Ce document de thèse développe certains aspects du calcul stochastique via régularisation pour des processus X à valeurs dans un espace de Banach général B. Il introduit un concept original de Chi-variation quadratique, où Chi est un sous-espace du dual d'un produit tensioriel B⊗B, muni de la topologie projective. Une attention particulière est dévouée au cas où B est l'espace des fonctions continues sur [-τ,0], τ>0. Une classe de résultats de stabilité de classe C^1 pour des processus ayant une Chi-variation quadratique est établie ainsi que des formules d'Itô pour de tels processus. Un rôle significatif est joué par les processus réels à variation quadratique finie X (par exemple un processus de Dirichlet, faible Dirichlet). Le processus naturel à valeurs dans C[-τ,0] est le dénommé processus fenêtre X_t(•) où X_t(y) = X_{t+y}, y ∈ [-τ,0]. Soit T>0. Si X est un processus dont la variation quadratique vaut [X]_t = t et h = H(X_T(•)) où H:C([-T,0])→ R est une fonction de classe C^3 Fréchet par rapport à L^2([-T,0] ou H dépend d'un numéro fini d' intégrales de Wiener, il est possible de représenter h comme un nombre réel H_0 plus une intégrale progressive du type \int_0^T \xi d^-X où \xi est un processus donné explicitement. Ce résultat de répresentation de la variable aléatoire h sera lié strictement à une fonction u:[0,T] x C([-T,0])→R qui en général est une solution d'une equation au derivées partielles en dimension infinie ayant la proprieté H_0=u(0, X_0(•)), \xi_t=Du(t, X_t(•))({0}). A certains égards, ceci généralise la formule de Clark-Ocone valable lorsque X est un mouvement brownien standard W. Une des motivations vient de la théorie de la couverture d'options lorsque le prix de l'actif soujacent n'est pas une semimartingale.

Les circulateurs à ferrite sont des dispositifs essentiels et indispensables dans les chaînes de communication radiofréquences. Ils assurent l’aiguillage des signaux selon leur provenance, en favorisant la propagation de l’onde EM dans une direction plutôt que dans une autre. De ce fait, ils permettent de dissocier les signaux d’émission et de réception. Ils utilisent les propriétés d’anisotropie et de non-réciprocité des matériaux ferrites lorsque ces derniers sont aimantés par un champ magnétique statique. Leur mise au point s’avère assez délicate. D’un point de vue industriel, pour répondre à un cahier des charges, sont souvent obligés aujourd’hui de partir de designs existants qu’ils font évoluer « au coup par coup » grâce au savoir-faire de quelques spécialistes. Des réglages longs, fastidieux, et coûteux sont donc nécessaires et ils ne garantissent pas toujours une solution optimum. Il est en outre souvent difficile d’imaginer de nouveaux designs. Le principal but de ces travaux de thèse est de mettre au point une méthode de conception fiable permettant de prendre en compte les phénomènes physiques mis en jeu (perméabilité tensorielle, effets magnétostatiques, modélisation numérique robuste) afin d’obtenir des dispositifs opérationnels, sans réglage et aux performances optimisées. / Biased ferrite circulators have known a great technological progress, searching for fulfill the exponential growth of many new applications. Their operation is directly linked to the anisotropic characteristic of ferrite material to create non-reciprocity phenomenon. Their design remains quite complicated in view of several limitations of their high-frequency modelization. The main goal of this thesis is to establish a complete methodology which aims to take into account all the physical features related to such a device, to offer a reliable results with optimized performances and to minimize the post-tuning step which remains problematic for the industry of circulators.

