Nous considérons le mouvement brownien branchant qui est un objet mathématique modélisant l'évolution d'une population. Dans ce système, les individus se déplacent indépendamment selon des mouvement browniens et se divisent indépendamment à taux 1 en deux individus. Nous nous intéressons à la position la plus à droite (resp. à gauche) au temps s, qui est définie comme le maximum (resp. le minimum) des positions des individus vivants à ce temps-là. D'après Lalley et Sellke \cite{Lalley-Sellke1987}, chaque individu apparu dans ce système aura un descendant atteignant la position la plus à droite. Nous étudions ce phénomène quantitativement, en estimant le premier instant où chaque individu vivant à l'instant s a eu un tel descendant. Nous étudions ensuite la marche aléatoire branchante en temps discret qui est un système analogue dans lequel les marches aléatoires sont indexées par un arbre de Galton-Watson. On définit de la même façon la position la plus à droite et celle la plus à gauche à la génération n. Nous considérons la marche partant de la racine qui va à la position la plus à gauche. le chemin reliant la racine à la position la plus à gauche. Nous montrons que cette marche, convenablement renormalisée, converge en loi vers une excursion brownienne normalisée. Dans la dernière partie de cette thèse, nous nous plaçons "dans un cadre avec un critère de sélection". Etant donné un arbre régulier dont chaque individu a N enfants, nous attachons à chaque individu une variable aléatoire. Toutes les variables attachées sont i.i.d., de loi uniforme sur [0,1]. La sélection intervient de la façon suivante: un individu est conservé si le long du chemin le plus court le reliant à la racine, les variables aléatoires attachées sont croissantes; les autres individus sont éliminés du système. Nous étudions le comportement asymptotique de la population dans le processus lorsque N tend vers l'infini.

Ce manuscrit est un document de synthèse et de présentation d'une majorité des travaux que j'ai effectués entre septembre 2008 et septembre 2013 (voir la liste des publications ci-dessous1). Les publications [P1-6] sont issues de la thèse ainsi qu'une grande partie de [P11]. Afin de présenter un document concis et cohérent nous avons choisi de ne pas traiter les publications [P3], [P5], [P9] et [P10]. Que mes co-auteurs m'excusent. Le document est construit autour de deux parties principales : les arbres aléatoires d'une part et les cartes planaires aléatoires d'autre part. Les contributions originales sont signalées par des théorèmes encadrés et sont numérotés 1, 2, 3, . . ..

On introduit le concept d'une variété aléatoire stationnaire avec l'objectif de traiter de façon unifiée les résultats sur les variétés avec un group d'isométries transitif, les variétés avec quotient compact, et les feuilles génériques d'un feuilletage compact. On démontre des inégalités entre la vitesse de fuite, l'entropie du mouvement brownien et la croissance de volume de la variété aléatoire, en généralisant des résultats d'Avez, Kaimanovich, et Ledrappier. Dans la deuxième partie on démontre que la fonction feuille d'un feuilletage compact est semicontinue, en obtenant comme conséquences le théorème de stabilité local de Reeb, une partie du théorème de structure local pour les feuilletages à feuilles compactes d'Epstein, et un théorème de continuité d'Álvarez et Candel.

Nous étudions certains processus de Lévy à valeurs dans les groupes d'isométries respectifs des espace-temps de Minkowski, de De Sitter et de Anti-De-Sitter. Le groupe d'isométries est vu comme le fibré des repères de l'espace-temps et les processus de Lévy considérés se projettent sur le fibré unitaire en un processus markovien relativiste ; c'est-à-dire que les trajectoires dans l'espace-temps sont de genre temps et que le générateur est invariant par les isométries. Dans la première partie nous adaptons pour les diffusions hypoelliptiques générales un résultat de Ben Arous et Gradinaru concernant la singularité de la fonction de Green hypoelliptique. Nous déduisons de cela un critère d'effilement de Wiener local pour les diffusions relativistes dans le groupe de Poincaré, groupe des isométries de l'espace-temps de Minkowski. Dans les deux dernières parties nous nous intéressons au comportement asymptotique du flot stochastique associé à ces processus de Lévy dans les différents groupes d'isométries. Sous une condition d'intégrabilité de la mesure de Lévy nous calculons explicitement les coefficients de Lyapounov des processus dans le groupe de Poincaré. Nous effectuons un travail similaire pour les espace-temps de De Sitter et Anti-De-Sitter en nous limitant au cas des diffusions. Nous explicitons de plus la frontière de Poisson pour la diffusion dans le groupe d'isométries de l'espace-temps de De Sitter.

