Submitted by Cássia Santos (cassia.bcufg@gmail.com) on 2014-08-06T10:24:20Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) ciclos_limites_para_a_equacao_de_abel_generalizada.pdf: 641062 bytes, checksum: e4be39606562d4f6805c21c2cceb451c (MD5) / Made available in DSpace on 2014-08-06T10:24:20Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) ciclos_limites_para_a_equacao_de_abel_generalizada.pdf: 641062 bytes, checksum: e4be39606562d4f6805c21c2cceb451c (MD5) Previous issue date: 2009-10-30 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / In this work we conducted a study on the equations of the type dx dt = nå i=0 ai(t)xi; (A) where ai 2 C1, i = 0; ;n and 0 t 1. An equation of the form (A) is called a generalized Abel equation. Our study refers to the problem proposed by C. Pugh: There is a natural number N depending only on n, such that the equation (A) has at most N limit cycles? Initially we study the problem of C. Pugh for n = 1 and n = 2, for which the equation (A) has at most one and two limit cycles, respectively. For n = 3, A. Lins Neto shows that if a3(t) does not change sign on [0;1], then the equation (A) has at most three limit cycles. Also A. Lins Neto shows that, given a natural number l, it is possible to construct an equation of the form (A) with n = 3 that has at least l limit cycles. Still for n = 3, A. Gasull and J. Llibre study the problem of C. Pugh considering that a2(t) does not change sign on [0;1], and M. J. Alvarez, A. Gasull and H. Giacomini also study the problem of C. Pugh considering that there are real numbers a and b such that aa3(t)+ba2(t) does not change sign on [0;1] and a1(t) = a0(t) = 0. Besides this, we study some more general results studied by A. Gasull and A. Guillamon. / Neste trabalho realizamos um estudo sobre as equações do tipo dx dt = nå i=0 ai(t)xi; (A) onde ai 2 C1, i = 0; ;n e 0 t 1. Uma equação da forma (A) é denominada equação de Abel generalizada. Nosso estudo se refere ao problema proposto por C. Pugh: existe um número natural N dependendo apenas de n, tal que a equação (A) possui no máximo N ciclos limites? Inicialmente estudamos o problema de C. Pugh para n=1 e n=2, para os quais a equação (A) possui, no máximo, um e dois ciclos limite, respectivamente. Para n = 3, A. Lins Neto mostra que, se a3(t) não muda de sinal em [0;1], então a equação (A) possui no máximo três ciclos limite. Além disso A. Lins Neto mostra que, dado um número natural l, é possível construir uma equação da forma (A) com n = 3 que possui no mínimo l ciclos limites. Ainda para n = 3, A. Gasull e J. Llibre estudam o problema de C. Pugh considerando que a2(t) não muda de sinal em [0;1], e M. J. Álvarez, A. Gasull e H. Giacomini também estudam o problema de C. Pugh considerando que existem números reais a e b tais que aa3(t)+ba2(t) não muda de sinal em [0;1] e a1(t) = a0(t) = 0. Além destes resultados, estudamos alguns resultados mais gerais estudados por A. Gasull e A. Guillamon.

