Ce mémoire de thèse est formé de quatre chapitres. Un premier chapitre présente les différentes notions et outils mathématiques utilisés dans le corps de la thèse ainsi qu’une description des résultats principaux que nous avons obtenus. Le second chapitre présente une généralisation d’un résultat obtenu par Rousselet-Chénais en 1990 qui décrit la sensibilité des sous-espaces propres d’opérateurs compacts auto-adjoints. Rousselet-Chénais se sont limités aux sous-espaces propres de dimension 1 et nous avons étendu leur résultat aux dimensions supérieures. Nous avons appliqué nos résultats à la Décomposition par Projection Orthogonale (POD) dans le cas de variation paramétrique, temporelle ou spatiale (Gappy-POD). Le troisième chapitre traite de l’estimation du flot optique avec des énergies quadratiques ou linéaires à l’infini. On montre des résultats mathématiques de convergence de la méthode de Décomposition Progressive Généralisée (PGD) dans le cas des énergies quadratiques. Notre démonstration est basée sur la décomposition de Brézis-Lieb via la convergence presque-partout de la suite gradient PGD. Une étude numérique détaillée est faite sur différents type d’images : sur les équations de transport de scalaire passif, dont le champ de déplacement est solution des équations de Navier-Stokes. Ces équations présentent un défi pour l’estimation du flot optique à cause du faible gradient dans plusieurs régions de l’image. Nous avons appliqué notre méthode aux séquences d’images IRM pour l’estimation du mouvement des organes abdominaux. La PGD a présenté une supériorité à la fois au niveau du temps de calcul (même en 2D) et au niveau de la représentation correcte des mouvements estimés. La diffusion locale des méthodes classiques (Horn & Schunck, par exemple) ralentit leur convergence contrairement à la PGD qui est une méthode plus globale par nature. Le dernier chapitre traite de l’application de la méthode PGD dans le cas d’équations elliptiques variationnelles dont l’énergie présente tous les défis aux méthodes variationnelles classiques : manque de convexité, manque de coercivité et manque du caractère borné de l’énergie. Nous démontrons des résultats de convergence, pour la topologie faible, des suites PGD (lorsqu’elles sont bien définies) vers deux solutions extrémales sur la variété de Nehari. Plusieurs questions mathématiques concernant la PGD restent ouvertes dans ce chapitre. Ces questions font partie de nos perspectives de recherche. / This thesis is formed of four chapters. The first one presents the mathematical notions and tools used in this thesis and gives a description of the main results obtained within. The second chapter presents our generalization of a result obtained by Rousselet-Chenais in 1990 which describes the sensitivity of eigensubspaces for self-adjoint compact operators. Rousselet-Chenais were limited to sensitivity for specific subspaces of dimension 1, we have extended their result to higher dimensions. We applied our results to the Proper Orthogonal Decomposition (POD) in the case of parametric, temporal and spatial variations (Gappy- POD). The third chapter discusses the optical flow estimate with quadratic or linear energies at infinity. Mathematical results of convergence are shown for the method Progressive Generalized Decomposition (PGD) in the case of quadratic energies. Our proof is based on the decomposition of Brézis-lieb via the convergence almost everywhere of the PGD sequence gradients. A detailed numerical study is made on different types of images : on the passive scalar transport equations, whose displacement fields are solutions of the Navier-Stokes equations. These equations present a challenge for optical flow estimates because of the presence of low gradient regions in the image. We applied our method to the MRI image sequences to estimate the movement of the abdominal organs. PGD presented a superiority in both computing time level (even in 2D) and accuracy representation of the estimated motion. The local diffusion of standard methods (Horn Schunck, for example) limits the convergence rate, in contrast to the PGD which is a more global approach by construction. The last chapter deals with the application of PGD method in the case of variational elliptic equations whose energy present all challenges to classical variational methods : lack of convexity, lack of coercivity and lack of boundedness. We prove convergence results for the weak topology, the PGD sequences converge (when they are well defined) to two extremal solutions on the Nehari manifold. Several mathematical questions about PGD remain open in this chapter. These questions are part of our research perspectives.

