Cette thèse analyse le spectre d'opérateurs de Schrödinger avec champ magnétique constant dans des ouverts de type diédraux. Pour comprendre l'influence d'une arête courbe sur la première valeur propre de l'opérateur dans la limite semi-classique, il faut connaître le bas du spectre de l'opérateur de Schrödinger magnétique avec champ constant sur un dièdre infini. Par transformation de Fourier ce problème se ramène à l'étude d'une famille d'opérateurs à paramètre sur un secteur infini. On calcule le spectre essentiel de ces opérateurs sur le secteur et on montre que dans certains cas il y a des valeurs propres discrètes sous le spectre essentiel. Par comparaison avec des opérateurs de Sturm-Liouville singuliers sur le demi-axe on obtient des majorations du bas du spectre de l'opérateur sur le dièdre : pour un angle d'ouverture assez petit et certaines orientations du champ magnétique, celui-ci est strictement inférieur aux quantités spectrales issues du cas régulier. Finalement on applique ces résultats à l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique constant et petit paramètre dans des domaines bornés de l'espace possédant des arêtes courbes. Pour déterminer une asymptotique de la première valeur propre dans la limite semi-classique, on construit des quasi-modes près de l'arête à l'aide des fonctions propres du problème à paramètre sur le secteur. En utilisant une partition du domaine selon que l'on soit près de l'arête ou du bord régulier, on obtient le premier terme de l'asymptotique pour diverses orientations du champ magnétique et on montre dans certains cas que la première valeur propre est inférieure aux valeurs propres associées à des ouverts réguliers.

Dans le premier chapitre, nous définissons la notion d’espaces à partitions pondérées qui généralise la structure d’espaces à murs mesurés et qui fournit un cadre géométrique à l’étude des actions isométriques affines sur des espaces de Banach pour les groupes localement compacts à base dénombrable. Dans un premier temps, nous caractérisons les actions isométriques affines propres sur des espaces de Banach en termes d’actions propres par automorphismes sur des espaces à partitions pondérées. Puis, nous nous intéressons aux structures de partitions pondérées naturelles pour les actions de certaines constructions de groupes : somme directe ; produit semi-directe ; produit en couronne et produit libre. Nous établissons ainsi des résultats de stabilité de la propriété PLp par ces constructions. Notamment, nous généralisons un résultat de Cornulier, Stalder et Valette de la façon suivante : le produit en couronne d’un groupe ayant la propriété PLp par un groupe ayant la propriété de Haagerup possède la propriété PLp. Dans le deuxième chapitre, nous nous intéressons aux espaces métriques quasi-médians - une généralisation des espaces hyperboliques à la Gromov et des espaces médians - et à leurs propriétés. Après l’étude de quelques exemples, nous démontrons qu’un espace δ-médian est δ′-médian pour tout δ′ ≥ δ. Ce résultat nous permet par la suite d’établir la stabilité par produit directe et par produit libre d’espaces métriques - notion que nous développons par la même occasion. Le troisième chapitre est consacré à la définition et l’étude d’une distance propre, invariante à gauche et qui engendre la topologie explicite sur les groupes localement compacts, compactement engendrés. Après avoir montré les propriétés précédentes, nous prouvons que cette distance est quasi-isométrique à la distance des mots sur le groupe et que la croissance du volume des boules est contrôlée exponentiellement. / In the first chapter, we define the notion of spaces with labelled partitions which generalizes the structure of spaces with measured walls : it provides a geometric setting to study isometric affine actions on Banach spaces of second countable locally compact groups. First, we characterise isometric affine actions on Banach spaces in terms of proper actions by automorphisms on spaces with labelled partitions. Then, we focus on natural structures of labelled partitions for actions of some group constructions : direct sum ; semi-direct product ; wreath product and free product. We establish stability results for property PLp by these constructions. Especially, we generalize a result of Cornulier, Stalder and Valette in the following way : the wreath product of a group having property PLp by a Haagerup group has property PLp. In the second chapter, we focus on the notion of quasi-median metric spaces - a generalization of both Gromov hyperbolic spaces and median spaces - and its properties. After the study of some examples, we show that a δ-median space is δ′-median for all δ′ ≥ δ. This result gives us a way to establish the stability of the quasi-median property by direct product and by free product of metric spaces - notion that we develop at the same time. The third chapter is devoted to the definition and the study of an explicit proper, left-invariant metric which generates the topology on locally compact, compactly generated groups. Having showed these properties, we prove that this metric is quasi-isometric to the word metric and that the volume growth of the balls is exponentially controlled.