Um propulsor do tipo Hall é um mecanismo que utiliza predominantemente uma configuração de campos eletromagnéticos Hall, um campo elétrico perpendicular a um campo magnético, para confinar elétrons e acelerar íons. Os elétrons são confinados dentro de um canal de aceleração onde os campos eletromagnéticos estão presentes. Um gás neutro é lançado dentro desse canal de aceleração de forma que os elétrons confinados podem colidir com os átomos do gás e os ionizar. Os íons gerados dessas colisões, elétrons-gás, são fortemente repelidos para fora do canal de aceleração pelo campo elétrico. A expulsão desses íons é o fator responsável pela propulsão. Nesses propulsores é importante que os elétrons estejam confinados dentro do canal de aceleração e que sejam capazes de produzir o maior número possível de íons. Visando determinar quais são os parâmetros de controle– intensidade dos campos eletromagnéticos– que propiciam uma dinâmica eletrônica com essas características, derivamos, via formalismo Hamiltoniano, as equações de movimento de um elétron e as analisamos. Dessas equações de movimento encontramos funções analíticas que indicam os limites geométricos atingidos pelo elétron dentro do sistema propulsor para cada conjunto de parâmetros de controle. Essas funções constituem o critério de confinamento eletrônico utilizado nesse trabalho. Além disso, a partir das equações de movimento, mostramos quais as configurações de campos eletromagnéticos que teoricamente incrementam o desempenho dos propulsores Hall. Verificamos que nas configurações de maior desempenho a dinâmica eletrônica é caótica. Neste trabalho, o caos é determinado com o auxílio dos mapas de Poincaré e dos expoentes de Lyapunov. / A Hall thruster is a system that utilizes an electromagnetic fields configuration predominantly like Hall, an electric field which lies perpendicular to a magnetic field, to confine electrons and to accelerate ions. The electrons are confined within an acceleration chamber where the electromagnetic fields are present. A neutral gas is released within this acceleration chamber so that the confined electrons can collide with the gas and ionize it. The ions generated from these collisions, the electron-gas, are strongly repelled by the electric field system. The expulsion of these ions generate the propulsion. In these thrusters it is very important that the electrons are confined within the acceleration chamber and are able to produce the largest possible number of ions. In order to determine the control parameters, that is, the electromagnetic fields intensity which provides an electronic dynamic with these characteristics; we derived, via Hamiltonian formalism, the motion equations for an electron and we analyzed them. From these motion equations, we found functions that indicate the electron geometric boundaries within these thrusters, for each set of control parameters. In this work, these functions indicate the electronic confinement. Moreover, from the motion equations, we showed the electromagnetic fields settings which theoretically improve the Hall thruster’s performance. We found that, in these higher performance settings, the electron dynamics is chaotic. In this work, the chaos is determined by Poincaré maps and by Lyapunov exponents.

Neste trabalho,estudamos o índice de Poincaré-Hopf, definido para singularidades isoladas de campos de vetores sobre variedades diferenciáveis. Além disso, investigamos algumas definições de índices de campos de vetores definido sem variedades singulares, como o índice de Schwartz e o índice GSV. Estudaremos estes invariantes no caso específico em que (V; 0) é um germe de uma interseção completa com singularidade isolada na origem / In this work, we study thePoincaré-Hopf index, defined for isolated singularities of vector fields on manifolds. Moreover, we investigate some definitions of indices of vector fields defined on singular varieties, as the Schwartz index and the GSV index. We study these invariants in the case where (V; 0) is a germ of a complete intersection with an isolated singularity at the origin

In this thesis we discuss possible ways to give quantitative measurement for two spaces not being quasi-isometric. From this quantitative point of view, we reconsider the definition of quasi-isometries and propose a notion of ''quasi-isometric distortion growth'' between two metric spaces. We revise our article [32] where an optimal upper-bound for Morse Lemma is given, together with the dual variant which we call Anti-Morse Lemma, and their applications.Next, we focus on lower bounds on quasi-isometric distortion growth for hyperbolic metric spaces. In this class, $L^p$-cohomology spaces provides useful quasi-isometry invariants and Poincaré constants of balls are their quantitative incarnation. We study how Poincaré constants are transported by quasi-isometries. For this, we introduce the notion of a cross-kernel. We calculate Poincaré constants for locally homogeneous metrics of the form $dt^2+\sum_ie^{2\mu_it}dx_i^2$, and give a lower bound on quasi-isometric distortion growth among such spaces.This allows us to give examples of different quasi-isometric distortion growths, including a sublinear one (logarithmic).