Les processus markoviens déterministes par morceaux (PMDM) ont été introduits dans la littérature par M.H.A. Davis en tant que classe générale de modèles stochastiques non-diffusifs. Les PMDM sont des processus hybrides caractérisés par des trajectoires déterministes entrecoupées de sauts aléatoires. Dans cette thèse, nous développons des méthodes numériques adaptées aux PMDM en nous basant sur la quantification d'une chaîne de Markov sous-jacente au PMDM. Nous abordons successivement trois problèmes : l'approximation d'espérances de fonctionnelles d'un PMDM, l'approximation des moments et de la distribution d'un temps de sortie et le problème de l'arrêt optimal partiellement observé. Dans cette dernière partie, nous abordons également la question du filtrage d'un PMDM et établissons l'équation de programmation dynamique du problème d'arrêt optimal. Nous prouvons la convergence de toutes nos méthodes (avec le plus souvent des bornes de la vitesse de convergence) et les illustrons par des exemples numériques.

Dans ce travail, nous présentons quelques exemples des effets du bruit sur la solution d'une équation aux dérivées partielles (EDP) dans trois contextes différents. Nous exam- inons d'abord deux équations aux dérivées partielles non linéaires dispersives, l'équation de Schrödinger non linéaire et l'équation de Korteweg - de Vries. Nous allons analyser les effets d'une condition initiale aléatoire sur certaines solutions spéciales, les solitons. Le deuxième cas considéré est une EDP linéaire, l'équation d'onde, avec conditions initiales aléatoires. Nous allons montrer qu'avec des conditions initiales aléatoires particulières c'est possible de réduire considérablement les coûts de stockage des données et de calcul d'un algorithme pour résoudre un problème inverse basé sur les mesures de la solution de cette équation au bord du domaine. Enfin, le troisième exemple considéré est celui de l'équation de transport linéaire avec un terme de dérive singulière. Nous allons montrer que l'ajout d'un terme de bruit multiplicatif interdit l'explosion des solutions, et cela sous des hypothèses très faibles pour lesquelles dans le cas déterministe on peut avoir l'explosion de la solution à temps fini.

L'objectif de la th'ese est de d'evelopper des mod'eles math'ematiques et leurs analyses qui permettront de d'eterminer le potentiel de vie d'un produit en fonction de l''evolution des param'etres environnementaux (par exemple temp'erature ambiante), des grandeurs physiques trahissant l''etat de sant'e des produits (par exemple temps de mise 'a froid) et de proposer une politique de maintenance adapt'ee. A terme, un produit devra ˆetre capable d'indiquer 'a son utilisateur : - son capital de vie r'esiduel, - la probabilit'e de r'eussir une mission donn'ee compte tenu de son 'etat, - la date optimale de maintenance.