Cette Thèse de sciences de gestion, se propose d’élucider les difficultés que rencontrent les acteurs du système bancaire comorien et apporter des solutions afin de lui garantir sa solidité, stabilité et enfin sa pérennité. Elle est divisée en deux parties. La première porte plus particulièrement sur le cadre national et internationale du système bancaire comorien. La deuxième met en évidence les banques comoriennes confrontées à la transparence financière et aux exigences de supervision prudentielle. Le premier titre de la première partie, tâche à mettre en lumière l’organisation actuelle du système bancaire comorien inspiré du modèle français (chapitre 1) et l’apport du développement récent de la finance islamique (chapitre 2) afin de combler le retard de la banque conventionnelle. La réorganisation de la Banque Centrale des Comores et la mise en place de la banque islamique locale, peuvent contribuer au changement radical du système bancaire comorien. Le deuxième titre, permet au régulateur et prêteur en dernier ressort (Banque Centrale des Comores) de prendre le modèle des normes prudentielles internationales proposées par le Comité de Bâle (Bâle II et III), pour réguler le système bancaire comorien afin de lui garantir sa solidité, stabilité et enfin sa pérennité (chapitre 1). A travers ces recommandations du comité de Bâle, nous avons apporté des solutions en élaborant la Matrice Msahazi Credit Scoring Corporation, destinée aux analyses des données des banques comoriennes contre un risque endogène (Chapitre2). Nous avons aussi élaboré d’autres matrices que les banques comoriennes se serviront pour la notation interne, des risques de contreparties (entreprises et particuliers) afin de lutter contre le risque exogène. La deuxième partie de cette Thèse suggère deux autres solutions : la première est l’exigence de transparence financière des banques comoriennes (Pilier 3 : Bâle2 et 3) afin de lutter contre les malversations financières orchestrées par certains agents (titre I). Le premier chapitre introduit l’objectif de la communication financière de manière générale et la manière dont le comité de Bâle (Bâle 2 et 3) recommande les banques de communiquer leurs informations financières (méthodes d’évaluations des risques et fonds propres). Le deuxième chapitre propose aux banques comoriennes et aux autorités de contrôles, les techniques de notation financière pratiquées au niveau internationale pour distinguer le niveau de solvabilité de la contrepartie. La deuxième solution, nous avons donné à la Banque Centrale des Comores, des techniques pour renforcer la supervision prudentielle (Pilier 2, Bâle 2 et 3), (titre II). Le premier chapitre exige d’une part la direction et le conseil d’administration de la banque de définir les techniques de contrôles, d’indentifications, d’évaluations, gestions des risques et les objectifs de fonds propre à atteindre. D’autre part, l’autorité de contrôle (Banque centrale des Comores) doit passer au crible tous ces outils de contrôle. Au deuxième et dernier chapitre de la recherche, nous avons proposé à la Banque Centrale des Comores des nouvelles méthodes de supervision prudentielle afin de garantir la solidité, stabilité et pérennité du système bancaire. Nous avons l’espoir que l’ensemble de ces suggestions contribueront à préserver la solidité, stabilité et pérennité du système bancaire comorien afin de financer le développement de l’économie comorienne et sortir le pays de la pauvreté. / This thesis on busness management, aims to elucidate the difficulties faced by the stakeholders of the Comorian banking system and to provide solutions to ensure its soundness, stability and sustainability. The thesis is divided into two parts. The first focuses specifically on the national and international context of the Comorian banking system. The second, highlights how the Comorian banks should adapt to the financial transparency and prudential supervision requirements. The first title of the first part, tries toshed light on the current organization of the Comorian banking system based on the French model (Chapter 1) and the contribution of the