Les structures soumises à des vibrations sont rencontrées dans diverses applications. Dans denombreux cas, elles sont de nature linéaires, mais quand les amplitudes des oscillations deviennentimportantes, cela provoque un comportement non-linéaire. Par ailleurs, les oscillations desstructures dans un milieu fluide entrainent une interaction fluide-structure. Cette thèse porte surla modélisation du problème fluide-structure non-linéaire. Les cas de non-linéarités étudiés sont lanon-linéarité grands-déplacements caractéristique des structures minces, la non-linéarité localiséegéométrique décrivant une liaison non-linéaire entre deux structures et la non-linéarité acoustiqueparticularité des très hauts niveaux de pression.Pour la modélisation de ces problèmes, il se peut que le calcul en réponse demeure infaisable enraison du temps de calcul. D’une part, on est amené à résoudre des systèmes matriciels (symétriquesou non) de grandes tailles générés par la méthode des éléments finis et d’autre part, cetterésolution demande une évaluation de la force non-linéaire à chaque itération. Afin de diminuer lecoût de calcul, la réduction de modèle par des bases de réductions couplées avec un algorithmeparallélisant l’évaluation de la force non-linéaire, est une alternative à la résolution du systèmecomplet. La construction des bases de réduction doit s’adapter au mieux à chaque problème traité.La base modale du problème linéaire est une première approximation puis elle est enrichie par desinformations qui proviennent à la fois de la nature du couplage et du comportement non-linéaire / Structures subjected to vibrations are found in various applications. In many cases, they behave ina linear way, but when the amplitudes of the oscillations become important, it causes a nonlinearbehavior. Moreover, the oscillations of structures in a fluid field lead to a fluid-structureinteraction. This thesis focuses on the modeling of nonlinear fluid-structure problem. Differentkind of nonlinearities are studied in this work including the large-displacement nonlinearitycharacteristic of thin structures, the localized geometrical nonlinearity describing a nonlinear linkbetween two structures, and the acoustic nonlinearity characteristic of very high levels ofpressure.Modeling such problems are time and memory consuming, that may lead to a limitations of themodel. Therefore, it is necessary to solve a large matrix system (either symmetric or not)generated by the finite element method and the resolution needs an evaluation of the nonlinearforce at each iteration. In order to reduce the computational cost, model reduction with reducedbases combined with parallelization of the nonlinear force evolution is proposed as an alternative tothe resolution of complete systems. Building reduction bases must be adapted to each concernedproblem. The eigenmode of the linear problem is a first approximation and it is enriched withinformation coming from both coupling and nonlinear behaviors.

L’objectif de ce travail consiste à développer la méthode de résolution PGD (Proper Generalized Decomposition), qui est une méthode de réduction de modèle où la solution est recherchée sous forme séparée, à la résolution des équations de Navier-Stokes. Dans un premier temps, cette méthode est appliquée à la résolution d’équations modèles disposant d’une solution analytique. L’ équation de diffusion stationnaire 2D et 3D, l’équation de diffusion instationnaire 2D et les équations de Burgers et Stokes sont traitées. Nous montrons que dans tous ces cas la méthode PGD permet de retrouver les solutions analytiques avec une précision équivalente au modèle standard. Nous mettons également en évidence la supériorité de la PGD par rapport au modèle standard en terme de temps de calcul. En effet, dans tous ces cas, laPGD se montre beaucoup plus rapide que le solveur standard (plusieurs dizaine de fois). La résolution des équations de Navier-Stokes isothermes et anisothermes est ensuite effectuée