In this PhD thesis we study some weighted regular Sturm-Liouville problems in which the weight function takes on both positive and negative signs in an appropriate interval [a,b]. With such  problems there is the possible existence of non-real eigenvalues, unlike in the definite case (i.e. left or right definite) in which only real eigenvalues exist. This PhD thesis consists of five papers (papers A-E) and an introduction to this area, which puts these papers into a more general frame. In paper A we give some precise estimates on the Richardson number for the two turning point case, thereby complementing the work of Jabon and Atkinson from 1984 in an essential way. We also give a corrected version of their result since there seems to be a typographical error in their paper. In paper B we show that the interlacing property, which holds in the one turning point case, does not hold in the two turning point case. The paper consists of a detailed presentation of numerical results of the case in which the weight function is allowed to change its sign twice in the interval (-1, 2). We also present some theoretical results which support the numerical results. Moreover, a number of new open questions are raised. We also observe that the real and imaginary parts of a non-real eigenfunction either have the same number of zeros in the interval (-1,2) or the numbers of zeros differ by two. In paper C, we obtain bounds on real and imaginary parts of non-real eigenvalues of a non-definite Sturm-Liouville problem, with Dirichlet boundary conditions, thus complementing the results obtained in a paper byBehrndt et.al. from 2013 in an essential way. In paper D we obtain a lower bound on the eigenvalue of the smallest modulus associated with a Dirichlet problem in the general case of a regular Sturm-Liouville problem. In paper E we expand upon the basic oscillation theory for general boundary problems of the form   -y''+q(x)y=λw(x)y,  on  I = [a,b], where  q(x) and w(x) are real-valued continuous functions on [a,b] and y is required to satisfy a pair of homogeneous separated boundary conditions at the end-points. Already in 1918 Richardson proved that, in the case of the Dirichlet problem,  if w(x) changes its sign exactly once and the boundary problem is  non-definite, then the zeros of the real and imaginary parts of any non-real eigenfunction interlace. We show that, unfortunately, this result is false in the case of two turning points, thus removing any hope for a general separation theorem for the zeros of the non-real eigenfunctions. Furthermore, we show that when a non-real eigenfunction vanishes inside I, then the absolute value of the difference between the total number of zeros of its real and imaginary parts is exactly 2.

Cette thèse comporte deux chapitres principaux. Deux problèmes indépendants de Modélisation Mathématique y sont étudiés. Au chapitre 1, on étudiera le problème de l’existence et de l’unicité des distributions quasi-stationnaires (DQS) pour un mouvement Brownien avec dérive, tué en zéro dans le cas où la frontière d’entrée est l’infini et la frontière de sortie est zéro selon la classification de Feller.Ce travail est lié à l’article pionnier dans ce sujet  par Cattiaux, Collet, Lambert, Martínez, Méléard, San Martín; où certaines conditions suffisantes ont été établies pour prouver l’existence et l’unicité de DQS dans le contexte d’une famille de Modèles de Dynamique des Populations.Dans ce chapitre, nous généralisons les théorèmes les plus importants de ce travail pionnier, la partie technique est basée dans la théorie de Sturm-Liouville sur la demi-droite positive. Au chapitre 2, on étudiera le problème d’obtenir des bornes inférieures optimales sur l’Hamiltonien du Modèle d’Ising avec interactions à longue portée, l’interaction entre deux spins situés à distance d décroissant comme d^(2-a), où a ϵ[0,1).Ce travail est lié à l’article publié en 2005 par Cassandro, Ferrari, Merola, Presutti où les bornes inférieures optimales sont obtenues dans le cas où a est dans [0,(log3/log2)-1) en termes de structures hiérarchiques appelées triangles et contours.Les principaux théorèmes obtenus dans cette thèse peuvent être résumés de la façon suivante:1. Il n’existe pas de borne inférieure optimale pour l’Hamiltonien en termes de triangles pour a dans ϵ[log2/log3,1). 2. Il existe une borne optimale pour l’Hamiltonien en termes de contours pour a dans a ϵ [0,1). / This thesis contains two main Chapters, where we study two independent problems of Mathematical Modelling : In Chapter 1, we study the existence and uniqueness of Quasi Stationary Distributions (QSD) for a drifted Browian Motion killed at zero, when $+infty$ is an entrance Boundary and zero is an exit Boundary according to Feller's classification. The work is related to the previous paper published in 2009 by { Cattiaux, P., Collet, P., Lambert, A., Martínez, S., Méléard, S., San Martín, where some sufficient conditions were provided to prove the existence and uniqueness of QSD in the context of a family of Population Dynamic Models. This work generalizes the most important theorems of this work, since no extra conditions are imposed to get the existence, uniqueness of QSD and the existence of a Yaglom limit. The technical part is based on the Sturm Liouville theory on the half line. In Chapter 2, we study the problem of getting quasi additive bounds on the Hamiltonian for the Long Range Ising Model when the interaction term decays according to d^{2-a}, a ϵ[0,1). This work is based on the previous paper written by Cassandro, Ferrari, Merola, Presutti, where quasi-additive bounds for the Hamiltonian were obtained for a in [0,(log3/log2)-1) in terms of hierarchical structures called triangles and Contours. The main theorems of this work can be summarized as follows: 1 There does not exist a quasi additive bound for the Hamiltonian in terms of triangles when a ϵ [0,(log3/log2)-1), 2. There exists a quasi additive bound for the Hamiltonian in terms of Contours for a in [0,1).

