Dans quelle mesure peut-on lire les propriétés dynamiques (quand le temps tend vers l’infini) d’un système sur des simulations numériques ? Pour tenter de répondre à cette question, on étudie dans cette thèse un modèle rendant compte de ce qui se passe lorsqu’on calcule numériquement les orbites d’un système à temps discret f (par exemple un homéomorphisme). L’ordinateur travaillant à précision numérique finie, il va remplacer f par une discrétisation spatiale de f, notée f_N (où l’ordre de la discrétisation N rend compte de la précision numérique). On s’intéresse en particulier au comportement dynamique des applications finies f_N pour un système f générique et pour l’ordre N tendant vers l’infini, où générique sera à prendre dans le sens de Baire (principalement parmi des ensembles d’homéomorphismes ou de C^1-difféomorphismes). La première partie de cette thèse est consacrée à l’étude de la dynamique des discrétisations f_N lorsque f est un homéomorphisme conservatif/dissipatif générique d’une variété compacte. L’étude montre qu’il est illusoire de vouloir retrouver la dynamique du système de départ f à partir de celle d’une seule discrétisation f_N : la dynamique de f_N dépend fortement de l’ordre N. Pour détecter certaines dynamiques de f il faut considérer l’ensemble des discrétisations f_N, lorsque N parcourt N.La seconde partie traite du cas linéaire, qui joue un rôle important dans l’étude du cas des C^1-difféomorphismes génériques, abordée dans la troisième partie de cette thèse. Sous ces hypothèses, on obtient des résultats similaires à ceux établis dans la première partie, bien que plus faibles et de preuves plus difficiles. / How is it possible to read the dynamical properties (ie when the time goes to infinity) of a system on numerical simulations ? To try to answer this question, we study inthis thesis a model reflecting what happens when the orbits of a discrete time system f (for example an homeomorphism) are computed numerically. The computer working in finite numerical precision, it will replace f by a spacial discretization of f, denotedby f_N (where the order N of discretization stands for the numerical accuracy). In particular, we will be interested in the dynamical behaviour of the finite maps f_N for a generic system f and N going to infinity, where generic will be taken in the sense of Baire (mainly among sets of homeomorphisms or C^1-diffeomorphisms). The first part of this manuscript is devoted to the study of the dynamics of the discretizations f_N, when f is a generic conservative/dissipative homeomorphism of a compact manifold. We show that it would be mistaken to try to recover the dynamics of f from that of a single discretization f_N : its dynamics strongly depends on the order N. To detect some dynamical features of f we have to consider all thediscretizations f_N when N goes through N.The second part deals with the linear case, which plays an important role in the study of C^1-generic diffeomorphisms, discussed in the third part of this manuscript. Under these assumptions, we obtain results similar to those established in the first part,though weaker and harder to prove.

Dans ce travail de thèse, de nature théorique, nous intégrons numériquement l'équation d'Euler par des méthodes pseudo-spectrales qui conservent exactement l'énergie, ce qui permet usuellement d'étudier la dynamique des singularités complexes. L'étude de l'écoulement de Kida-Pelz nous a permis de mettre en évidence des interférences de singularités et d'étendre les méthodes d'analyse usuelles. Sorti de l'approximation d'un écoulement continu, la solution du système d'équations différentielles ordinaires tend vers un équilibre statistique, connu sous le nom d'équilibre absolu.<br /><br />Nous avons étudié la relaxation du système vers l'équilibre absolu, exhibant une séparation spontanée d'échelles due à une thermalisation progessive de l'écoulement et ayant un effet pseudo-dissipatif sur les grandes échelles. L'étude analytique et numérique des temps propres de ces équilibres conduit à les caractériser par une loi d'échelle : celle-ci permet une estimation dissipative de la séparation spontanée d'échelle apparaissant lors de la relaxation, gràce à un théorème de Fluctuation-Dissipation. Enfin, on montre que le comportement des grandes échelles est compatible avec une turbulence à la Kolmogorov.

Cette thèse regroupe des études portant sur la dynamique de relaxation de différents systèmes conservatifs ayant tous une troncature de Galerkin sur les modes de Fourier. On montre que, de façon très générale, ces systèmes relaxent lentement vers l'équilibre thermodynamique avec une thermalisation partielle à petite échelle qui induit une dissipation effective à grande échelle, tout en conservant les invariants globaux. La première partie de ce travail est consacrée à l'étude de la viscosité effective dans l'équation d'Euler incompressible tronquée. L'utilisation des méthodes de Monte-Carlo et de la théorie EDQNM permet la construction d'un modèle à deux fluides de ce système. Cette étude est ensuite généralisée au cas des écoulements hélicitaires. La dynamique de relaxation des écoulements décrits par les équations de la magnétohydrodynamique et des fluides compressibles tronqués est finalement caractérisée. Dans une deuxième partie, nous généralisons l'étude de la thermalisation au cas de l'équation de Gross-Pitaevski tronquée. On trouve que des effets existant dans les superfluides à température finie, comme la friction mutuelle et le ''counterflow'', sont naturellement présents dans ce modèle. On propose ainsi l'équation de Gross-Pitaevskii tronquée comme un modèle simple et riche de la dynamique superfluide à température finie. La radiation produite par le mouvement de vortex ponctuels décrits par l'équation de Gross-Pitevskii 2D est finalement caractérisée analytiquement et numériquement.

