Mit der vorgelegten Arbeit werden neue Beiträge zur Grundlagenforschung auf dem Gebiet der Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie vorgelegt. Grenzwertsätze für Summen unabhängiger Zufallsgrößen nehmen unter den verschiedenartigsten Forschungsrichtungen der Wahrscheinlichkeitstheorie einen bedeutenden Platz ein und sind in der heutigen Zeit nicht mehr allein von theoretischem Interesse. In der Arbeit werden Ergebnisse zu neuere Problemstellungen aus der Summationstheorie unabhängiger Zufallsgrößen vorgestellt, die erstmalig in den fünfziger bzw. sechzger Jahren des 20. Jahrhunderts in der Literatur auftauchten und in den zurückliegenden Jahren mit großem Interesse untersucht wurden. International haben sich in der Theorie der Grenzwertsätze zwei Hauptrichtungen herauskristallisiert: Zum Einen die Fragen zur Konvergenzgeschwindigkeit, mit der eine Summenverteilungsfunktion gegen eine vorgegebene Grenzverteilungsfunktion konvergiert, und zum Anderen die Fragen nach einer Fehlerabschätzung zur Grenzverteilungsfunktion bei einem endlichen Summationsprozeß. Zuerst werden unbegrenz teilbare Grenzverteilungsfunktionen betrachtet und dann wird speziell die Normalverteilung als Grenzverteilung diskutiert. Als charakteristische Kenngrößen werden sowohl Momente oder einseitige Momente bzw. Pseudomomente benutzt. Die Fehlerabschätzungen werden sowohl als gleichmäßige wie auch ungleichmäßige Restgliedabschätzungen angegeben, einschließlich einer Beschreibung der dabei auftretenden absoluten Konstanten. Als Beweismethoden werden sowohl die Methode der charakteristischen Funktionen als auch direkte Methoden (Faltungsmethode) weiter ausgebaut. Für eine 1965 von Bikelis angegebene Fehlerabschätzung gelang es nun erstmalig, die auftretende absolute Konstante C mit C=114,667 numerisch abzuschätzen. Weiterhin werden in der Arbeit sogenannte Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen studiert. Hier werden erstmalig auch Restgliedabschätzungen abgeleitet. Der in den letzten Jahren zum Beweis von Grenzwertsätzen eingeschlagene Weg über die Faltung von Verteilungsfunktionen erwies sich als bahnbrechend und bestimmte die Entwicklung sowohl der Theorie der Grenzwertsätze für mittlere und große Abweichungen als auch der Untersuchung zu den ungleichmäßigen Abschätzungen im zentralen Grenzwertsatz bedeutend. Die Faltungsmethode stellt in der vorliegenden Dissertationsschrift das hauptsächliche Beweisinstrument dar. Damit gelang es, eine Reihe neuer Ergebnisse zu erhalten und insbesondere mittels der elektronischen Datenverarbeitung neue numerische Resultate zu erhalten. / With the presented work new contributions to basic research in the field of limit theorems of probability theory are given. Limit theorems for sums of independent random variables taking on the most diverse lines of research in probability theory an important place in modern times and are no longer only of theoretical interest. In the work results are presented to newer problems on the summation theory of independent random variables, at first time in the fifties and sixties of the 20th Century appeared in the literature and have been studied in the past few years with great interest. International two main directions have emerged in the theory of limit theorems: Firstly, the questions on the convergence speed of a cumulative distribution function converges to a predetermined limit distribution function, and on the other hand the questions on an error estimate for the limit distribution function at a finite summation process. First indefinite divisible limit distribution functions are considered, then the normal distribution is specifically discussed as a limit distribution. As characteristic parameters both moments or one-sided moments or pseudo-moments are used. The error estimates are stated both in uniform as well as non-uniform residual bounds including a description of the occurring absolute constants. Both the method of characteristic functions as well as direct methods (convolution method) can be further expanded as proof methods. Now for the error estimate, 1965 given by Bikelis, was the first time to estimate the appearing absolute constant C with C = 114.667 numerically. Furthermore, in the work of so-called limit theorems for moderate deviations are studied. Here also remainder estimates are derived for the first time. In recent years to the proof of limit theorems the chosen way of the convolution of distribution functions proved to be groundbreaking and determined the development of both the theory of limit theorems for moderate and large deviations as well as the investigation into the nonuniform estimates in the central limit theorem significantly. The convolution method is in the present thesis, the main instrument of proof. Thus, it was possible to obtain a series of results and obtain new numerical results in particular by means of electronic data processing.

Generating functions express a sequence as coefficients arising from a power series in variables. They have many applications in combinatorics and probability. In this paper, we will investigate the important properties of four kinds of generating functions in one variables: ordinary generating unction, exponential generating function, probability generating function and moment generating function. Many examples with applications in combinatorics and probability, will be discussed. Finally, some well-known contest problems related to generating functions will be addressed.

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Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'estimation de la synchrone de consommation électrique (courbe moyenne). Etant donné que les variables étudiées sont fonctionnelles et que les capacités de stockage sont limitées et les coûts de transmission élevés, nous nous sommes intéressés à des méthodes d'estimation par sondage, alternatives intéressantes aux techniques de compression du signal. Nous étendons au cadre fonctionnel des méthodes d'estimation qui prennent en compte l'information auxiliaire disponible afin d'améliorer la précision de l'estimateur de Horvitz-Thompson de la courbe moyenne de consommation électrique. La première méthode fait intervenir l'information auxiliaire au niveau de l'estimation, la courbe moyenne est estimée à l'aide d'un estimateur basé sur un modèle de régression fonctionnelle. La deuxième l'utilise au niveau du plan de sondage, nous utilisons un plan à probabilités inégales à forte entropie puis l'estimateur de Horvitz-Thompson fonctionnel. Une estimation de la fonction de covariance est donnée par l'extension au cadre fonctionnel de l'approximation de la covariance donnée par Hájek. Nous justifions de manière rigoureuse leur utilisation par une étude asymptotique. Pour chacune de ces méthodes, nous donnons, sous de faibles hypothèses sur les probabilités d'inclusion et sur la régularité des trajectoires, les propriétés de convergence de l'estimateur de la courbe moyenne ainsi que de sa fonction de covariance. Nous établissons également un théorème central limite fonctionnel. Afin de contrôler la qualité de nos estimateurs, nous comparons deux méthodes de construction de bande de confiance sur un jeu de données de courbes de charge réelles. La première repose sur la simulation de processus gaussiens. Une justification asymptotique de cette méthode sera donnée pour chacun des estimateurs proposés. La deuxième utilise des techniques de bootstrap qui ont été adaptées afin de tenir compte du caractère fonctionnel des données / In this thesis, we are interested in estimating the mean electricity consumption curve. Since the study variable is functional and storage capacities are limited or transmission cost are high survey sampling techniques are interesting alternatives to signal compression techniques. We extend, in this functional framework, estimation methods that take into account available auxiliary information and that can improve the accuracy of the Horvitz-Thompson estimator of the mean trajectory. The first approach uses the auxiliary information at the estimation stage, the mean curve is estimated using model-assisted estimators with functional linear regression models. The second method involves the auxiliary information at the sampling stage, considering πps (unequal probability) sampling designs and the functional Horvitz-Thompson estimator. Under conditions on the entropy of the sampling design the covariance function of the Horvitz-Thompson estimator can be estimated with the Hájek approximation extended to the functional framework. For each method, we show, under weak hypotheses on the sampling design and the regularity of the trajectories, some asymptotic properties of the estimator of the mean curve and of its covariance function. We also establish a functional central limit theorem.Next, we compare two methods that can be used to build confidence bands. The first one is based on simulations of Gaussian processes and is assessed rigorously. The second one uses bootstrap techniques in a finite population framework which have been adapted to take into account the functional nature of the data

Der Beitrag unterteilt sich in zwei Teile: Teil 1 (vgl. Informationen/07; 1976,05) und Teil 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Teil 1 enthält eine Einleitung und Grenzwertsätze für unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen und die Übertragung der betrachteten Grenzwertsätze auf den Fall der Existenz einseitiger Momente. Teil 2 enthält Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen für Summen unabhängiger nichtidentisch verteilter Zufallsgrößen (Serienschema) und eine Diskussion der erhaltenen Ergebnisse und schließlich einige Literaturangaben. Sei F_n(x) die Verteilungsfunktion der Summe X_1+X_2+...+X_n, wobei X_1, X_2, ...,X_n unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen mit Erwartungswert 0 und Streuung 1 und endlichen absoluten Momenten c_m, m>2, sind, und sei Phi die standardisierte Normalverteilungsfunktion. Es werden absolute Konstanten L_i derart berechnet, dass wir Fehlerabschätzungen im unleichmäßigen zentralen Grenzwertsätzen in verschiedenen Fällen angeben können, wobei sich der Index i in L_i auf folgende fünf Fälle bezieht: kleine x, mittlere Abweichungen für x, große Abweichungen für x, kleine n und große n. Im Fall der Existenz einseitiger Momente werden obere Schanken für 1-F_n(x) angegeben für x>D_m*n^(1/2)*ln(n) bzw. x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2), womit Ergebnisse von S.V.NAGAEV(1965) präzisiert werden. Der Beitrag unterteilt sich in zwei Teile: Teil 1 (vgl. Informationen/07; 1976,05) und Teil 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Teil 1 enthält eine Einleitung und Grenzwertsätze für unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen und die Übertragung der betrachteten Grenzwertsätze auf den Fall der Existenz einseitiger Momente. Teil 2 enthält Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen für Summen unabhängiger nichtidentisch verteilter Zufallsgrößen (Serienschema) und eine Diskussion der erhaltenen Ergebnisse und schließlich einige Literaturangaben. Sei F_n(x) die Verteilungsfunktion der Summe X_1+X_2+...+X_n, wobei X_1, X_2, ...,X_n unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen mit Erwartungswert 0 und Streuung 1 und endlichen absoluten Momenten c_m, m>2, sind, und sei Phi die standardisierte Normalverteilungsfunktion. Es werden absolute Konstanten L_i derart berechnet, dass wir Fehlerabschätzungen im unleichmäßigen zentralen Grenzwertsätzen in verschiedenen Fällen angeben können, wobei sich der Index i in L_i auf folgende fünf Fälle bezieht: kleine x, mittlere Abweichungen für x, große Abweichungen für x, kleine n und große n. Im Fall der Existenz einseitiger Momente werden obere Schanken für 1-F_n(x) angegeben für x>D_m*n^(1/2)*ln(n) bzw. x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2), womit Ergebnisse von S.V.NAGAEV(1965) präzisiert werden.:6. Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen für verschieden verteilte Zufallsgrößen S. 1 7. Beweise zum Abschnitt 6 S. 2 8. Diskussion der Ergebnisse S. 6 Literatur S. 10 / The paper is divided in two parts: part 1 (cp. Informationen/07; 1976,05) and part 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Part 1 contains an introduction and limit theorems for iid random variables and the transfer of the considered limit theorems to the case of the existence of onesided moments. Part 2 contains limit theorems of moderate deviations for sums of series of non iid random variables and a discussion of all obtained results in part 1 and 2 and finally some references. Let F_n(x) be the cdf of X_1+X_2+...+X_n, where X_1, X_2, ...,X_n are iid random variables with mean 0 and variance 1 and with m-th absolute moment c_m, m>2, and Phi the cdf of the unit normal law. Explicit universal constants L_i are computed such that we have an error estimate in the nonuniform central limit theorem with the L_i, where i corresponds to the five cases considered: small x, moderate deviations for x, large deviations for x, small n , large n. Additional upper bounds for 1-F_n(x) are obtained if the one-sided moments of order m, m>2, are finite and if x>D_m*n^(1/2)*ln(n) and x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2) respectively improving results by S.V.NAGAEV (1965).:6. Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen für verschieden verteilte Zufallsgrößen S. 1 7. Beweise zum Abschnitt 6 S. 2 8. Diskussion der Ergebnisse S. 6 Literatur S. 10