In this paper we investigate (d + 1)-point D-optimal designs for d-th degree polynomial regression with weight function w(x) > 0 on the interval [a, b]. Suppose that w'(x)/w(x) is a rational function and the information of whether the optimal support contains the boundary points a and b is available. Then the problem of constructing (d + 1)-point D-optimal designs can be transformed into a differential equation problem leading us to a certain matrix with k auxiliary unknown constants. We characterize the weight functions corresponding to the cases when k= 0 and k= 1. Then, we can solve (d + 1)-point D-optimal designs directly from differential equation (k = 0) or via eigenvalue problems (k = 1). The numerical results show us an interesting relationship between optimal designs and ordered eigenvalues.

In this thesis, a general pseudospectral formulation for a class of Sturm-Liouville eigenvalue problems is consructed. It is shown that almost all, regular or singular, Sturm-Liouville eigenvalue problems in the Schr&ouml / dinger form may be transformed into a more tractable form. This tractable form will be called here a weighted equation of hypergeometric type with a perturbation (WEHTP) since the non-weighted and unperturbed part of it is known as the equation of hypergeometric type (EHT). It is well known that the EHT has polynomial solutions which form a basis for the Hilbert space of square integrable functions. Pseudospectral methods based on this natural expansion basis are constructed to approximate the eigenvalues of WEHTP, and hence the energy eigenvalues of the Schr&ouml / dinger equation. Exemplary computations are performed to support the convergence numerically.

No description available.

The thermosphere-ionosphere regions are mainly controlled by the solar, but also by geomagnetic activity. In this case study, the Earth’s ionospheric response to the 25-26 August 2018 intense geomagnetic storm is investigated using the International GNSS System (IGS) Total Electron Content (TEC) observations. During this major storm, the minimum disturbance storm time (Dst) index reached -174 nT. We use observations and model simulations to analyse the ionospheric response during the initial phase and the main phase of the magnetic storm. A significant difference between storm day and quiet day TEC is observed. The O/N2 ratio observed from the GUVI instrument onboard the TIMED satellite is used to analyse the storm effect. The result shows a clear depletion of the O/N2 ratio in the high latitude region, and an enhancement in the low latitude region during the main phase of the storm. Furthermore, the Coupled Thermosphere Ionosphere Plasmasphere electrodynamics (CTIPe) model simulations were used. The results suggest that the CTIPe model can capture the ionospheric variations during storms. / Die Regionen der Ionosphären und Thermosphäre werden hauptsächlich von der Sonne sowie auch von geomagnetische Aktivität beeinflusst. In dieser Fallstudie wurde die ionosphärische Reaktion der Erde auf den starken geomagnetischen Sturm vom 25./26. August 2018 unter Verwendung der Gesamtelektronengehaltsdaten (Total Electron Content, TEC) vom Internationalen GNSS Service untersucht. Während dieses großen Sturms wurde ein ”Disturbance Storm Time Index” Dst von -174 nT erreicht. Beobachtungen und Modellsimulationen wurden verwendet, um die ionosphärische Reaktion während der Anfangsphase und der Hauptphase des magnetischen Sturms zu untersuchen. Ein signifikanter Unterschied zwischen TEC während eines Sturmtages und eines ruhigen Tages wurde beobachtet. Das vom GUVI-Instrument an Bord des TIMED-Satelliten beobachtete O/N2 -Verhältnis wurde verwendet, um den Sturmeffekt weiter zu untersuchen. Das Ergebnis zeigt eine deutliche Abnahme/Zunahme des O/N2 Verhältnis in hohen/niedrigen Breiten während der Hauptphase des Sturms. Darüber hinaus wurde das Coupled Thermosphere Ionosphere Plasmasphere ectrodynamics (CTIPe) Modell verwendet. Die Ergebnisse legen nahe, dass das CTIPe-Modell die ionosphärischen Schwankungen während eines Sturms erfassen kann.