recent development of Islamic finance (Chapter 2) to close the gap in conventional banking. The reorganization of the Central Bank of the Comoros and the establishment of the local Islamic bank can contribute to a radical change in the Comorian banking system. The second title allows the regulator and lender of last resort (Central Bank of the Comoros ) to take the model of international prudential standards proposed by the Basel Committee (Basel II and III) to regulate the Comorian banking system in order to guarantee its soundness, stability and finally sustainability (Chapter 1). Through these recommendations of the Basel committee, we have provided solutions by developing Msahazi Credit Scoring Matrix Corporation, intended to analyse data of Comorian banks against endogenous risk (Chapter 2). We have also developed matrices other than Comorian banks used for internal rating of the counterparty risk (companies and individuals) to fight against exogenous risk. The second part of this thesis suggests two alternatives: the first is the requirement of financial transparency for Comorian banks (Pillar 3: Basel Conventions 2 and 3) in order to fight against embezzlement orchestrated by certain agents (Title I). The first chapter introduces the objective of financial reporting in general, and how the Basel Committee (Basel 2 and 3) asks banks to disclose their financial information (methods of risk assessments and equity). The second chapter provides credit rating techniques practiced at international level to the Comorian banks and supervisory authorities in order to distinguish the level of creditworthiness of companies and clients concerned. The second alternative we have given to the Central Bank of the Comoros is the techniques for strengthening prudential supervision (Pillar 2, Basel 2 and 3), (Title II) . The first chapter requires both the management and the bank's board of directors to define control techniques, identifications, assessments, risk managements and core capital goals. On the other hand, the supervisory authority (Comoros Central Bank) has to go through all these control tools. In the second and final chapter of the research, we propose to the Central Bank of the Comoros new prudential supervision methods to ensure the soundness, stability and sustainability of the banking system. We hope that all of these suggestions will help to preserve the soundness, stability and durability of the Comorian banking system in order to finance the development of the Comorian economy and lift the country out of poverty.

La vectorisation de poussée par actionneurs fluidiques permet d'accroître la manoeuvrabilité des appareils tout en minimisant l'impact sur la masse de l'engin. La petite dimension de la section d'éjection d'une tuyère rectangulaire a été modifiée et équipée d'un actionneur pneumatique, dans l'objectif d'étudier la vectorisation en lacet du jet. Les performances en vectorisation du jet sont investiguées par l'intermédiaire de mesures par vélocimétrie par images de particules (PIV) ; les résultats d'une modélisation numérique RANS, associés aux visualisations expérimentales, permettent d'établir un scénario des mécanismes responsables de la mise en mouvement de l'écoulement. Une discussion quant aux limitations du dispositif peut alors être apportée. Les résultats d'une campagne de mesure par vélocimétrie laser Doppler dans le sillage de l'actionneur permettent de quantifier l'impact de la vectorisation sur la couche de mélange. Il s'avère de plus, que les modifications apportées à la buse génèrent un réseau de chocs particulier qui, associé à l'acoustique se propageant dans la partie subsonique de l'écoulement, impose au jet un battement transversal bidimensionnel très important. La dynamique de ce battement est étudiée par l'intermédiaire d'une analyse par décomposition orthogonale aux valeurs propres (POD) appliquée à des visualisations strioscopiques. On démontre alors le couplage entre le battement du jet et les ondes acoustiques non linéaires dans la région subsonique. Cette dynamique se révèle très robuste, puisqu'encore présente en régime vectorisé.