En aérodynamique, les écoulements décollés sont souvent sujets à de fortes instabilités qui provoquent l'apparition de grosses structures tourbillonnaires. Ces écoulements caractérisés par des instationnarités à basses fréquences sont couramment observés dans les applications aéronautiques et entraînent des effets néfastes tels que d'importantes vibrations des structures ou la génération de bruit. Cette thèse a pour objectif de fournir des modèles d'ordre réduit de tels écoulements aérodynamiques dans le but de concevoir des dispositifs de contrôle optimaux. Un écoulement transitionnel de marche descendante est considéré comme prototype d'écoulement décollé instable. Dans un premier temps, la dynamique linéaire de l'écoulement est étudiée à l'aide d'une analyse de stabilité globale. Nous montrons que l'écoulement amplifie de manière sélective le bruit amont par l'instabilité de Kelvin-Helmholtz. Ensuite, nous utilisons des méthodes de projection pour construire des modèles d'ordre réduit de la dynamique linéaire bidimensionnelle de l'écoulement. Trois approches sont étudiées : (i) l'utilisation des modes globaux les moins stables, (ii) la Décomposition Orthogonale Propre (POD) et (iii) la troncature équilibrée. Cette thèse introduit une méthode des clichés dans le domaine fréquentiel pour calculer les modes contrôlables, observables et équilibrés dominants, ainsi que des techniques pour traiter les systèmes fluides de grande taille. Finalement, nous traitons la question du contrôle en boucle fermée de l'écoulement. Une réduction conséquente des perturbations est obtenue en utilisant une commande Linéaire Quadratique Gaussienne conçue à partir d'un modèle POD.

L'amélioration permanente de la qualité et des performances des systèmes automatiques constitue un défi majeur dans la théorie du contrôle. La théorieHinf a permis d'améliorer considérablement les performances des correcteurs. Ces derniers reposent sur des modèles mathématiques qui sont potentiellement d'ordre élevé (c.-à-d. comprenant un nombre élevé d'équations différentielles). De plus, l'ajout de poids de pondérations spécifiant les performances à respecter accroit encore plus leur ordre. La complexité algorithmique résultante peut alors rendre leur implantation difficile voire même impossible pour un fonctionnement en temps réel.Les travaux présentés visent à réduire l'ordre de correcteurs Hinf dans le but de faciliter leur intégration tout en respectant les performances imposées d'une part et proposent une majoration de l'erreur introduite par l'étape de réduction d'autre part.Dans la littérature, de nombreuses méthodes pour la réduction d'ordre de modèles et de correcteurs des systèmes LTI ont été développées. Ces techniques ont été étudiées, comparées et testées sur un ensemble de benchmarks. S'appuyant sur ces travaux, nous proposons une extension aux systèmes linéaires à paramètres variants (LPV). Pour valider leurs performances, une application sur une commande d'une suspension semi-active a montré l'efficacité des algorithmes de réduction développés. / The work presented in this dissertation is related to the Hinf-LPV-controller orderReduction. This latter consists of the design of a robust reduced-order LPV-controller for LPV-systems. The order reduction issue has been very fairly investigated. However, the case of LPV-control design is slightly discussed. This thesis focuses primarily on two topics: How to obtain an LPV-reduced-order controller even the high order generated by the classical synthesis and how this reduced order controller can deal with a practical engineering problem (semi-active suspension control). In view of this, the order-reduction topic and the Hinf-synthesis theory have been widely studied in this thesis. This study, has allowed the development of a new method forH1-LPV-controller order reduction.