Le pamphlet anonyme 'Aux Français, sur le 14 Juillet' a probablement été publié en 1799, à l’occasion du dixième anniversaire de la prise de la Bastille. Son auteur veut montrer comment la Révolution française a modifié le prestige de la politique étrangère et l’état de la politique intérieure de la France. Il examine la politique étrangère et la situation militaire du pays avant et après la Révolution. Selon lui, elles étaient auparavant affectées par la faiblesse et la corruption du gouvernement. Cela n’a pris fin qu’avec la Révolution, car celle-ci a permis à tous les citoyens, y compris les plus énergiques et les plus vertueux, d’entreprendre une carrière militaire. Pour l’auteur, les charges qui pesaient sur le tiers état avant la Révolution sont à l’origine de la stagnation économique du passé. Il voit dans l’abolition du féodalisme et la liberté nouvellement acquise la condition préalable au progrès économique. S’il souligne également les aspects négatifs de la Révolution, à savoir la guerre et la tyrannie, il juge décisif le progrès qui a été rendu possible par la prise de la Bastille. / Die anonyme Flugschrift „Aux Français, sur le 14 Juillet“ („An die Franzosen, über den 14. Juli“) wurde wahrscheinlich im Jahr 1799 anlässlich des 10. Jahrestags des Sturms auf die Bastille veröffentlicht. Ihr Autor will zeigen, wie die Französische Revolution das außenpolitische Prestige und die innenpolitischen Zustände Frankreichs verändert hat. Er untersucht die Außenpolitik und die militärische Situation Frankreichs vor und nach der Revolution. Sie seien davor durch die Schwäche und Verdorbenheit der Regierung beeinträchtigt gewesen. Dies endete erst mit der Revolution, da sie allen Bürgern, also auch den Tatkräftigen und Tugendhaften, eine militärische Karriere ermöglicht habe. Für den Autor sind die Belastungen, die vor der Revolution auf dem Dritten Stand lagen, der Grund für den wirtschaftlichen Stillstand in der Vergangenheit. Er sieht in der Abschaffung des Feudalismus und der neu gewonnenen Freiheit die Voraussetzung für den ökonomischen Fortschritt. Er weist jedoch auch auf die negativen Seiten der Revolution, nämlich Krieg und Tyrannei, hin. Entscheidend ist für ihn allerdings der Fortschritt, der mit dem Sturm auf die Bastille erst möglich wurde. / The anonymous pamphlet 'Aux Français, sur le 14 Juillet' ('To the French, on 14 July') was probably published in 1799 on the occasion of the 10th anniversary of the storming of the Bastille. His author aims to show how the French Revolution changed France’s foreign policy prestige and domestic political conditions. He examines France’s foreign policy and military situation before and after the Revolution. Before that, he says, they were marred by the weakness and corruption of the government. This only ended with the Revolution, as it made a military career possible for all citizens, including the energetic and virtuous. For the author, the burdens that lay on the Third Estate before the revolution are the reason for the economic stagnation in the past. He sees the abolition of feudalism and the newly won freedom as the precondition for economic progress. However, he also points out the negative sides of the revolution, namely war and tyranny. What is decisive for him, however, is the progress that only became possible with the storming of the Bastille.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à résoudre certains problèmes inverses pour des équations différentielles aux dérivées fractionnaires. Un problème inverse est généralement mal posé. Un problème mal posé est un problème qui ne répond pas à l’un des trois critères de Hadamard pour être bien posé, c’est-à-dire, soit l’existence, l’unicité ou une dépendance continue aux données n'est plus vraie, à savoir, des petits changements dans les données de mesure entraînent des changements indéfiniment importants dans la solution. La plupart des difficultés à résoudre des problèmes mal posés sont causées par l’instabilité de la solution. D’autre part, les équations différentielles fractionnaires deviennent un outil important dans la modélisation de nombreux problèmes de la vie réelle et il y a eu donc un intérêt croissant pour l’étude des problèmes inverses avec des équations différentielles fractionnaires. Le calcul fractionnaire est une branche des mathématiques qui fait référence à l’extension du concept de dérivation classique à la dérivation d’ordre non entier. Calculer une dérivée fractionnaire à un certain moment exige tous les processus précédents avec des propriétés de mémoire. C’est l’avantage principal du calcul fractionnaire d’expliquer les processus associés aux systèmes physiques complexes qui ont une mémoire à long terme et / ou des interactions spatiales à longue distance. De plus, les équations différentielles fractionnaires peuvent nous aider à réduire les erreurs découlant de paramètres négligés dans la modélisation des phénomènes physiques. / In this thesis, we are interested in solving some inverse problems for fractional differential equations. An inverse problem is usually ill-posed. The concept of an ill-posed problem is not new. While there is no universal formal definition for inverse problems, Hadamard [1923] defined a problem as being ill-posed if it violates the criteria of a well-posed problem, that is, either existence, uniqueness or continuous dependence on data is no longer true, i.e., arbitrarily small changes in the measurement data lead to indefinitely large changes in the solution. Most difficulties in solving ill-posed problems are caused by solution instability. Inverse problems come into various types, for example, inverse initial problems where initial data are unknown and inverse source problems where the source term is unknown. These unknown terms are to be determined using extra boundary data. Fractional differential equations, on the other hand, become an important tool in modeling many real-life problems and hence there has been growing interest in studying inverse problems of time fractional differential equations. The Non-Integer Order Calculus, traditionally known as Fractional Calculus is the branch of mathematics that tries to interpolate the classical derivatives and integrals and generalizes them for any orders, not necessarily integer order. The advantages of fractional derivatives are that they have a greater degree of flexibility in the model and provide an excellent instrument for the description of the reality. This is because of the fact that the realistic modeling of a physical phenomenon does not depend only on the instant time, but also on the history of the previous time, i.e., calculating timefractional derivative at some time requires all the previous processes with memory and hereditary properties.

