On s'intéresse à la localisation des sources normales et pathologiques de l'activité cérébrale électrique chez le nouveau-né et l'enfant prématuré à partir de mesures en Electro-Encéphalo-Graphie (EEG). La spécificité chez le nouveau-né est la présence, dans la couche du crâne, des fontanelles qui ont des propriétés électriques différentes de celles de l'os. Du point de vue mathématique, le problème direct en EEG consiste à calculer le potentiel électrique sur le scalp connaissant la géométrie de la tête, les conductivités de différents tissus de la tête et les caractéristiques des sources de courant localisées à l'intérieur du cerveau. Le problème inverse de sources en EEG vise à identifier les caractéristiques des sources de courant à partir de mesures du potentiel électrique enregistrées sur le scalp. Nous proposons dans cette thèse un modèle mathématique du problème direct chez le nouveau-né capable de prendre en compte la présence et l'ossification des fontanelles. L'analyse théorique et numérique des problèmes direct et inverse sont traitées et une discussion sur l'impact des fontanelles est effectuée. En outre, une étude de la sensibilité des mesures du potentiel par rapport à la variation de la conductivité est réalisée / We investigate the localization of the normal and pathological sources of electric cerebral activity in neonates from measures in Electro-Encephalo-Graphy (EEG). The specificity for neonates is the presence of fontanels in the skull. Mathematically, the forward EEG problem consists in computing the electric potential on scalp for given electrical source located in the brain and different head tissues’ conductivities. The inverse EEG source problem is identifying the characteristics of sources of current from the knowledge of the measured potentials on scalp by EEG. We propose in this thesis a mathematical model for the forward EEG problem in neonates able to take into account the presence and ossification process of fontanels. We perform the theoretical and numerical questions for the forward and inverse problems and discuss the impact of fontanels. We perform a sensitivity analysis of the model with respect to variations of the conductivity

Les charges que subit la voilure d’un avion ne peuvent pas être directement mesurées en vol. Ces charges sont leplus souvent estimées à partir des déformations de la voilure, mesurées par des ponts de jauge. La relation entreles déformations et les charges est typiquement modélisée par un modèle de régression linéaire. L'estimation descharges en vol est ainsi réalisée par une méthode en 2 étapes, connue sous le nom de méthode de Skopinski :- l'étalonnage au sol : des essais sont réalisés pour identifier les paramètres du modèle reliant les déformations,mesurées au sol, aux charges, connues à partir des efforts appliqués sur la structure.- les essais en vol : les charges sont estimées à partir des déformations, mesurées en vol, et des paramètres dumodèle identifiés au sol.Dans cette méthode, les incertitudes existant à chaque étape ne sont pas prises en compte. Ces incertitudescorrespondent aux bruits de mesure mais aussi aux erreurs de modélisation. De plus, le domaine d'application dumodèle est différent du domaine dans lequel ses paramètres sont identifiés. En effet, le modèle est étalonné au soldans des conditions de pression, de température et de chargement différentes des conditions existant en vol. Le butde cette thèse est de développer une méthode permettant de prendre en compte ces différentes sourcesd’incertitude afin, d’une part, de mieux identifier le modèle et, d’autre part, de quantifier l’incertitude qu’il entraînelors de son utilisation. / The loads on the wings of aircraft cannot be directly measured in flight. These loads are most of the time estimatedfrom the strains of the wing, which are measured by strain gages bridges. The relation between the strains and theloads is typically modeled by a linear regression model. The estimation of flight loads is so performed by a methodin 2 steps, known as the Skopinski method :- the ground calibration : tests are performed in order to identify the model parameters linking the strains, measuredon ground, to the loads, known from the loads which are applied on the structure.- the flight tests : the loads are estimated from the strains, measured in flight, and from the model parameters,identified on ground.In this method, the existing uncertainties at each step are not taken into account. These uncertainties correspond tothe measurement noises and the modeling errors. Furthermore, the model is applied in a domain which is differentfrom the domain where its parameters are identified. Indeed, the model is calibrated on ground in pressure, thermaland loading conditions which are different from those existing in flight. The aim of this PhD is to develop a methodtaken into account these different sources of uncertainties to better identify the model on one hand and to quantifythe uncertainty which is caused by its use.