Les étoiles naines blanches représentent la fin de l’évolution de 97% des étoiles de notre galaxie, dont notre Soleil. L’étude des propriétés globales de ces étoiles (distribution en température, distribution de masse, fonction de luminosité, etc.) requiert l’élaboration d’ensembles statistiquement complets et bien définis. Bien que plusieurs relevés d’étoiles naines blanches existent dans la littérature, la plupart de ceux-ci souffrent de biais statistiques importants pour ce genre d’analyse. L’échantillon le plus représentatif de la population d’étoiles naines blanches demeure à ce jour celui défini dans un volume complet, restreint à l’environnement immédiat du Soleil, soit à une distance de 20 pc (∼ 65 années-lumière) de celui-ci. Malheureusement, comme les naines blanches sont des étoiles intrinsèquement peu lumineuses, cet échantillon ne contient que ∼ 130 objets, compromettant ainsi toute étude statistique significative. Le but de notre étude est de recenser la population d’étoiles naines blanches dans le voisinage solaire a une distance de 40 pc, soit un volume huit fois plus grand. Nous avons ainsi entrepris de répertorier toutes les étoiles naines blanches à moins de 40 pc du Soleil à partir de SUPERBLINK, un vaste catalogue contenant le mouvement propre et les données photométriques de plus de 2 millions d’étoiles. Notre approche est basée sur la méthode des mouvements propres réduits qui permet d’isoler les étoiles naines blanches des autres populations stellaires. Les distances de toutes les candidates naines blanches sont estimées à l’aide de relations couleur-magnitude théoriques afin d’identifier les objets se situant à moins de 40 pc du Soleil, dans l’hémisphère nord. La confirmation spectroscopique du statut de naine blanche de nos ∼ 1100 candidates a ensuite requis 15 missions d’observations astronomiques sur trois grands télescopes à Kitt Peak en Arizona, ainsi qu’une soixantaine d’heures allouées sur les télescopes de 8 m des observatoires Gemini Nord et Sud. Nous avons ainsi découvert 322 nouvelles étoiles naines blanches de plusieurs types spectraux différents, dont 173 sont à moins de 40 pc, soit une augmentation de 40% du nombre de naines blanches connues à l’intérieur de ce volume. Parmi ces nouvelles naines blanches, 4 se trouvent probablement à moins de 20 pc du Soleil. De plus, nous démontrons que notre technique est très efficace pour identifier les étoiles naines blanches dans la région peuplée du plan de la Galaxie. Nous présentons ensuite une analyse spectroscopique et photométrique détaillée de notre échantillon à l’aide de modèles d’atmosphère afin de déterminer les propriétés physiques de ces étoiles, notamment la température, la gravité de surface et la composition chimique. Notre analyse statistique de ces propriétés, basée sur un échantillon presque trois fois plus grand que celui à 20 pc, révèle que nous avons identifié avec succès les étoiles les plus massives, et donc les moins lumineuses, de cette population qui sont souvent absentes de la plupart des relevés publiés. Nous avons également identifié plusieurs naines blanches très froides, et donc potentiellement très vieilles, qui nous permettent de mieux définir le côté froid de la fonction de luminosité, et éventuellement l’âge du disque de la Galaxie. Finalement, nous avons aussi découvert plusieurs objets d’intérêt astrophysique, dont deux nouvelles étoiles naines blanches variables de type ZZ Ceti, plusieurs naines blanches magnétiques, ainsi que de nombreux systèmes binaires non résolus. / White dwarf stars represent the endpoint of stellar evolution for 97% of stars in the Galaxy. Our own Sun, in particular, will lose its external gas layers in about 5 billion years, and end up as an Earth-sized white dwarf. The study of their global properties (temperature distribution, mass distribution, luminosity function, etc.) requires statistically complete samples, free from any selection bias, and thus the best strategy to adopt when surveying these low-luminosity objects is to restrict the search to a given volume such as the immediate vicinity of the Sun. However, the current census of white dwarfs in the solar neighborhood suffers from significant statistical biases, since the most representative sample of the local white dwarf population, i.e. the stars within a sphere with a radius of 20 pc from the Sun (~ 65 light-years), contains only ~ 130 objects, and is thus dominated by large uncertainties due to small-number statistics. In order to perform a statistical analysis of the local white dwarf population which is more statistically significant, we present a study aimed at obtaining a complete sample of white dwarfs in the solar neighborhood within 40 pc of the Sun, thus increasing the sampled volume by a factor of 8. To identify every white dwarf within 40 pc of the Sun, we rely on SUPERBLINK, a large catalog containing proper motions and photometric