Le travail de thèse qui est rapporté dans le présent document a porté sur la réalisation d'un système de restitution sonore spatialisée pour la visioconférence. La principale contrainte de ce projet a résidé dans la taille de la zone d'écoute qui doit être sufisamment grande pour englober plusieurs auditeurs simultanément. Chaque auditeur doit également pouvoir se déplacer au sein de la zone d'écoute. A l'issue d'un tour d'horizon des différentes méthodes de spatialisation sonore existantes (stéréophonie, techniques binaurales, système ambisonique...) dont la pertinence a été examinée du point de vue du contexte de visioconférence, une approche holophonique a été finalement choisie. Attendu qu'elle s'avère être la solution la plus pertinente pour obtenir une zone d'écoute étendue. Un prototype de système holophonique pour la visioconférence a ainsi été conçu et réalisé. D'un point de vue théorique, l'holophonie dérive du Principe de Huygens. Elle constitue l'équivalent acoustique de l'holographie et consiste à reproduire un champ sonore à partir d'un enregistrement sur une surface. Sur la plan pratiqu, le champ sonore est enregistré par un réseau de microphones auquel on substitue un réseau de haut-parleurs de géométrie identique à la restitution. Le concept de Wavefield Synthesis qui a été mis au point à l'UTD (Université Technologique de Delft) définit un exemple de mise en oeuvre d'un système holophonique. Le prototype qui a été développé au cours de cette thèse s'en est largement inspiré. En particulier les simplifications mises en évidence à l'UTD, principalement afin de réduire la taille du réseau de transducteurs et leur nombre, ont été retenues. On a néanmoins eu le souci constant d'analyser la pertinence de la démarche menée à l'UTD et de l'approfondir. Ainsi les questions de l'échantillonnage spatial et de la troncature du réseau de transducteurs ont fait l'objet d'études spécifiques. Au final, le système holophonique qui a été mis au point se compose d'une antenne de haut-parleurs pilotés par une carte DSP. Il a été validé à la fois en environnement anéchoïque et dans un studio expérimental de visioconférence. Au delà de la réalisation d'un système de spatialisation sonore pour la visioconférence, le second objectif de cette thèse visait une meilleure compréhension des procédés de spatialisation sonore à partir de l'approche générale que définit l'holophonie. Cet objectif a été atteint en reliant le système ambisonique à l'holophonie. Il est montré que, loin de constituer deux méthodes distinctes, les systèmes ambisonique et holophonique sont fondés sur des processus analogues et qu'en réalité, le système ambisonique est un cas particulier de l'holophonie. De ce résultat, un formalisme unifiée de la reconstruction de champ sonore a été dégagé, il permet une comparaison directe des performances des deux méthodes, en termes d'enco age et de décodage de l'information spatiale du champ sonore. Il en ressort que, bien que le système ambisonique soit très séduisant sur le plan théorique, il se heurte à de nombreux problèmes de mise en œuvre. Par suite, l'holophonie reste la méthode la plus robuste sur le plan pratique.

La mesure de couplage dipolaire permet d’accéder à la structure tridimensionnelle d’un composé solide. Cependant, en présence d’une forte densité de spins couplés, le phénomène de troncature dipolaire rend difficile l’obtention de ces informations par RMN du solide. Ce problème peut être affranchi par l’étude de spins rares en abondance naturelle. En effet, avec une abondance naturelle de 1.1 %, la probabilité que trois 13C soient couplés, et avec elle la troncature dipolaire, devient négligeable. Une méthodologie basée sur la séquence de recouplage dipolaire POST-C7 permet d’accéder à des informations structurales d’échantillons en abondance naturelle sensibles à la fois à la conformation moléculaire et à l’empilement cristallin par mesure de couplages dipolaires 13C-13C. La sensibilité de détection des signaux RMN 13C est augmentée à l’aide la polarisation dynamique nucléaire ce qui permet de réduire considérablement les temps d’expériences. De plus, la séquence de recouplage R20_9_2 aidée de supercycles s’est montrée être plus robustes que POST-C7 face à de fortes anisotropies de déplacement chimique ou de forts couplages hétéronucléaires 1H-13C. La seconde problématique abordée concerne l’attribution de signaux 13C. En effet, il existe seulement quelques exemples de détermination de connectivités 13C -13C en abondance naturelle. Nous montrons ici que des spectres de corrélations dipolaires 13C-13C peuvent être obtenus en quelques jours à l’aide de la séquence de recouplage R20_9_2. Contrairement aux méthodologies basées sur le couplage J, notre séquence requiert un temps d’excitation DQ plus court ce qui la rend adaptée à l’étude de solides désordonnés. / Measurment of dipolar coupling provides 3D structural information of powder samples. However, in practice, the high density of spins in organic compounds prevents the measurements of long-range dipolar couplings in solid-state NMR by the so-called dipolar truncation effect. The study of rare spins on natural abundance allows to overcome this problem. In fact, with a natural abundance of 1.1 %, the probability for three 13C to be coupled is negligible. We developed a methodology based either on the dipolar recoupling NMR pulse sequence POST-C7 or on the dramatic increase in sensitivity provided by dynamic nuclear polarization. We demonstrated that its methodology provides a measure of 13C-13C dipolar couplings in natural abundance powder samples and that the so-obtained distance information is sensitive to both molecular conformation and crystal packing of powder samples. Moreover, we show that the recoupling pulse sequence R20_9_2 is more robust to strong chemical shift anisotropy and also to strong 1H-13C heteronuclear dipolar couplings than POST-C7. The second challenge involves 13C signal assignment for natural abundance. In fact, there are only a few examples of 13C-13C correlation spectra obtained for natural abundance samples. Here, we show that 13C-13C correlation spectra sequence based on the reintroduction of 13C−13C dipolar couplings can be obtained with standard MAS probe and within few days using R20_9_2 pulse sequence. Contrary to pulse sequences based on 13C-13C J coupling, our pulse sequence requires shorter DQ excitation time and hence, is more suitable for samples having short T2 relaxation times such as amorphous solids.