L'évaluation de la teneur en eau est actuellement un objectif important pour la caractérisation des sols et la compréhension des mécanismes liés au transfert hydrique et à l'absorption racinaire. Il existe un lien entre les variations de la teneur en eau et la permittivité des sols. L'objectif de ces travaux est d'exploiter ce couplage pour définir un protocole d'imagerie active micro-onde d'un monolithe. En effet, lorsqu'une onde électromagnétique rencontre un objet ayant des dimensions caractéristiques de l'ordre de sa longueur d'onde, celle-ci après interactions, va induire un courant qui à son tour générera un champ électromagnétique diffracté. La mesure de ce champ va permettre de revenir aux informations relatives à l'objet, en particulier sa permittivité. Nous nous appuierons ici sur un système de mesure hyperfréquence constitué d'une cavité métallique cylindrique. Il a donc fallu mettre au point des outils numériques de modélisation et d'imagerie de permettant de décrire le phénomène de diffraction dans un tel environnement. L'imagerie micro-onde quantitative est un problème inverse non-linéaire mal posé. De plus, les mesures du champ électromagnétique sont perturbées, ce qui va induire de l'instabilité dans le problème inverse. C'est pourquoi il est nécessaire de mettre en place un algorithme itératif avec ajout d'informations a priori (polynômes de Zernike) pour obtenir une solution stabilisée. Des reconstructions obtenues à partir de champ mesurés sur différents fantômes sont discutées. De plus, les informations fournies par l'étude du comportement de l'opérateur de diffraction renseignent sur la quantité de données accessibles et les informations a priori qui peuvent être légitimes de considérer.

La reconstruction des sources de l'activité cérébrale à partir des mesures de potentiel fournies par un électroencéphalographie (EEG) nécessite de résoudre le problème connu sous le nom de « problème inverse de l'EEG ». La solution de ce problème dépend de la solution du « problème direct de l'EEG », qui fournit à partir de sources de courant connues, le potentiel mesuré au niveau des électrodes. Pour des modèles de tête réels, ce problème ne peut être résolut que de manière numérique. En particulier, les équations intégrales de surfaces requièrent uniquement la discrétisation des interfaces entre les différents compartiments constituant le milieu cérébral. Cependant, les formulations intégrales existant actuellement ne prennent pas en comptent l'anisotropie du milieu. Le travail présenté dans cette thèse introduit deux nouvelles formulations intégrales permettant de palier à cette faiblesse. Une formulation indirecte capable de prendre en compte l'anisotropie du cerveau est proposée. Elle est discrétisée à l'aide de fonctions conformes aux propriétés spectrales des opérateurs impliqués. L'effet de cette discrétisation de type mixe lors de la reconstruction des sources cérébrales est aussi étudié. La seconde formulation se concentre sur l'anisotropie due à la matière blanche. Calculer rapidement la solution du système numérique obtenu est aussi très désirable. Le travail est ainsi complémenté d'une preuve de l'applicabilité des stratégies de préconditionnement de type Calderon pour les milieux multicouches. Le théorème proposé est appliqué dans le contexte de la résolution du problème direct de l'EEG. Un préconditionneur de type Calderon est aussi introduit pour l'équation intégrale du champ électrique (EFIE) dans le cas de structures unidimensionnelles. Finalement, des résultats préliminaires sur l'impact d'un solveur rapide direct lors de la résolution rapide du problème direct de l'EEG sont présentés. / Electroencephalography (EEG) is a very useful tool for characterizing epileptic sources. Brain source imaging with EEG necessitates to solve the so-called EEG inverse problem. Its solution depends on the solution of the EEG forward problem that provides from known current sources the potential measured at the electrodes positions. For realistic head shapes, this problem can be solved with different numerical techniques. In particular surface integral equations necessitates to discretize only the interfaces between the brain compartments. However, the existing formulations do not take into account the anisotropy of the media. The work presented in this thesis introduces two new integral formulations to tackle this weakness. An indirect formulation that can handle brain anisotropies is proposed. It is discretized with basis functions conform to the mapping properties of the involved operators. The effect of this mixed discretization on brain source reconstruction is also studied. The second formulation focuses on the white matter fiber anisotropy. Obtaining the solution to the obtained numerical system rapidly is also highly desirable. The work is hence complemented with a proof of the preconditioning effect of Calderon strategies for multilayered media. The proposed theorem is applied in the context of solving the EEG forward problem. A Calderon preconditioner is also introduced for the wire electric field integral equation. Finally, preliminary results on the impact of a fast direct solver in solving the EEG forward problem are presented.