Dans le cadre du traitement statistique du signal, la plupart des algorithmes couramment utilisés reposent sur l'utilisation de la matrice de covariance des signaux étudiés. En pratique, ce sont les versions adaptatives de ces traitements, obtenues en estimant la matrice de covariance à l'aide d'échantillons du signal, qui sont utilisés. Ces algorithmes présentent un inconvénient : ils peuvent nécessiter un nombre d'échantillons important pour obtenir de bons résultats. Lorsque la matrice de covariance possède une structure rang faible, le signal peut alors être décomposé en deux sous-espaces orthogonaux. Les projecteurs orthogonaux sur chacun de ces sous espaces peuvent alors être construits, permettant de développer des méthodes dites rang faible. Les versions adaptatives de ces méthodes atteignent des performances équivalentes à celles des traitements classiques tout en réduisant significativement le nombre d'échantillons nécessaire. Par ailleurs, l'accroissement de la taille des données ne fait que renforcer l'intérêt de ce type de méthode. Cependant, cet accroissement s'accompagne souvent d'un accroissement du nombre de dimensions du système. Deux types d'approches peuvent être envisagées pour traiter ces données : les méthodes vectorielles et les méthodes tensorielles. Les méthodes vectorielles consistent à mettre les données sous forme de vecteurs pour ensuite appliquer les traitements classiques. Cependant, lors de la mise sous forme de vecteur, la structure des données est perdue ce qui peut entraîner une dégradation des performances et/ou un manque de robustesse. Les méthodes tensorielles permettent d'éviter cet écueil. Dans ce cas, la structure est préservée en mettant les données sous forme de tenseurs, qui peuvent ensuite être traités à l'aide de l'algèbre multilinéaire. Ces méthodes sont plus complexes à utiliser puisqu'elles nécessitent d'adapter les algorithmes classiques à ce nouveau contexte. En particulier, l'extension des méthodes rang faible au cas tensoriel nécessite l'utilisation d'une décomposition tensorielle orthogonale. Le but de cette thèse est de proposer et d'étudier des algorithmes rang faible pour des modèles tensoriels. Les contributions de cette thèse se concentrent autour de trois axes. Un premier aspect concerne le calcul des performances théoriques d'un algorithme MUSIC tensoriel basé sur la Higher Order Singular Value Decomposition (HOSVD) et appliqué à un modèle de sources polarisées. La deuxième partie concerne le développement de filtres rang faible et de détecteurs rang faible dans un contexte tensoriel. Ce travail s'appuie sur une nouvelle définition de tenseur rang faible et sur une nouvelle décomposition tensorielle associée : l'Alternative Unfolding HOSVD (AU-HOSVD). La dernière partie de ce travail illustre l'intérêt de l'approche tensorielle basée sur l'AU-HOSVD, en appliquant ces algorithmes à configuration radar particulière: le Traitement Spatio-Temporel Adaptatif ou Space-Time Adaptive Process (STAP). / Most of statistical signal processing algorithms, are based on the use of signal covariance matrix. In practical cases this matrix is unknown and is estimated from samples. The adaptive versions of the algorithms can then be applied, replacing the actual covariance matrix by its estimate. These algorithms present a major drawback: they require a large number of samples in order to obtain good results. If the covariance matrix is low-rank structured, its eigenbasis may be separated in two orthogonal subspaces. Thanks to the LR approximation, orthogonal projectors onto theses subspaces may be used instead of the noise CM in processes, leading to low-rank algorithms. The adaptive versions of these algorithms achieve similar performance to classic classic ones with less samples. Furthermore, the current increase in the size of the data strengthens the relevance of this type of method. However, this increase may often be associated with an increase of the dimension of the system, leading to multidimensional samples. Such multidimensional data may be processed by two approaches: the vectorial one and the tensorial one. The vectorial approach consists in unfolding the data into vectors and applying the traditional algorithms. These operations are not lossless since they involve a loss of structure. Several issues may arise from this loss: decrease of performance and/or lack of robustness. The tensorial approach relies on multilinear algebra, which provides a good framework to exploit these data and preserve their structure information. In this context, data are represented as multidimensional arrays called tensor. Nevertheless, generalizing vectorial-based algorithms to the multilinear algebra framework is not a trivial task. In particular, the extension of low-rank algorithm to tensor context implies to choose a tensor decomposition in order to estimate the signal and noise subspaces. The purpose of this thesis is to derive and study tensor low-rank algorithms. This work is divided into three parts. The first part deals with the derivation of theoretical performance of a tensor MUSIC algorithm based on Higher Order Singular Value Decomposition (HOSVD) and its application to a polarized source model. The second part concerns the derivation of tensor low-rank filters and detectors in a general low-rank tensor context. This work is based on a new definition of tensor rank and a new orthogonal tensor decomposition : the Alternative Unfolding HOSVD (AU-HOSVD). In the last part, these algorithms are applied to a particular radar configuration : the Space-Time Adaptive Process (STAP). This application illustrates the interest of tensor approach and algorithms based on AU-HOSVD.