information for over 2 million stars. Our approach is based on reduced proper motion diagrams, which are efficient at separating white dwarfs from other stellar populations. The distances for all white dwarf candidates in the northern hemisphere are determined from theoretical color-magnitude relations, in order to identify the stars that lie within 40 pc of the Sun. The spectral confirmation of the resulting ~ 1100 candidates required 15 observing runs with 3 large telescopes at Kitt Peak, Arizona, as well as ~ 60 hours of allocated time on the 8-m telescopes of Gemini North and South Observatories. From these spectroscopic observations, we identified 322 new white dwarf stars, among which 173 lie within 40 pc the Sun, thus increasing the current census of white dwarfs in this volume of space by 40%. Among the new white dwarf identifications, 4 could even belong to the 20 pc sample. We also show that our method is efficient at recovering white dwarfs in the densely populated area of the Galactic plane. We then present a spectroscopic and photometric analysis of our sample with state-of-the-art model atmospheres in order to determine their physical properties, in particular the effective temperature, surface gravity, and chemical composition of each star. Our statistical analysis of these properties --- based on a sample almost three times larger than the 20 pc sample --- reveals that we are successfully uncovering the most massive, and thus less luminous stars of this population, which are often missing in most surveys reported in the literature. We also identify a significant number of very cool, and thus potentially old white dwarfs, which are useful to sample the cool end of the luminosity function used to constrain the age of the Galactic disk. Finally, we report the discovery of several objects of astrophysical interest, including two new ZZ Ceti variable stars, several magnetic white dwarfs, and a few unresolved double degenerate binaries.

Les façons d'aborder l'étude du spectre du laplacien sont multiples. Ce mémoire se concentre sur les partitions spectrales optimales de domaines planaires. Plus précisément, lorsque nous imposons des conditions aux limites de Dirichlet, nous cherchons à trouver la ou les partitions qui réalisent l'infimum (sur l'ensemble des partitions à un certain nombre de composantes) du maximum de la première valeur propre du laplacien sur tous ses sous-domaines. Dans les dernières années, cette question a été activement étudiée par B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof, S. Terracini et leurs collaborateurs, qui ont obtenu plusieurs résultats analytiques et numériques importants. Dans ce mémoire, nous proposons un problème analogue, mais pour des conditions aux limites de Neumann cette fois. Dans ce contexte, nous nous intéressons aux partitions spectrales maximales plutôt que minimales. Nous cherchons alors à vérifier le maximum sur toutes les $k$-partitions possibles du minimum de la première valeur propre non nulle de chacune des composantes. Cette question s'avère plus difficile que sa semblable dans la mesure où plusieurs propriétés des valeurs propres de Dirichlet, telles que la monotonicité par rapport au domaine, ne tiennent plus. Néanmoins, quelques résultats sont obtenus pour des 2-partitions de domaines symétriques et des partitions spécifiques sont trouvées analytiquement pour des domaines rectangulaires. En outre, des propriétés générales des partitions spectrales optimales et des problèmes ouverts sont abordés. / There exist many ways to study the spectrum of the Laplace operator. This master thesis focuses on optimal spectral partitions of planar domains. More specifically, when imposing Dirichlet boundary conditions, we try to find partitions that achieve the infimum (over all the partitions of a given number of components) of the maximum of the first eigenvalue of the Laplacian in all the subdomains. This question has been actively studied in recent years by B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof, S. Terracini and their collaborators, who obtained a number of important analytic and numerical results. In the present thesis we propose a similar problem, but for the Neumann boundary conditions. In this case, we are looking for spectral maximal, rather than minimal, partitions. More precisely, we attempt to find the maximum over all possible $k$-partitions of the minimum of the first non-zero Neumann eigenvalue of each component. This question appears to be more difficult than the one for the Dirichlet conditions, since many properties of Dirichlet eigenvalues, such as domain monotonicity, no longer hold in the Neumann case. Nevertheless, some results are obtained for 2-partitions of symmetric domains, and specific partitions are found analytically for rectangular domains. In addition, some general properties of optimal spectral partitions and open problems are also discussed.