L'utilisation des microondes pour le diagnostic est en plein essor dans le domaine médical. Une des toutes dernières applications concerne la détection d'AVC (Accident vasculaire Cérébral) par imagerie microonde. La Société EMTensor GmbH basée à Vienne en Autriche étudie actuellement un tel système en collaboration avec le LEAT, le LJAD de l’Université Côte d’Azur et le LJLL de Sorbonne Université, pour le diagnostic et le contrôle de l'efficacité de traitement. Le but de ce travail était de modéliser le système de mesure de l'imagerie du cerveau, développé par la société EMTensor GmbH. Il s'agit d'un système d'émission/réception composé de 160 antennes disposées en 5 couronnes de 32 antennes réparties sur une cuve métallique cylindrique de section circulaire semi-ouverte. Un des enjeux majeurs de ce travail consiste en la modélisation et la simulation électromagnétique (EM) du système complet incluant un modèle réaliste de cerveau. La difficulté réside à la fois dans la taille du problème EM à simuler en raison du rapport entre la taille considérable du système et la taille très faible de certaines inhomogénéités à l’intérieur du cerveau, et dans la grande hétérogénéité des permittivités diélectriques présentes à l’intérieur du cerveau. Nous avons décidé d’utiliser un code open source, FreeFem++ pour cette modélisation car il permet de déployer du calcul hautement parallèle et la décomposition de domaines, qui sont bien adaptés à la complexité du problème EM. Dans un premier temps, nous avons comparé les résultats de simulation du système de mesure à vide (sans le cerveau) aux mesures et aux résultats obtenus par le logiciel de simulation EM HFSS basé sur la FEM comme FreeFem++. Nous avons ensuite simulé un modèle de tête tridimensionnel virtuel, à partir de coupe d’image du cerveau (scanner et IRM), en partenariat avec EMTensor en recherchant la position et le type d'AVC (ischémique et hémorragique). L'influence du bruit de mesure, la valeur du gel d'adaptation utilisé, le couplage entre les capteurs et le couplage entre la tête et les capteurs sont également étudiés. Afin de valider ces modèles, deux cas simples ont été étudiés. Un grand tube et un petit tube en plastique sont remplis de liquide d'adaptation symbolisant les caractéristiques diélectriques d'un cerveau afin de retrouver la forme du tube utilisé. Nous avons montré qu’il est possible de développer des algorithmes de reconstruction pour montrer permettant de retrouver la forme des objets par imagerie qualitative. Enfin, avec les partenaires et l'entreprise d'EMTensor nous avons appliqué une méthode quantitative à la détection d’un AVC ischémique par la tomographie microonde. Le problème direct repose sur l’utilisation de FreeFem++, en utilisant des éléments d'ordre supérieur et des préconditionneurs parallèles pour la méthode de décomposition de domaine. Nous avons résolu le problème inverse par un algorithme de minimisation, afin de reconstruire des images tomographiques du cerveau dans des temps compatibles avec les impératifs médicaux définis par les cliniciens. / The use of microwaves for diagnosis is booming in the medical field. One of the latest applications is the detection of strokes by microwave imaging. The company EMTensor GmbH based in Vienna, Austria is currently studying such a system in collaboration with LEAT, the LJAD of the Côte d’Azur University and the LJLL of Sarbonne University, for the diagnosis and control of the treatement efficiency. The purpose of this work is to model the brain imaging measurement system developed by EMTensor GmbH. It is a transmission/ reception system consisting of 160 antennas arranged in 5 rings of 32 antennas distributed on a cylinder metal tank of semi-open circular section. One of the major issues of this work is the modeling and electromagnetic simulation (EM) of the complete system including a realistic brain model. The difficulty lies both in the size of the EM problem to be simulated beacause of the relationship between the considerable size of the system and the the very small size of certain inhomogeneities within the brain, and the great heterogeneity of the dielectric permittivities present inside the brain. We decided to use an open source software, FreeFem++ for this modelling because it is well adapted to high performance computing through domain decomposition methods, which is mandatory for the complexity of the EM problem. First, we compared the simulation results of the vacuum matching measurement system (without the brain) to the measurements and the results obtained by the FEM-based EM HFSS simulation software to those obtained by FreeFem++. We then simulated a virtual threedimensional head model, from brain imaging system cuts (CT scan and MRI), in partnership with EMTensor, looking for the position and type of stroke (ischemic and hemorragic). The influence of the measurement noise, the value of the adaptation gel used, the coupling between the sensors and the coupling between the head and the sensors are also studied. In order to validate these models, two simple cases have been studied. A large tube and a small plastic tube are fielld with adaptation liquid with the dielectric characteristic of a brain to find the shape of the tubes used by qualitative imaging. Finally, with the MEDIMAX project partners and the EMTensor company we applied a quantitative method to the detection of ischemic stroke by the microwave tomography. The direct problem has been solved with the help of FreeFem++, using hight order elements and parallel preconditioners for the domain decomposition method. We solved the inverse problem by a minimization algorithm, in order to reconstruct tomographic images of the brain in times compatible with medical imperatives defined by clinicians.”