Cette thèse présente la logique tensorielle, une version primitive de la logique linéaire où la négation involutive est remplacée par une négation tensorielle. Pour illustrer ce point de vue, nous reformulons les espaces cohérents et les espaces de finitude comme deux modèles de logique linéaire obtenus à partir d'un même modèle de logique tensorielle dont on fait varier la négation. La sémantique de la logique tensorielle est pour nous avant tout catégorique, construite autour des notions de catégorie de dialogue et de modalité de ressource. Nous en donnons un modèle inspiré des jeux de Conway où tous les connecteurs, en particulier les modalités de ressource, sont interprétées de manière non dégénérée. Afin de construire ces modalités de ressource de façon plus automatique, nous développons un cadre pour le calcul des algèbres libres d'une T-théorie enrichie. Cette construction, basée sur la notion d'équipement en distributeurs, repose sur deux propriétés : l'une de nature combinatoire, l'opéradicité; l'autre de nature algébrique, la complétude algébrique. Nous présentons ensuite un modèle de jeux équipé d'une trace et d'une notion de multiparenthésage. Le contrôle obtenu par le multiparenthésage est alors vu comme une gestion des ressources. Nous utilisons ce modèle pour interpréter une langage avec références d'ordre supérieur. Nous nous tournons enfin vers des sémantiques de plus bas niveau. Dans un premier temps, nous étudions la structure multicatégorique induite par une catégorie de dialogue. Cela nous amène à définir les multicatégories de contrôle. Dans un second temps, nous formalisons en Coq une propriété de sûreté par le typage d'un compilateur vers un langage assembleur. Cette formalisation repose sur la définition d'une sémantique relationnelle des états de la mémoire dont la structure est inspirée des catégories de dialogue.

Cette thèse s'attache à comprendre le rôle du champ de fond antisymétrique B en théorie des cordes. Nouveauté essentielle et prometteuse par rapport à la théorie des champs, puisqu'il accompagne naturellement la courbure de l'espace-temps g, son importance a été soulignée ces dernières années dans différents domaines, auxquels j'ai tenté de contribuer. Le premier chapitre étudie la transformation de Seiberg-Witten, qui relie des branes ordinaires plongées dans un champ B à des branes non-commutatives. A la recherche d'une expression explicite sur le secteur de jauge, il tente d'en éclaircir la signification. Le chapitre 2 s'attaque à la dynamique non abélienne des branes M5 en M-théorie. Par différentes approches, supersymétrique ou plus géométrique, je tente d'y proposer un contenu en champs pour un paquet de N M5-branes, expliquant leur anomalie en N^3. Ces champs formeraient alors une version non-abélienne des théories de jauge à connexion tensorielle. Enfin, la présence d'un champ B autorise des variétés de compactification plus générales que les espaces de Calabi-Yau, dites variétés à structure SU(3). La symétrie-miroir peut être étendue dans ce cadre, en la décrivant comme une T-dualité le long d'une fibration toroïdale. Sa description géométrique met alors en jeu les composantes de la torsion intrinsèque, qui sont mélangées à celles de la courbure H=dB, ainsi que je le détaille dans le chapitre 3.