La thèse présente une description géométrique d’un germe de famille générique déployant un champ de vecteurs réel analytique avec un foyer faible à l’origine et son complexifié : le feuilletage holomorphe singulier associé. On montre que deux germes de telles familles sont orbitalement analytiquement équivalents si et seulement si les germes de familles de difféomorphismes déployant la complexification de leurs fonctions de retour de Poincaré sont conjuguées par une conjugaison analytique réelle. Le “caractère réel” de la famille correspond à sa Z2-équivariance dans R^4, et cela s’exprime comme l’invariance du plan réel sous le flot du système laquelle, à son tour, entraîne que l’expansion asymptotique de la fonction de Poincaré est réelle quand le paramètre est réel. Le pullback du plan réel après éclatement par la projection monoidal standard intersecte le feuilletage en une bande de Möbius réelle. La technique d’éclatement des singularités permet aussi de donner une réponse à la question de la “réalisation” d’un germe de famille déployant un germe de difféomorphisme avec un point fixe de multiplicateur égal à −1 et de codimension un comme application de semi-monodromie d’une famille générique déployant un foyer faible d’ordre un. Afin d’étudier l’espace des orbites de l’application de Poincaré, nous utilisons le point de vue de Glutsyuk, puisque la dynamique est linéarisable auprès des points singuliers : pour les valeurs réels du paramètre, notre démarche, classique, utilise une méthode géométrique, soit un changement de coordonée (coordonée “déroulante”) dans lequel la dynamique devient beaucoup plus simple. Mais le prix à payer est que la géométrie locale du plan complexe ambiante devient une surface de Riemann, sur laquelle deux notions de translation sont définies. Après avoir pris le quotient par le relèvement de la dynamique nous obtenons l’espace des orbites, ce qui s’avère être l’union de trois tores complexes plus les points singuliers (l’espace résultant est non-Hausdorff). Les translations, le caractère réel de l’application de Poincaré et le fait que cette application est un carré relient les différentes composantes du “module de Glutsyuk”. Cette propriété implique donc le fait qu’une seule composante de l’invariant Glutsyuk est indépendante. / The thesis gives a geometric description for the germ of the singular holomorphic foliation associated with the complexification of a germ of generic analytic family unfolding a real analytic vector field with a weak focus at the origin. We show that two such germs of families are orbitally analytically equivalent if and only if the germs of families of diffeomorphisms unfolding the complexified Poincaré map of the singularities are conjugate by a real analytic conjugacy. The Z2-equivariance of the family of real vector fields in R^4 is called the “real character” of the system. It is expressed by the invariance of the real plane under the flow of the system which, in turn, carries the real asymptotic expansion of the Poincaré map when the parameter is real. After blowing up the singularity, the pullback of the real plane by the standard monoidal map intersects the foliation in a real Möbius strip. The blow up technique allows to “realize” a germ of generic family unfolding a germ of diffeomorphism of codimension one and multiplier −1 at the origin as the semi-monodromy of a generic family unfolding an order one weak focus. In order to study the orbit space of the Poincaré map, we perform a trade-off between geometry and dynamics under the Glutsyuk point of view (where the dynamics is linearizable near the singular points): in the resulting “unwrapping coordinate” the dynamics becomes much simpler, but the price we pay is that the local geometry of the ambient complex plane turns into a much more involved Riemann surface. Over the latter, two notions of translations are defined. After taking the quotient by the lifted dynamics we get the orbit space, which turns out to be the union of three complex tori and the singular points (this space is non- Hausdorff). The Glutsyuk invariant is then defined over annular-like regions on the tori. The translations, the real character and the fact that the Poincaré map is the square of the semi-monodromy map, relate the different components of the Glutsyuk modulus. That property yields only one independent component of the Glutsyuk invariant.

The discourse presented here is aimed at examining the justification of applications of current analysis to real world problems.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:55Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2010-02-26Bitstream added on 2014-06-13T20:16:04Z : No. of bitstreams: 1 cavalcanti_mps_me_sjrp.pdf: 612728 bytes, checksum: 47d18c69b5ae7b113879890007734ec5 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / O obejtivo principal deste trabalho é estudar as obstruções sing que desempenham papel importante nas demonstrações de certos resultados sobre decomposição de grupos que satisfazem certas hipóteses de dualidade apresentados em [16] e [17], em particular, sobre decomposição de um grupo G adapatada a uma família S de subgrupos de G com (G,S) um par de dualidade de Poincaré. Alguns invariantes cohomológicos e certos resultados envolvendo tais invariantes, decomposição de grupos e/ou grupos e pares de dualidade são também apresentados. / The main objective of this work to study the obstructions sing which play an important role in demonstrating certain results on the splittings of groups that satisfy certain hypotheses of duality presented in [16] and [17], in particular, the decomposition of a group G adapted to a family S of subgroups of G with (G,S) a Poincaré duality pair. Some cohomological invariants and certain results involving such invariants, a splittings of groups and/or groups and pairs of duality are also presented.