La localisation de source d'EEG devient un outil important pour traiter les patients atteints d'épilepsie en localisant les zones épileptogènes avant d'effectuer une chirurgie de résection. Compte tenu d'un modèle de tête direct, la localisation de la source EEG est réalisée en résolvant le problème inverse. Le modèle de tête direct est un modèle biophysique de tête plus ou moins complexe qui décrit la distribution électrique. En considérant la propagation électrique expliquant la distribution de potentiels, outre la numérisation, le modèle nécessite le réglage deux paramètres lesquels sont la géométrie du modèle de tête et la valeur des conductivités de chaque compartiment du modèle de tête. En raison des progrès computationnel et des techniques d'imagerie (comme l'IRM et la CT), il est possible de générer des modèles de tête humaine qui représentent avec une grande précision la géométrie de la tête réelle. Cependant, il existe une incertitude sur les valeurs de conductivité de chaque compartiment et la méthode avec laquelle ils devraient être estimés. Dans la littérature, les valeurs communes pour les conductivités proviennent principalement des expériences in-vitro. Dans ce travail, nous effectuons une estimation de la conductivité in-vivo à partir de données EEG/SEEG/Stimulation électrique de trois patients épileptiques. Ces données sont constituées des images IRM et des CT SCAN pour la construction d'un modèle de tête FEM à cinq compartiments pour chaque patient, ainsi que les enregistrements SEEG et EEG qui ont été acquis en même temps que la stimulation électrique intracérébrale (IES). L'originalité de ce travail réside dans l'évaluation de la performance de l'estimation des conductivités in-vivo par des mesures EEG et / ou SEEG en fonction de différents paramètres spatiaux et de la localisation des IES. Le travail se compose de trois parties principales: la première partie vise à déterminer la méthode d’optimisation sous contraintes la plus robuste parmi les algorithmes courants pour optimiser les paramètres du modèle direct de tête. L'objectif de la deuxième partie est d'analyser la sensibilité des valeurs de conductivité à différentes conditions sur la position de stimulation, le conditionnement du problème avec les positions de mesure et leur nombre et le nombre de compartiments. Alors que dans la partie finale, les conductivités d'un modèle de tête FEM isotrope et homogène à cinq compartiments ont été estimées avec des paramètres précédemment déterminés pour les trois patients. Enfin, l'effet de la fréquence de stimulation sur les conductivités estimées est analysé / EEG source localization is becoming an important tool for treating epileptic patients by localizing the epileptogenic zones before performing a resection surgery. Given a forward head model, EEG source localization is performed by solving the inverse problem. The forward head model is a biophysical model which describes the electrical distribution in the human head. When considering the propagation as the only way for the current distribution to move in the head, the focus is directed primarily on two parameters for having an accurate forward head model. These parameters are: the geometry of the head model and the conductivity value of each compartment of the head model. Due to the recent advances in computers and imaging techniques (like MRI and CT), it is possible to generate human head models that represent with a high accuracy the geometry of the real head. However, there is still an argument about the conductivity values and the method by which it should be estimated. In literature, the common values for conductivities come mostly from in-vitro experiments. In this work we are performing in-vivo conductivity estimation by considering the data of three epileptic patients. This data consists of MR images and CT scans for building a five-compartment FEM head model for each patient along with SEEG and EEG recordings that were acquired in simultaneous with intracerebral electrical stimulation (IES). The originality of this work lies in evaluating the performance of in-vivo conductivity estimation by EEG and/or SEEG measurements in function of different spatial parameters and locations of the IES. The following work consists of three major parts: the first part aims to determine the most robust optimization algorithm among common algorithms for optimizing the forward head model. The objective of the second part is to analyze the sensitivity of the conductivity values given different conditions on stimulation position, measurement positions and number of compartments. While in the final part, the conductivities of an isotropic and homogeneous five-compartment FEM head model were estimated with previously selected parameters for three drug-resistant epileptic patients. Finally the effect of changing the stimulation frequency on the estimated conductivities was determined

