Cette thèse est composée de deux parties. La première partie utilise l’analyse stochastique pour fournir des bornes pour la probabilité de surcharge de différents systèmes grâce aux inégalités de concentration. Bien qu’ils soient généraux, nous appliquons ces résultats à des réseaux sans-fil réels tels que le WiMax et le traffic utilisateur multi-classe dans un système OFDMA. Dans la seconde partie, nous trouvons des liens entre la topologie de la couverture dans un réseau de capteur et celle du complexe simplicial correspondant. Cette analogie met en valeur de nouvelles facettes des certains objets mathématiques comme les nombres de Betti, le nombre de k-simplexes, et la caractéristique d’Euler. Puis, nous utilisons conjointement la topologie algébrique et l’analyse stochastique, en considérant que les positions des capteurs sont une réalisation d’un processus ponctuel de Poisson. Nous en déduisons les statistiques du nombre de k-simplexe et de la caractéristique d’Euler, ainsi que des bornes supérieures pour la distribution des nombres de Betti, le tout en d dimen- sions. Nous démontrons aussi que le nombre de k-simplexes converge vers une distribution Gaussienne quand la densité de capteurs tend vers l’infini à une vitesse de convergence connue. Enfin, nous nous limitons au cas unidimensionnel. Dans ce cas, le problème devient équivalent à résoudre une file M/M/1/1 préemptive. Nous obtenons ainsi des résultats analytiques pour des quantités telles que la distribution du nombre de composantes connexes et la probabilité de couverture totale. / This thesis has two main parts. Part I uses stochastic anlysis to provide bounds for the overload probability of different systems thanks to concentration inequalities. Although the results are general, we apply them to real wireless network systems such as WiMax and mutliclass user traffic in an OFDMA system. In part I I, we find more connections between the topology of the coverage of a sensor network and the topology of its corresponding simplicial complex. These connections highlight new aspects of Betti numbers, the number of k-simplices, and Euler characteristic. Then, we use algebraic topology in conjunction with stochastic analysis, after assuming that the positions of the sensors are points of a Point point process. As a consequence we obtain, in d dimensions, the statistics of the number of k-simplices and of Euler characteristic, as well as upper bounds for the distribution of Betti numbers. We also prove that the number of k-simplices tends to a Gaussian distribution as the density of sensors grows, and we specify the convergence rate. Finally, we restrict ourselves to one dimension. In this case, the problem becomes equivalent to solving a M/M/1/1 preemptive queue. We obtain analytical results for quantites such as the distribution of the number of connected components and the probability of complete coverage.

On établit d'abord une approximation forte du processus empirique composé par une combinaison linéaire d'un pont brownien et d'un processus de Wiener.Ensuite le module d'oscillation du processus empirique composé est étudié et en particulier on établit une loi limite sur le comportement des oscillations de ce processus.Une loi fonctionnelle est démontrée pour le processus empirique composé indexé par des intervalles. Enfin on établit une nouvelle démonstration de la loi du logarithme itéré pour l'estimateur non paramétrique de la régression par la méthode des noyaux.

Le mouvement Brownien fractionnaire (mBf) est devenu un processus incontournable dès que l'on veut s'affranchir des propriétés de Markov et d'indépendance des accroissements. Nous verrons les principales propriétés de ce processus, nous insisterons sur certains aspects de son utilisation comme modèle de file fluide. On développe ensuite la construction d'une intégrale anticipative relative au mBf à partir de l'intégrale anticipative relative au mouvement Brownien. Fort de cette idée, nous avons introduit une intégrale anticipative relative à des processus de Poissons filtrés (pPf) à partir d'une intégrale anticipative pour des processus de Poissons marqués, intégrale que nous relions à l'intégrale de Stieltjès. L'étude se poursuit par une formule de Itô pour des fonctionnelles cylindriques et par un résultat sur la continuité de Holdër des processus intégrés. Pour finir, un théorème de convergence en loi d'une suite de pPf vers un processus de Volterra est établi.

Ce mémoire porte sur l'estimation de paramètres dans des modèles de propagation des épidémies dans le temps. On considère le cas d'une population fermée dans laquelle chacun des individus est soit susceptible, soit infecté, soit retiré (S-I-R). Un individu est dit infecté lorsqu'il est atteint d'une maladie infectieuse et qu'il est contagieux. Un individu qui n'a pas encore été infecté est dit susceptible, alors qu'un individu qui a été atteint par la maladie et qui n'est plus infecté est dit retiré (immunisé ou décédé). Un paramètre important dans ce type de modèles est le taux de reproduction R0, qui s'interprète comme le nombre moyen d'individus à qui un individu infecté transmet la maladie, au début de l'épidémie. Plus la valeur de R0 > 1 est grande, plus l'épidémie est importante. On propose d'abord deux modèles stochastiques pour l'évolution d'une épidémie en se basant sur un modèle déterministe classique, le modèle SIR de Kermack et McKendrick (1927). Les modèles tiennent compte du type de données disponibles en pratique. Par la suite, on étudie une nouvelle méthode d'estimation de R0 et on construit un intervalle de confiance asymptotique pour R0. Finalement, on présente des résultats obtenus en appliquant la méthode d'estimation de R0 sur des données simulées à l'aide des modèles proposés. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : modèle SIR de propagation d'une épidémie, taux de reproduction R0, estimation, processus de naissance ct de mort non homogène, processus de Poisson non homogène.