Dans cette thèse, nous étudions les fonctions propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami - ou simplement laplacien - sur une surface fermée, c'est-à-dire une variété riemannienne lisse, compacte et sans bord de dimension 2. Ces fonctions propres satisfont l'équation $\Delta_g \phi_\lambda + \lambda \phi_\lambda = 0$ et les valeurs propres forment une suite infinie. L'ensemble nodal d'une fonction propre du laplacien est celui de ses zéros et est d'intérêt depuis les expériences de plaques vibrantes de Chladni qui remontent au début du 19ème siècle et, plus récemment, dans le contexte de la mécanique quantique. La taille de cet ensemble nodal a été largement étudiée ces dernières années, notamment par Donnelly et Fefferman, Colding et Minicozzi, Hezari et Sogge, Mangoubi ainsi que Sogge et Zelditch. L'étude de la croissance de fonctions propres n'est pas en reste, avec entre autres les récents travaux de Donnelly et Fefferman, Sogge, Toth et Zelditch, pour ne nommer que ceux-là. Notre thèse s'inscrit dans la foulée du travail de Nazarov, Polterovich et Sodin et relie les propriétés de croissance des fonctions propres avec la taille de leur ensemble nodal dans l'asymptotique $\lambda \nearrow \infty$. Pour ce faire, nous considérons d'abord les exposants de croissance, qui mesurent la croissance locale de fonctions propres et qui sont obtenus à partir de la norme uniforme de celles-ci. Nous construisons ensuite la croissance locale moyenne d'une fonction propre en calculant la moyenne sur toute la surface de ces exposants de croissance, définis sur de petits disques de rayon comparable à la longueur d'onde. Nous montrons alors que la taille de l'ensemble nodal est contrôlée par le produit de cette croissance locale moyenne et de la fréquence $\sqrt{\lambda}$. Ce résultat permet une reformulation centrée sur les fonctions propres de la célèbre conjecture de Yau, qui prévoit que la mesure de l'ensemble nodal croît au rythme de la fréquence. Notre travail renforce également l'intuition répandue selon laquelle une fonction propre se comporte comme un polynôme de degré $\sqrt{\lambda}$. Nous généralisons ensuite nos résultats pour des exposants de croissance construits à partir de normes $L^q$. Nous sommes également amenés à étudier les fonctions appartenant au noyau d'opérateurs de Schrödinger avec petit potentiel dans le plan. Pour de telles fonctions, nous obtenons deux résultats qui relient croissance et taille de l'ensemble nodal. / In this thesis, we study eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator - or simply the Laplacian - on a closed surface, i.e. a two dimensional smooth, compact Riemannian manifold without boundary. These functions satisfy $\Delta_g \phi_\lambda + \lambda \phi_\lambda = 0$ and the eigenvalues form an infinite sequence. The nodal set of a Laplace eigenfunction is its zero set and is of interest since the vibrating plates experiments of Chladni at the beginning of the 19th century as well as, more recently, in the context of quantum mechanics. The size of the nodal sets has been largely studied recently, notably by Donnelly and Fefferman, Colding and Minicozzi, Hezari and Sogge, Mangoubi as well as Sogge and Zelditch.The study of eigenfunction growth is also an active topic, with the recent works of Donnelly and Fefferman, Sogge, Toth and Zelditch to name only a few. Our thesis follows the work of Nazarov, Polterovich and Sodin and links growth and nodal sets of eigenfunctions in the asymptotic $\lambda \nearrow \infty$. To do so, we first consider growth exponents, which measure the local growth of eigenfunctions via their uniform norm. The average local growth of an eigenfunction is built by averaging growth exponents defined on small disks of wavelength like radius over the whole surface. We show that the size of the nodal set is controlled by the product of this average local growth with the frequency $\sqrt{\lambda}$. This result allows a function theoretical reformulation of the famous conjecture of Yau, which predicts that the size of the nodal set grows like the frequency. Our work also strengthens the common intuition that an eigenfunction behaves in many ways like a polynomial of degree $\sqrt{\lambda}$. We then generalize our results to growth exponents built upon $L^q$ norms. We are also led to study functions belonging to the kernel of Schrödinger operators with small potential in the plane. For such functions, we obtain two results linking growth and size of nodal sets.