Cette thèse présente des méthodes et des algorithmes pour l'évaluation de performance de systèmes à grand espace d'états décrits par des formalismes de haut niveau. Parmi les différents formalismes de haut niveau normalement utilisés, nous nous sommes intéressés au formalisme des Réseaux d'Automates Stochastiques (SAN). Le formalisme SAN se caractérise par la modélisation de systèmes complexes, où un système est représenté par la composition de sous-systèmes (automates) qui interagissent entre eux. Cette interaction se réalise par l'occurrence des événements synchronisants ou des taux fonctionnels. Lorsqu'on calcule l'espace d'états atteignables de systèmes complexes, le principal problème qui surgit est l'explosion combinatoire de l'espace d'états du modèle. Dans la première partie de cette thèse, nous proposons des méthodes pour la génération de l'espace d'états atteignables de modèles compositionnels qui utilisent des taux fonctionnels. Nous utilisons les Diagrammes de Décision Multi-valués (MDD) pour représenter et manipuler les espaces d'états et le formalisme SAN pour la modélisation de systèmes. Un MDD est une structure de donnée arborescente qui permet de représenter et de manipuler de façon performante un très grand espace d'états. L'avancée par rapport à l'état de l'art a été de proposer de méthodes qui prennent en compte ces fonctions qui expriment des relations entre les composants des modèles. Des études d'exemples sont présentées afin d'illustrer les apports de ces méthodes. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous sommes intéressés à la résolution d'un modèle SAN à temps discret dont la matrice de transition est représentée par une formule tensorielle (appelée descripteur discret). A cet effet, nous présentons l'Algèbre Tensorielle compleXe (ATX) adaptée à la composition parallèle des SAN à temps discret pour la représentation du descripteur et nous démontrons des propriétés qui servent de base aux méthodes itératives pour la résolution de la chaîne de Markov associée au modèle SAN. Un des avantages de représenter un modèle SAN par un descripteur est la façon compacte par laquelle on peut représenter les transitions du modèle: on remplace une description dans un espace produit par un unique produit tensoriel portant sur des facteurs qui décrivent ce qui se passe sur une seule dimension (une composante du modèle SAN). Afin de profiter de cette représentation, nous présentons une méthode de multiplication d'un vecteur de probabilité par un descripteur discret adaptée à cette algèbre. Cette méthode vise à exploiter des propriétés du produit tensoriel complexe de façon à ce que la multiplication par un opérateur sur l'espace produit soit remplacée par une suite d'opérations qui manipulent des données de la taille d'une composante (et pour toutes les composantes).

Dans plusieurs applications de traitement du signal pour les systèmes de communication sans fil, le signal reçu est de nature multidimensionnelle et possède une structure algébrique multilinéaire. Dans ce contexte, la décomposition tensorielle de type PARAFAC a fait l'objet de plusieurs travaux au cours des six dernières années. Il s'avère que des décompositions tensorielles plus générales sont nécessaires pour couvrir des classes plus larges de systèmes de communication faisant intervenir µa la fois des modèles de transmission et de canal plus complexes et des méthodes de traitement plus efficaces. Cette thèse traite les problèmes de modélisation des systèmes multi-antennes, d'égalisation de canal, de séparation de signaux et d'estimation paramétrique de canal à l'aide d'approches tensorielles. Dans un premier temps, de nouvelles décompositions tensorielles (bloc-PARAFAC avec contraintes et CONFAC) ont été développées et étudiées en termes d'identifiabilité. Dans un deuxième temps, la décomposition bloc-PARAFAC avec contraintes a été appliquée tout d'abord pour mettre en évidence une modélisation tensorielle unifiée des systèmes suréchantillonnées , DS-CDMA et OFDM, avec application à l'égalisation multiutilisateur. Puis, cette décomposition a été utilisée pour modéliser des systèmes de transmission MIMO avec étalement spatio-temporel et détection aveugle. La décomposition CONFAC a ensuite été exploitée pour concevoir un nouveau schéma de transmission MIMO/CDMA combinant diversité et multiplexage spatial. Les propriétés d'unicité de cette décomposition ont permis de réaliser un traitement aveugle au niveau du récepteur pour la reconstruction du canal et des symboles transmis. Un troisième volet du travail concerne l'application de la décomposition PARAFAC pour la conception de nouveaux schéma de transmission spatio-temporel-fréquentiel pour des systèmes MIMO multiporteuses, et pour l'estimation paramétrique de canaux multitrajets. .