Made available in DSpace on 2016-12-12T20:15:52Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Rafael Marques.pdf: 14630401 bytes, checksum: 352c48d8c01e0db8ba6b41f5e8317ec8 (MD5) Previous issue date: 2015-03-11 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The main subject developed in this dissertation is the characterization of the dynamics of high-dimensional conservative systems using different statistical approaches. Looking at the conservative system phase-space, we can find chaotic and regular regions that are characterized by a random distribution of points and periodic structures formed by closed orbits, respectively. The nonlinearity parameter has a fundamental hole to the occurrence of chaotic trajectories that can get stuck for a finite time on the vicinity of regular regions. This phenomenon is known as stickiness effect and can be identified using different tools as the spectrum of finite time Lyapunov exponents or the recurrence time statistics (RTS), e.g. Throughout this dissertation, we propose to characterize this effect using such approaches and also apply a new methodology which uses the time series of the spectrum of finite time Lyapunov exponents to separate the dynamics in different regimes of motion. For this purpose, we study two conservative systems that are derived from standard map, a symplectic map extensively used to investigate the transition from regular to chaotic dynamic. The first system consists in a chain of coupled standard maps that originates a 2N-dimensional system, where N is the number of coupled maps. Using this system, from the definition of regimes of motion, we obtained the cumulative distribution of the consecutive time that the trajectory spends in a particular regime, which reproduces with a good precision the results obtained when using the RTS. The second system studied was the Modified Standard Map, which is obtained adding an action variable to the standard map. The coupling with an extra dimension allows the penetration of the regular structures by the trajectories, what was forbidden for the two-dimensional case. The application of the method of separation of regimes in this system enables a more detailed analysis of the stickiness effect, showing that only the trajectories located near the regular structures have Local Lyapunov exponents about zero. Thus, the development of this research contributes to a better understanding of the stickiness effect in high-dimensional conservative systems. / O tema principal desenvolvido nesta dissertação de Mestrado está relacionado com o estudo da dinâmica de sistemas conservativos, utilizando diferentes abordagens estatísticas. Ao analisarmos o espaço de fases de um sistema dinâmico pertencente a esta classe, podemos encontrar regiões caóticas e regulares que são caracterizadas pela distribuição aleatória de pontos e por estruturas periódicas formadas por órbitas fechadas, respectivamente. O parâmetro de não-linearidade tem um papel fundamental na existência de trajetórias caóticas que podem ser aprisionadas por um tempo finito nas proximidades das regiões regulares. Este fenômeno é conhecido como efeito stickiness, e pode ser identificado através da utilização de diferentes abordagens como, por exemplo, o espectro de Lyapunov calculado a tempo finito ou a estatística dos tempos de recorrência de Poincaré (ETR). No decorrer desta dissertação, propomos caracterizar o efeito stickiness utilizando tais abordagens, além de aplicar uma nova metodologia que consiste em analisar séries temporais do espectro de expoentes de Lyapunov afim de definir diferentes regimes de movimento. Para isso, estudamos dois sistemas conservativos multidimensionais derivados do mapa padrão, um mapa simplético muito utilizado para a investigação da transição da dinâmica regular para caótica. O primeiro deles consiste em uma rede de mapas padrão acoplados que dá origem a um sistema de 2N-dimensões, sendo N o número de mapas acoplados. Utilizando este sistema, a partir da definição de regimes de movimento, foi possível determinar a distribuição cumulativa do tempo consecutivo que a trajetória permanece em um determinado regime, sendo que os resultados obtidos por meio da análise desta quantidade podem reproduzir de forma satisfatória aqueles obtidos quando utilizamos a ETR. O segundo sistema estudado foi o Mapa Padrão Modificado (MPM), resultante do acoplamento entre uma variável ação extra e o mapa padrão tradicional. O acoplamento com uma dimensão extra permite que trajetórias penetrem nas regiões de regularidade, o que antes era proibido para o caso bidimensional. A aplicação da técnica de separação de regimes neste sistema permite uma análise mais detalhada do efeito stickiness, mostrando que apenas trajetórias que se encontram em torno das estruturas de regularidade possuem expoentes de Lyapunov Locais com valores próximos a zero. Desta forma, o desenvolvimento desta pesquisa contribui para o melhor entendimento do efeito stickiness em sistemas conservativos de alta dimensionalidade.