Der Ausgang des Romans Die Leiden des Jungen Werther (1774, von Johann Wolfgang von Goethe) wird beim ersten Anblick oft als tragische Folge einer unglücklichen und unerwiderten Liebe zu Lotte angesehen. In dieser vorliegenden Arbeit wird der weit erforschten Frage der Unvermeidbarkeit des Suizids im Werk eine alternative Deutung geliefert. Diese ist außerhalb des Romans angesiedelt, und zeigt, dass der Suizid schon in der Epoche angelegt ist.

Dans ce travail, nous présentons deux certificats algébriques pour le théorème de Budan. Le théorème de Budan s'énonce comme suit : Soit R un corps ordonné, f in R[X] de degré n et a,b in R avec a<b. Alors, le nombre de variations de signe dans la suite (f(b),f'(b),...,f^n(b)) n'est pas supérieur au nombre de variations de signe dans la séquence (f(a),f'(a),...,f^n(a)). Cela nous permet de compter des racines réelles d'une manière similaire au comptage des racines réelles par le théorème de Sturm. (Compter des racines réelles à la Budan est aujourd'hui connu comme Budan-Fourier count. En effet, il compte des racines dites virtuelles qui comprennent les racines réelles.) Un certificat algébrique pour le théoème de Budan est un certain type de preuve qui mène de la négation de l'hypothèse à l'identité algébrique contradictionelle 0>0. L'algorithme pour notre premier certificat est basé sur la preuve historique par Budan, qui utilise uniquement des arguments combinatoires. Il a une complexité exponentielle dans le degré de f. L'algorithme pour le deuxième certificat est basé sur des suites de Taylor mixtes et exhibe une plus petite complexité : Le calcul principal est la résolution d'un système linéaire, ce qui est polynomiale dans le degré de f / In this work we present two algebraic certificates for Budan's theorem. Budan's theorem claims the following. Let R be an ordered field, f in R[X] of degree n and a,b in R with a<b. Then the number of sign changes in the sequence (f(b),f'(b),...,f^n(b)) is not greater than the number of sign changes in the sequence (f(a),f'(a),...,f^n(a)). This enables us to count real roots in a similar way to the real root counting by Sturm's theorem. (Budan's count of real roots is today known as ``Budan-Fourier count'' which, indeed, counts so called virtual roots which comprehend the real roots.) An algebraic certificate for Budan's theorem is a certain kind of proof which leads from the negation of the assumption to the contradictory algebraic identity 0>0. The algorithm for our first certificate is based on the historical proof by Budan which uses only combinatorial arguments. It has a complexity exponential in the degree of f. The algorithm for the second certificate is based on mixed Taylor series and shows a smaller complexity: The main calculation is solving a linear system; this is polynomial in the degree of f.