La compréhension du fonctionnement du cerveau est un des défis majeurs des neurosciences. Pour appréhender cet organe in vivo de nombreux dispositifs sont développés, parmi eux l'électroencéphalographie (EEG). L'EEG mesure directement et d’une manière non invasive les signaux du cerveau avec une haute résolution temporelle. L’activation électrique d’une région dans le cerveau est modélisée par un dipôle de courant. Le principal objectif de l’EEG est le suivi de l'activité cérébrale pendant une tâche spécifique et la localisation/reconstruction des dipôles sources dans le cerveau. Il est utilisé à la fois dans la pratique et dans les recherches en neuroscience. Le processus de localisation des sources implique la résolution d'un problème inverse qui nécessite des modèles de la solution du problème direct. Le problème direct concerne la prédiction du potentiel électrique, résultant de l'activité cérébrale, sur le scalp à partir d'une répartition des sources données dans le cerveau. La précision de la localisation des sources dépend largement des performances de la solution du problème direct, qui est liée à la précision du modèle de tête, du modèle des sources ainsi que de la méthode de résolution du problème direct. Actuellement en pratique, pour des raisons de simplicité de calcul et de rapidité, les algorithmes EEG utilisent principalement le modèle de tête sphérique multicouche ou la méthode des éléments de frontière pour résoudre le problème direct. L’amélioration de la résolution en EEG nécessite l’utilisation de modèles de têtes plus réalistes qui prennent en considération d’avantages de paramètres tels que l’inhomogénéité et l’anisotropie des tissus. C’est pour ces raisons que la méthode des éléments finis (FEM) est la mieux adaptée et a attiré l’attention de plusieurs chercheurs. Néanmoins, avec la discrétisation de la FEM, les sources peuvent présenter une singularité numérique, ceci impacte négativement la solution du problème direct. Afin de remédier à ce problème des techniques tel que la méthode directe, la méthode de soustraction et la méthode de Saint Venant sont utilisées pour traiter la singularité. Cependant, toutes ces méthodes montrent des instabilités numériques dans le cas de sources situées à proximité des interfaces des tissus du cerveau. Pour y remédier une amélioration a été apportée à la méthode de Saint Venant au cours de cette thèse. Le rapport donne un aperçu sur l’activité cérébrale, un rappel de la FEM, son application pour la résolution du problème direct en EEG, le traitement de la singularité numérique et des instabilités près des interfaces, puis une présentation de la version modifiée de Saint-Venant, proposée et mise en œuvre dans ce travail. Nous validerons les résultats de la méthode modifiée de Saint-Venant dans des modèles de têtes sphériques multicouches et des modèles à géométries réelles. Pour finir, on testera cette méthode dans les outils et logiciels actuellement utilisés dans la pratique pour la localisation des zones activé dans le cerveau et nous montrerons les améliorations qui peuvent être apportées en utilisant notre approche de la méthode de Saint Venant modifiée. / Understanding the brain functions is one of the major challenges of neuroscience. To apprehend this organ in vivo many devices are developed, among them the electroencephalography (EEG). EEG measures directly and noninvasively the brain signals with high time resolution. The electrical activation of a region in the brain is modeled by a current dipole. The main objective of the EEG is monitoring the brain activity during a specific task and the location/reconstruction of the dipole sources within the brain. It is used both in practice and in research in neuroscience. The source’s localization process consists of solving an inverse problem that requires models of the solution of the direct or forward problem. The forward problem is the prediction of the electric potential on the scalp from a distribution sources in the brain. The accuracy of the source’s localization depends largely on the performance of the forward problem’s solution, which is related to the accuracy of the head model, the source model and the related method used to solve the forward problem. Currently in practice for reasons of computational simplicity and speed, EEG codes use mainly the multilayered spherical head model or the boundary element method for solving the forward problem. Improving the EEG’s source localization requires the use of more realistic head models which take into account more parameters such as inhomogeneity and anisotropy of the tissues. For these reasons the finite element method (FEM) is best suited and attracted the attention of many researchers. Nevertheless, with the FEM discretization, the sources may bring a numerical singularity; this negatively impacts the solution of the forward problem. To treat this problem some techniques such as the direct method, the subtraction method and the method of Saint-Venant are developed. However, all these methods show numerical instabilities in the case from sources close to the interfaces of brain tissue. To remedy these instabilities a modification was made on the Saint-Venant’s method. The report provides an overview on brain activity, a reminder of the FEM, its application for solving the forward problem in EEG, processing to treat the numerical singularity of the source and the instability near interfaces using the modified method of the Saint-Venant. We validate the results of the modified Venant’s method in models of multilayered spherical head and models with real geometries. Finally, we will test this approach in tools and software currently used in practice for locating areas activated in the brain and shows the improvements that can be made using the method of modified Saint-Venant.