par une discrétisation volumes finis sur un maillage décalé où le couplage vitesse-pression a été géré à l’aide d’un schéma de prédiction-correction. Dans ce cas une décomposition PGD sur les variables d’espaces uniquement a été choisie. Pour les écoulements incompressibles 2D stationnaire ou instationnaire, de type cavité entrainée et/ou différentiellement chauffé, les résultats obtenus par résolution PGD sont similaires à ceux du solveur standard avec un gain de temps significatif (la PGD est une dizaine de fois plus rapide que le solveur standard). Enfin ce travail introduit une première approche de la résolution des équations de transferts par méthode PGD en formulation spectrale. Sur les différents problèmes traités, à savoir l’équation de diffusion stationnaire, l’équation de Darcy et les équations de Navier-Sokes, la PGD a montré une précision aussi bonne que le solveur standard. Un gain de temps a été observé pour le cas de l’équation de Poisson, par contre, concernant le problème de Darcy ou les équations de Navier-Stokes les performances de la PGD en terme de temps de calcul peuvent encore être améliorées. / Motivated by solving the Navier-Stokes equations, this work presents the implementation and development of a reduced order model, the PGD (Proper Generalized Decomposition).Firstly, this method is applied to solving equations models with an analytical solution. The stationary diffusion equation 2D and 3D, 2D unsteady diffusion equation and Burgers equations and Stokes are processed. We show that in all these cases, the PGD method allows to find analytical solutions with a good accuracy compared to the standard model. We also demonstrate the superiority of the PGD relative to the standard model in terms of computing time. Indeed, in all these cases, PGD was much more rapid than the standard solver (several dozen times). The Navier-Stokes 2D and 3D thermal and isothermal isotherms are then processed by a finite volume discretization on a staggered grid where the velocity-pressure coupling was handled using a prediction-correction scheme. In this case a decomposition of the space variables only was chosen. The results in 2D for Reynolds numbers equal to 100, 1000and 10, 000 are similar to those of the solver standard with a significant time saving (PGD isten times faster than the solver standard). Finally, this work introduces a first approach tosolving the Navier-Stokes equations with a spectral method coupled with the PGD. Different cases were dealed, the stationary diffusion equation, the Darcy equation and the Navier-Sokesequations. PGD showed a good accuracy compared with the standard solver. Saving time was observed for the case of the Poisson equation, on the other hand, about Darcy’s problem or Navier-Stokes’ equations, performance of the PGD in terms of computing time may yet be improved.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Methode der modalen Superposition als Ordnungsreduktionsverfahren in der Mikrosystemtechnik. Typische Anwendungsgebiete sind Inertialsensoren und dabei im Besonderen Drehratensensoren, für die die Simulation von zeitabhängigen Phänomenen von entscheidender Bedeutung ist. Im Rahmen der Weiterentwicklung der Ordnungsreduktion nach der Methode der modalen Superposition ist es gelungen für typische lineare Kräfte eine auf analytischen Gleichungen basierende Beschreibung im reduzierten Raum zu finden. Für die Beschreibung von nichtlinearen Kräften ist im Rahmen dieser Arbeit ein Verfahren entwickelt worden, das es erlaubt, bestehende Modelle im Finite-Elemente-Raum in der modalen Beschreibung zu nutzen. In dieser Arbeit werden die theoretischen Grundlagen zur Berücksichtigung von Einflüssen der Aufbau- und Verbindungstechnik in ordnungsreduzierten Modellen dargestellt. Neben der Einkopplung äußerer Kräfte und der Veränderung der mechanischen Randbedingungen wird auch der Einfluss der Aufbau- und Verbindungstechnik auf die elektrostatischen Eigenschaften untersucht. Die Parametrisierung des Verfahrens der modalen Superposition über Fit- und Interpolationsverfahren erlaubt es, parametrisierte ordnungsreduzierte Modelle für die zeitabhängige Systemsimulation zu generieren. Damit wird die Durchführung von Designoptimierung und die Berücksichtigung von Fertigungs- und Prozessschwankungen in ordnungsreduzierten Modellen auf Systemebene möglich.

