O presente trabalho destina-se ao estudo numérico da geometria de tubos de seção elíptica que facilite a transferência de calor adimensional e diminua a queda de pressão adimensional (Δ̃) sofrida pelo escoamento. O método aplicado é o Design Construtal, que visa determinar a geometria que apresentará a menor resistência ao escoamento, ou seja, busca-se determinar a razão de aspecto da elipse (=⁄) que favorece a transferência de calor e diminui a queda de pressão do escoamento. O fluido empregado neste estudo apresenta características de viscoplasticidade. A relação entre a tensão cisalhante e a taxa de deformação obedece ao modelo de Herschel-Bulkley modificado. Considera-se que o escoamento é incompressível, laminar, bidimensional, externo e ocorre em regime permanente. A solução numérica do problema proposto é realizada com um código comercial baseado no método dos volumes finitos. É investigada a influência do índice de potência, , sobre a seção elíptica que facilita o escoamento e, para isso, este índice é variado de 0,4 a 1. A influência dos números de Reynolds (√), Herschel-Bulkley (√) e Prandtl (√) sobre o comportamento do escoamento também é avaliada. √ é variado de 1 a 40, √ é variado de 1 a 100 e √ é variado de 0,1 a 100 Os resultados mostram que, para um escoamento com √=1, √=1 e √=1, o aumento do índice de potência influencia negativamente na transferência de calor adimensional e a seção elíptica, que maximiza esta transferência de calor adimensional, tende a ser mais alongada na direção do escoamento. Já e influenciam positivamente na transferência de calor adimensional. Para um escoamento com √=1, √=1, =0,4 conclui-se que com o aumento de a razão de aspecto ótima (q,opt), do ponto de vista térmico, diminui. Quando é considerado um escoamento com √=1, √=1, =0,4 conclui-se que q,opt diminui com o aumento de , ou seja, a elipse torna-se mais alongada no sentido do escoamento. A variação de √ em um escoamento com √=1, √=1, =0,4 mostra que o aumento deste parâmetro acarreta em aumento da taxa de transferência adimensional e de Δ̃. / The present work is aimed at the numerical study of the geometry of elliptic section tubes that facilitates the dimensionless heat transfer and decreases the dimensionless pressure drop (Δ̃) suffered by the flow. The applied method is the Construtal Design, which aims to determine the geometry that will present the least resistance to the flow, that is, to determine the aspect ratio of the ellipse (=⁄) that favors heat transfer and decreases the flow pressure drop. The fluid used in this study has viscoplasticity characteristics. The relationship between shear stress and strain rate follows the modified Herschel-Bulkley model. It is considered that the flow is incompressible, laminar, two-dimensional, external and occurs in steady state. The numerical solution of the proposed problem is carried out with a commercial code based on the finite volume method. The influence of the power index, n, on the elliptical section facilitating the flow is investigated, and for this, the index is varied from 0.4 to 1. The influence of the Reynolds number (√), Herschel-Bulkley number (√) and Prandtl number (√) on the flow behavior is also evaluated √ is varied from 1 to 40, √ is varied from 1 to 100 and √ is varied from 0.1 to 100. The results show that for a flow with √=1, √=1 and √=1, the increase of the power index negatively influences the dimensionless heat transfer and the elliptic section, which maximizes this dimensionless heat transfer, tends to be more elongated in the direction of flow. Already √ and √ influence positively the dimensionless heat transfer. For a flow with √=1, √=1, =0.4 it is concluded that with the increase of √ the optimum aspect ratio (q,opt), from the thermal point of view, decreases. When a flow is considered with √=1, √=1, =0.4 it is concluded that q,opt decreases with the increase of √, that is, ellipse becomes more elongated in the flow direction. The variation of √ in a flow with √=1, √=1, =0.4 shows that the increase of this parameter causes an increase of the dimensionless transfer rate and Δ̃.

[pt] O tamponamento de poços de petróleo é analisado numericamente. Neste processo, um fluido mais denso (pasta de cimento) é colocado sobre outro menos denso (fluido de perfuração) em um poço vertical, resultando em uma situação de instabilidade. O escoamento resultante foi estudado de forma a avaliar se o isolamento do poço ocorreria até o momento da cura do cimento (entre 4 e 5 horas). O cimento foi modelado como fluido não-newtoniano e o fluido de perfuração foi considerado newtoniano em alguns casos e não-newtoniano nos demais casos. A solução do escoamento foi obtida numericamente, usando-se o programa ANSYS Fluent. As equações de conservação são resolvidas empregando-se o Método dos Volumes Finitos e o escoamento multifásico foi modelado utilizando-se o método Volume de Fluido. O comportamento viscoplástico não-newtoniano foi modelado empregando a equação constitutiva do fluido newtoniano generalizado, com a função de viscosidade Herschel-Bulkley. O sucesso da operação foi determinado pela combinação dos parâmetros reológicos e geométricos. O efeito dos parâmetros como a razão entre densidades e viscosidades foi investigado para uma geometria fixa (razão fixa entre o comprimento do tampão e o seu diâmetro). Além disso, a influência dessa mesma razão no processo também foi analisada enquanto outros parâmetros foram mantidos fixos. Foi demonstrado que o escoamento é muito instável e que os parâmetros estudados afetam consideravelmente a operação. / [en] The plugging process of an oil well was analyzed numerically. In this process, the denser fluid is the cement plug, which was placed above the drilling fluid in a vertical well, resulting in an unstable situation. The cement plug was modeled as non-Newtonian and the drilling fluid was considered Newtonian in some cases and non-Newtonian in other cases. The flow solution is studied using the ANSYS Fluent program. The conservation equations were solved using the Finite Volume Method, and the multiphase flow was modeled with the Volume of Fluid method. The non-Newtonian viscoplastic behavior of the cement plug was modeled with the Generalized Newtonian Fluid constitutive equation, with the Herschel-Bulkley viscosity function. The success of the operation was determined by the combination of the governing rheological and geometric parameters. The effect of the governing parameters, such as the density ratio and the viscosity ratio, were investigated for a fixed geometry and a fixed ratio between the cement plug length and diameter. Furthermore, the influence of this ratio in the process was also analyzed while others governing parameters were fixed. It was shown that the flow is highly unstable, and that the governing parameters considerably affect the operation.

A maioria dos líquidos encontrados na natureza são não-Newtonianos e o estudo do seu comportamento tem uma importância significante em diferentes áreas da engenharia. Entre eles, uma larga classe de materiais que exibem pequena ou nenhuma deformação quando sujeitos a um nível de tensões inferiores a uma tensão limite de escoamento – chamado de comportamento viscoplástico. A presente Dissertação tem como objetivo o estudo numérico de escoamentos bidimensionais em regime permanente de fluidos viscoplásticos não-lineares em uma cavidade forçada. O modelo mecânico é definido pelas equações de conservação de massa e de balanço de momentum acopladas ao modelo viscoplástico recentemente introduzido por Souza Mendes e Dutra – SMD – e é aproximado por um método de elementos finitos multi-campos estabilizado baseado na metodologia de Galerkin mínimos-quadrados que possui como variáveis primais os campos de tensão-extra, velocidade e pressão. As condições de compatibilidade entre os subespaços de elementos finitos para tensão-extra-velocidade e velocidade-pressão são violadas, permitindo assim a utilização de interpolações de igual ordem. O método estabilizado foi implementado no código de elementos finitos para fluidos não-Newtonianos em desenvolvimento no Laboratório de Mecânica dos Fluidos Aplicada e Computacional (LAMAC) da UFRGS. Em diversos trabalhos encontrados na literatura, a superfície de escoamento do material é definida como a região onde o módulo da tensão-extra é igual à tensão limite de escoamento. É mostrado nesta Dissertação que esta metodologia pode conduzir à alguns erros, dado ao grande aumento experimentado pela taxa de cisalhamento em uma pequena faixa de tensões próximas à tensão limite de escoamento. Assim, foi adotada outra metodologia, definindo a superfície de escoamento como a linha onde a taxa de cisalhamento é igual a um valor dado pela relação de parâmetros reológicos do fluido, especificamente a tensão limite de escoamento e a viscosidade Newtoniana para baixas taxas de cisalhamento. Nas simulações numéricas realizadas, o número de salto, J, o coeficiente de power-law, n, e a vazão adimensional, U*, são variados de forma a avaliar de que modo influenciam na dinâmica de escoamentos viscoplásticos. Os resultados obtidos estão de acordo com a literatura e atestam a estabilidade da formulação empregada. / Non-Newtonian fluids are the majority of liquids found on the nature and the study of their behavior has a significant importance on different areas of engineering. Among them, there is a wide class of materials that exhibits little or no deformation when subjected to a stress level behind an apparent yield stress – called the viscoplastic behavior. The present thesis aimed to a numerical study of two dimensional steady state laminar flows of non-linear viscoplastic fluids in a lid-driven cavity. The mechanical model was defined by the mass conservation and momentum balance equations coupled to the recently introduced Souza Mendes and Dutra – SMD – viscoplastic model and has been approximated by a stabilized multi-field finite element method based on the Galerkin least-squares methodology, having as primal variables the extra-stress, velocity and pressure fields. In this way, the compatibility conditions between the extra-stressvelocity and pressure-velocity (Babuška-Brezzi condition) finite element subspaces are violated, allowing to use equal-order finite element interpolations. The stabilized method has been implemented in the finite element code for non-Newtonian fluids under development at the Laboratory of Applied and Computational Fluid Mechanics (LAMAC) of UFRGS. In several works found on the literature, the yield surface of the material is defined as the region where the stress modulus is equal to the yield stress. Is shown in this work that this methodology can lead to some errors, due to the large strain rate increasing in a small range of values of stress on the vicinity of the yield stress. Therefore, it was adopted another approach, defining the yield surface as the line where the strain rate is equal to a value given by the relation of the rheological parameters of the fluid, namely the yield stress and the viscosity at low shear rates. In the performed numerical simulations, the jump number, J, the the power-law coefficient, n,and the non-dimensional flow rate, U*, are ranged in order to evaluate how they the influence on the viscoplastic fluid dynamics have been investigated. All results found were in accordance with the affine literature and attests the good stability features of the formulation.

Le sujet de cette thèse porte sur quelques résultats de convergence pour les inéquations variationnelles avec applications dans l'étude des problèmes aux limites décrivant le contact entre un corps déformable et une fondation. La thèse est composée de deux parties. Dans la première partie, nous nous intéressons à l'analyse des inéquations quasivariationnelles, avec ou sans opérateurs de mémoire, dans un espace de Hilbert. Nous prouvons plusieurs résultats de convergence liés à la perturbation de l'ensemble des contraintes ainsi qu'à une méthode de pénalisation. Aussi, pour une classe d'inéquations quasivariationnelles avec opérateurs de mémoire nous étudions une formulation duale pour laquelle nous présentons des résultats d'existence, d'unicité et d'équivalence. La deuxième partie est consacrée à l'application de ces résultats abstraits dans l'étude de six problèmes de contact pour des matériaux élastiques, viscoélastiques et viscoplastiques, dans le cas statique ou quasistatique. Les lois de contact considérées sont la loi de Signorini, la loi de contact avec compliance normale et contrainte unilatérale et la loi de contact avec contrainte unilatérale et seuil critique. Enfin, nous étudions un nombre de problèmes de contrôle optimal associés aux certains modèles de contact. Pour ces problèmes nous obtenons des résultats d'existence et de convergence. / The topic of this thesis concerns some convergence results for variational inequalities with applications in the study of boundary value problems which describe the contact between a deformable body and a foundation. The thesis is divided into two parts. In the first part, we are interested in the analysis of quasivariational inequalities, with or without history-dependent operators, in Hilbert spaces. We prove some convergence results related to a perturbation of the set of constraints and a penalty method, as well. Moreover, for a class of history-dependent quasivariational inequalities we study a dual formulation for which we present existence, uniqueness and equivalence results. The second part is devoted to applications of these abstract results in the study of six contact problems with elastic, viscoelastic and viscoplastic materials, both in the static or quasistatic case. The contact conditions we consider are the Signorini condition, the normal compliance condition with unilateral constraint, the unilateral constraint condition with yield limit. Finally, we study a number of optimal control problems associated to some contact models. For these problems we provide existence and convergence results.

O presente trabalho destina-se ao estudo numérico da geometria de tubos de seção elíptica que facilite a transferência de calor adimensional e diminua a queda de pressão adimensional (Δ̃) sofrida pelo escoamento. O método aplicado é o Design Construtal, que visa determinar a geometria que apresentará a menor resistência ao escoamento, ou seja, busca-se determinar a razão de aspecto da elipse (=⁄) que favorece a transferência de calor e diminui a queda de pressão do escoamento. O fluido empregado neste estudo apresenta características de viscoplasticidade. A relação entre a tensão cisalhante e a taxa de deformação obedece ao modelo de Herschel-Bulkley modificado. Considera-se que o escoamento é incompressível, laminar, bidimensional, externo e ocorre em regime permanente. A solução numérica do problema proposto é realizada com um código comercial baseado no método dos volumes finitos. É investigada a influência do índice de potência, , sobre a seção elíptica que facilita o escoamento e, para isso, este índice é variado de 0,4 a 1. A influência dos números de Reynolds (√), Herschel-Bulkley (√) e Prandtl (√) sobre o comportamento do escoamento também é avaliada. √ é variado de 1 a 40, √ é variado de 1 a 100 e √ é variado de 0,1 a 100 Os resultados mostram que, para um escoamento com √=1, √=1 e √=1, o aumento do índice de potência influencia negativamente na transferência de calor adimensional e a seção elíptica, que maximiza esta transferência de calor adimensional, tende a ser mais alongada na direção do escoamento. Já e influenciam positivamente na transferência de calor adimensional. Para um escoamento com √=1, √=1, =0,4 conclui-se que com o aumento de a razão de aspecto ótima (q,opt), do ponto de vista térmico, diminui. Quando é considerado um escoamento com √=1, √=1, =0,4 conclui-se que q,opt diminui com o aumento de , ou seja, a elipse torna-se mais alongada no sentido do escoamento. A variação de √ em um escoamento com √=1, √=1, =0,4 mostra que o aumento deste parâmetro acarreta em aumento da taxa de transferência adimensional e de Δ̃. / The present work is aimed at the numerical study of the geometry of elliptic section tubes that facilitates the dimensionless heat transfer and decreases the dimensionless pressure drop (Δ̃) suffered by the flow. The applied method is the Construtal Design, which aims to determine the geometry that will present the least resistance to the flow, that is, to determine the aspect ratio of the ellipse (=⁄) that favors heat transfer and decreases the flow pressure drop. The fluid used in this study has viscoplasticity characteristics. The relationship between shear stress and strain rate follows the modified Herschel-Bulkley model. It is considered that the flow is incompressible, laminar, two-dimensional, external and occurs in steady state. The numerical solution of the proposed problem is carried out with a commercial code based on the finite volume method. The influence of the power index, n, on the elliptical section facilitating the flow is investigated, and for this, the index is varied from 0.4 to 1. The influence of the Reynolds number (√), Herschel-Bulkley number (√) and Prandtl number (√) on the flow behavior is also evaluated √ is varied from 1 to 40, √ is varied from 1 to 100 and √ is varied from 0.1 to 100. The results show that for a flow with √=1, √=1 and √=1, the increase of the power index negatively influences the dimensionless heat transfer and the elliptic section, which maximizes this dimensionless heat transfer, tends to be more elongated in the direction of flow. Already √ and √ influence positively the dimensionless heat transfer. For a flow with √=1, √=1, =0.4 it is concluded that with the increase of √ the optimum aspect ratio (q,opt), from the thermal point of view, decreases. When a flow is considered with √=1, √=1, =0.4 it is concluded that q,opt decreases with the increase of √, that is, ellipse becomes more elongated in the flow direction. The variation of √ in a flow with √=1, √=1, =0.4 shows that the increase of this parameter causes an increase of the dimensionless transfer rate and Δ̃.

Escoamentos sem inércia de fluido elasto-viscoplástico, dentro de uma cavidade, são numericamente analisados. As soluções visam compreender a influência dos efeitos viscosos e elásticos na topologia de superfícies de escoamento. Assumindo-se que o colapso da microestrutura do material é instantâneo, o modelo mecânico é constituído pelas equações governantes de massa e momentum para fluidos incompressíveis, associado a uma equação hiperbólica para o tensor tensão extra, baseado na equação do modelo Oldroyd-B (Nassar et al, 2011). A principal característica do modelo é considerar a viscosidade e o tempo de relaxação como função da taxa de deformação, permitindo a pseudoplasticidade de viscosidade e restringindo os efeitos elásticos para as regiões não deformadas do material. As simulações numéricas são realizadas através do método de Galerkin mínimos quadrados a três campos: tensor tensão extra, pressão e velocidade. Os resultados mostram que as superfícies de escoamento do material são fortemente influenciadas pela ação combinada entre os efeitos elásticos e viscosos, estando em conformidade com a recente visualização experimental dos fluxos elasto-viscoplásticos. / Elasto viscoplastic uid ows without inertia, within a cavity, are numerically analyzed. The solutions aim to understand the in uence of viscous and elastic e ects on the topology of yield surfaces. Assuming that the collapse of the material microstructure is instantaneous, the mechanical model consists of the governing equations of mass and momentum for incompressible uids, associated with a hyperbolic equation for the extra stress tensor, based on the equation of the Oldroyd-B model (Nassar et al, 2011). The main feature of model is to consider the viscosity and the relaxation time as a function of shear rate, allowing the shear-thinning of viscosity and restricting elastic e ects for regions not deformed material. Numerical simulations are performed by the method of Galerkin Least Squares to three elds: extra stress tensor, pressure and velocity. The results show that the yield surfaces of material are strongly in uenced by the combined action between the elastic and viscous e ects, complying with the recent experimental visualization of elasto-viscoplastic ows.

Esta dissertação investiga numericamente a influência dos efeitos viscosos e elásticos em escoamentos de materiais viscoplásticos no interior de uma cavidade dirigida. O modelo mecânico empregado é constituído pelas equações de conservação de massa e pelo princípio da quantidade de movimento linear, para fluidos incompressíveis, acoplado à equação constitutiva. Esta equação modifica o modelo viscoelástico de Oldroyd-B de modo a acomodar que os tempos de relaxação e retardo do material, bem como sua viscosidade viscoplástica, dependam das mudanças de sua microestrutura. A aproximação numérica do modelo emprega o método multi-campos de Galerkin mínimos-quadrados em termos do tensor de tensão extra, do vetor velocidade e do campo de pressão. Os resultados objetivam a determinção do tamanho e localização das regiões aparentemente não-escoadas do material, bem como sua deformação elástica, intensidade de tensão, e a sua vorticidade no interior da cavidade. Os resultados claramente indicam que o padrão do escoamento é fortemente influenciado pela variação dos efeitos elásticos (variação do tempo de relaxação adimensional, θ0 * ), viscosos (variação do índice de power-law, n) e cinemáticos (variação da velocidade adimensional, U* , do escoamento) no interior da cavidade. / This dissertation investigated numerically the influence of viscous and elastic effects on flows of viscoplastic materials within a lid-driven cavity. The mechanical model used is made up of mass and momentum balance equations, coupled with the constitutive equation. This equation modifies the viscoelastic Oldroyd-B model to accommodate both relaxation and retardation times, and viscosity function, dependent on the microstructure changes. Numerical approximations of the model make use a three-field Galerkin least squares method in terms of the extra stress tensor, velocity vector and pressure field. Computations focus on the determination of the size and position of apparently unyielded regions as well as the elastic deformation, stress intensity, and the vorticity within of the cavity. Results clearly indicate that the flow pattern is strongly influenced by the elastic (variation of the dimensionless relaxation time, θ0 * ), viscous (variation of the power-law index, n) and kinematic (variation of the dimensionless flow velocity, U* ) effects within the cavity.

A maioria dos líquidos encontrados na natureza são não-Newtonianos e o estudo do seu comportamento tem uma importância significante em diferentes áreas da engenharia. Entre eles, uma larga classe de materiais que exibem pequena ou nenhuma deformação quando sujeitos a um nível de tensões inferiores a uma tensão limite de escoamento – chamado de comportamento viscoplástico. A presente Dissertação tem como objetivo o estudo numérico de escoamentos bidimensionais em regime permanente de fluidos viscoplásticos não-lineares em uma cavidade forçada. O modelo mecânico é definido pelas equações de conservação de massa e de balanço de momentum acopladas ao modelo viscoplástico recentemente introduzido por Souza Mendes e Dutra – SMD – e é aproximado por um método de elementos finitos multi-campos estabilizado baseado na metodologia de Galerkin mínimos-quadrados que possui como variáveis primais os campos de tensão-extra, velocidade e pressão. As condições de compatibilidade entre os subespaços de elementos finitos para tensão-extra-velocidade e velocidade-pressão são violadas, permitindo assim a utilização de interpolações de igual ordem. O método estabilizado foi implementado no código de elementos finitos para fluidos não-Newtonianos em desenvolvimento no Laboratório de Mecânica dos Fluidos Aplicada e Computacional (LAMAC) da UFRGS. Em diversos trabalhos encontrados na literatura, a superfície de escoamento do material é definida como a região onde o módulo da tensão-extra é igual à tensão limite de escoamento. É mostrado nesta Dissertação que esta metodologia pode conduzir à alguns erros, dado ao grande aumento experimentado pela taxa de cisalhamento em uma pequena faixa de tensões próximas à tensão limite de escoamento. Assim, foi adotada outra metodologia, definindo a superfície de escoamento como a linha onde a taxa de cisalhamento é igual a um valor dado pela relação de parâmetros reológicos do fluido, especificamente a tensão limite de escoamento e a viscosidade Newtoniana para baixas taxas de cisalhamento. Nas simulações numéricas realizadas, o número de salto, J, o coeficiente de power-law, n, e a vazão adimensional, U*, são variados de forma a avaliar de que modo influenciam na dinâmica de escoamentos viscoplásticos. Os resultados obtidos estão de acordo com a literatura e atestam a estabilidade da formulação empregada. / Non-Newtonian fluids are the majority of liquids found on the nature and the study of their behavior has a significant importance on different areas of engineering. Among them, there is a wide class of materials that exhibits little or no deformation when subjected to a stress level behind an apparent yield stress – called the viscoplastic behavior. The present thesis aimed to a numerical study of two dimensional steady state laminar flows of non-linear viscoplastic fluids in a lid-driven cavity. The mechanical model was defined by the mass conservation and momentum balance equations coupled to the recently introduced Souza Mendes and Dutra – SMD – viscoplastic model and has been approximated by a stabilized multi-field finite element method based on the Galerkin least-squares methodology, having as primal variables the extra-stress, velocity and pressure fields. In this way, the compatibility conditions between the extra-stressvelocity and pressure-velocity (Babuška-Brezzi condition) finite element subspaces are violated, allowing to use equal-order finite element interpolations. The stabilized method has been implemented in the finite element code for non-Newtonian fluids under development at the Laboratory of Applied and Computational Fluid Mechanics (LAMAC) of UFRGS. In several works found on the literature, the yield surface of the material is defined as the region where the stress modulus is equal to the yield stress. Is shown in this work that this methodology can lead to some errors, due to the large strain rate increasing in a small range of values of stress on the vicinity of the yield stress. Therefore, it was adopted another approach, defining the yield surface as the line where the strain rate is equal to a value given by the relation of the rheological parameters of the fluid, namely the yield stress and the viscosity at low shear rates. In the performed numerical simulations, the jump number, J, the the power-law coefficient, n,and the non-dimensional flow rate, U*, are ranged in order to evaluate how they the influence on the viscoplastic fluid dynamics have been investigated. All results found were in accordance with the affine literature and attests the good stability features of the formulation.

Escoamentos sem inércia de fluido elasto-viscoplástico, dentro de uma cavidade, são numericamente analisados. As soluções visam compreender a influência dos efeitos viscosos e elásticos na topologia de superfícies de escoamento. Assumindo-se que o colapso da microestrutura do material é instantâneo, o modelo mecânico é constituído pelas equações governantes de massa e momentum para fluidos incompressíveis, associado a uma equação hiperbólica para o tensor tensão extra, baseado na equação do modelo Oldroyd-B (Nassar et al, 2011). A principal característica do modelo é considerar a viscosidade e o tempo de relaxação como função da taxa de deformação, permitindo a pseudoplasticidade de viscosidade e restringindo os efeitos elásticos para as regiões não deformadas do material. As simulações numéricas são realizadas através do método de Galerkin mínimos quadrados a três campos: tensor tensão extra, pressão e velocidade. Os resultados mostram que as superfícies de escoamento do material são fortemente influenciadas pela ação combinada entre os efeitos elásticos e viscosos, estando em conformidade com a recente visualização experimental dos fluxos elasto-viscoplásticos. / Elasto viscoplastic uid ows without inertia, within a cavity, are numerically analyzed. The solutions aim to understand the in uence of viscous and elastic e ects on the topology of yield surfaces. Assuming that the collapse of the material microstructure is instantaneous, the mechanical model consists of the governing equations of mass and momentum for incompressible uids, associated with a hyperbolic equation for the extra stress tensor, based on the equation of the Oldroyd-B model (Nassar et al, 2011). The main feature of model is to consider the viscosity and the relaxation time as a function of shear rate, allowing the shear-thinning of viscosity and restricting elastic e ects for regions not deformed material. Numerical simulations are performed by the method of Galerkin Least Squares to three elds: extra stress tensor, pressure and velocity. The results show that the yield surfaces of material are strongly in uenced by the combined action between the elastic and viscous e ects, complying with the recent experimental visualization of elasto-viscoplastic ows.

[pt] O processo de deposição de uma fina camada de líquido sobre um substrato em movimento é conhecido como processo de revestimento. Um das técnicas mais utilizadas é o Revestimento por Rotação Direta, devido a sua simplicidade e baixo custo de instalação e operação. A baixas velocidades, o escoamento na região de aplicação do líquido é bi- dimensional e permanente. Porem quando a velocidade é elevada o escoamento bi- dimensional torna-se instável, levando a um escoamento tri-dimensional, com variação da espessura do filme de líquido depositado ao longo da largura do substrato. Este tipo de instabilidade é comunmente denominado Ribbing, e limita a velocidade do processo dependendo dos requisitos de uniformidade de espessura. Geralmente, os líquidos utilizados neste processo são soluções poliméricas, os que apresentam um comportamento não Newtoniano. Foi demonstrado, para líquidos Newtonianos, que o gradiente da pressão perto do menisco destabiliza o escoamento. O parâmetro crítico para o aparecimento da instabilidade é o número de capilaridade. Para líquidos viscoelásticos o comportamento do escoamento muda dramaticamente, o inicio das instabilidades ocorre a bem menores números de capilaridade quando é comparado ao caso Newtoniano. O mecanismo pelo qual a elasticidade desestabiliza o escoamento perto da superfície livre ainda não é completamente entendido. Predições recentes mostraram que a zona de recirculação perto do menisco presente para líquidos Newtonianos, diminui e desaparece posteriormente a medida que o escoamento torna-se mais viscoelástico (aumento do Número de Weissenberg). O objetivo deste trabalho é verificar experimentalmente este fenômeno e determinar o efeito das propriedades viscoelásticas do líquido no processo. Para isso, o escoamento entre uma placa estacionaria e o cilindro girante é analisado experimentalmente visualizando a região perto da superfície livre e medindo o campo de velocidade usando a técnica de Velocimetria por Imagem de Partículas (PIV).Diferentes soluções de baixo peso molecular polietileno glicol (PEG), e alto peso molecular oxido de polietileno (PEO), característica elástica, em agua foram usados para avaliar o efeito da viscoelasticidade no comportamento do escoamento. Com este analises experimental se quer confirmar la prediçao teórica de Zevallos(2003) sobre o efeito da viscoelasticidade nas linhas de corrente e na estabilidade da superfície livre com respeito às perturbaçoes tri-dimensionais. / [en] Roll coating is a common method in the manufacture of a wide variety of products. It is used to apply a thin liquid layer to a continuous flexible substrate. At low speeds, the flow is two-dimensional and steady; as the roll speed is raised, the two-dimensional flow is unstable and is replaced by a steady three-dimensional flow, which results in more or less regular stripes in the machine direction. This type of the instability is commonly called ribbing, it can limit the speed of the process if a smooth film is required as a final product. The liquids used in this process generaly are polimeric solutions, which present Non-Newtonian behavior. It was demonstrated, for Newtonian liquids, that the gradient of the pressure close to the meniscus destabilizes the flow, whereas the surface tension has a stabilizing effect. The critical parameter for the flow stability is the capillary number. For viscoelastic liquids can drastically change the nature of the flow near the free surfaces of the coating bead. The onset of the instabilities occurs at much lower capillary numbers than Newtonian flow case, which falls with the growth of the elasticity. Accurate theoretical predictions of the onset of ribbing when viscoelastic liquids are used is still not available. The mechanisms by which the liquid elasticity makes the flow unstable at Capillary numbers much lower than in the Newtonian case is not completely understood. Recent theoretical predictions have shown that at high Weissenberg number, the recirculation zone, present in the Newtonian flow completely disappears. In this work, film splitting flows between a stationary plate and rotating roll are analyzed experimentally by visualizing the free surface configuration and measuring the velocity field using the Particle Image Velocimetry (PIV) technique. Various solutions of low molecular weight polyethylene glycol (PEG) and high molecular weight polyethylene oxide (PEO) in water were used in order to evaluate the effect of mildly viscoelastic behavior on the flow. The goal was to confirm the theoretical predictions of Zevallos et al. (2004) on the effect of the liquid viscoelasticity on the streamline pattern and on the stability of the free surface with respect to three-dimensional disturbances.