Um propulsor do tipo Hall é um mecanismo que utiliza predominantemente uma configuração de campos eletromagnéticos Hall, um campo elétrico perpendicular a um campo magnético, para confinar elétrons e acelerar íons. Os elétrons são confinados dentro de um canal de aceleração onde os campos eletromagnéticos estão presentes. Um gás neutro é lançado dentro desse canal de aceleração de forma que os elétrons confinados podem colidir com os átomos do gás e os ionizar. Os íons gerados dessas colisões, elétrons-gás, são fortemente repelidos para fora do canal de aceleração pelo campo elétrico. A expulsão desses íons é o fator responsável pela propulsão. Nesses propulsores é importante que os elétrons estejam confinados dentro do canal de aceleração e que sejam capazes de produzir o maior número possível de íons. Visando determinar quais são os parâmetros de controle– intensidade dos campos eletromagnéticos– que propiciam uma dinâmica eletrônica com essas características, derivamos, via formalismo Hamiltoniano, as equações de movimento de um elétron e as analisamos. Dessas equações de movimento encontramos funções analíticas que indicam os limites geométricos atingidos pelo elétron dentro do sistema propulsor para cada conjunto de parâmetros de controle. Essas funções constituem o critério de confinamento eletrônico utilizado nesse trabalho. Além disso, a partir das equações de movimento, mostramos quais as configurações de campos eletromagnéticos que teoricamente incrementam o desempenho dos propulsores Hall. Verificamos que nas configurações de maior desempenho a dinâmica eletrônica é caótica. Neste trabalho, o caos é determinado com o auxílio dos mapas de Poincaré e dos expoentes de Lyapunov. / A Hall thruster is a system that utilizes an electromagnetic fields configuration predominantly like Hall, an electric field which lies perpendicular to a magnetic field, to confine electrons and to accelerate ions. The electrons are confined within an acceleration chamber where the electromagnetic fields are present. A neutral gas is released within this acceleration chamber so that the confined electrons can collide with the gas and ionize it. The ions generated from these collisions, the electron-gas, are strongly repelled by the electric field system. The expulsion of these ions generate the propulsion. In these thrusters it is very important that the electrons are confined within the acceleration chamber and are able to produce the largest possible number of ions. In order to determine the control parameters, that is, the electromagnetic fields intensity which provides an electronic dynamic with these characteristics; we derived, via Hamiltonian formalism, the motion equations for an electron and we analyzed them. From these motion equations, we found functions that indicate the electron geometric boundaries within these thrusters, for each set of control parameters. In this work, these functions indicate the electronic confinement. Moreover, from the motion equations, we showed the electromagnetic fields settings which theoretically improve the Hall thruster’s performance. We found that, in these higher performance settings, the electron dynamics is chaotic. In this work, the chaos is determined by Poincaré maps and by Lyapunov exponents.

O free-electron laser (FEL) surgiu como uma nova fonte de radiação eletromagnética. O presente trabalho trata do efeito de carga em um FEL específico: de passagem única; e, sendo que as interações relevantes são entre o feixe e o campo magnético e entre os elétrons (não são estudados os campos auto consistentes do laser). Encontram-se as equações de movimento de cada partícula dentro do poço e comparam-se os resultados analíticos com os resultados obtidos por simulação computacional, para os limites de povoamento dos elétrons em uma situação de equilíbrio. Posteriormente, se analisa o efeito de carga através dos mapas de Poincaré, introduzindo partículas com uma determinada distribuição inicial, dentro do potencial aprisionador. Conclui-se que a introdução de cargas aumenta o número de graus de liberdade do sistema, fazendo com que os mapas de Poincaré não sejam mais uma boa ferramenta para analisar a dinâmica do sistema. Observa-se, também, o fenômeno de quebra de onda no FEL através do efeito do balanço do potencial e de uma distribuição inicial de elétrons diferente da distribuição de equilíbrio. / Free-electron laser (FEL) was first created as a new source of electromagnetic radiation. The present work is about the charge effect on a specific FEL: single pass; and, with interactions between the beam and the magnetic field and between electrons (laser self consistent fields are not studied). Motion equations of each particle inside ponderomotive well are discovered, and then analytic results for the limits of electronic population are compared with simulated ones, in the situation of equilibrium. Afterwards, particles are introduced in the trapping potential, respecting a defined initial distribution, so the charge effect is analyzed through Poincaré maps. In conclusion, the introduction of charges raises the number of freedom degrees of the system. This makes the Poincaré maps not such a good tool to analyze the system dynamics. The wave breaking phenomenon is also observed in FEL through oscillation balance effect and an initial electronic distribution distinct of the equilibrium one.