One of the challenges for Airbus preparing a new freighter development process was the design of a solid freighter barrier, which separates the courier area from the cargo compartment. The major task of such a barrier is to protect the passengers against all risks caused due to cargo impact by a justifiable design. These risks may result from all kind of survivable incident and accident scenarios. Real aircraft crashes were analyzed to get away from a static book-case and come to a more realistic dynamic crash scenario. A reduced-order simulation model was built up to investigate and simulate the dynamic effects during crash. The simulation model considers the highly nonlinear stiffness and damping characteristics of all critical cargo types and also includes their energy absorption potentials. A series of full scale container crash tests have been performed at accredited car crash facilities. The test campaigns were complemented by numerous component tests to study also general crash principles. The critical simulation parameters were identified and implemented into the simulation model. The subsequent validation process showed a close agreement between simulation and test. The simulation environment has turned out to be a reliable basis to simulate all critical barrier loads with respect to the specific aircraft loading distributions. The essence of this investigation is an adequate understanding of the real crash effects. The proposed dynamic crash approach is more realistic than the static condition and results in an optimized safety barrier wall concept. This dynamic approach provides equivalent safety compared to the existing devices and is accepted by FAA and EASA.:Contents 1 Scope of the Work 1 1.1 State-of-the-Art Barrier Design 1 1.2 General Crash Justification Requirement 2 1.3 Barrier Protection Criterion 3 1.4 Proposed Dynamic Approach for an Optimized Safety Barrier Design 4 2 Simulation 6 2.1 About this Chapter 6 2.2 Simulation environment Matlab/Simulink 7 2.3 Simulation Model 7 2.4 Differential Equation 11 2.5 Stiffness and Damping 14 2.6 Crash Pulses 17 2.7 Dynamic Latch Behavior 21 2.8 Model Implementation 21 2.8.1 Derivation of the Equation Set Up for One Cargo Unit 22 2.9 Simulation Environment 25 3 Full Scale ULD Crash Tests 33 3.1 About this Chapter 33 3.2 Objectives 33 3.3 Test Setup 34 3.3.1 Cargo Configuration 34 3.3.2 Test Configuration 38 3.3.3 Test Equipment 39 4 Analysis of ULD Crash Tests 41 4.1 Test Results 41 4.1.1 Test with frangible Cargo 41 4.1.2 Test with rigid Cargo 45 4.2 Measurement Quality 47 4.3 Load Principles 50 4.4 Load Propagation on Barrier 52 5 Parameter Identification and Results 53 5.1 About this Chapter 53 5.2 Identification Process 53 5.3 Stiffness and Damping Identification 56 5.3.1 Identification of first ULD characteristic 57 5.3.2 Identification of second and aft ULDs 58 5.3.3 Identified Load-De ection Characteristics 59 5.4 Model Validation 60 6 Barrier Protection against Rigid Cargo Impact 63 6.1 About this Chapter 63 6.2 Excitation Pulse 64 6.3 State-of-the-Art Consideration 65 VIII CONTENTS 6.4 Simulation Model based on Energy Method 67 6.5 Reduced Crushable Cargo owing to Rigid Cargo Tests 70 7 Full Scale Latch Rupture Test 74 7.1 About this Chapter 74 7.2 Objectives 75 7.3 Test Setup 76 7.3.1 Tested Cargo 78 7.3.2 Test Measurement 80 8 Analysis of Latch Rupture Test 82 8.1 About this Chapter 82 8.2 Results and Physical Effects 83 8.2.1 Energy Flow Consideration 83 8.2.2 Pulse Consideration 86 8.2.3 Load and Velocity Consideration 86 8.2.4 Summary 91 9 Consolidation of the Two Crash Requirements 92 9.1 Integration of Frangible and Rigid Simulation Model 92 9.2 Linked Simulation Results 92 9.3 Dynamic Impact Loads on Safety Barrier Wall 93 9.4 Minimal Barrier Loads for Safety Barrier Wall Protection 96 9.5 Safety Barrier Wall Design Loads 99 10 Summary and Outlook 101

