média e desvio padrão das dispersão dos pontos da seção de Poincaré em relação ao ponto médio da seção. A validação da ferramenta desenvolvida para essa tese foi realizada utilizando um sinal senoidal inserindo jitter gradativamente, onde verificou-se uma variação proporcional da média da dispersão. Os resultados obtidos mostraram que não foi possível diferenciar patologias mas foi possível classificar vozes normais das patológicas. O melhor intervalo para classificar as vozes normais das patológicas utilizando o primeiro critério foi entre 0.5s-1.0s pois nesse intervalo todas as vozes normais foram classificadas corretamente. No entanto, 6 vozes patológicas foram classificadas como normais com 2 vozes patológicas na fronteira que separa as vozes normais das patológicas. O segundo critério classificou todas as vozes normais corretamente e apenas uma voz patológica foi classificada como patológica. Concluiu-se que a ferramenta proposta utilizando o segundo critério mostrou-se superior em relação ao primeiro critério para diferenciar vozes normais das patológicas. / Several studies have been performed to detect pathologies of the larynx. These pathologies cause changes in the frequency, amplitude, and waveform of the voice signal. They can be studied by means of conventional analysis parameters such as jitter and shimmer, or from nonlinear dynamics concepts. These techniques are noninvasive and can help the speech therapist to better diagnose the pathologies in the vocal folds. The acoustic analysis techniques are based on the voice waveform in the time and frequency domains, while the non-linear analysis techniques are based on the attractor reconstructed from the speech signal.The aim of this thesis is to differentiate normal and pathological voices using a nonlinear analysis technique named Poincaré section. We analyzed 48 human voice signals divided into 3 groups (16 normal, 16 nodule and 16 Reinke\'s edema). Then, we analyzed 3 stretches of 500ms in the intervals 0.5s-1.0s, 2.0s-2.5s e 4.0-4.5s, denominated first criteria, and a stretch of 500ms in a higher variation in pitch, denominated second criteria. The attractor was then reconstructed in three dimensions, the average attractor was determined, and at each point of the average attractor, a Poincaré section was extracted. From each Poincaré section, the dispersion of the points of the attractor was calculated in the plane by means of the statistical average and standard deviation related to the medium point of the section. The validation of the tool developed for this thesis was achieved by inserting jitter gradually in a sinusoidal wave, where there was a proportional variation of average\'s dispersion was observed. The results obtained for this set of voices showed that the average and standard deviation of dispersion of the points in the Poincaré section differentiate the groups of voices, but not the pathological groups. The Statistical tests of Anova and Tukey were used to analyze the 3 groups and all group pairings, two by two, with a statistical significance of 5%. The best interval to classify normal voices from pathological voices by means of the first criteria was between 0.5s-1.0s, given the fact that in this interval, all normal voices were correctly classified. However, 6 pathological voices were classified as normal voices, with 2 voices border lining the frontier between normal voices from pathological voices. The second criteria classified all normal voices correctly, with only one pathological voice incorrectly classified. In conclusion, the second criteria tool proposed by this thesis was proven superior to differentiate normal voices from pathological ones.

Estudamos nesta dissertação o tempo de recorrência em sistemas dinâmicos, concentrando-nos na estatística do tempo de retorno. Calculamos numericamente a distribuição de tempo de retorno a uma região específica do espaço de fases de sistemas caóticos e comparamos com a distribuição binomial, deduzida para um processo aleatório. Os principais resultados obtidos foram: surgimento do efeito que denominamos memória de curto alcance, típico de sistemas determinísticos e associado à distribuição das órbitas periódicas instáveis; a distribuição de tempo de retorno caracteriza as principais propriedades temporais no caso de sistemas intermitentes. As conexões do tempo de retorno com regimes de transporte anômalo foram apresentadas, ressaltando suas limitações. O tempo de retorno foi utilizado ainda para analisar séries temporais, obtidas tanto de um modelo de mistura de um contaminante escalar passivo, como experimentalmente no plasma confinado magnéticamente. No primeiro caso constatamos que os retornos da série temporal assemelham-se às recorrências no espaço de fases do sistema dinâmico responsável pela mistura do contaminante: o mapa padrão com fase aleatória. Constatamos o surgimento de caudas de lei de potência na distribuição de tempo de retorno e calculamos sua dependência com o aumento da não linearidade e da aleatoriedade do sistema. Destacamos o efeito de múltiplas caudas de lei de potência, ausente no caso das distribuições obtidas no espaço de fases. Às séries obtidas em Tokamaks aplicamos o modelo de cascata log-normal para explicar sua função densidade de probabilidade. A distribuição de tempo de retorno destas séries mostrou estar diretamente relacionada com a correlação de curto e longo alcance presente na série. / We study the recurrence time in dynamical systems. The statistics of the recurrence time to a specific region of the phase space of chaotic dynamical systems were obtained numerically and compared with the binomial-like distribution, deduced for a random process. The main results are: the presence of the so called short time memory effect, typical for deterministic systems and related to the distribution of the unstable periodic orbits; the return time distribution captures the main temporal properties of intermittent systems. The possible connections of the recurrence time statistics to the anomalous transport were presented, with special attention to their limitations. The return time statistics was applied to analyze time series obtained from an Hamiltonian model and from magnetically confined plasma. In the first case we noticed that the recurrences of the series were similar to the recurrences obtained in the phase space of the Hamiltonian dynamical system: the standard map with a random phase. We analyze the dependence of the power-law tails of the distributions with the non-linearity and with the randomness of the system. One effect that appears only in the time series case is the multiple power law tails. We apply the log-normal cascade model to explain the probability density function of the series obtained in Tokamaks. The recurrence time statistics of the series is closely related to the short and long time correlation present on the series.

Neste trabalho, estudamos diferentes construções e propriedades das classes características de variedades suaves e singulares. Para ilustrar a teoria, calculamos a obstrução de Euler de algumas superfícies singulares no espaço tridimensional e apresentamos uma fórmula do tipo Poincaré-Hopf para variedades singulares / In this work, we study different constructions and properties of the characteristics classes of smooth and singular manifolds. To ilustrate the theory, we compute the Euler obstructions of some singular surfaces in tridimensional space and state a Poincaré-Hopf´s formula for singular varieties