Les malformations cardiaques congénitales sont la première cause de décès liés à une anomalie congénitale. L''electrocardiogramme du fœtus (ECGf), qui est censé contenir beaucoup plus d'informations par rapport aux méthodes échographiques conventionnelles, peut ˆêtre mesuré'e par des électrodes sur l'abdomen de la mère. Cependant, il est tr'es faible et mélangé avec plusieurs sources de bruit et interférence y compris l'ECG de la mère (ECGm) dont le niveau est très fort. Dans les études précédentes, plusieurs méthodes ont été proposées pour l'extraction de l'ECGf à partir des signaux enregistrés par des électrodes placées à la surface du corps de la mère. Cependant, ces méthodes nécessitent un nombre de capteurs important, et s'avèrent inefficaces avec un ou deux capteurs. Dans cette étude trois approches innovantes reposant sur une paramétrisation algébrique, statistique ou par variables d'état sont proposées. Ces trois méthodes mettent en œuvre des modélisations différentes de la quasi-périodicité du signal cardiaque. Dans la première approche, le signal cardiaque et sa variabilité sont modélisés par un filtre de Kalman. Dans la seconde approche, le signal est découpé en fenêtres selon les battements, et l'empilage constitue un tenseur dont on cherchera la décomposition. Dans la troisième approche, le signal n'est pas modélisé directement, mais il est considéré comme un processus Gaussien, caractérisé par ses statistiques à l'ordre deux. Dans les différentes modèles, contrairement aux études précédentes, l'ECGm et le (ou les) ECGf sont modélisés explicitement. Les performances des méthodes proposées, qui utilisent un nombre minimum de capteurs, sont évaluées sur des données synthétiques et des enregistrements réels, y compris les signaux cardiaques des fœtus jumeaux.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Les problèmes qui se posent aujourd'hui en mécanique numérique et domaines connexes sont complexes, et impliquent de plus en plus souvent plusieurs physiques à différentes échelles de temps et d’espace. Leur traitement numérique est en général long et difficile, d’où l’intérêt d’avoir accès à des méthodes et outils facilitant l’intégration de nouveaux modèles physiques dans des outils de simulation. Ce travail se pose dans la problématique du développement de codes de calcul numérique. L’approche proposée couvre la démarche de développement du modèle numérique depuis la formulation variationnelle jusqu’à l’outil de simulation. L’approche est appliquée à la méthode des éléments finis. Nous avons développé des concepts génériques afin d’automatiser la méthode des éléments finis. Nous nous sommes appuyés sur l'analyse tensorielle dans le contexte de la méthode des éléments finis. Le formalisme mathématique est basé sur l’algèbre tensorielle appliquée à la description de la discrétisation des formes variationnelles. Ce caractère générique est conservé grâce à l'approche logicielle choisie pour l’implantation; orientée objet en Java. Nous proposons donc un cadre orienté objet, basé sur des concepts symboliques, capables de gérer de manière symbolique les développements assistés des contributions élémentaires pour la méthode éléments finis. Ces contributions sont ensuite automatiquement programmées dans un code de calcul. L'intérêt de cette approche est la généricité de la description qui peut être étendue naturellement à tout autre modèle de discrétisation (spatiale ou temporelle). Dans ce travail, les concepts sont validés dans le cadre de problèmes linéaires simples (élasticité, chaleur,...), dans le cadre du traitement de formulations variationnelles mixtes (thermomécanique, Navier-Stokes,…) et dans un cadre Lagrangien (élasticité en grandes transformations, hyperélasticité,…). / The problems occurring today in computational mechanics and related domains are complex, and may involve several physics at different time and space scales. The numerical treatment of complex problems is in general tough and time consuming. In this context, the interest to develop methods and tools to accelerate the integration of new formulations into simulation tools is obvious. This work arises on the issue of the development of computational tool. The proposed approach covers the development process of numerical models from the variational statement to the simulation tool. The approach is applied to the finite element method. We have developed generic concepts to automate the development of the finite element method. To achieve this goal, we relied on tensor analysis applied in the context of the finite element method. The mathematical formalism is based on the tensor algebra to describe the discretization of a variational formulation. The generic character of the approach is preserved through the object-oriented approach in Java. We propose a framework based on object-oriented concepts capable of handling symbolic developments of elemental contributions for finite element codes. The advantage of this approach is the generic description that can be extended naturally to any discretization model in space or time. This concept is fully validated for simple linear problems (elasticity, heat convection, ...), for the treatment of mixed variational formulations (thermo-mechanical, Navier-Stokes for incompressible flows...) and Lagrangian frameworks (elasticity in larges transformations, hyperelasticity, ...).