Nous nous intéressons au comportement asymptotique de plusieurs urnes de type Polya fortement renforcées et interagissantes. Le principal de notre étude porte sur les renforcements exponentiels ou assimilés ainsi que sur les interactions temporelles, c'est-à-dire lors desquelles les urnes n'interagissent qu'à certains instants aléatoires. Dans ce cas, nous mettons en évidence une transition de phase selon la fréquence des interactions. Si celle ci est supérieure à 1/2, les urnes se fixent toutes sur la même couleur tandis que si elle est inférieure à 1/2, une couleur majoritaire se dégage mais certaines urnes peuvent continuer à tirer une autre couleur aux instants où il n'y a pas interaction. Lorsque le renforcement devient infini, nous pouvons calculer la loi du nombre d'urnes se comportant de cette dernière façon quand le nombre total d'urnes est égal à deux ou est un nombre impair.Quand l'interaction est totale, c'est-à-dire quand toutes les urnes interagissent à tout instant, nous montrons alors qu'un renforcement fort et croissant, mais plus nécessairement exponentiel, suffit à obtenir la fixation de toutes les urnes sur la même couleur.Pour finir, nous discutons brièvement du modèle d'interaction spatiale dans lequel les urnes sont situées sur les sommets d'un graphe et n'interagissent qu'avec leurs voisines. Nous dégageons alors quelques propriétés préliminaires concernant les sous-graphes susceptibles de se fixer sur une couleur avec une probabilité positive. / We study the asymptotic behavior of several Polya-type strongly reinforced interacting urns. The main results deal with exponential or exponential-like reinforcements and temporal interactions, that is when the urns interact only at some random times. In that case, we show the existence of a transition of phase depending on the frequency of interactions. If this frequency is larger than 1/2, all the urns eventually fixate on the same color, while if it is smaller than 1/2, a majority color will be fixed after some finite random time but while some of the urns eventually draw only the majority color, there can be other urns that still draw other colors at times where there is no interactions. When the reinforcement becomes infinite, we can calculate the law of the number of urns of later type when the total number of urns is two or an odd integer greater than two.When the interaction is maximal, that is when all the urns interact at any time, we show that a strong and non-decreasing reinforcement, but not necessarily exponential, suffices to obtain the fixation of all the urns on the same color.At the end, we consider briefly the spatial interaction model in which the urns are located on the vertices of a graph and interact only with their neighbors. In that case, we discuss some properties of sub-graphs that can fixate on one color with positive probability.

Billions of dollars of loss are caused every year by fraudulent credit card transactions. The design of efficient fraud detection algorithms is key for reducing these losses, and more and more algorithms rely on advanced machine learning techniques to assist fraud investigators. The design of fraud detection algorithms is however particularly challenging due to the non-stationary distribution of the data, the highly unbalanced classes distributions and the availability of few transactions labeled by fraud investigators. At the same time public data are scarcely available for confidentiality issues, leaving unanswered many questions about what is the best strategy. In this thesis we aim to provide some answers by focusing on crucial issues such as: i) why and how undersampling is useful in the presence of class imbalance (i.e. frauds are a small percentage of the transactions), ii) how to deal with unbalanced and evolving data streams (non-stationarity due to fraud evolution and change of spending behavior), iii) how to assess performances in a way which is relevant for detection and iv) how to use feedbacks provided by investigators on the fraud alerts generated. Finally, we design and assess a prototype of a Fraud Detection System able to meet real-world working conditions and that is able to integrate investigators’ feedback to generate accurate alerts. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

This thesis is devoted to the study of different stochastic processes which have a common feature: they are Markov-modulated, which means that their evolution rules depend on the state occupied by an underlying Markov process. In the first part of this thesis, we analyse the stationary distribution and various first passage problems for Markov-modulated Brownian motions (MMBMs) as well as for two extensions: MMBMs with jumps and MMBMs modified by a temporary change of regime upon visits to level zero. The second part of this thesis is devoted to the use of Markov-modulated processes in mathematical finance, more precisely for the calculation of different option prices. We use a Fourier transform approach to price different European options (vanilla, exchange and quanto options) in the case where the value of the considered risky assets evolves like the exponential of a Markov-modulated Lévy process. The third part of this thesis is devoted to the study of some stochastic epidemic processes, namely the SIR processes. In our models, a Markov process is used to modulate the behaviour of the individuals who bring the disease. We use different martingale approaches as well as matrix analytic methods to obtain various information about the state of the population when the epidemic is over. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished