L'objet de ce travail est de généraliser au cas des variétés feuilletées par variétés complexes la théorie des déformations de variétés complexes compactes développée notamment par les travaux de Kodaira et Spencer vers la fi n des années cinquante. Après avoir défni la notion de famille de déformations de variétés feuilletées par variétés complexes compactes, nous avons pu obtenir un analogue des théorèmes de rigidité, de complétude et d'existence dans notre cadre. Les méthodes de démonstration usant de la théorie du potentiel ne sont pas généralisables car les opérateurs différentiels considérés ici ne sont plus elliptiques. On se tourne alors vers des techniques de séries majorantes pour obtenir ces résultats, en particulier pour le théorème d'existence qui généralise la démonstration faite par Forster et Knorr en 1974. / The aim of this work is to generalise the study of deformations of complex manifolds by kodaira and Spencer to the case of manifolds foliated by complex manifolds. After defning the notion of family of deformations of compact manifold foliated by complex manifolds, we prove a theorem of rigidity, one of completeness and one of existence in our framework. We can not apply one potential theory here, so we have to use power series technics.

Le but de cette thèse est de déterminer la frontière naturelle de méromorphie (lorsqu'elle existe) d'un produit eulérien de plusieurs variables associé à un polynôme h de plusieurs variables à coefficients entiers vérifiant une hypothèse de régularité analytique. Il s'agit précisément de trouver la frontière d'un domaine maximal sur lequel un prolongement méromorphe existe. On présente dans cette thèse des méthodes qui permettent d'étendre dans le cadre de plusieurs variables, sous une hypothèse de régularité analytique qui est vérifiée dans la plupart des cas, le célèbre résultat d'Estermann concernant le domaine maximal de méromorphie d'un produit eulérien d'une variable \prod_{p}h(p^{-s}) associé à un polynôme h à coefficients entiers (tel que h(0)=1). On précise également le sens que l'on peut attribuer au concept de "frontière naturelle" selon la dimension complexe ou réelle d'un éventuel prolongement au-delà de cette frontière. En guise d'application, on détermine la frontière naturelle d'une classe de produits eulériens multivariables associés à une variété torique projective. Une seconde application consiste en la détermination de la frontière naturelle d'une classe de fonctions de la forme \prod_{p}h(p^{-s_l },...,p^{-s_n },p^{-c}) où c est un entier relatif non nul. On résout en particulier un problème de N. Kurokawa et H. Ochiai concernant la frontière naturelle de méromorphie de la fonction zêta multivariable d'Igusa Z^{\textrm{ring} }(s_l ,...,s_n; Z[T,T^{ -1 }]) / The aim of this thesis is to determine the natural boundary of meromorphy (when it exists) of an Euler product of n variables associated to a polynomial h \in \mathbf{Z } [X_1....,X_,n] satisfying an hypothesis of analytic regularity. Precisely it consists in finding the boundary of a maximal domain on which a meromorphic extension exists. We present in this thesis some methods which permit to extend in the multivariable case, under an hypothesis of analytic regularity which is mostly satisfied, the well-know result of Estermann concerning the maximal domain of meromorphy of an one variable Euler product \prod_{p}h(p^{-s}) associated to a polynomial h with integral coefficients (such that Sh(0)=1S). We also precise the sense which we can give to the concept of "natural boundary" with regard to the real or complex dimension of a possible continuation beyond this boundary. As an application, we determine the natural boundary of a class of Euler products associated to a projective toric variety. A second application consists in the determination of the natural boundary of a class of Euler products of the form \prod_{p}h(p^{-s_l },...,p^{-s_n},p^{-c }) where c is an integer (positive or negative). In particular we solve a problem of N. Kurokawa and H. Ochiai concerning the natural boundary of meromorphy of the multivariable lgusa zeta function Z^{\textrm{ring} }(s_1,\dots,s_n; \mathbf{Z}[T,T^{-1}])

Dans cette thèse, on s’intéresse à des propriétés arithmétiques des variétés algébriques. Elle contient deux parties : partie géométrique (sur un corps quelconque) et partie arithmétique (sur un corps de nombres). Dans la partie géométrique, j’étudie le quotient par sa partie constante du troisième groupe de cohomologie non ramifiée des surfaces (géométriquement) rationnelles et de leurs torseurs universels. Pour les surfaces de del Pezzo de degré au moins 5, je montre que ce quotient est trivial, sauf pour des surfaces de del Pezzo de degré 8 d’un type particulier. Pour les torseurs universels ci-dessus, je montre que ce quotient est fini et je donne une condition suffisante pour qu’il soit nul, en termes de la structure galoisienne du groupe de Picard géométrique de la surface. Dans la partie arithmétique, on étudie l’obstruction de Brauer–Manin à l’approximation forte. En collaboration avec C. Demarche et F. Xu, nous établissons l’équivalence de l’obstruction de Brauer-Manin étale et de l’obstruction de descente pour les variétés quasi-projectives. Ensuite, j’établis un théorème très général sur l’approximation forte pour les variétés ouvertes munies d’une action d’un groupe linéaire connexe G et dont un ouvert est un espace homogène de G. / In this Ph.D. thesis, we investigate some arithmetic properties of algebraic varieties. The thesis consists of two parts: a geometric part (over an arbitrary field) and an arithmetic part (over a number field). The geometric part is devoted to the study of the quotient by its constant part of the third unramified cohomology group of (geometrically) rational surfaces and of their universal torsors. For del Pezzo surfaces of degree at least 5, we show that this quotient is zero, except in the case of del Pezzo surfaces of degree 8 of a special type. For universal torsors as above, we show this quotient is finite and we give a sufficient condition for it to vanish. This condition involves the Galois structure of the geometrical Picard group. The arithmetic part is devoted to the study of the Brauer-Manin obstruction to strong approximation. In collaboration with C. Demarche and F. Xu, we establish the equivalence of étale Brauer-Manin obstruction and the descent obstruction. Then I establish a general theorem about strong approximation of open varieties equipped with an action of a connected linear algebraic group G and containing a G-homogeneous space as open subset.

Le but de cette thèse est d'étudier différents exemples des variétés de caractères régulières et sauvages des courbes complexes.La première partie est consacrée à l'étude d'un exemple de variété de caractères de la sphère avec quatre trous et groupe exotique G₂ comme son groupe de structure. On démontre que pour un choix particulier de classes de conjugaison du groupe G₂ , la variété obtenue est de dimension complexe deux et isomorphe à la surface cubique de Fricke—Klein. Cette surface apparaît déjà dans le cas classique comme la variété de caractères de cette surface avec le groupe de structure SL₂ (C). De plus, on interprète les orbites de groupe de tresses de taille 7 dans cette surface comme les droites passant par les triplés de points dans le plan de Fano P² (F₂).Dans la deuxième partie, on établit plusieurs cas de la „conjecture d'écho”, correspondant aux équations différentielles de Painlevé I, II et IV. On montre que sur la sphère de Riemann avec un point singulier, pour des choix particuliers de la singularité il y a trois familles infinies de variétés de caractères sauvages de dimension complexe deux. Dans ces familles, le rang du groupe de structure n'est pas borné et augmente jusqu'à l'infini. Le résultat principal de cette partie démontre que tous les membres de ces trois familles de variétés sont isomorphes aux espaces de phase des équations de Painlevé associées. En calculant les quotients de la théorie géométrique des invariants, on fournit des isomorphismes explicites entre les anneaux de fonctions des variétés affines qui apparaissent et relie les paramètres des surfaces cubiques.Dans la dernière partie, avec des outils de la géométrie quasi-Hamiltonienne, on étudie une famille des espaces généralisant les hiérarchies de Painlevé I et II pour les groupes linéaires de rang supérieur. En particulier, pour toute variété Bk dans la hiérarchie il y a une application moment, prenant ses valeurs dans un groupe, qui s'avère être un polynôme continuant d'Euler. Ces polynômes admettent des factorisations en continuants plus courts et on montre que les factorisations d'un polynôme continuant de longueur k en termes de longueur un sont énumérées par le nombre de Catalan Ck. De plus, chaque factorisation fournit un plongement du produit de fusion de k copies de GLn (C) sur un ouvert dense de Bk et on démontre que ces plongements relient les structures quasi-Hamiltoniennes. Finalement, on utilise ce résultat pour dériver une formule explicite pour la 2-forme quasi-Hamiltonienne sur Bk, généralisant la formule connue dans le cas de B₂ . / The aim of this thesis is to study various examples of tame and wild character varieties of complex curves.In the first part, we study an example of a tame character variety of the four-holed sphere with simple poles and exotic group G₂ as the structure group. We show that for a particular choice of conjugacy classes in G₂, the resulting affine symplectic variety of complex dimension two is isomorphic to the Fricke-Klein cubic surface, known from the classical case of the character variety for the group SL₂(C). Furthermore, we interpret the braid group orbits of size 7 in this affine surface as lines passing through triples of points in the Fano plane P²(F₂).In the second part, we establish multiple cases of the so-called „echo conjecture”, corresponding to the cases of Painleve I, II and IV differential equations. We show that for the Riemann sphere with one singular point and suitably chosen behavior at the singularity, there are three infinite families of wild character varieties of complex dimension two. In these families, the rank of the structure group is not bounded and goes to infinity. The main result of this part shows that in each family all the members are affine cubic surfaces, isomorphic to the phase spaces of the aforementioned Painleve equations. By computing the geometric invariat theory quotients, we provide explicit isomorphisms between the rings of functions of the arising affine varieties and relate the coefficients of the affine surfaces.The last part is dedicated to the study of a family of spaces generalizing the Painleve I and II hierarchies for higher rank linear groups, which is done by the means of quasi-Hamiltonian geometry. In particular, for each variety Bk in the hierarchy there is a group-valued moment map and they turn out to be the Euler's continuant polynomials. These in turn admit factorisations into products of shorter continuants and we show that for a continuant of length k, the distinct factorisations into continuants of length one are counted by the Catalan number Ck. Moreover, each such factorisation provides an embedding of the fusion product of k copies of GLn(C) onto a dense open subset of B_k and the quasi-Hamiltonian structures do match up. Finally, using this result we derive the formula for the quasi-Hamiltonian two form on the space Bk, which generalises the formula known for the case of B₂.

Cette thèse est subdivisée en deux parties.La première partie porte sur l’étude de la topologie de l’espace des contactomorphismes pour quelques exemples explicites de variétés de contact en grandes dimensions. Plus précisément, en utilisant des constructions et résultats dus à Massot, Niederkrüger et Wendl, on construit, en chaque dimension impaire, une infinité d’exemples de contactomorphismes de variétés de contact vrillées fermées qui sont lissement isotopes mais pas contact-isotopes à l’identité. On donne aussi,en toutes dimensions impaires, des exemples de variétés de contact tendues fermées qui admettent un contactomorphisme tel que tous ses itérées sont lissement isotopes mais pas contacto-isotopes à l’identité ; ceci généralise un résultat en dimension 3 dû à Ding et Geiges.Dans la deuxième partie, on construit des exemples de variétés de contact fermées en grandes dimensions avec des propriétés particulières. Ceci nous amène à l’existence de structures tendues virtuellement vrillées en toutes dimensions impaires, et au fait que chaque variété de contact fermée de dimension 3 se plonge dans une variété de contact tendue fermée de dimension 5 avec fibré normal trivial. Pour cela, on utilise des constructions dues à Bourgeois (sur des produits avec des tores) et à Geiges (sur des revêtements ramifiés). On passe de ces constructions à des définitions ;ceci permet de prouver un résultat d’unicité dans le cas des revêtements ramifiés de contact, et d’étudier leurs propriétés globales, en montrant qu’elles ne dépendent d’aucun choix auxiliaire fait dans les procédures. Un deuxième but permis par ces définitions est l’étude des relations entre ces constructions et les notions de livre ouvert porteur, due à Giroux, et de fibré de contact, due à Lerman. Par exemple, on donne une définition de structure de contact de Bourgeois qui est locale,inclue (strictement) les résultats de la construction de Bourgeois et permet de récupérer une classe d’isotopie de livres ouverts porteurs sur les fibres ; ceci suit d’une réinterprétation, inspirée par une idée de Giroux, des livres ouverts porteurs en termes de paires de champs de vecteurs de contact. / This thesis is divided in two parts.The first part focuses on the study of the topology of the contactomorphism group of some explicit high dimensional contact manifolds. More precisely, using constructions and results by Massot, Niederkrüger and Wendl, we construct (infinitely many) examples in all dimensions of contactomor-phisms of closed overtwisted contact manifolds that are smoothly isotopic but not contact-isotopicto the identity. We also give examples of tight high dimensional contact manifolds admitting a contactomorphism whose powers are all smoothly isotopic but not contact-isotopic to the identity ;this is a generalization of a result in dimension 3 by Ding and Geiges.In the second part, we construct examples of higher dimensional contact manifolds with specific properties. This leads us to the existence of tight virtually overtwisted closed contact manifolds in all dimensions and to the fact that every closed contact 3-manifold embeds with trivial nor-mal bundle inside a tight closed contact 5-manifold. This uses known construction procedures byBourgeois (on products with tori) and Geiges (on branched covering spaces). We pass from these procedures to definitions ; this allows to prove a uniqueness statement in the case of contact branched coverings, and to study the global properties (such as tightness and fillability) of the results of both constructions without relying on any auxiliary choice in the procedures. A second goal allowed by these definitions is to study relations between these constructions and the notions of supporting open book, due to Giroux, and of contact fiber bundle, due to Lerman. For instance,we give a definition of Bourgeois contact structures on flat contact fiber bundles which is local,(strictly) includes the results of Bourgeois’ construction, and allows to recover an isotopy class of supporting open books on the fibers. This last point relies on a reinterpretation, inspired by anidea by Giroux, of supporting open books in terms of pairs of contact vector fields.

Dans cette thèse on s'intéresse à la correspondance de Howe géométrique pour les paires duales réductives de type II (G = GL_n, H = GL_m) sur un corps local non-Archimédien F de caractéristique différente de 2, ainsi qu'à la fonctorialité de Langlands géométrique au niveau Iwahori. Notons S la représentation de Weil de G(F) × H(F) et I_H, I_G des sous groupes d'Iwahori de H(F) et G(F). On considère la version géométrique de la représentation S^(I_G×I_H) des algèbres de Hecke-Iwahori H_H et H_G sur laquelle agissent les foncteurs de Hecke. On obtient des résultats partiels sur la description géométrique de la catégorie correspondante. Nous proposons une conjecture décrivant le groupe de Grothendieck de cette catégorie comme module sur les algèbres de Hecke affines étendues de G et de H. Notre description est en termes d'un champ attaché aux groupes de Langlands duaux dans le style de l'isomorphisme de Kazhdan-Lusztig. On démontre cette conjecture pour toutes les paires (GL_1, GL_m). Plus généralement, étant donné deux groupes réductifs connexes G et H et un morphisme \check{G}× SL_2 \to \check{H} de groupes de Langlands duaux, on suggère un bimodule sur les algèbres de Hecke affines étendues de G et de H qui pourrait conjecturalement réaliser la fonctorialité de Langlands géométrique locale au niveau Iwahori.

Soit (M, ω) une variété symplectique. Nous construisons une version de l’éclatement et de la contraction symplectique, que nous définissons relative à une sous-variété lagrangienne L ⊂ M. En outre, si M admet une involution anti-symplectique ϕ, et que nous éclatons une configuration suffisament symmetrique des plongements de boules, nous démontrons qu’il existe aussi une involution anti-symplectique sur l’éclatement ~M. Nous dérivons ensuite une condition homologique pour les surfaces lagrangiennes réeles L = Fix(ϕ), qui détermine quand la topologie de L change losqu’on contracte une courbe exceptionnelle C dans M. Finalement, on utilise ces constructions afin d’étudier le packing relatif dans (ℂP²,ℝP²). / Given a symplectic manifold (M,ω) and a Lagrangian submanifold L, we construct versions of the symplectic blow-up and blow-down which are defined relative to L. Furthermore, if M admits an anti-symplectic involution ϕ, i.e. a diffeomorphism such that ϕ2 = Id and ϕ*ω = —ω , and we blow-up an appropriately symmetric configuration of symplectic balls, then we show that there exists an antisymplectic involution on the blow-up ~M as well. We derive a homological condition for real Lagrangian surfaces L = Fix(ϕ) which determines when the topology of L changes after a blow down, and we then use these constructions to study the real packing numbers for real Lagrangian submanifolds in (ℂP²,ℝP²).

Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes très naturels en géométrie algébrique complexe.<br />La première question étudiée est de savoir si le revêtement universel d'une variété kählérienne lisse compacte avec un fibré tangent décomposé est un produit de deux variétés. A l'aide des familles couvrantes de courbes rationnelles nous montrons que certaines variétés avec un fibré tangent décomposé possèdent une structure d'espace fibré. Une étude systématique nous permet de donner une réponse affirmative à la question pour plusieurs classes de variétés.<br />La deuxième question étudiée est de savoir si la positivité d'un fibré en droites implique la positivité de l'image directe, par un morphisme projectif et plat, du fibré en droites adjoint. La réponse à cette question dépend de la positivité du fibré en droites et de ses liens avec la géométrie du morphisme considéré. Nous donnons une réponse positive à la question sous de faibles conditions géométriques.