Ce travail de Thèse traite des problèmes directs et inverses de la magnétoencéphalographie (MEG) et de l'électroencéphalographie (EEG). Trois thématiques y sont abordées. Le problème direct est traité à l'aide des méthodes d'éléments frontière. Une nouvelle formulation, dite formulation symétrique, est proposée. Cette nouvelle formulation est ensuite appliquée au problème de la tomographie par impédance électrique pour lequel deux algorithmes d'estimation de conductivité sont proposés. Le problème inverse est traité dans le cadre des méthodes image. Des techniques de régularisation d'image par processus de diffusion sont transposées au problème inverse pour contraindre la reconstruction de sources distribuées. Plusieurs algorithmes sont proposés dont un calculant la solution inverse de variation totale minimale.

La reconstruction de l'activité électrique du cerveau en magnetoencephalographie (meg) et electroencephalographie (eeg) nécessite de modéliser la propagation des courants dans les milieux conducteurs de la tête. Récemment des modèles surfaciques a géométrie réaliste sont apparus. Ces derniers apportent une amélioration significative de la modélisation par rapport au modèle sphérique mais ne permettent pas de modéliser des inhomogeneites locales et l'anisotropie de certains milieux comme l'os. Ce travail présente la réalisation d'un modèle volumique de tête et la mise en oeuvre de la méthode des éléments finis pour permettre de modéliser les milieux anisotropes. L'influence de l'anisotropie de l'os, ainsi que l'influence des autres conductivités en présence d'un os anisotrope, ont ainsi pu être étudiées dans un modèle réaliste, aussi bien en meg qu'en eeg. La méthode a été validée par comparaison avec les résultats analytiques sur un modèle sphérique. Diverses configurations de calculs ont été testées. L'influence des paramètres du maillage a également été étudiée et la configuration optimale a été déterminée. Nous avons montre que l'anisotropie de l'os introduit une diffusion supplémentaire dans l'eeg et que l'absence de modélisation de l'anisotropie empêche la reconstruction correcte des sources en eeg. Ceci des que l'activité est repartie en plusieurs taches séparées, même avec un algorithme de reconstruction sophistique, permettant de retrouver les discontinuités fortes dans l'activité. Nous avons montre que l'influence de l'anisotropie de l'os est beaucoup plus faible en meg qu'en eeg. En effet, l'activité électrique a été correctement reconstruite dans tous les cas testes sans modélisation de l'anisotropie en meg. Une comparaison avec des données réelles obtenues sur un fantôme est également présentée.

Dans cette thèse on calcule la fonction de Green des équations de Laplace et Helmholtz en deux et trois dimensions dans un demi-espace avec une condition à la limite d'impédance. Pour les calculs on utilise une transformée de Fourier partielle, le principe d'absorption limite, et quelques fonctions spéciales de la physique mathématique. La fonction de Green est après utilisée pour résoudre numériquement un problème de propagation des ondes dans un demi-espace qui est perturbé de manière compacte, avec impédance, en employant des techniques des équations intégrales et la méthode d'éléments de frontière. La connaissance de son champ lointain permet d'énoncer convenablement la condition de radiation dont on a besoin. Des expressions pour le champ proche et lointain de la solution sont données, dont l'existence et l'unicité sont discutées brièvement. Pour chaque cas un problème benchmark est résolu numériquement. On expose étendument le fond physique et mathématique et on inclut aussi la théorie des problèmes de propagation des ondes dans l'espace plein qui est perturbé de manière compacte, avec impédance. Les techniques mathématiques développées ici sont appliquées ensuite au calcul de résonances dans un port maritime. De la même façon, ils sont appliqués au calcul de la fonction de Green pour l'équation de Laplace dans un demi-plan bidimensionnel avec une condition à la limite de dérivée oblique.