Le but de cette thèse est de développer la théorie de Freidlin-Wentzell pour des modèles des épidémies, afin de prédire le temps mis par les perturbations aléatoires pour éteindre une situation endémique "stable". Tout d'abord nous proposons une nouvelle démonstration plus courte par rapport à celle établit récemment (sous une hypothèse un peu différente, mais satisfaite dans tous les exemples de modèles de maladie infectieuses que nous avons à l'esprit) par Kratz et Pardoux (2017) sur le principe de grandes déviations pour les modèles des épidémies. Ensuite nous établissons un principe de grandes déviations pour des EDS poissoniennes réfléchies au bord d'un ouvert suffisamment régulier. Nous établissons aussi un résultat concernant la zone du bord la plus probable par laquelle le processus solution de l'EDS de Poisson va sortir du domaine d'attraction d'un équilibre stable de sa loi des grands nombres limite. Nous terminons cette thèse par la présentation des méthodes "non standard aux différences finis", appropriés pour approcher numériquement les solutions de nos EDOs ainsi que par la résolution d'un problème de contrôle optimal qui permet d'avoir une bonne approximation du temps d'extinction d'un processus d'infection. / In this thesis, we develop the Freidlin-Wentzell theory for the "natural'' Poissonian random perturbations of the above ODE in Epidemic Dynamics (and similarly for models in Ecology or Population Dynamics), in order to predict the time taken by random perturbations to extinguish a "stable" endemic situation. We start by a shorter proof of a recent result of Kratz and Pardoux (under a somewhat different hypothesis which is satisfied in all the cases we have examined so far), which establishes the large deviations principle for epidemic models. Next, we establish the large deviations principle for reflected Poisonian SDE at the boundary of a sufficiently regular open set. Then, we establish the result for the most likely boundary area by which the process will exit the domain of attraction of a stable equilibrium of an ODE. We conclude this thesis with the presentation of the "non - standard finite difference" methods, suitable to approach numerically the solutions of our ODEs as well as the resolution of an optimal control problem which allows to have a good approximation of the time of extinction of an endemic situation.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2018-2019. / Dans cette thèse, nous présentons une classe très large de processus de dénombrement, incluant le processus de renouvellement et le processus de Poisson non-homogène, à laquelle s’ajouteront des taux d’escompte stochastiques afin de modéliser les coûts agrégés liés aux assurances pour fautes des professionnels de la santé. Ainsi, dans l’introduction, nous présentons certaines caractéristiques importantes du processus des coûts agrégés liés aux assurances pour fautes des professionnels de la santé. Au chapitre 1, nous présentons des concepts théoriques préalables à l’élaboration et l’application du modèle mathématique qui sera proposé au chapitre 4. Au chapitre 2, nous présentons des résultats liés aux processus de Poisson non-homogène composé et de Cox composé, avec escompte. En particulier, nous y présentons des expressions analytiques pour les fonctions génératrices des moments qui seront inversées numériquement en utilisant la transformée de Fourier afin d’obtenir une approximation de la fonction de répartition. Au chapitre 3, nous considérons une classe de processus qui généralise celle étudiée au chapitre 2 : les processus de renouvellement composés, avec effet de tendance et escompte. Pour cette nouvelle classe, nous obtenons des formules récursives pour le calcul des moments ainsi que des expressions analytiques pour la fonction génératrice des moments, fonction qui peut être inversée analytiquement ou numériquement dans plusieurs cas particuliers afin d’obtenir une expression exacte ou une approximation de la fonction de répartition. Au chapitre 4, nous présentons les hypothèses du modèle stochastique qui servira à évaluer le risque du processus des coûts agrégés liés aux assurances pour fautes des professionnels de la santé, ce dernier généralisant la classe de modèles considérée au chapitre 3. Au chapitre 5, nous calibrons le modèle proposé au chapitre 4 sur la base de données des réclamations « fermées » d’une compagnie d’assurance de la Floride. Finalement, nous concluons cette thèse avec un résumé des nouveaux résultats et une discussion sur les avenues de recherches potentielles liées à la présente thèse. / In this thesis, we present a very large class of counting processes including the renewal process and the non-homogeneous Poisson process, to which we add stochastic discount rates, in order to model the aggregate cost related to medical malpractice insurance. In the introduction, we present some important characteristics related to the cost process of medical malpractice insurance. In Chapter 1, we present some theoretical concepts that will be used to build the aggregate cost process related to the medical malpractice insurance model that is proposed in Chapter 4. In Chapter 2, we present some results related to the compound non-homogeneous Poisson and compound Cox processes with a discount factor. In particular, we derive an analytic expression for the moment generating functions that will be inverted numerically using Fourier transforms in order to obtain an approximation of the probability distribution function. In Chapter 3, we study a class of models that generalizes the class of models studied in Chapter 2 : the compound trend renewal process with discount factor. For this new class of processes, we obtain recursive formulas for the moment calculations and an analytic expression for the moment generating function. The moment generating function can be inverted analytically or numerically for many particular cases in order to obtain an exact expression or an approximation of the probability distribution function. In Chapter 4, we present the stochastic model that will be used to measure the risk of an agregate cost related to medical malpractice insurance, which also generalizes the class of models considered in Chapter 3. In Chapter 5, we calibrate the model proposed in Chapter 4 on the closed claims database of Florida. The conclusion follows with a short summary of the results and an outline of some extensions for future research.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