Soit (M, ω) une variété symplectique. Nous construisons une version de l’éclatement et de la contraction symplectique, que nous définissons relative à une sous-variété lagrangienne L ⊂ M. En outre, si M admet une involution anti-symplectique ϕ, et que nous éclatons une configuration suffisament symmetrique des plongements de boules, nous démontrons qu’il existe aussi une involution anti-symplectique sur l’éclatement ~M. Nous dérivons ensuite une condition homologique pour les surfaces lagrangiennes réeles L = Fix(ϕ), qui détermine quand la topologie de L change losqu’on contracte une courbe exceptionnelle C dans M. Finalement, on utilise ces constructions afin d’étudier le packing relatif dans (ℂP²,ℝP²). / Given a symplectic manifold (M,ω) and a Lagrangian submanifold L, we construct versions of the symplectic blow-up and blow-down which are defined relative to L. Furthermore, if M admits an anti-symplectic involution ϕ, i.e. a diffeomorphism such that ϕ2 = Id and ϕ*ω = —ω , and we blow-up an appropriately symmetric configuration of symplectic balls, then we show that there exists an antisymplectic involution on the blow-up ~M as well. We derive a homological condition for real Lagrangian surfaces L = Fix(ϕ) which determines when the topology of L changes after a blow down, and we then use these constructions to study the real packing numbers for real Lagrangian submanifolds in (ℂP²,ℝP²).

La relativité générale est une théorie physique de la gravitation élaborée il y a un siècle, dans laquelle l'univers est modélisé par une variété Lorentzienne (N,gamma) de dimension 4 appelée espace-temps et vérifiant les équations d'Einstein. Lorsque l'on sépare la dimension temporelle des trois dimensions spatiales, les équations de contrainte découlent naturellement de la décomposition 3+1 des équations d'Einstein. Elles constituent une condition nécessaire et suffisante pour pouvoir considérer l'espace-temps N comme l'évolution temporelle d'une hypersurface Riemannienne (m,g) plongée dans N avec une seconde forme fondamentale K. Le triplet (m,g,K) constitue alors une donnée initiale solution des équations de contrainte dont on note C l'ensemble. Dans cette thèse, nous utilisons la méthode de Robert Bartnik pour établir la structure de sous-variété de Hilbert de C pour des données initiales faiblement asymptotiquement hyperboliques, dont la régularité peut être reliée à la conjecture de courbure L^{2} bornée. Les difficultés inhérentes au cas faiblement AH ont nécessité l'introduction de deux opérateurs différentiels d'ordre deux et l'obtention d'estimées de type Poincaré et Korn pour ces opérateurs. Une fois la structure de Hilbert obtenue, nous définissons une fonctionnelle masse lisse sur la sous-variété C et compatible avec nos conditions de faible régularité. L'invariance géométrique de la masse est étudiée et montrée, modulo une conjecture en faible régularité relative au changement de cartes au voisinage de l'infini. Enfin, nous faisons le lien entre les points critiques de la masse et les métriques statiques. / General relativity is a gravitational theory born a century ago, in which the universe is a 4-dimensional Lorentzian manifold (N,gamma) called spacetime and satisfying Einstein's field equations. When we separate the time dimension from the three spatial ones, constraint equations naturally follow on from the 3+1 décomposition of Einstein's equations. Constraint equations constitute a necessary condition,as well as sufficient, to consider the spacetime N as the time evolution of a Riemannian hypersurface (m,g) embeded into N with the second fundamental form K. (m,g,K) is then an element of C, the set of initial data solutions to the constraint equations. In this work, we use Robert Bartnik's method to provide a Hilbert submanifold structure on C for weakly asymptotically hyperbolic initial data, whose regularity can be related to the bounded L^{2} curvature conjecture. Difficulties arising from the weakly AH case led us to introduce two second order differential operators and we obtain Poincaré and Korn-type estimates for them. Once the Hilbert structure is properly described, we define a mass functional smooth on the submanifold C and compatible with our weak regularity assumptions. The geometrical invariance of the mass is studied and proven, only up to a weak regularity conjecture about coordinate changes near infinity. Finally, we make a correspondance between critical points of the mass and static metrics.