Il est connu qu’une équation différentielle linéaire, x^(k+1)Y' = A(x)Y, au voisinage d’un point singulier irrégulier non-résonant est uniquement déterminée (à isomorphisme analytique près) par : (1) sa forme normale formelle, (2) sa collection de matrices de Stokes. La définition des matrices de Stokes fait appel à un ordre sur les parties réelles des valeurs propres du système, ordre qui peut être perturbé par une rotation en x. Dans ce mémoire, nous avons établi le caractère intrinsèque de cette relation : nous avons donc établi comment la nouvelle collection de matrices de Stokes obtenue après une rotation en x qui change l’ordre des parties réelles des valeurs propres dépend de la collection initiale. Pour ce faire, nous donnons un chapitre de préliminaires généraux sur la forme normale des équations différentielles ordinaires puis un chapitre sur le phénomène de Stokes pour les équations différentielles linéaires. Le troisième chapitre contient nos résultats. / It is well known that a linear differential equation, x^(k+1)Y' = A(x)Y, near a non-resonant irregular singular point is uniquely determined (up to analytic isomorphism) by : (1) its formal normal form, (2) the collection of its Stokes matrices. By definition, the Stokes matrices depend on an order defined on the real parts of the eigenvalues of the system which can be perturbed by a rotation in the x coordinate. In this paper, we have established the intrinsic character of the dependency : we have described how the new Stokes collection is obtained from the first collection after a rotation in x which changes the order on the real parts of the eigenvalues. The first chapter contains preliminaries concerning the normal form of an ordinary differential equation and a chapter on the Stokes phenomenon for linear differential equations. The third chapter contains our results.

Le sujet de cette thèse est l’étude de certaines équations de physique mathématique. Dans un premier temps, on étudie les résonances et la fonction de décalage spectral pour les opérateurs de Dirac semi-classique et de Schrödinger magnétique en dimension 3. On dé?nit les résonances comme des valeurs propres d’un opérateur non-autoadjoint obtenu par distortion complexe. Pour l’opérateur de Dirac, on majore le nombre de résonances par O(h-3) où h ? 0 est le paramètre semi-classique. Dans le cas de Schrödinger magnétique, l’opérateur de référence génère des valeurs propres de multipli- cité in?nie plongées dans le spectre continu. Dans une couronne centrée en une de ces valeurs propres et de rayons (r, 2r), on établit une borne supérieure, quand r ? 0, du nombre de résonances. Une approximation de type Breit-Wigner de la dérivée de la fonction de décalage spectral en fonction des résonances et une formule de trace locale sont obtenues pour ces deux opérateurs. De plus, on prouve une formule asymptotique de Weyl pour la fonction de décalage spectral pour l’opérateur de Dirac avec un potentiel électro-magnétique. Dans un deuxième temps, on s’intéresse à l’opérateur de Dirac semi-classique en dimension 1 avec un potentiel ayant des limites constantes mais pas nécessairement les mêmes à ±8. En utilisant la méthode BKW complexe, on construit des solutions analytiques de l’opérateur de Dirac. On étudie la théorie de la di?usion en fonction des solutions entrantes et sortantes. On obtient une asymptotique semi-classique de la matrice de di?usion dans di?érents cas, notamment dans le cas où le paradoxe de Klein apparaît. Le calcul des valeurs propres et des résonances est aussi traité pour l’opérateur de Dirac semi-classique unidimensionnel. / In this thesis, we consider equations of mathematical physics. First, we study the reso- nances and the spectral shift function for the semi-classical Dirac operator and the magnetic Schrö- dinger operator in three dimensions. We de?ne the resonances as the eigenvalues of a non-selfadjoint operator obtained by complex distortion. For the Dirac operator, we establish an upper bound O(h-3), as the semi-classical parameter h tends to 0, for the number of resonances. In the Schrödinger magne- tic case, the reference operator has in?nitely many eigenvalues of in?nite multiplicity embedded in its continuous spectrum. In a ring centered at one of this eigenvalues with radiuses (r, 2r), we establish an upper bound, as r tends to 0, of the number of the resonances. A Breit-Wigner approximation formula for the derivative of the spectral shift function related to the resonances and a local trace formula are obtained for the considered operators. Moreover, we prove a Weyl-type asymptotic of the SSF for the Dirac operator with an electro-magnetic potential. Secondly, we consider the semi-classical Dirac ope- rator on R with potential having constant limits, not necessarily the same at ±8. Using the complex WKB method, we construct analytic solutions for the Dirac operator. We study the scattering theory in terms of incoming and outgoing solutions. We obtain an asymptotic expansion, with respect to the semi-classical parameter h, of the scattering matrix in di?erent cases, in particular, in the case when the Klein paradox occurs. Quantization conditions for the resonances and for the eigenvalues of the one-dimensional Dirac operator are also obtained.