On introduit un nouveau modele de file d'attente: les files Zero-automatiques. Tout d'abord, on considere la discipline de service Premier Arrive Premier Servi. Les files 0-automatiques sont caracterisees par une salle d'attente evoluant suivant un mecanisme de marche aleatoire sur un groupe ou un monoede infini. En considerant les deux cas les plus simples et aussi extremes de files 0-automatiques, nous retrouvons la file simple M/M/1 et la G-file de Gelenbe avec clients positifs et negatifs.<br />Le resultat saillant est que toutes les files 0-automatiques ont une distribution stationnaire a forme produit et un processus de depart de Poisson. C'est un point crucial pour construire les reseaux a forme produit.<br />On considere deux modeles correspondant aux differents routages classiques: reseaux a la Jackson et reseaux a la Kelly. Dans les deux cas, on a montre que la distribution stationnaire est a forme produit et peut etre determinee explicitement. De plus, le processus de depart est Poisson.<br />Enfin, considerons les files 0-automatiques avec discipline de service Dernier Arrive Premier Servi. Dans ce cas, certaines proprietes restent vraies, mais pas toutes. On obtient des resultats interessants en comparant les zones de stabilite d'une meme file 0-automatique sous les discpilines Premier Arrive Premier Servi et Dernier Arrive Premier Servi.

Ce travail est consacré aux problèmes de testd'hypothèses pour les processus de Poisson nonhomogènes.L'objectif principal de ce travail est l'étude decomportement des différents tests dans le cas desmodèles statistiques singuliers. L'évolution de lasingularité de la fonction d'intensité est comme suit :régulière (l'information de Fisher finie), continue maisnon différentiable (singularité de type "cusp"),discontinue (singularité de type saut) et discontinueavec un saut de taille variable. Dans tous les cas ondécrit analytiquement les tests. Dans le cas d'un saut detaille variable, on présente également les propriétésasymptotiques des estimateurs.En particulier, on décrit les statistiques de tests, le choixdes seuils et le comportement des fonctions depuissance sous les alternatives locales. Le problèmeinitial est toujours le test d'une hypothèse simple contreune alternative unilatérale. La méthode principale est lathéorie de la convergence faible dans l'espace desfonctions discontinues. Cette théorie est appliquée àl'étude des processus de rapport de vraisemblancenormalisé dans les modèles singuliers considérés. Laconvergence faible du rapport de vraisemblance sousl'hypothèse et sous les alternatives vers les processuslimites correspondants nous permet de résoudre lesproblèmes mentionnés précédemment.Les résultats asymptotiques sont illustrés par dessimulations numériques contenant la construction destests, le choix des seuils et les fonctions de puissancessous les alternatives locales.

Le développement économique d'une région urbaine est lié à son accessibilité. Le rôle des taxis est reconnu mondialement mais c'est un moyen très coûteux, pas abordable quotidiennement par tous. Pour abaisser les coûts, il faudrait faire partager le service par plusieurs utilisateurs tout en préservant ses qualités essentielles (trajet presque direct, service porte à porte) en accroissant la productivité de ses véhicules devenus "collectifs". Cette idée a été étudiée en 1971, par P.H. Fargier et G. Cohen, considérée toujours comme révolutionnaire et prématurée par un marché strictement réglementé. Avec une révision de la réglementation, cette extension du service des taxis, si on lui donnait l'opportunité de se mettre en place, pourrait permettre aux taxis de prendre leur part du transport public en s'adressant à la majorité de la population et pas seulement à une minorité de privilégiés pouvant assumer le prix d'un transfert individuel.