Der Beitrag unterteilt sich in zwei Teile: Teil 1 (vgl. Informationen/07; 1976,05) und Teil 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Teil 1 enthält eine Einleitung und Grenzwertsätze für unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen und die Übertragung der betrachteten Grenzwertsätze auf den Fall der Existenz einseitiger Momente. Teil 2 enthält Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen für Summen unabhängiger nichtidentisch verteilter Zufallsgrößen (Serienschema) und eine Diskussion der erhaltenen Ergebnisse und schließlich einige Literaturangaben. Sei F_n(x) die Verteilungsfunktion der Summe X_1+X_2+...+X_n, wobei X_1, X_2, ...,X_n unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen mit Erwartungswert 0 und Streuung 1 und endlichen absoluten Momenten c_m, m>2, sind, und sei Phi die standardisierte Normalverteilungsfunktion. Es werden absolute Konstanten L_i derart berechnet, dass wir Fehlerabschätzungen im unleichmäßigen zentralen Grenzwertsätzen in verschiedenen Fällen angeben können, wobei sich der Index i in L_i auf folgende fünf Fälle bezieht: kleine x, mittlere Abweichungen für x, große Abweichungen für x, kleine n und große n. Im Fall der Existenz einseitiger Momente werden obere Schanken für 1-F_n(x) angegeben für x>D_m*n^(1/2)*ln(n) bzw. x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2), womit Ergebnisse von S.V.NAGAEV(1965) präzisiert werden.:1. Einführung S. 2 2. Grenzwertsätze für identisch verteilte Zufallsgrößen S. 3 3. Übertragung der formulierten Grenzwertsätze auf den Fall der Existenz einseitiger Momente S. 6 4. Beweis zum Abschnitt 2 S. 8 5. Beweise zum Abschnitt 3 S. 13 / The paper is divided in two parts: part 1 (cp. Informationen/07; 1976,05) and part 2 (cp. Informationen/07; 1976,06). Part 1 contains an introduction and limit theorems for iid random variables and the transfer of the considered limit theorems to the case of the existence of onesided moments. Part 2 contains limit theorems of moderate deviations for sums of series of non iid random variables and a discussion of all obtained results in part 1 and 2 and finally some references. Let F_n(x) be the cdf of X_1+X_2+...+X_n, where X_1, X_2, ...,X_n are iid random variables with mean 0 and variance 1 and with m-th absolute moment c_m, m>2, and Phi the cdf of the unit normal law. Explicit universal constants L_i are computed such that we have an error estimate in the nonuniform central limit theorem with the L_i, where i corresponds to the five cases considered: small x, moderate deviations for x, large deviations for x, small n , large n. Additional upper bounds for 1-F_n(x) are obtained if the one-sided moments of order m, m>2, are finite and if x>D_m*n^(1/2)*ln(n) and x>D_m*n^(1/2)*(ln(n))^(1/2) respectively improving results by S.V.NAGAEV (1965).:1. Einführung S. 2 2. Grenzwertsätze für identisch verteilte Zufallsgrößen S. 3 3. Übertragung der formulierten Grenzwertsätze auf den Fall der Existenz einseitiger Momente S. 6 4. Beweis zum Abschnitt 2 S. 8 5. Beweise zum Abschnitt 3 S. 13

Nous nous intéressons dans cette thèse à la théorie cinétique et aux systèmes de particules dans le cadre des équations de Boltzmann et Landau. Premièrement, nous étudions la dérivation des équations cinétiques comme des limites de champ moyen des systèmes de particules, en utilisant le concept de propagation du chaos. Plus précisément, nous étudions les probabilités chaotiques sur l'espace de phase de ces systèmes de particules : la sphère de Boltzmann, qui correspond à l'espace de phase d'un système de particules qui évolue conservant le moment et l'énergie ; et la sphère de Kac, correspondant à un système de particules qui conserve seulement l'énergie. Ensuite, nous nous intéressons à la propagation du chaos, avec des estimations quantitatives et uniforme en temps, pour les équations de Boltzmann et Landau. Deuxièmement, nous étudions le comportement asymptotique en temps grand des solutions de l'équation de Landau. / This thesis is concerned with kinetic theory and many-particle systems in the setting of Boltzmann and Landau equations. Firstly, we study the derivation of kinetic equation as mean field limits of many-particle systems, using the concept of propagation of chaos. More precisely, we study chaotic probabilities on the phase space of such particle systems : the Boltzmann's sphere, which corresponds to the phase space of a many-particle system undergoing a dynamics that conserves momentum and energy ; and the Kac's sphere, which corresponds to the energy conservation only. Then we are concerned with the propagation of chaos, with quantitative and uniform in time estimates, for Boltzmann and Landau equations. Secondly, we study the long-time behaviour of solutions to the Landau equation.

In this paper, we first present the basic principles of set theory and combinatorial analysis which are the most useful tools in computing probabilities. Then, we show some important properties derived from axioms of probability. Conditional probabilities come into play not only when some partial information is available, but also as a tool to compute probabilities more easily, even when partial information is unavailable. Then, the concept of random variable and its some related properties are introduced. For univariate random variables, we introduce the basic properties of some common discrete and continuous distributions. The important properties of jointly distributed random variables are also considered. Some inequalities, the law of large numbers and the central limit theorem are discussed. Finally, we introduce additional topics the Poisson process.

In this paper, we will investigate the important properties of three major parts of statistical inference: point estimation, interval estimation and hypothesis testing. For point estimation, we consider the two methods of finding estimators: moment estimators and maximum likelihood estimators, and three methods of evaluating estimators: mean squared error, best unbiased estimators and sufficiency and unbiasedness. For interval estimation, we consider the the general confidence interval, confidence interval in one sample, confidence interval in two samples, sample sizes and finite population correction factors. In hypothesis testing, we consider the theory of testing of hypotheses, testing in one sample, testing in two samples, and the three methods of finding tests: uniformly most powerful test, likelihood ratio test and goodness of fit test. Many examples are used to illustrate their applications.