Dans cette thèse nous étudions différents problèmes de graphes et multigraphes arêtes-coloriés tels que la connexité propre, la coloration forte d'arêtes et les chaînes et cycles hamiltoniens propres. Enfin, nous améliorons l'algorithme connu $O(n^4)$ pour décider du comportement d'un graphe sous opérateur biclique, en étudiant les bicliques dans les graphes sans faux jumeaux. Plus précisément, 1) Nous étudions d'abord le nombre $k$-connexité-propre des graphes, noté $pc_k(G)$, ç'est à dire le nombre minimum de couleurs nécessaires pour colorer les arêtes d'un graphe de façon à ce qu'entre chaque paire de sommets, ils existent $k$ chemins intérieurement sommet-disjoints. Nous prouvons plusieurs bornes supérieures pour $pc_k(G)$. Nous énonçons quelques conjectures pour les graphes généraux et bipartis et nous les prouvons dans le cas où $k = 1$. 2) Nous étudions l'existence de chaînes et de cycles hamiltoniens propres dans les multigraphes arêtes-coloriés. Nous établissons des conditions suffisantes, en fonction de plusieurs paramètres tels que le nombre d'arêtes, le degré arc-en-ciel, la connexité, etc. 3) Nous montrons que l'indice chromatique fort est linéaire au degré maximum pour tout graphe $k$-dégénéré où, $k$ est fixe. En corollaire, notre résultat conduit à une amélioration des constantes et donne également un algorithme plus simple et plus efficace pour cette famille de graphes. De plus, nous considérons les graphes planaires extérieurs. Nous donnons une formule pour trouver l'indice chromatique fort exact pour les graphes bipartis planaires extérieurs. Nous améliorons également la borne supérieure pour les graphes planaires extérieurs généraux. 4) Enfin, nous étudions les bicliques dans les graphes sans faux jumeaux et nous présentons ensuite un algorithme $O(n+m)$ pour reconnaître les graphes convergents et divergents en améliorant l'algorithme $O(n^4)$. / In this thesis, we study different problems in edge-colored graphs and edge-colored multigraphs, such as proper connection, strong edge colorings, and proper hamiltonian paths and cycles. Finally, we improve the known $O(n^4)$ algorithm to decide the behavior of a graph under the biclique operator, by studying bicliques in graphs withoutfalse-twin vertices. In particular: 1) We first study the $k$-proper-connection number of graphs, this is, the minimum number of colors needed to color the edges of a graph such that between any pair of vertices there exist $k$ internally vertex-disjoint paths. We denote this number $pc_k(G)$. We prove several upper bounds for $pc_k(G)$. We state some conjectures for general and bipartite graphs, and we prove all of them for the case $k=1$. 2) Then, we study the existence of proper hamiltonian paths and proper hamiltonian cycles in edge-colored multigraphs. We establish sufficient conditions, depending on several parameters such as the number of edges, the rainbow degree, the connectivity, etc. 3) Later, we showthat the strong chromatic index is linear in the maximum degree for any $k$-degenerate graph where $k$ is fixed. As a corollary, our result leads to considerable improvement of the constants and also gives an easier and more efficient algorithm for this familly of graphs. Next, we consider outerplanar graphs. We give a formula to find exact strong chromatic index for bipartite outerplanar graphs. We also improve the upper bound for general outerplanar graphs from the $3\Delta-3$ bound. 4) Finally, we study bicliques in graphs without false-twin vertices and then we present an $O(n+m)$ algorithm to recognize convergent and divergent graphs improving the $O(n^4)$ known algorithm.