Mit Hilfe eines variabel einsetzbaren Reaktornetzwerkmodells (RNM) wird in der vorliegenden Dissertation der Prozess der Vergasung von Brennstoffmischungen in der Fließbildsimulation beschrieben. Neben der Untersuchung von gestuften Prozessketten zur Veredelung von kohlenstoffhaltigen Energieträgern ist damit auch die differenzierte Analyse von Effekten während der Vergasung von binären und ternären Brennstoffmischungen möglich. Die Erstellung sowie Validierung des RNM wird anhand des PEFR-Vergasers, des SFGT-Vergasers und des Hybridwandvergaser vorgenommen. Die anschließende Analyse der Vergasung von Brennstoffmischungen zeigt, dass in ihren Eigenschaften sehr heterogene Brenn¬stoffmischungen Synergieeffekte bei der Vergasung hervorrufen. Diese sind in der Literatur schon oft beschrieben worden, eine systematische Analyse wird jedoch erst in der vorliegenden Dissertation durchgeführt.:Nomenklatur XIV 1 Einleitung 1 2 Grundlagen 3 2.1 VERGASUNG 3 2.1.1 Vergasungsreaktionen 3 2.1.2 Vergasungskennzahlen 4 2.1.3 Modellierung der Vergasung 6 2.2 CO-VERGASUNG 8 2.2.1 Brennstoffe 8 2.2.2 Großtechnische Anwendung 8 2.2.3 Experimentelle Arbeiten 10 2.2.4 Modellierung und Simulation 13 2.2.5 Synergieeffekte 13 2.3 STOFFGEFÜHRTE PROZESSKETTE 15 2.4 BRENNSTOFFAUSWAHL UND BRENNSTOFFEIGENSCHAFTEN 16 2.5 ABLEITUNG DER AUFGABENSTELLUNG UND METHODIK 19 3 Entwicklung des Reaktornetzwerkmodells 22 3.1 MODELLIERUNGSUMGEBUNG 23 3.2 THERMODYNAMISCHE ZUSTANDSGLEICHUNG 23 3.3 STOFFDATENBANK 24 3.4 STRÖMUNGSBEDINGUNGEN IM FLUGSTROMREAKTOR 25 3.4.1 Zonenmodell 25 3.4.2 Verweilzeitverhalten 29 3.5 PARTIKELMODELL 31 3.6 MODELLIERUNG DER REAKTORZONEN 35 3.6.1 Nahbrennerzone (Zone I) 35 3.6.2 Jetzone (Zone II) 36 3.6.3 Rezirkulationszone (Zone III) 41 3.6.4 Auslaufzone (Zone IV) 41 3.6.5 Wasserquench (Zone V) 41 3.7 REGELMECHANISMEN 42 3.7.1 Regelung der Aschefließtemperatur 42 3.7.2 Regelung des Kohlenstoffumsatzgrades 46 3.7.3 Regelung der maximalen Reaktoraustrittstemperatur 47 3.7.4 Kombinierte Regelung 47 3.8 LÖSUNGSALGORITHMEN UND KONVERGENZVERHALTEN 48 4 Validierung des Reaktornetzwerkmodells 51 4.1 REAKTORNETZWERKMODELL PEFR-VERGASER 51 4.1.1 Aufbau des PEFR-RNM 51 4.1.2 Validierung des PEFR-RNM 54 4.2 REAKTORNETZWERKMODELL SFGT-VERGASER 61 4.2.1 Aufbau des SFGT-RNM 61 4.2.2 Validierung des SFGT-RNM 62 4.3 REAKTORNETZWERKMODELL HYBRIDWANDVERGASER 74 4.3.1 Beschreibung der Technologie Hybridwandvergaser 74 4.3.2 Aufbau des Hybridwandvergaser-RNM 75 4.3.3 Validierung des Hybridwandvergaser-RNM 78 5 RNM-Analyse der Vergasung von Brennstoffmischungen 85 5.1 VORÜBERLEGUNGEN 85 5.1.1 Festlegung der Randbedingungen 85 5.1.2 Thermische Vergaserleistung 86 5.1.3 Simulationsdauer und Automatisierung 87 5.2 AUSWERTUNG DER RNM-ANALYSE VON BRENNSTOFFMISCHUNGEN 89 5.2.1 RNM-Analyse BSM-BRP (binär) im SFGT-Vergaser 89 5.2.2 RNM-Analyse BSM-BRP (ternär) im SFGT-Vergaser 95 5.2.3 RNM-Analyse BSM-ibi (binär) im SFGT-Vergaser 100 5.2.4 RNM-Analyse BSM-ibi (ternär) im SFGT-Vergaser 102 5.3 DISKUSSION DER ERGEBNISSE AUS RNM-ANALYSE 106 5.4 BSM-DIAGRAMME FÜR VERGASERBETRIEB 109 5.4.1 BSM-Diagramme für SFGT-Vergaser 109 5.4.2 BSM-Diagramme für Hybridwandvergaser 112 6 Zusammenfassung und Ausblick 117 Literatur 121 Abbildungsverzeichnis 133 Tabellenverzeichnis 141 Anhang 145 / Within this document the modeling and simulation of fuel blend gasification is investigated based on a variably applicable Reduced Order Model (ROM) developed for the flowsheet simulation of entrained-flow gasification reactors and processes. On one hand this enables the investigation of cascaded solid fuel conversion technologies and on the other hand effects during gasification of binary and ternary fuel blends are describable. The development as well as the validation of the ROM has been carried out for the SFGT gasifier, the PEFR gasifier and the hybrid-wall gasifier. The subsequent analysis of binary and ternary fuel blend gasification shows that fuel blends with very heterogeneous component properties induce synergy effects which have been reported in various peer review publications.:Nomenklatur XIV 1 Einleitung 1 2 Grundlagen 3 2.1 VERGASUNG 3 2.1.1 Vergasungsreaktionen 3 2.1.2 Vergasungskennzahlen 4 2.1.3 Modellierung der Vergasung 6 2.2 CO-VERGASUNG 8 2.2.1 Brennstoffe 8 2.2.2 Großtechnische Anwendung 8 2.2.3 Experimentelle Arbeiten 10 2.2.4 Modellierung und Simulation 13 2.2.5 Synergieeffekte 13 2.3 STOFFGEFÜHRTE PROZESSKETTE 15 2.4 BRENNSTOFFAUSWAHL UND BRENNSTOFFEIGENSCHAFTEN 16 2.5 ABLEITUNG DER AUFGABENSTELLUNG UND METHODIK 19 3 Entwicklung des Reaktornetzwerkmodells 22 3.1 MODELLIERUNGSUMGEBUNG 23 3.2 THERMODYNAMISCHE ZUSTANDSGLEICHUNG 23 3.3 STOFFDATENBANK 24 3.4 STRÖMUNGSBEDINGUNGEN IM FLUGSTROMREAKTOR 25 3.4.1 Zonenmodell 25 3.4.2 Verweilzeitverhalten 29 3.5 PARTIKELMODELL 31 3.6 MODELLIERUNG DER REAKTORZONEN 35 3.6.1 Nahbrennerzone (Zone I) 35 3.6.2 Jetzone (Zone II) 36 3.6.3 Rezirkulationszone (Zone III) 41 3.6.4 Auslaufzone (Zone IV) 41 3.6.5 Wasserquench (Zone V) 41 3.7 REGELMECHANISMEN 42 3.7.1 Regelung der Aschefließtemperatur 42 3.7.2 Regelung des Kohlenstoffumsatzgrades 46 3.7.3 Regelung der maximalen Reaktoraustrittstemperatur 47 3.7.4 Kombinierte Regelung 47 3.8 LÖSUNGSALGORITHMEN UND KONVERGENZVERHALTEN 48 4 Validierung des Reaktornetzwerkmodells 51 4.1 REAKTORNETZWERKMODELL PEFR-VERGASER 51 4.1.1 Aufbau des PEFR-RNM 51 4.1.2 Validierung des PEFR-RNM 54 4.2 REAKTORNETZWERKMODELL SFGT-VERGASER 61 4.2.1 Aufbau des SFGT-RNM 61 4.2.2 Validierung des SFGT-RNM 62 4.3 REAKTORNETZWERKMODELL HYBRIDWANDVERGASER 74 4.3.1 Beschreibung der Technologie Hybridwandvergaser 74 4.3.2 Aufbau des Hybridwandvergaser-RNM 75 4.3.3 Validierung des Hybridwandvergaser-RNM 78 5 RNM-Analyse der Vergasung von Brennstoffmischungen 85 5.1 VORÜBERLEGUNGEN 85 5.1.1 Festlegung der Randbedingungen 85 5.1.2 Thermische Vergaserleistung 86 5.1.3 Simulationsdauer und Automatisierung 87 5.2 AUSWERTUNG DER RNM-ANALYSE VON BRENNSTOFFMISCHUNGEN 89 5.2.1 RNM-Analyse BSM-BRP (binär) im SFGT-Vergaser 89 5.2.2 RNM-Analyse BSM-BRP (ternär) im SFGT-Vergaser 95 5.2.3 RNM-Analyse BSM-ibi (binär) im SFGT-Vergaser 100 5.2.4 RNM-Analyse BSM-ibi (ternär) im SFGT-Vergaser 102 5.3 DISKUSSION DER ERGEBNISSE AUS RNM-ANALYSE 106 5.4 BSM-DIAGRAMME FÜR VERGASERBETRIEB 109 5.4.1 BSM-Diagramme für SFGT-Vergaser 109 5.4.2 BSM-Diagramme für Hybridwandvergaser 112 6 Zusammenfassung und Ausblick 117 Literatur 121 Abbildungsverzeichnis 133 Tabellenverzeichnis 141 Anhang 145

Being able to accurately approximate outputs of computationally expensive simulations for arbitrary input parameters, also called missing points estimation, is central in many different areas of research and development with applications ranging from uncertainty propagation to control system design to name a few. This project investigates the potential of kernel transformations and nonlinear autoencoders as methods of improving the accuracy of the proper orthogonal decomposition method combined with regression. The techniques are applied on aerodynamic pressure CFD data around airplane wings in both two- and three-dimensional settings. The novel methods show potential in select situations, but cannot at this stage be generally considered superior. Their performances are similar although the procedure of design and training of a nonlinear autoencoder is less straight forward and more time demanding than using kernel transformations. The results demonstrate the regression bottleneck of the proper orthogonal decomposition method, which partially is improved with the new methods. Future studies should focus on adapting the autoencoder training strategy to the architecture and data as well as improving the regression stage of all methods.

<p>Nanosecond spark plasma actuators provide an opportunity to reduce pollutants by promoting efficient combustion in engines or provide targeted, tunable, flow control over vehicles, due to their ability to influence flow and combustion through multiple mechanisms. The plasma actuators can be physically unobtrusive, can be turned on and off and their low duty cycle, large bandwidth, and light weight make them more appealing than other control approaches. One method by which these plasma actuators interact with the environment is by inducing a complex local flow field and in order, to design scalable, high frequency actuators effectively, it is necessary to first understand the flow induced by a single spark discharge. Most experimental analysis on the flow induced by spark discharges has been restricted to qualitative descriptions of the flow field, primarily due to the difficulties associated with measuring such a transient and highly complex flow with sufficient spatiotemporal resolution. Quantitative, experimental characterization of the flow induced by a spark discharge remains lacking. </p><p> </p><p>A spark discharge produces a shock wave and a hot gas kernel with a complex flow field following the shock. In this work, combined experimental and theoretical characterization of the spark induced flow is performed through a series of high spatiotemporal resolution measurements of the density and velocity fields and reduced-order modeling. The work investigates the mechanisms driving the cooling and vorticity generation in spark induced flow and the 3D nature of the flow field. Planar (2D-3C) and volumetric (3D-3C) velocity measurements are taken using stereoscopic particle image velocimetry (SPIV) and tomographic PIV, respectively. Density measurements are taken using background oriented schlieren (BOS) and high speed schlieren imaging is used to capture the shock wave induced by the spark.</p><p> </p><p>The work shows that spark plasma discharges induce vortex rings whose vorticity is likely generated due to baroclinic torque arising from the non-uniform strength of the induced shock wave. The hot gas kernel cools in two stages: an initially fast cooling regime, followed by a slower cooling process. Reduced order analytical models are developed to describe the cooling observed in the fast regime and the role of the vortex rings in the entrainment of cold ambient gas and the cooling of the hot gas kernel. The results show that the vortex rings entrain ambient gas and drive cooling in the fast, convective regime, cooling approximately 50% of the hot gas within the first millisecond of the induced flow. An increase in the electrical energy deposited in the spark gap increases the shock strength and curvature and increases the vortex ring strength, thereby increasing the cooling rate and expansion of the hot gas kernel. The volumetric velocity measurements capture one of the two induced vortex rings and provide a framework for the improvements needed in future tomographic PIV experiments of the spark induced flow field, necessary in assessing the 3D nature of the induced vortex rings.</p><p> </p><p> The results of this work provide the first set of quantitative, experimental data on flow induced by nanosecond spark discharges that can be used for validation of computational fluid dynamics (CFD) simulations. The results demonstrate that spark plasmas induce vortex ring-driven mixing flows and the results on mixing and cooling of the hot gas kernel can be extended to any passive scalars present in the flow field as well as inform pulsation frequencies and actuator designs for flow and combustion control. The results from the reduced order modeling can inform future studies and applications of nanosecond spark discharges and can be extended to a variety of other types of plasma discharges like laser sparks, long duration sparks and surface discharges with similar induced flow fields.<br></p>

Le but de ce travail est d'introduire un cadre d'approximation, la Reference Points Method, afin de réduire la complexité de calcul des opérations algébriques lorsqu'elles concernent des approximations à variables séparées dans le cadre de la Proper Generalized Decomposition.La PGD a été introduite dans [1] dans le cadre de la méthode LaTIn pour résoudre efficacement des équations différentielles non linéaires et dépendants du temps en mécanique des structures. La technique consiste à chercher la solution d'un problème dans une base d'ordre réduit (ROB) qui est automatiquement et à la volée générée par la méthode LaTIn. La méthode LaTIn est une stratégie itérative qui génère les approximations de la solution sur l'ensemble du domaine espace-temps-paramètres par enrichissements successifs. Lors d'une itération particulière, la ROB, qui a déjà été formée, est d'abord utilisée pour calculer un nouveau modèle réduit (ROM) et, donc, pour trouver une nouvelle approximation de la solution. Si la qualité de cette approximation ne suffit pas, la ROB est enrichie avec la génération d'un nouveau produit de fonctions PGD en utilisant un algorithme de type 'greedy'.Les techniques de réduction de modèle sont particulièrement efficaces lorsque le ROM a besoin d'être construit qu'une seule fois. Ce n'est pas le cas pour les techniques de réduction de modèle quand elles concernent des problèmes non linéaires. En effet, dans un tel cas, les opérateurs qui sont impliqués dans la construction du ROM varient au cours du processus itératif et des calculs préliminaires ne peuvent pas être effectués à l'avance pour accélérer le processus 'online'.Par conséquent, la construction du ROM est un élément coûteux de la stratégie de calcul en terme de temps de calcul. Il en découle la nécessité d'évaluer, à chaque itération, la fonction non linéaire de grande dimension (et éventuellement sa jacobienne) et ensuite sa projection pour obtenir les opérateurs réduits. Cela représente un point de blocage des stratégies de réduction de modèle dans le cadre non linéaire. Le présent travail a comme but une réduction ultérieure du coût de calcul, grâce à l'introduction d'un nouveau cadre de rapprochement dédiée à la stratégie de calcul LaTIn-PGD. Il est basé sur la notion de temps, de points et de paramètres de référence et permet de définir une version compressée des données. Comparé à d'autres techniques similaires [3,4] cela ne se veut pas une technique d'interpolation, mais un cadre algébrique qui permet de donner une première approximation, peu coûteuse, de toutes les quantités sous une forme à variable séparés par des formules explicites. L'espace de données compressées présente des propriétés intéressantes qui traitent les opérations algébriques élémentaires. Le RPM est introduit dans le solveur LaTIn-PGD non linéaire pour calculer certaines opérations répétitives. Ces opérations sont liées à la résolution du problème du temps / paramètre qui implique la mise à jour de l'opérateur tangent et la projection de ce dernier sur la base réduite. La RPM permet de simplifier et de réduire le nombre d'opérations nécessaires.[1] Ladevèze P., Sur une famille d’algorithmes en mécanique des structures, Comptes Rendus Académie des Sciences. Paris. Ser. II 300, pp.41-44, 1985.[2] Chinesta, F., Ladevèze, P., and Cueto, E. A short review on model order reduction based on proper generalized decomposition. Archives of Computational Methods in Engineering, 18, pp.395-404, 2011.[3] Barrault M., Maday Y., Nguyen N., Patera A., An ’empirical interpolation’ method: application to efficient reduced-basis discretization of partial differential equations, Comptes Rendus Académie des Sciences. Paris. Ser. I, 339, pp. 667-672, 2004.[4] Chaturentabut S., Sorensen D., Nonlinear model reduction via discrete empirical interpolation, Society for Industrial and Applied Mathematics 32(5), pp.2737-2764, 2010. / The aim of this work is to introduce an approximation framework, called Reference Points Method (RPM), in order to decrease the computational complexity of algebraic operations when dealing with separated variable approximations in the Proper Generalized Decomposition (PGD) framework.The PGD has been introduced in [1] in the context of the LATIN method to solve efficiently time dependent and/or parametrized nonlinear partial differential equations in structural mechanics (see, e.g., the review [2] for recent applications). Roughly, the PGD technique consists in seeking the solution of a problem in a relevant Reduced-Order Basis (ROB) which is generated automatically and on-the-fly by the LATIN method. This latter is an iterative strategy which generates the approximations of the solution over the entire time- space-parameter domain by successive enrichments. At a particular iteration, the ROB, which has been already formed, is at first used to compute a projected Reduced-Order Model (ROM) and find a new approximation of the solution. If the quality of this approximation is not sufficient, the ROB is enriched by determining a new functional product using a greedy algorithm.However, model reduction techniques are particularly efficient when the ROM needs one construction only. This is not the case for the model reduction techniques when they are addressed to nonlinear problems. Indeed, in such a case, the operators which are involved in the construction of the ROM change all along the iterative process and no preliminary computations can be performed in advance to speed up the online process. Hence, the construction of the ROM is an expensive part of the calculation strategy in terms of CPU. It ensues from the need to evaluate the high-dimensional nonlinear function (and eventually its Jacobian) and then to project it to get the low-dimensional operators at each computational step of a solution algorithm. This amounts to being the bottleneck of nonlinear model reduction strategies.The present work is then focused on a further reduction of the computational cost, thanks to the introduction of a new approximation framework dedicated to PGD-based nonlinear solver. It is based on the concept of reference times, points and parameters and allows to define a compressed version of the data. Compared to other similar techniques [3,4] this is not an interpolation technique but an algebraic framework allowing to give an inexpensive first approximation of all quantities in a separated variable form by explicit formulas. The space of compressed data shows interesting properties dealing the elementary algebraic operations. The RPM is introduced in the PGD-based nonlinear solver to compute some repetitive operations. These operations are related to the resolution of the time/parameter problem that involves the update of the tangent operator (for nonlinear problems) and the projection of this latter on the Reduced Order Basis. For that the RPM allows to simplify and reduce the number of operations needed.[1] Ladevèze P., Sur une famille d’algorithmes en mécanique des structures, Comptes Rendus Académie des Sciences. Paris. Ser. II 300, pp.41-44, 1985.[2] Chinesta, F., Ladevèze, P., and Cueto, E. A short review on model order reduction based on proper generalized decomposition. Archives of Computational Methods in Engineering, 18, pp.395-404, 2011.[3] Barrault M., Maday Y., Nguyen N., Patera A., An ’empirical interpolation’ method: application to efficient reduced-basis discretization of partial differential equations, Comptes Rendus Académie des Sciences. Paris. Ser. I, 339, pp. 667-672, 2004.[4] Chaturentabut S., Sorensen D., Nonlinear model reduction via discrete empirical interpolation, Society for Industrial and Applied Mathematics 32(5), pp.2737-2764, 2010.

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